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专题21 同角三角函数的基本关系及诱导公式（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 3
【考点1】同角三角函数基本关系式的应用 3
【考点2】诱导公式的应用 5
【考点3】同角关系式和诱导公式的综合应用 6
【分层检测】 7
【基础篇】 7
【能力篇】 8
【培优篇】 9
考试要求：
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.
2.能利用单位圆中的对称性推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2.三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α
余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α
正切 tan α tan__α －tan__α －tan__α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2021·全国·高考真题）（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2023·全国·高考真题）若，则 ．
5．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ．
6．（2022·浙江·高考真题）若，则 ， ．
【考点1】同角三角函数基本关系式的应用
一、单选题
1．（2024·四川眉山·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知角的终边过点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·河北保定·二模）一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角的函数.下面给出这些函数的定义：
①把点P的纵坐标y叫作的正弦函数，记作，即；
②把点P的横坐标x叫作的余弦函数，记作，即；
③把点P的纵坐标y的倒数叫作的余割，记作，即；
④把点P的横坐标x的倒数叫作的正割，记作，即.
下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．函数的定义域为
D．
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）设，则函数的最大值为 ．
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，则 .
反思提升：
1.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.
(2)形如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等类型可进行弦化切.
2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
【考点2】诱导公式的应用
一、单选题
1．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江绍兴·二模）若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·山东枣庄·一模）已知函数，则（ ）
A．的最大值为2
B．在上单调递增
C．在上有2个零点
D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称
4．（2024·安徽芜湖·二模）在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．是周期函数
三、填空题
5．（2024·贵州毕节·一模）已知，则 .
6．（2024·河北邯郸·二模）正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正边边形，设，则 ， ．

反思提升：
(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
【考点3】同角关系式和诱导公式的综合应用
一、单选题
1．（2021·四川达州·一模）中，，，，则边上的高为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西·模拟预测）设，，则“”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·浙江温州·二模）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，为其终边上一点，若角的终边与角的终边关于直线对称，则（ ）
A． B．
C． D．角的终边在第一象限
三、填空题
5．（2024·江苏·一模）已知，且，，则 ．
6．（2024·黑龙江·二模）已知函数满足：，则 ．
反思提升：
1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有－α与＋α，＋α与－α，＋α与－α等，常见的互补关系有－θ与＋θ，＋θ与－θ，＋θ与－θ等.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）若，且，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京·模拟预测） 若角的终边在第三象限，则下列三角函数值中小于零的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·西藏日喀则·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川成都·三模）已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·浙江·模拟预测）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）计算下列各式的值，其结果为2的有（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·山东·模拟预测）若，且，则（ ）
A．
B．
C．在上单调递减
D．当取得最大值时，
三、填空题
8．（2024·全国·二模）已知，则 .
9．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则 ．
10．（2024·河北承德·二模）已知，则 .
四、解答题
11．（21-22高二下·吉林·阶段练习）已知，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
12．（22-23高一上·安徽黄山·阶段练习）（1）已知角终边上一点，求的值；
（2）化简求值：
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·辽宁沈阳·二模）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·河南周口·模拟预测）设，，则下列计算正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则
三、填空题
3．（2024·广东江门·一模）函数的定义域为，对任意的，，恒有成立.请写出满足上述条件的函数的一个解析式 .
四、解答题
4．（2023·河南·模拟预测）已知函数.
(1)若，求的值；
(2)设，求函数的最小值.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·辽宁丹东·一模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·山东聊城·二模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若动直线与的图象的交点分别为，则的长可为
B．若动直线与的图象的交点分别为，则的长恒为
C．若动直线与的图象能围成封闭图形，则该图形面积的最大值为
D．若，则
三、填空题
3．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知为数列的前项和，若，设函数，则
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专题21 同角三角函数的基本关系及诱导公式（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 5
【考点1】同角三角函数基本关系式的应用 5
【考点2】诱导公式的应用 9
【考点3】同角关系式和诱导公式的综合应用 13
【分层检测】 16
【基础篇】 16
【能力篇】 23
【培优篇】 26
考试要求：
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.
2.能利用单位圆中的对称性推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2.三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α
余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α
正切 tan α tan__α －tan__α －tan__α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2021·全国·高考真题）（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2023·全国·高考真题）若，则 ．
5．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ．
6．（2022·浙江·高考真题）若，则 ， ．
参考答案：
1．B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
2．A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
3．D
【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【详解】由题意，
.
故选：D.
4．
【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果.
【详解】因为，则，
又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
5．2
【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
6．
【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．
【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则.
故答案为：；.
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵，∴，即，
又，将代入得，解得，
则.
故答案为：；.
【考点1】同角三角函数基本关系式的应用
一、单选题
1．（2024·四川眉山·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知角的终边过点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·河北保定·二模）一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角的函数.下面给出这些函数的定义：
①把点P的纵坐标y叫作的正弦函数，记作，即；
②把点P的横坐标x叫作的余弦函数，记作，即；
③把点P的纵坐标y的倒数叫作的余割，记作，即；
④把点P的横坐标x的倒数叫作的正割，记作，即.
下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．函数的定义域为
D．
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）设，则函数的最大值为 ．
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，则 .
参考答案：
1．A
【分析】先根据平方关系求出，再根据结合两角差的正弦公式即可得解.
【详解】因为，所以，有，
所以
.
故选；A.
2．D
【分析】由两角差的余弦公式结合二倍角的余弦公式化简可得出的值，再利用可求得的值.
【详解】因为，则，，所以，，
由可得，
所以，，
所以，，故.
故选：D.
3．BD
【分析】先根据三角函数的定义求出的三角函数值，再结合二倍角的余弦公式和两角和的正切公式逐一计算即可.
【详解】因为角的终边过点，所以，
所以，，，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选：BD．
4．ABD
【分析】根据正余弦函数及余割正割的定义逐一判断即可.
【详解】，A正确；
，B正确；
函数的定义域为，C错误；
，
当时，等号成立，D正确.
故选：ABD.
5．
【分析】平方后，设，得到，，根据函数单调性得到最值，得到答案.
【详解】设，，两边平方得．
设，两边平方得，
则，
由于，，则，，
又由于在区间上单调递增，
所以当时,的最大值为，
则在区间上的最大值为．
故答案为：
6．/0.875
【分析】根据弦切互化可得，平方得，即可根据完全平方求解.
【详解】由得，平方可得，
故，
，
故答案为：
反思提升：
1.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.
(2)形如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等类型可进行弦化切.
2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
【考点2】诱导公式的应用
一、单选题
1．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江绍兴·二模）若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·山东枣庄·一模）已知函数，则（ ）
A．的最大值为2
B．在上单调递增
C．在上有2个零点
D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称
4．（2024·安徽芜湖·二模）在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．是周期函数
三、填空题
5．（2024·贵州毕节·一模）已知，则 .
6．（2024·河北邯郸·二模）正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正边边形，设，则 ， ．

参考答案：
1．D
【分析】设，则，根据诱导公式及二倍角公式可得，根据诱导公式和弦切互化得，代入并利用同角三角函数关系求解即可.
【详解】设，则，，
所以，，
所以.
故选：D
2．D
【分析】由降幂公式求出，再结合诱导公式求解即可．
【详解】由已知得，，即，
则，
故选：D．
3．AC
【分析】根据诱导公式化简，则可判断A选项；整体代入法计算的范围可判断BC选项；由图象的平移可判断D选项.
【详解】函数
．
选项A：，，故最大值为2，A正确；
选项B：时，，不单调递增，故B错误；
选项C：时，，可知当以及时，即以及时，在上有2个零点，故C正确；
选项D：的图象向左平移个单位长度，得到，不关于原点对称，故D错误.
故选：AC．
4．ACD
【分析】根据题意分别求出，，则，，从而可对A判断求解，利用换元法令可对B判断求解，由求出，并结合从而可对C判断求解，由可对D判断求解.
【详解】由题意得在角的终边上，且，所以，，
则，，
对A：，故A正确；
对B：，令，
所以，故B错误；
对C：，解得，
又由，故C正确；
对D：，因为为周期函数，故D正确.
故选：ACD.
5．/
【分析】利用诱导公式和余弦和两角和公式可得.
【详解】因为
，
所以.
故答案为：
6． 0 /0.0625
【分析】由正五角星的性质，求得，进而根据诱导公式及二倍角公式计算即可.
【详解】正五角星可分割成5个3角形和1个正五边形,五个3角形各自角度之和
正五边形的内角和；每个角为，
三角形是等腰三角形，底角是五边形的外角，即底角为，
三角形内角和为，那么三角形顶角，即五角星尖角，
即.
;
因为,
所以.
故答案为：；.
反思提升：
(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
【考点3】同角关系式和诱导公式的综合应用
一、单选题
1．（2021·四川达州·一模）中，，，，则边上的高为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西·模拟预测）设，，则“”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·浙江温州·二模）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，为其终边上一点，若角的终边与角的终边关于直线对称，则（ ）
A． B．
C． D．角的终边在第一象限
三、填空题
5．（2024·江苏·一模）已知，且，，则 ．
6．（2024·黑龙江·二模）已知函数满足：，则 ．
参考答案：
1．C
【分析】先根据余弦定理求出，然后利用等面积法即可求出边上的高.
【详解】在中，设，，，则，，
，且，，
，，，
,,
设边上的高为，在中利用等面积法，则,
,.
故选:C
2．B
【分析】由可得或，再由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】由可知，或，，
所以“”是“，”的必要不充分条件．
故选：B．
3．AD
【分析】根据条件求出，由两角和余弦公式判断A，由两角差的余弦公式及同角三角函数基本关系判断B，再根据角的变换及两角和的余弦公式求出判断C，由及余弦函数的单调性判断D.
【详解】因为
，，
所以，
所以，故A正确；
所以，
又因为，所以，
所以，故B错误；
因为，所以，
所以，
，故C错误；
因为，所以，而，
所以，即，由在单调递减知，，故D正确.
故选：AD
4．ACD
【分析】
根据三角函数的定义，可求角的三角函数，结合诱导公式判断A的真假；利用二倍角公式，求出的三角函数值，结合三角函数的概念指出角的终边与单位圆的交点，由对称性确定角终边与单位圆交点，从而判断BCD的真假.
【详解】因为角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，
所以：，所以，，所以，故A对；
又，
，
所以的终边与单位圆的交点坐标为：，
因为角的终边与角的终边关于直线对称，所以角的终边与单位圆的交点为，
所以，且的终边在第一象限，故CD正确；
又因为终边在直线的角为：，角的终边与角的终边关于对称，
所以，故B错误.
故选：ACD
5．/
【分析】变形后得到，利用辅助角公式得到，得到，两边平方后得到，利用同角三角函数关系求出.
【详解】由题可知，所以，
所以，
因为，所以，
又，所以，故，
所以，
两边平方后得，故，
．
故答案为：
6．
【分析】借助三角恒等变换公式可得，即可得解.
【详解】，
则，
则
.
故答案为：.
反思提升：
1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有－α与＋α，＋α与－α，＋α与－α等，常见的互补关系有－θ与＋θ，＋θ与－θ，＋θ与－θ等.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）若，且，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京·模拟预测） 若角的终边在第三象限，则下列三角函数值中小于零的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·西藏日喀则·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川成都·三模）已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·浙江·模拟预测）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）计算下列各式的值，其结果为2的有（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·山东·模拟预测）若，且，则（ ）
A．
B．
C．在上单调递减
D．当取得最大值时，
三、填空题
8．（2024·全国·二模）已知，则 .
9．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则 ．
10．（2024·河北承德·二模）已知，则 .
四、解答题
11．（21-22高二下·吉林·阶段练习）已知，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
12．（22-23高一上·安徽黄山·阶段练习）（1）已知角终边上一点，求的值；
（2）化简求值：
参考答案：
1．C
【分析】利用切化弦可得，再由两角和差公式先求，最后由同角基本关系式求解.
【详解】因为，则，则，
所以，
而，则，
所以.
故选：C
2．D
【分析】根据三角函数定义和诱导公式化简三角函数式，从而判断选项的正负.
【详解】因为角的终边在第三象限，所以
对于A，
对于B，
对于C，；
对于D，
故选：D
3．D
【分析】应用倍角公式化简得，两边平方即可得结果.
【详解】由，则，
所以，故.
故选：D
4．B
【分析】先利用导数证得在上单调递增，再利用条件得到，结合单调性即知，最后代入求值即可.
【详解】因为，所以.
所以在上单调递增.
因为，
所以
，
结合在上单调递增，知，即.
所以.
故选：B.
5．AD
【分析】根据函数图象平移结论逐项检验可得结论.
【详解】把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，
可得函数的图象，A正确；
把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，
可得函数的图象，B错误；
把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，
可得函数的图象，C错误；
把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，
可得函数的图象，D正确；
故选：AD.
6．ABC
【分析】利用和角公式可求值验证A项，运用辅助角公式和诱导公式可得B项，运用两角和的正切公式可以验证C项，利用倍角公式和诱导公式可以判定D项.
【详解】对于选项A，，故A项正确；
对于选项B，，故B项正确；
对于选项C，
，故C项正确；
对于选项D，
，故D项错误．
故选：ABC．
7．AC
【分析】根据同角关系即可求解，，即可判断AB,根据三角函数的性质即可求解CD.
【详解】由可得，所以，故，
对于A, ，故A正确，
对于B，，故B错误，
对于C，，则，由于，，
所以在上单调递减，故C正确，
对于D，，当时取最大值，
故，故D错误，
故选：AC
8．/0.28
【分析】切化弦，然后整理可得，再利用倍角公式计算即可.
【详解】，
得，
解得或（舍）
所以.
故答案为：.
9．5
【分析】由分段函数的性质，先确定自变量的范围，层层代入化简即可.
【详解】．
故答案为：
10．/
【分析】利用三角恒等变换化简算式得，已知，由正切的倍角公式求出即可求得结果.
【详解】，，
所以，
而，
因此原式.
故答案为：.
11．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据角的范围确定，即可由一元二次方程求解，
（2）（3）根据弦切齐次式即可求解.
【详解】（1）由于，所以，
又得，
解得或（舍去），
故
（2）
（3）
12．（1）；（2）2
【分析】（1）根据三角函数的定义得到，利用诱导公式化简后，代入，求出答案；
（2）利用对数运算法则计算出结果.
【详解】（1）因为角终边上一点，
所以，
所以
（2）
.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·辽宁沈阳·二模）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·河南周口·模拟预测）设，，则下列计算正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则
三、填空题
3．（2024·广东江门·一模）函数的定义域为，对任意的，，恒有成立.请写出满足上述条件的函数的一个解析式 .
四、解答题
4．（2023·河南·模拟预测）已知函数.
(1)若，求的值；
(2)设，求函数的最小值.
参考答案：
1．C
【分析】根据结合可得与，进而可得.
【详解】则，
即，
又因为，故，，，
故，因为，则，
结合可得，，则.
故.
故选：C
2．AD
【分析】由两角和差的余弦公式判断A，利用二倍角公式及同角三角函数关系判断B，化弦为切，结合两角和差的正余弦公式求解判断C，利用二倍角公式及三角恒等变换化简求解判断D.
【详解】对于A，因为，，则，，故，
所以，正确；
对于B，因为，所以，
而，所以，又，所以，，
所以，错误；
对于C，由得，，所以，
即，因为，，所以，
则或，即或（不合题意，舍去），错误；
对于D，，
因为，所以，
即，即，
所以，即，
因为，所以，
所以，所以，正确.
故选：AD
3．（答案不唯一）
【分析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的函数解析式即可，不妨令，根据两角和的正弦公式及诱导公式证明即可.
【详解】依题意不妨令，
则，
又
，
所以，故符合题意.
同理可证明，，，也符合题意.
故答案为：（答案不唯一）
4．(1)
(2)
【分析】（1）先把函数化成的形式，在结合诱导公式和两角和与差的三角函数公式求值；
（2）先化简得表达式，用换元法把问题转化成二次函数在给定区间上的值域问题求解.
【详解】（1）因为.
.
.
（2）因为：，.
所以：.
设，则，且，
所以：，
当时，.
所以的最小值为.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·辽宁丹东·一模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·山东聊城·二模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若动直线与的图象的交点分别为，则的长可为
B．若动直线与的图象的交点分别为，则的长恒为
C．若动直线与的图象能围成封闭图形，则该图形面积的最大值为
D．若，则
三、填空题
3．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知为数列的前项和，若，设函数，则
参考答案：
1．A
【分析】首先结合二倍角公式、半角公式以及角的范围将已知等式变形为，解得，两边平方即可求解.
【详解】因为，所以，所以，
所以
，
所以，
即，
所以，
即，
所以.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：关键是得出，由此即可顺利得解.
2．BCD
【分析】先判断函数的单调性及值域，由条件确定的范围，设点的坐标分别为，列方程化简可得，由此判断AB，判断直线与的图象能围成封闭图形的形状，结合面积公式判断C,由条件，结合两角差余弦公式可求，根据二倍角公式可求，由此判断D.
【详解】由，可得，
所以在区间上单调递减，
且，，
所以，
由，可得，
所以函数在区间上单调递减，
且，，
所以，
由已知，
所以直线与函数都只有一个交点，
设点的坐标分别为，
则，
，，
因为函数在上单调递减，
所以，
所以，
所以，A错误，B正确，
设直线与函数的交点为，
则，又，
所以四边形为平行四边形，其面积，C正确；
对于D，因为，
所以，，
所以，，即，
又，
所以，
所以，又，
所以
所以，D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题AB选项的关键是利用正弦型函数的性质得到点横坐标之间的关系，即.
3．1011
【分析】根据，作差即可求出的通项公式，再由的解析式及诱导公式得到，再利用凑项法求和即可.
【详解】由于，①，
当时，，所以，
当时，，②，
①②得：，
所以，显然时，也成立，
当时，，
当时，也满足上式，所以；
因为，
所以，
所以；
又，
所以
．
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是通过对所求式子的观察，分析出要研究的和，由此得解.
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