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探究弹性势能的表达式
学习
目标 1.知道探究弹性势能表达式的思路。
2.理解弹性势能的概念,会分析决定弹性势能大小的相关因素。
3.体会探究过程中的猜想、分析和转化的方法。
4.领悟求弹力做功时通过细分过程化变力为恒力的思想方法。
一、弹性势能
发生弹性形变的物体的各部分之间,由于有_____的相互作用而
具有的势能。
弹力
二、探究弹性势能的表达式
1.猜想:
(1)弹性势能与弹簧被拉伸的长度有关,同一个弹簧,拉伸的长
度_____,弹簧的弹性势能也越大。
(2)弹性势能与弹簧的劲度系数有关,在拉伸长度l相同时,劲度
系数k_____,弹性势能越大。
越大
越大
2.探究思想:_____做功与弹性势能变化的关系同_____做功与
重力势能的变化关系相似:
弹力
重力
减少
增加
-ΔEp
3.“化变为恒”求拉力做功:W总=F1Δl1+F2Δl2+…+_____。
4.“F -l”图像面积的意义:表示______的值。
FnΔln
F做功
【自我思悟】
“蹦床”是小朋友们都爱玩的活动,如图所示,在某小朋友从空中落至蹦床上到再次被弹起过程中,蹦床对该小朋友做什么功,蹦床的弹性势能是怎么变化的
提示:整个过程蹦床对小朋友的弹力竖直向上,故在小朋友下落时,弹力对他做负功,蹦床的弹性势能增大;小朋友被弹回时,弹力对他做正功,蹦床的弹性势能减少。
一、弹性势能与重力势能的比较　 对比分析
物理量
内容 弹性势能 重力势能
定义 发生弹性形变的物体各部分之间由于弹力的相互作用而具有的势能 物体由于被举高而具有的势能
表达式 Ep= kx2 Ep=mgh
相对性 弹性势能与零势能位置的选取有关,通常选自然长度时势能为零,表达式最为简洁 重力势能的大小与零势能面的选取有关,但变化量与零势能面的选取无关
物理量
内容 弹性势能 重力势能
系统性 发生弹性形变的物体上所有质点共同具有的能量 地球附近的物体与地球所共有的能量
联　系 两种势能分别以弹力、重力的存在为前提,又由物体的初、末位置来决定。同属机械能的范畴,在一定条件下可相互转化
【微思考】
(1)对同一个弹簧,它的长度越长是否就说明它的弹性势能就越大 (没超出弹性限度)
提示:不一定,弹簧被压缩时,长度越短,弹性势能越大;伸长时,长度越长,弹性势能越大。
(2)弹弓是一种儿童玩具,由两根橡皮条和木叉制成。为使石子以较大的速度飞出,就应该把橡皮条拉长些,从能量角度分析这是为什么呢
提示:橡皮条拉得越长,储存的弹性势能越大,射出石子时石子的动能就越大,射得就越远。
【题组通关】
【示范题】劲度系数分别为kA=200N/m和kB=300N/m的弹簧A和B连接在一起,拉长后将两端固定,如图所示,弹性势能EpA、EpB的关系是(　　)
A.EpA=EpB　　　　　B.EpA>EpB
C.EpA【解题探究】(1)A、B弹簧的弹力大小相等吗
提示:根据牛顿第三定律,A、B弹簧的弹力大小相等。
(2)弹簧的弹性势能与弹簧的_________和_______有关。
劲度系数
形变量
【规范解答】选B。根据牛顿第三定律,A、B弹簧的弹力大小相
等。由于F=kl,Ep= kl2,所以弹性势能Ep= kl2= 。又由于
kAEpB,B正确。
【通关1+1】
1.(2014·江阴高一检测)如图所示,小明玩蹦蹦杆,在小明将蹦蹦杆中的弹簧向下压缩的过程中,小明的重力势能、弹簧的弹性势能的变化是(　　)
A.重力势能减少,弹性势能增大
B.重力势能增大,弹性势能减少
C.重力势能减少,弹性势能减少
D.重力势能不变,弹性势能增大
【解析】选A。弹簧向下压缩的过程中,弹簧压缩量增大,弹性势能增大;重力做正功,重力势能减少,故A正确。
2.(多选)在探究弹簧的弹性势能的表达式时,下面猜想有一定道理的是(　　)
A.重力势能与物体被举起的高度h有关,所以弹性势能很可能与弹簧的长度有关
B.重力势能与物体被举起的高度h有关,所以弹性势能很可能与弹簧被拉伸(或压缩)的长度有关
C.重力势能与物体所受的重力mg大小有关,所以弹性势能很可能与弹簧的劲度系数有关
D.重力势能与物体的质量有关,所以弹性势能很可能与弹簧的质量大小有关
【解析】选B、C。物体的重力势能与弹簧的弹性势能相对应,所以物体被举高的高度与弹簧伸长的长度相对应,物体的重力与弹簧的弹力相对应,物体的质量与弹簧的劲度系数相对应,所以弹簧的弹性势能应该与弹簧的劲度系数和弹簧的形变量有关,与弹簧的长度、质量等因素无关,故B、C正确,A、D错误。
【变式训练】1.(多选)关于弹性势能,下列说法正确的是(　　)
A.发生弹性形变的物体都具有弹性势能
B.只有弹簧在发生弹性形变时才具有弹性势能
C.弹性势能可以与其他形式的能相互转化
D.弹性势能在国际单位制中的单位是焦耳
【解析】选A、C、D。发生弹性形变的物体的各部分之间,由于有弹力的相互作用,都具有弹性势能,A正确,B错误;弹性势能跟重力势能一样,可以与其他形式的能相互转化,C正确;所有能的单位都跟功的单位相同,在国际单位制中的单位是焦耳,D正确。
2.一竖直弹簧下端固定于水平地面上,小球从弹簧的正上方高为h的地方自由下落到弹簧上端,如图所示,经几次反弹以后小球最终在弹簧上静止于某一点A处,则(　　)
A.h越大,弹簧在A点的压缩量越大
B.弹簧在A点的压缩量与h无关
C.h越大,最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能越大
D.小球第一次到达A点时弹簧的弹性势能比最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能大
【解析】选B。最终小球静止在A点时,小球受自身重力与弹簧的弹力相等,故由弹力公式得mg=kx,即可得出弹簧在A点的压缩量x= ,与下落时的高度h无关,A错,B对。对同一弹簧,它的弹性势能大小仅与弹簧的形变量有关,小球静止在A点或经过A点时,弹簧的弹性势能相同,C、D错。
3.(2013·绵阳高一检测)如图所示的几个运动过程中,物体弹性势能增加的是(　　)
A.如图甲,跳高运动员从压杆到杆伸直的过程中,杆的弹性势能
B.如图乙,人拉长弹簧过程中弹簧的弹性势能
C.如图丙,模型飞机用橡皮筋发射出去的过程中,橡皮筋的弹性势能
D.如图丁,小球被弹簧向上弹起的过程中,弹簧的弹性势能
【解析】选B。形变量变大,弹性势能变大,形变量变小,弹性势能变小。图甲中杆的形变先变大后变小,图丙和图丁中橡皮筋和弹簧的形变量减小,形变量变大的只有图乙,故选项B正确。
【素养升华】
弹性势能理解时应注意的两个问题
(1)弹簧的弹性势能的大小由弹簧的劲度系数和形变量(拉伸或缩短的长度)共同决定,劲度系数越大,形变量越大,弹簧的弹性势能越大。
(2)弹性势能具有相对性,但其变化量具有绝对性,因此,在判断弹性势能的变化时不必考虑零势能的位置。
二、弹性势能与弹力做功的关系　 深化理解
1.弹力做正功、负功的理解:
如图所示,O为弹簧的原长处:
(1)弹力做负功:当物体由O向A运动(压缩)或者由O向A′运动(伸长)时,弹簧的形变量变大,弹力对外做功,习惯叫作弹力做负功。此时弹簧的弹性势能增大,其他形式的能转化为弹性势能。
(2)弹力做正功:当物体由A向O运动,或者由A′向O运动时,弹簧的形变量减小,弹力对内做功,习惯叫作弹力做正功。此时弹簧的弹性势能减小,弹性势能转化为其他形式的能。
2.弹力做功与弹性势能变化的关系:弹性势能的变化量总等于弹力做功的负值,表达式:W弹=-ΔEp=Ep1-Ep2。
3.使用范围:在弹簧的弹性限度之内,该式总是成立的,与系统所受其他力的情况无关,与系统的运动状态无关。
4.与重力势能对比:弹性势能与弹力做功的关系,重力势能与重力做功的关系遵从同样的规律,这一规律对于其他形式的势能也是适用的。
【微思考】
“蹦极”是一种富有刺激性的运动项目,
某人身系弹性绳自高空点自由下落,如图
所示,a点是弹性绳的原长位置,c点是人
所到达的最低点,b点是人静止时的平衡位置,
不计空气阻力。
(1)该人从下落至b到再次上升经过b时,弹性绳的弹力做功为多少
提示:弹性绳的弹力做功与重力做功特点一样,也是与运动路径无关,只与初末位置有关,故从下落至b到再次上升经过b时,弹性绳的弹力做功为零。
(2)人运动至哪一位置时,弹性绳的弹性势能最大
提示:人运动至c点时,弹性绳的弹力做功最多,弹性势能最大。
【题组通关】
【示范题】在水平地面上放一个竖直轻弹簧,弹簧上端与一个质量为2.0kg的木块相连,若在木块上再作用一个竖直向下的力F,使木块缓慢向下移动0.10m,力F做功2.5J。此时木块再次处于平衡状态,力F的大小为50N,如图所示,求:
(1)在木块下移0.10m的过程中弹性势能的增加量;
(2)弹簧的劲度系数。
【解题探究】(1)弹性势能的增加量等于弹力___________。
(2)木块缓慢向下移动隐含着什么物理条件
提示:缓慢移动表明木块时刻处于平衡状态,弹簧的弹力始终等于木块的重力与压力F之和。
做功的负值
【规范解答】(1)木块下移0.10m过程中,F与重力的合力等于弹簧弹力,所以力F和重力做的功等于克服弹簧弹力做的功,故弹簧弹性势能的增加量为:
ΔEp=WF+mgh=(2.5+2.0×10×0.10)J=4.5 J。
(2)由平衡条件得,木块再次处于平衡时F=kh,所以劲度系数
答案:(1)4.5J　(2)500 N/m
【通关1+1】
1.如图所示,将弹簧拉力器用力拉开的过程中,弹簧的弹力和弹性势能的变化情况是(　　)
A.弹力变大,弹性势能变小
B.弹力变小,弹性势能变大
C.弹力和弹性势能都变小
D.弹力和弹性势能都变大
【解析】选D。将弹簧拉力器用力拉开的过程中,弹簧的伸长量变大,弹簧的弹力变大,弹性势能变大。故A、B、C错误,D正确。
2.(多选)如图所示,一轻弹簧一端固定于O点,另一端系一重物,让它从弹簧保持原长的A点无初速地释放,不计空气阻力,在重物由A点摆向最低点B的过程中(　　)
A.重力势能减少,弹性势能减少
B.重力势能减少,弹性势能增加
C.若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后,重力做正功,弹力不做功
D.若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后,重力做功不变,弹力不做功
【解析】选B、C。小球下摆时,重力做正功,弹簧要伸长,弹力做负功,因此重力势能减少,弹性势能增加,A错,B对。用细绳代替弹簧向下摆动,弹力由于始终与运动方向垂直而不做功,重力仍然做正功,C对,D错。
【变式训练】1.(多选)关于弹力做功与弹性势能的说法正确的是(　　)
A.弹力对物体所做的功等于物体所具有的弹性势能
B.物体克服弹力所做的功等于物体所具有的弹性势能
C.弹力对物体所做的功等于物体弹性势能的减少
D.物体克服弹力所做的功等于物体弹性势能的增加
【解析】选C、D。弹力做功的过程是物体弹性势能变化的过程,弹力做多少功,表明弹性势能变化了多少,与物体含有多少弹性势能无关,A、B错。弹力对物体做正功,物体的弹性势能减少,做负功则物体的弹性势能增加,C、D对。
2.如图所示,在光滑水平面上有一物体,它的左端连一弹簧,弹簧的另一端固定在墙上,在力F作用下物体处于静止状态,当撤去力F后,物体将向右运动,在物体向右运动的过程中,下列说法正确的是(　　)
A.弹簧的弹性势能逐渐减小
B.弹簧的弹性势能逐渐增大
C.弹簧的弹性势能先增大再减小
D.弹簧的弹性势能先减小再增大
【解析】选D。开始时,弹簧处于压缩状态,撤去F后物体在向右运动的过程中,弹簧的弹力对物体先做正功后做负功,故弹簧的弹性势能应先减小后增大。
3.如图所示,质量为m的物体静止在地面上,物体上面连着一个轻弹簧,用手拉住弹簧上端上移H,将物体缓缓提高h,拉力F做功WF,不计弹簧的质量,则下列说法正确的是(　　)
A.重力做功-mgh,重力势能减少mgh
B.弹力做功-WF,弹性势能增加WF
C.重力势能增加mgh,弹性势能增加FH
D.重力势能增加mgh,弹性势能增加WF-mgh
【解析】选D。可将整个过程分为两个阶段:一是弹簧伸长到m刚要离开地面阶段,拉力克服弹力做功WF1=-W弹,等于弹性势能的增加;二是弹簧长度不变,物体上升h,拉力克服重力做功WF2=-WG=mgh,等于重力势能的增加,又由WF=WF1+WF2可知A、B、C错,D对。
【素养升华】
理解弹力做功与弹性势能变化关系应注意的问题
(1)弹力做功和重力做功一样也和路径无关,弹力对其他物体做了多少功,弹性势能就减少多少。克服弹力做多少功,弹性势能就增加多少。
(2)弹性势能的变化只与弹力做功有关,弹力做负功,弹性势能增大,反之则减小。弹性势能的变化量总等于弹力做功的负值。
(3)弹性势能的增加量与减少量由弹力做功多少来量度。
【资源平台】备选角度:弹性势能、重力势能综合问题
【示范题】2012年伦敦奥运会上黄珊汕获蹦床个人亚军。在比赛中,如果她受到蹦床对她的弹力的变化规律如图乙所示。试分析黄珊汕在t4～t5段时间内弹性势能、重力势能怎样变化 t5～t6段时间内又如何变化
【标准解答】t4～t5段时间内在空中,不受弹力作用,弹性势能为零,重力势能先变大再变小。t5～t6段时间内与蹦床接触,是先下落又上升的过程。弹性势能先变大再变小,重力势能先变小再变大。
答案:t4～t5段时间内弹性势能为零,重力势能先变大再变小;t5～t6段时间内弹性势能先变大再变小、重力势能先变小再变大。
弹簧弹力做功的求法
【案例剖析】一根弹簧的弹力—位移图像如图所示,那么弹簧由伸长量8cm到伸长量4cm的过程中,弹力做功和弹性势能的变化量为(　　)
A.3.6 J,-3.6 J　　
B.-3.6 J,3.6 J
C.1.8 J,-1.8 J
D.-1.8 J,1.8 J
【精讲精析】选C。弹簧在拉伸状态下变短时,弹力做正功,且
做的功等于F-x图像与x坐标轴围成的面积,故W= ×(30+60)
×0.04J=1.8J,据W=-ΔEp知,弹簧弹性势能的变化量ΔEp=
-1.8J,C项正确。
【名师指津】计算弹簧弹力做功的两种方法
1.平均值法:当弹簧被拉长l时,弹簧的弹力大小为F=kl,即弹簧
的弹力大小与它的伸长量l成线性关系,该过程中弹簧的弹力大
小的平均值 故由W= l知弹力做功
2.图像法:当弹簧被拉长l时,若题中已给出,或者可以作出弹簧的
弹力F与它的伸长量l之间的关系图像(即F-l图像),则F-l图像与
横坐标轴所围的面积在数值上就等于弹簧弹力做功的多少。如
图所示,当弹簧的伸长量是Δl时,弹簧弹力做功W=- kΔl2。
【自我小测】
弹簧原长为l0,劲度系数为k。用力把它拉到伸长量为l,拉力所做的功为W1;继续拉弹簧,使弹簧在弹性限度内再伸长l,拉力在继续拉伸的过程中所做的功为W2。试求W1与W2的比值。
【解析】把弹簧拉到伸长量为l过程中弹力大小的平均值
故该过程拉力做功W1= 使弹簧在弹性限度内再伸长
l过程中弹力大小的平均值 (kl+2kl)= kl，该过程拉力做
功W2= ×l= kl2。
所以W1∶W2=1∶3。
答案：1∶3
【补偿训练】1.如图所示,轻质弹簧一端固定,另一端与物块拴接,物块放在光滑水平面上。现用外力缓慢拉动物块,使物块移动了距离l,在此过程中外力所做的功为W,则弹簧的劲度系数为多大
【解析】缓慢拉动物块移动距离l过程中，外力的平均值
外力做功 故弹簧的劲度系数k= 。
答案：
2.如图所示,轻质弹簧直立在水平地面上,将质量为m的物块轻轻地放在弹簧上,达到稳定状态时弹簧被压缩了l,则此时弹簧具有的弹性势能为多大
【解析】当物块处于稳定状态时,物块所受的重力与弹簧的弹
力大小相等时,即mg=kl。从物块与弹簧接触到压缩到l过程弹簧
弹力随位移的变化的平均值 = kl= mg,故该过程弹力对物
块做功W=- l=- mgl。所以此时弹簧具有的弹性势能Ep=-W=
mgl。
答案: mgl【世纪金榜】2016版高中物理 7.5探究弹性势能的表达式（精讲优练课型）课时自测 新人教版必修2
1.如图所示的几个运动过程中，物体弹性势能增加的是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.如图甲，跳高运动员从压杆到杆伸直的过程中，杆的弹性势能
B.如图乙，人拉长弹簧过程中弹簧的弹性势能
C.如图丙，模型飞机用橡皮筋发射出去的过程中，橡皮筋的弹性势能
D.如图丁，小球被弹簧向上弹起的过程中，弹簧的弹性势能
【解析】选B。形变量变大，弹性势能变大，形变量变小，弹性势能变小。图甲中杆的形变先变大后变小，图丙和图丁中橡皮筋和弹簧的形变量减小，形变量变大的只有图乙，故选项B正确。
2.如图所示，质量相等的两木块中间连有一弹簧，今用力F缓慢向上提A，直到B恰好离开地面。开始时木块A静止在弹簧上面。设开始时弹簧的弹性势能为Ep1，B刚要离开地面时，弹簧的弹性势能为Ep2，则关于Ep1、Ep2大小关系及弹性势能变化ΔEp说法中正确的是( )
A.Ep1=Ep2　　 B.Ep1>Ep2　　 C.ΔEp>0　　 D.ΔEp<0
【解析】选A。开始时弹簧形变量为x1，有 ( http: / / www.21cnjy.com )kx1=mg，设B离开地面时形变量为x2，有kx2=mg。由于x1=x2，所以Ep1=Ep2，ΔEp=0，A对。
3.(多选)如图所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一小球，让它从弹簧保持原长的A点无初速度释放，不计空气阻力，在小球由A点摆向最低点B的过程中( )
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A.重力势能减少，弹性势能减少
B.重力势能减少，弹性势能增加
C.若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做正功，弹力不做功
D.若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做功不变，弹力不做功
【解析】选B、C。小球下摆时，重力做正功， ( http: / / www.21cnjy.com )弹簧要伸长，弹力做负功，因此重力势能减少，弹性势能增加，A错，B对。用细绳代替弹簧向下摆动，弹力由于始终与运动方向垂直而不做功，重力仍然做正功，由于小球下降高度减小，重力做功减小，C对，D错。
4.(多选)如图所示，弹簧的一端固定在墙上 ( http: / / www.21cnjy.com )，另一端在水平力F作用下缓慢拉伸了x。关于拉力F、弹性势能Ep随伸长量x的变化图线，其中正确的是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
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【解析】选A、D。由胡克定律知F=kx，F-x图像为倾斜直线，A对，B错。因为Ep=kx2，即Ep∝x2，所以D对，C错。
5.如图所示，质量不计的弹簧一端固定在地面上，弹簧竖直放置，将一小球从距弹簧自由端高度分别为h1、h2的地方先后由静止释放，h1>h2，小球触到弹簧后向下运动压缩弹簧，从开始释放小球到获得最大速度的过程中，小球重力势能的减少量ΔE1、ΔE2的关系及弹簧弹性势能的增加量ΔEp1、ΔEp2的关系中，正确的一组是( )
A.ΔE1=ΔE2，ΔEp1=ΔEp2
B.ΔE1>ΔE2，ΔEp1=ΔEp2
C.ΔE1=ΔE2，ΔEp1>ΔEp2
D.ΔE1>ΔE2，ΔEp1>ΔEp2
【解题指南】解答该题要注意以下三点：
(1)小球速度最大时，它的加速度为零。
(2)重力(弹性)势能与重力(弹力)做功的关系。
(3)对于同一弹簧，若形变量相同，则弹性势能相同。
【解析】选B。小球速度最大 ( http: / / www.21cnjy.com )的条件是弹力等于重力，两种情况下，对应于同一位置，故ΔEp1=ΔEp2，由于h1>h2，所以ΔE1>ΔE2，B正确。
6.(2015·昆明高一检测)一根弹簧的弹力—位移图像如图所示，那么弹簧由伸长量8cm到伸长量4cm的过程中，弹力做功和弹性势能的变化量为( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.3.6J，-3.6J B.-3.6J，3.6J
C.1.8J， -1.8J D.-1.8J，1.8J
【解析】选C。弹簧在拉伸状态下变短时，弹力做正功，且做的功等于F-x图像与x坐标轴围成的面积，故W=×(30+60)×0.04J=1.8J，据W=-ΔEp知，弹簧弹性势能的变化量ΔEp=-1.8J，C项正确。
【补偿训练】弹簧原长l0=15cm，受拉力作用后弹簧逐渐伸长，当弹簧伸长到l1=20cm时，作用在弹簧上的力为400N，问：
(1)弹簧的劲度系数k为多少？
(2)在该过程中弹力做了多少功？
(3)弹簧的弹性势能变化了多少？
【解析】(1)由F=kl得
k==N/m=8 000N/m。
(2)由于F=kl，作出F-l图像如图所示，
( http: / / www.21cnjy.com )
求出图中阴影面积，即为弹力做功的绝对值，由于在伸长过程中弹力F与位移l方向相反，故弹力做负功，弹力做功
W=-×400×0.05J=-10J
(3)弹性势能变化量ΔEp=-W=10J，ΔEp>0，表示弹性势能增加。
答案：(1)8 000N/m　(2)-10J　(3)增加10J(共24张PPT)
5 探究弹性势能的表达式
跳水
弯曲的跳板蕴含着什么能量呢？
弯曲的长杆具有什么能量呢？
1.知道弹性势能的概念及弹性势能与哪些物理
量有关。
2.知道探究弹性势能表达式的思路。 3.理解计算变力做功的思想方法。
（重点）
（难点）
弹性势能的定义
发生弹性形变的物体各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫做弹性势能。
怎样探究弹性势能的表达式？
重力势能与m和h有关
重力势能与重力做功有关
分析重力做功
重力势能Ep=mgh
弹性势能与弹力做功的关系
弹性势能与什么因素有关
分析弹力做功
求出弹性势能的表达式
类比探究重力势能表达式的方法
1.猜想：弹性势能的表达式可能与哪些物理量有关？
探究：弹性势能的表达式
探究实验
弹簧状态 压缩状态 物块滑行距离
软弹簧1
软弹簧1
硬弹簧2
最远
较大
较远
较大
最短
较小
实验现象记录
实验结论
1.与弹簧形变量ΔL有关
2.与弹簧劲度系数k有关
2.探究：弹簧的弹性势能与弹力做功的关系
规定：当弹簧的长度为原长时，它的弹性势能为0。
F拉
l
F
如图，拉伸弹簧，弹簧弹力做负功，弹性势能增加；
同理，弹簧恢复形变时，弹力做正功，弹性势能减小；
类比：重力做正功，重力势能减小；重力做负功，重力势能增加。
探究结论：弹力做功等于弹性势能的减少量.
即
3.探究怎样计算拉力所做的功？
类比重力
重力做的功都可以简单地用重力与物体在竖直方向移动的距离的乘积来表示。
弹簧弹力时刻等于拉力
思考：
（1）拉伸过程中弹簧弹力是恒力还是变力？
（2）怎样求变力做功？
微元法
W拉=Ep
在各个小段上，弹力可近似认为是不变的
把弹簧从A到B的过程分成很多小段
Δl1 ,Δl2 ,Δl3…
F1、F2、F3 …
W拉＝F1Δl1＋F2Δl2＋F3Δl3＋…
积分
思想
微分思想
化变力为恒力
怎样计算这个求和式？
v0
v
O
t
t
v4
t1
t2
t3
t4
v3
v2
v1
v0
v
O
t
t
v0
v
O
t
t
v0
v
O
t
t
v0
v
O
t
t
类比：匀变速直线运动的位移与速度的关系
F拉
Δl
F拉
O
l
l
Δl1
Δl2
Δl3
Δl5
Δl4
F2
F3
F4
F5
F1
F拉 = k Δl
拉力所做的功等于图线与横轴所围图形的面积
W拉＝ k l 2
1
2
4.检验探究结果
弹性势能的表达式
k:弹簧的劲度系数
l:弹簧的伸长量或压缩量
与开始探究时提出的猜想相符吗
互动探究：试说明撑杆跳高中能量转化情况。
【对点训练】（多选）一物体以初速度v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁与物体间的弹簧被物体压缩，在此过程中，下列说法正确的是（　　）
A.物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量成正比
B.物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等
C.弹力做正功，弹簧的弹性势能减小　
D.弹力做负功，弹簧的弹性势能增加
BD
1.弹性势能:
2.弹簧的弹性势能的表达式
发生弹性形变的物体各部分之间由于弹力的相互作用而具有的势能，叫做弹性势能。
3.科学探究方法:
猜想与假设、设计方案、逻辑推理、对假说进行修正与推广
4.物理思维方法：
类比、迁移、微元法、图像法
1.(多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是( )
A.任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能
B.任何具有弹性势能的物体，都一定发生了弹性形变 C.物体只要发生形变就一定有弹性势能 D.弹簧的弹性势能只跟弹簧的形变量有关
AB
2.（多选）以下关于弹性势能的说法正确的是（ ）
A.形变的物体都具有弹性势能
B.形变越大的物体具有的弹性势能越大
C.形变的物体可能没有弹性势能
D.具有弹性势能的物体可能同时具有重力势能
CD
3.如图所示，在光滑的水平面上有一物体，它的左端
连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下
物体处于静止状态。当撤去F后，物体将向右运动，
在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( ） A.弹簧的弹性势能逐渐减小
B.弹簧的弹性势能逐渐增大
C.弹簧的弹性势能先增大再减小
D.弹簧的弹性势能先减小再增大
B
F
D
解题关键：利用弹性势能与形变量的关系。
4.（多选）将同一弹簧拉长或压缩相同长度，弹力大小
变化相同，关于弹力做功和弹性势能变化的正确说法
是（　　）
A.拉长时弹力做正功，弹性势能增加；压缩时弹力做
负功，弹性势能减小
B.拉长和压缩时弹性势能均增加
C.拉长或压缩相同长度时，弹性势能改变相同
D.形变量相同时，弹性势能相同
BCD　
不如意的时候不要尽往悲伤里钻，想想有笑声的日子吧！(共46张PPT)
5
探究弹性势能的表达式
一、弹性势能
1.定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有_____的相互作用而具有的势能。
2.弹簧的弹性势能：弹簧的长度为_____时，弹性势能为0。弹簧被_____或被_____时，就具有了弹性势能。
弹力
原长
拉长
压缩
【想一想】运动员将箭射出瞬间，弓要恢复原状，此过程中弓的弹性势能怎么变化？
提示：弓的形变量逐渐减小，弹性势能减小。
二、探究弹性势能的表达式
1.猜想：
(1)弹性势能与弹簧被拉伸的长度有关，同一个弹簧，拉伸的长度_____，弹簧的弹性势能也越大。
(2)弹性势能与弹簧的劲度系数有关，在拉伸长度l相同时，劲度系数k_____，弹性势能越大。
越大
越大
2.探究思想：弹力做功与弹性势能变化的关系同_____做功与重力势能的变化关系相似：
减少
增加
-ΔEp
重力
3.两种方法计算弹簧弹力的功：
(1)微元法：把整个过程划分为很多小段，整个过程做的总功等于各段做功的代数和：W总=F1Δl1+F2Δl2+…+______。
(2)图像法：作出弹力F与弹簧伸长量l关系的F-l图像，则弹力做的功等于F-l图像与l轴___________。
FnΔln
所围的面积
【判一判】
(1)不同弹簧发生相同的形变量时弹力做功相同。( )
(2)同一弹簧伸长量不同时，弹性势能不同。( )
(3)弹簧弹力做正功时，弹簧弹性势能增加。( )
提示：(1)×。弹力做功多少除与它的形变量有关外，还与它的劲度系数有关，对于不同弹簧，发生相同的形变量时弹力做功不同。
(2)√。同一弹簧，伸长量不同时弹力做功不同，弹性势能不同。
(3)×。弹簧弹力做正功时，弹簧弹性势能减少，做负功时，弹簧弹性势能增加。
一、弹性势能的理解
思考探究：
如图所示，小朋友用力将弹簧拉长至一定长度。
(1)小朋友不用力时，弹簧不伸长，此时弹簧有弹性势能吗？
(2)小朋友拉弹簧时对弹簧做什么功？弹簧的弹性势能怎么变化？
(3)小朋友将弹簧拉得越长，克服弹力做功越多吗？弹性势能越大吗？
提示：(1)弹簧不伸长，没发生弹性形变，故没有弹性势能。
(2)小朋友拉弹簧时对弹簧做正功，弹簧弹力做负功，弹簧的弹性势能增加。
(3)弹簧被拉得越长，弹力越大，克服弹力做功越多，弹簧弹性势能越大。
【归纳总结】
1.弹性势能的产生原因：
(1)物体发生了弹性形变。
(2)物体各部分间有弹力的作用。
2.弹簧弹性势能大小的影响因素：
(1)弹簧的劲度系数。
(2)弹簧的形变量。
3.弹性势能表达式：
(1)弹簧弹力做功与弹性势能变化的关系：弹簧弹力做的功等于弹性势能的减少量，或者说弹性势能的增加量等于弹簧弹力做功的负值，即W=-ΔEp。
(2)弹簧弹力做功。如图所示，对于弹簧弹力F与其伸长量x的关系F-x图像，其与横轴所围图形(图中阴影部分)的面积就表示克服弹力所做的功。
由此可求得劲度系数为k的弹簧从其自然长度伸长了x长度时，弹力做功W=- kx2。
(3)表达式：根据W=-ΔEp得W=Ep0-Ep=0-Ep，所以Ep= kx2。
【典例示范】(2015·杭州高一检测)关于弹簧的弹性势能，下列说法正确的是( )
A.当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大
B.当弹簧变短时，它的弹性势能一定减小
C.在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大
D.弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能
【解题探究】
(1)弹簧的弹性势能与弹簧的_________和_______有关。
(2)弹簧长度变长时，它的弹性势能是变大还是变小？
提示：弹簧处于伸长状态时，弹簧长度变长，它的弹性势能变大；弹簧处于压缩状态时，弹簧长度变长，它的弹性势能变小。
劲度系数
形变量
【正确解答】选C。若弹簧处于压缩状态，当弹簧变长时，弹簧的弹性势能减小，A错误。若处于压缩状态，弹簧变短时，弹簧的弹性势能增大，B错误。由Ep= kx2知，在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大，C正确。弹簧的弹性势能与弹簧的形变量有关，弹簧在拉伸时的弹性势能不一定大于压缩时的弹性势能，故D错误。
【过关训练】
1.(多选)关于弹力做功与弹性势能的说法正确的是( )
A.弹力所做的功等于弹簧所具有的弹性势能
B.克服弹力所做的功等于弹簧所具有的弹性势能
C.弹力所做的功等于弹簧弹性势能的减少
D.克服弹力所做的功等于弹簧弹性势能的增加
【解析】选C、D。弹力做功的过程是弹簧弹性势能变化的过程，弹力做多少功，表明弹性势能变化了多少，与物体含有多少弹性势能无关，A、B错。弹力做正功，弹簧的弹性势能减少，做负功则弹簧的弹性势能增加，C、D对。
2.(多选)如图所示，一个物体以速度v0冲向与竖直
墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体
压缩，在此过程中以下说法正确的是( )
A.物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量成正比
B.物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等
C.弹力做正功，弹簧的弹性势能减小
D.弹力做负功，弹簧的弹性势能增加
【解析】选B、D。由功的计算公式W=Flcosθ知，恒力做功时，做功的多少与物体的位移成正比，而弹簧对物体的弹力F=kl是一个变力，所以A不正确。弹簧开始被压缩时弹力小，弹力做的功也少，弹簧的压缩量变大时弹力大，物体移动相同的距离做的功多，故B正确。物体压缩弹簧的过程中，弹簧的弹力与弹力作用点的位移方向相反，所以弹力做负功，弹簧的压缩量增大，弹性势能增大，故C错误，D正确。
【补偿训练】1.如图所示，将弹簧拉力器用力拉开的过程中，弹簧的弹力和弹性势能的变化情况是( )
A.弹力变大，弹性势能变小
B.弹力变小，弹性势能变大
C.弹力和弹性势能都变小
D.弹力和弹性势能都变大
【解析】选D。将弹簧拉力器用力拉开的过程中，弹簧的伸长量变大，弹簧的弹力变大，弹性势能变大。故A、B、C错误，D正确。
2.如图所示，在光滑水平面上有A、B两物体，中间连一弹簧，已知mA=2mB，今用水平恒力F向右拉B，当A、B一起向右加速运动时，弹簧的弹性势能为Ep1，如果用水平恒力F向左拉A，当A、B一起向左加速运动时，弹簧的弹性势能为Ep2，试比较Ep1与Ep2的大小关系。
【解析】当F向右拉B时，有F=(mA+mB)a，弹簧拉A的力FA=mAa=
同理，当F向左拉A时，弹簧拉B的力FB=mBa= 因为mA=2mB，所以FA=2FB，由F=kl可知，当F向右拉B时弹簧的伸长量大，所以Ep1>Ep2。
答案：Ep1>Ep2
【误区警示】理解弹力做功与弹性势能变化关系应注意的问题
(1)弹力做功和重力做功一样也和路径无关，弹力对其他物体做了多少功，弹性势能就减少多少。克服弹力做多少功，弹性势能就增加多少。
(2)弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做负功，弹性势能增大，反之则减小。弹性势能的变化量总等于弹力做功的负值。
(3)弹性势能的增加量与减少量由弹力做功多少来量度。
二、弹性势能与重力势能的比较
思考探究：
如图所示，将固定于竖直弹簧下端的小球由平衡位置O(小球原来静止位置)向下拉至位置M由静止释放，则从释放点M到最高点N(此时小球加速度小于g)过程中：
(1)重力做什么功？重力势能怎么变化？
(2)弹力做什么功？弹性势能怎么变化？
(3)若距离MO=ON，则小球位于M和N位置时，弹簧的弹性势能相同吗？
提示：(1)小球上升，重力做负功，重力势能变大。
(2)由题意知，上述整个过程，弹簧对小球都产生竖直向上的弹力作用，且该弹力做正功。弹簧的形变量逐渐减小，弹性势能逐渐减小。
(3)由于M到N过程中，弹簧弹力一直做正功，故弹性势能一直减小，故EpM>EpN。
【归纳总结】
物理量
内容 弹性势能 重力势能
定义 发生弹性形变的物体各部分之间由于弹力的相互作用而具有的势能 物体由于被举高及地球的吸引作用而具有的势能
表达式 Ep= kx2 Ep=mgh
相对性 弹性势能与零势能位置的选取有关，通常选自然长度时势能为零，表达式最为简洁 重力势能的大小与零势能面的选取有关，但变化量与零势能面的选取无关
物理量
内容 弹性势能 重力势能
系统性 发生弹性形变的物体上所有质点共同具有的能量 地球附近的物体与地球所共有的能量
联　系 两种势能分别以弹力、重力的存在为前提，又由物体的初、末位置来决定。同属机械能的范畴，在一定条件下可相互转化
【典例示范】(多选)关于弹性势能和重力势能，下列说法正确的是
( )
A.重力势能属于物体和地球这个系统，弹性势能属于发生弹性形变的物体
B.重力势能是相对的，弹性势能是绝对的
C.重力势能和弹性势能都是相对的
D.重力势能和弹性势能都是状态量
【解题探究】
(1)重力势能是由于物体具有___力而具有的能；弹性势能是由于物体间具有___力而具有的能。
(2)重力势能和弹性势能的共同点：两种能量都具有_____性，不是绝对的；两种能量的变化都是_____的，与零势能点的选取_____。
【正确解答】选A、C、D。重力势能具有系统性，弹性势能只属于发生弹性形变的物体，故A正确；重力势能和弹性势能都是相对的，且都是状态量，故B错，C、D正确。
重
弹
相对
绝对
无关
【过关训练】
1.(2015·无锡高一检测)如图所示，小明玩蹦蹦杆，在小明将蹦蹦杆中的弹簧向下压缩的过程中，小明的重力势能、弹簧的弹性势能的变化是( )
A.重力势能减少，弹性势能增大
B.重力势能增大，弹性势能减少
C.重力势能减少，弹性势能减少
D.重力势能不变，弹性势能增大
【解析】选A。弹簧向下压缩的过程中，弹簧压缩量增大，弹性势能增大；重力做正功，重力势能减少，故A正确。
2.(多选)(2015·桂林高一检测)如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方A位置有一个小球。小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。小球下降阶段，下列说法中正确的是
(　　)
A.在B位置小球速度最大
B.在C位置小球速度最大
C.从A→C位置小球重力势能的减少量小于重力做的功
D.从A→D位置小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
【解析】选B、D。由受力情况可知，小球从A到C做加速运动，从C到D做减速运动，C点时速度最大，A错，B对。从A→C，小球减小的重力势能等于重力做的功，C错。从A→D，小球减少的重力势能全部转化为弹性势能，所以D对。
【补偿训练】1.如图所示，质量为m的物体静止
在地面上，物体上面连着一个轻弹簧，用手拉
住弹簧上端上移H，将物体缓缓提高h，拉力F做
功WF，不计弹簧的质量，则下列说法正确的是( )
A.重力做功-mgh，重力势能减少mgh
B.弹力做功-WF，弹性势能增加WF
C.重力势能增加mgh，弹性势能增加FH
D.重力势能增加mgh，弹性势能增加WF-mgh
【解析】选D。可将整个过程分为两个阶段：一是弹簧伸长到m刚要离开地面阶段，拉力克服弹力做功WF1=-W弹，等于弹性势能的增加；二是弹簧长度不变，物体上升h，拉力克服重力做功WF2=-WG=mgh，等于重力势能的增加，又由WF=WF1+WF2可知A、B、C错，D对。
2.在蹦床比赛中，如果运动员受到蹦床对她的弹力的变化规律如图乙所示，试分析运动员在t4～t5段时间内弹性势能、重力势能怎样变化？t5～t6段时间内又如何变化？
【解析】t4～t5段时间内在空中，不受弹力作用，弹性势能为零，重力势能先变大再变小。t5～t6段时间内与蹦床接触，是先下落又上升的过程。弹性势能先变大再变小，重力势能先变小再变大。
答案：t4～t5段时间内弹性势能为零，重力势能先变大再变小；t5～t6段时间内弹性势能先变大再变小，重力势能先变小再变大。
【拓展例题】考查内容：现实生活中的弹力与弹性势能
【典例示范】(多选)某缓冲装置可抽象成如图所示
的简单模型。图中k1、k2为原长相等、劲度系数不
同的轻质弹簧。下列表述正确的是( )
A.缓冲效果与弹簧的劲度系数无关
B.垫片向右移动时，两弹簧产生的弹力大小相等
C.垫片向右移动时，两弹簧的长度保持相等
D.垫片向右移动时，两弹簧的弹性势能发生改变
【正确解答】选B、D。弹簧劲度系数k越大向右压缩单位长度弹力越大，物体减速越快，缓冲效果越好，A错。由牛顿第三定律可知两弹簧弹力总是大小相等，B对。由于k1x1=k2x2，k1≠k2，所以x1≠x2，又因原长相等，故压缩后两弹簧的长度不相等，C错。垫片向右移动时，弹簧形变量越来越大，弹性势能越来越大，D对。
平均值法求弹簧弹力的功
【案例体验】弹簧原长为l0，劲度系数为k。用力把它拉到伸长量为l处，拉力所做的功为W1；继续拉弹簧，使弹簧在弹性限度内再伸长l，拉力在继续拉伸的过程中所做的功为W2。试求W1与W2的比值。
【解析】拉力F与弹簧的弹力大小相等，与伸长量成正比。故把它拉
到伸长量为l过程中拉力的平均值F1= kl，拉力做功W1=F1l= kl2。第
二个过程中拉力的平均值F2= (kl+k·2l)= kl，所做的功W2=F2l=
kl2。故W1∶W2=1∶3。
答案：1∶3
【方法技巧】如何利用平均值法求弹簧弹力的功
(1)由胡克定律F=kl可知，弹簧的弹力F跟形变量l成正比(线性关系)，所以弹力做的功可以用平均力去求。
(2)方法：先求得弹簧的形变量由l1变为l2时，弹力大小的平均值
= (l1+l2)；由于位移为l2-l1，故由W=Fx得弹力做功W=- x=
- k(l22-l12)。
【补偿训练】
如图所示，轻质弹簧直立在水平地面上，将质量为m的物块轻轻地放在弹簧上，达到稳定状态时弹簧被压缩了l，则此时弹簧具有的弹性势能为多大？
【解析】当物块处于稳定状态时，物块所受的重力与弹簧的弹力大小相等，即mg=kl。从物块与弹簧接触到压缩l过程弹簧弹力随位移的变化的平均值 = kl= mg，故该过程弹力做功W=- l=- mgl。所以此时弹簧具有的弹性势能Ep=-W= mgl。
答案： mgl

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