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北师大版2024年七年级（下）期末数学模拟试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是（　　）
A． B．
C． D．
3．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（　　）
A．17 B．15 C．13 D．13或17
4．计算（﹣a2）3的结果是（　　）
A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6
5．“a是实数，|a|≥0”这一事件是（　　）
A．必然事件 B．不确定事件
C．不可能事件 D．随机事件
6．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（　　）
A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
7．如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
8．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　）
A．10 B．7 C．5 D．4
9．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
10．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（　　）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去
11．如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1+∠2＝（　　）
A．30° B．35° C．36° D．40°
12．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（　　）
A．（）n 75° B．（）n﹣1 65°
C．（）n﹣1 75° D．（）n 85°
二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．计算：a2 a3＝　 　．
14．如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理是 　 　．
15．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝　 　．
16．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为　 　cm．
17．如图a是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是 　 　度．
18．如图①，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则矩形MNPQ的面积是　 　．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（10分）计算下列各题
（1）；
（2）（a+b）2﹣b（2a+b）；
20．（6分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x+3y）（x﹣3y）+3y2]÷（﹣4y），其中．
21．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C＝70°．
（1）∠AOB的度数为 　 　；
（2）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度数．
22．（8分）如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BE＝CD，BD与CE交于点O．
（1）求证：△COD≌△BOE；
（2）若CD＝2，AE＝5，求AC的长．
23．（10分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：
（1）甲、乙两地之间的距离为　 　km；
（2）请解释图中点B的实际意义；
（3）求慢车和快车的速度．
24．（10分）如图，将边长为（a+b）的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：
（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法1：　 　；
方法2：　 　；
（2）从中你得到什么等式？　 　；
（3）运用你发现的结论，解决下列问题：
①已知x+y＝6，，求x2+y2的值；
②已知（2021﹣x）2+（x﹣2024）2＝49，求（2021﹣x）（x﹣2024）的值．
25．（10分）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．
（1）试说明：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD．
（3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．
26．（10分）如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．
（1）求证：BE＝AD；
（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；
（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版2024年七年级（下）期末数学模拟试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
2．下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、∵AB∥CD，
∴∠1+∠2＝180°，
故A错误；
B、∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
故B正确；
C、∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠CDA，
若AC∥BD，可得∠1＝∠2；
故C错误；
D、若梯形ABCD是等腰梯形，可得∠1＝∠2，
故D错误．
故选：B．
3．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（　　）
A．17 B．15 C．13 D．13或17
【答案】A
【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7＝17．
故这个等腰三角形的周长是17．
故选：A．
4．计算（﹣a2）3的结果是（　　）
A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6
【答案】D
【解答】解：（﹣a2）3＝﹣a2×3＝﹣a6．
故选：D．
5．“a是实数，|a|≥0”这一事件是（　　）
A．必然事件 B．不确定事件
C．不可能事件 D．随机事件
【答案】A
【解答】解：因为数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，
因为a是实数，
所以|a|≥0．
故选：A．
6．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（　　）
A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
【答案】B
【解答】解：A、∠3＝∠A，无法得到，AB∥CD，故此选项错误；
B、∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行可得：AB∥CD，故此选项正确；
C、∠D＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项错误；
D、∠D+∠ACD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项错误；
故选：B．
7．如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
【答案】A
【解答】解：∵（x+m）（x+3）＝x2+3x+mx+3m＝x2+（3+m）x+3m，
又∵（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，
∴3+m＝0，
解得m＝﹣3．
故选：A．
8．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　）
A．10 B．7 C．5 D．4
【答案】C
【解答】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴S△BCE＝BC EF＝×5×2＝5，
故选：C．
9．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
【答案】C
【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
10．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（　　）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去
【答案】C
【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故选：C．
11．如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1+∠2＝（　　）
A．30° B．35° C．36° D．40°
【答案】A
【解答】解：如图，过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，
∴∠3＝∠1，∠4＝∠2，
∵l1∥l2，
∴AC∥BD，
∴∠CAB+∠ABD＝180°，
∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，
∴∠1+∠2＝30°．
故选：A．
12．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（　　）
A．（）n 75° B．（）n﹣1 65°
C．（）n﹣1 75° D．（）n 85°
【答案】C
【解答】解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝＝75°，
∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；
同理可得，
∠EA3A2＝（）2×75°，∠FA4A3＝（）3×75°，
∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（）n﹣1×75°．
故选：C．
二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．计算：a2 a3＝　a5　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：a2 a3＝a2+3＝a5．
故答案为：a5．
14．如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理是 　利用三角形的稳定性　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：这样做的道理是利用三角形的稳定性．
15．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝　55°　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．
16．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为　3　cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，
所以AD＝A′D，AE＝A′E．
则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，
＝BC+BD+CE+AD+AE，
＝BC+AB+AC，
＝3cm．
故答案为：3．
17．如图a是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是 　120　度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据图示可知∠CFE＝180°﹣3×20°＝120°．
故答案为：120．
18．如图①，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则矩形MNPQ的面积是　20　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由图象可知，x＝4时，点R到达P，x＝9时，点R到Q点，则PN＝4，QP＝5
∴矩形MNPQ的面积是20．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（10分）计算下列各题
（1）；
（2）（a+b）2﹣b（2a+b）；
【答案】（1）﹣1；
（2）a2．
【解答】解：（1）原式＝4﹣4+（﹣1）×1
＝﹣1；
（2）原式＝a2+2ab+b2﹣2ab﹣b2
＝a2．
20．（6分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x+3y）（x﹣3y）+3y2]÷（﹣4y），其中．
【答案】x﹣4y；2024．
【解答】解：[（x﹣2y）2﹣（x+3y）（x﹣3y）+3y2]÷（﹣4y）
＝[x2﹣4xy+4y2﹣（x2﹣9y2）+3y2]÷（﹣4y）
＝（x2﹣4xy+4y2﹣x2+9y2+3y2）÷（﹣4y）
＝（﹣4xy+16y2）÷（﹣4y）
＝x﹣4y；
当时，
原式＝．
21．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C＝70°．
（1）∠AOB的度数为 　 　；
（2）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度数．
【答案】（1）125°；
（2）∠DAE＝5°．
【解答】（1）解：∵AE、BF是∠BAC、∠ABC的角平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC），
在△ABC中，∠C＝70°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝110°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝125°．
故答案为：125°；
（2）解：∵在△ABC中，AD是高，∠C＝70°，∠ABC＝60°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝50°
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠CAE＝∠CAB＝25°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°，
∴∠DAE＝5°．
22．（8分）如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BE＝CD，BD与CE交于点O．
（1）求证：△COD≌△BOE；
（2）若CD＝2，AE＝5，求AC的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）7．
【解答】（1）证明：在△COD和△BOE中，
，
∴△COD≌△BOE（AAS）；
（2）解：∵△COD≌△BOE，
∴OC＝OB，OD＝OE，
∴OC+OE＝OB+OD，
即CE＝BD，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（AAS），
∴AE＝AD＝5，
∵CD＝2，
∴AC＝AD+CD＝7．
23．（10分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：
（1）甲、乙两地之间的距离为　 　km；
（2）请解释图中点B的实际意义；
（3）求慢车和快车的速度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意，得
甲、乙两地之间的距离为900km．
故答案为：900；
（2）B点的意义是：快车与慢车4小时相遇；
（3）由题意，得
慢车的速度为：900÷12＝75km/h，
快车的速度为：（900﹣75×4）÷4＝150km/h．
答：快车的速度150km/h，慢车的速度为75km/h．
24．（10分）如图，将边长为（a+b）的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：
（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法1：　 　；
方法2：　 　；
（2）从中你得到什么等式？　 　；
（3）运用你发现的结论，解决下列问题：
①已知x+y＝6，，求x2+y2的值；
②已知（2021﹣x）2+（x﹣2024）2＝49，求（2021﹣x）（x﹣2024）的值．
【答案】（1）a2+b2；（a+b）2﹣2ab；（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）①24；②﹣20．
【解答】解：（1）方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即a2+b2，
方法2，从边长为（a+b）的大正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2；（a+b）2﹣2ab；
（2）在（1）两种方法表示面积相等可得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（3）①∵，
∴xy＝6，
又∵x+y＝6，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝62﹣2×6＝36﹣12＝24；
②设a＝2021﹣x，b＝x﹣2024，则a2+b2＝49，a+b＝﹣3，
∴原式＝﹣20，
答：（2021﹣x）（x﹣2024）的值为﹣20．
25．（10分）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．
（1）试说明：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD．
（3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠GAD＝∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD
∴∠BAG＝∠BGA；
（2）解：∵∠BGA＝∠F+∠BCF，
∴∠BGA﹣∠F＝∠BCF，
∵∠BAG＝∠BGA，
∴∠∠BAG﹣∠F＝∠BCF，
∵∠BAG﹣∠F＝45°，
∴∠BCF＝45°，
∵∠BCD＝90°，
∴CF平分∠BCD；
（3）解：有两种情况：
①当M在BP的下方时，如图5，
设∠ABC＝4x，
∵∠ABP＝3∠PBG，
∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，
∵AG∥CH，
∴∠BCH＝∠AGB＝＝90°﹣2x，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，
∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，
∠GBM＝2x﹣x＝x，
∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5；
②当M在BP的上方时，如图6，
同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，
∠GBM＝2x+x＝3x，
∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝．
综上，的值是5或．
26．（10分）如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．
（1）求证：BE＝AD；
（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；
（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝∠DCE＝α，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD；
（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵△ABC中，∠BAC+∠ABC＝180°﹣α，
∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α，
∴△ABM中，∠AMB＝180°﹣（180°﹣α）＝α；
（3）△CPQ为等腰直角三角形．
证明：如图2，由（1）可得，BE＝AD，
∵AD，BE的中点分别为点P、Q，
∴AP＝BQ，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP＝∠CBQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴CP＝CQ，且∠ACP＝∠BCQ，
又∵∠ACP+∠PCB＝90°，
∴∠BCQ+∠PCB＝90°，
∴∠PCQ＝90°，
∴△CPQ为等腰直角三角形．

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