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【北师大版八上同步练习】
第二章实数（培优）检测题
一、单选题
1．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．化简得（　　）
A．1 B． C． D．
3．如图是直径为的圆柱形排水管的截面示意图．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为，则积水的最大深度CD为（　　）
A． B． C． D．
4． 如图，在中，．则边的长不可能是（　　）
A．3 B．5 C．8 D．10
5．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为18和32，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B． C．7 D．14
二、判断题
6．有理数与无理数的积一定是无理数．
三、填空题
7．如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为　 　°．
8．等腰梯形的上底是10cm，下底是16cm，高是4cm，则等腰梯形的周长为　 　cm．
9．对 ， 定义一种新运算 ，规定： （其中 ， 均为非零常数）.例如： ， .当 ， ，则 　 　；当 时， 对任意有理数 ， 都成立，则 ， 满足的关系式是　 　.
四、计算题
10．计算：
11．计算下列各题：
（1）；
（2）．
12．已知：x＝ ，y＝ ，求 的值．
五、解答题
13．已知，，求代数式的值．
14．
（1）一个正数的两个不同的平方根是与，的立方根是，求的平方根．
（2）已知、满足，求的立方根．
15． 观察图1所示的图形，每个小正方形的边长为1．
（1）图中阴影部分的面积是 ▲ ，边长是 ▲ ，在数轴上(图2)准确地画出表示阴影正方形边长的点．
（2）已知x为阴影正方形边长的小数部分，y为的整数部分，
求：①x，y的值．
②(x+y)2的算术平方根．
六、综合题
16．求下列x的值．
（1）（x﹣1）2=4
（2）3x3=﹣81．
17．数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题：
（1）由图1和图2可以得到的等式为　 　（用含a，b的等式表示）；
（2）莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需A，B，C三种纸片各多少张；
（3）如图3，S1，S2分别表示边长为p，q的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，，．求图中阴影部分的面积．
18．若有（a，b为整数），我们称“P”为“平和数”，如，则称25为“平和数”，
（1）分别判断13和15是否为“平和数”；
（2）若，请写出所有P的值．
（3）两个“平和数”的积是否为“平和数”，如果是请说明理由；如果不是请举例说明．
七、实践探究题
19． 阅读：将一个量，用两种方法分别计算一次，由结果相同构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理．在学习第十七章勾股定理时，我们就是利用“算两次”原理，用不同的方式表示同一图形的面积，探究出了勾股定理．
（1）【问题探究】
小明尝试用“算两次”原理解决下面的问题：
如图1，在中，，求斜边边上的高的值．
小明用两种方法表示出的面积：
①；
②．
图1
由勾股定理，得斜边的长度为5，由此可以算出　 　．
（2）【学以致用】
如图2，在矩形中，，点是边上任意一点，过点作，垂足分别为．则可以运用“算两次”原理，用不同的方式表示的面积，求出的值为　 　．
图2
（3）【拓展延伸】
如图3，已知直线与直线相交于点，且这两条直线分别与轴交于点．在线段上有一点，且点到直线的距离为4，请利用以上所学的知识求出点的坐标．
图3
20．阅读材料，并完成下列任务：
材料一：裂项求和
小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，……
发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立.
应用规律：快速计算.
材料二：根式化简
例1 ；
例2
（1）任务一：化简.
化简：
（2）猜想：　 　（n为正整数）.
（3）任务二：应用
计算：；
（4）任务三：探究
已知
，
比较x和y的大小，并说明理由.
21．阅读下列素材，完成相应的任务.
平衡多项式
素材一： 定义：对于一组多项式：，，(，，都是非零常数），当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差是一个常数时，称这样的三个多项式是一组平衡多项式，的值是这组平衡多项式的平衡因子.
素材二： 例如：对于多项式，，，因为=，所以多项式，，是一组平衡多项式，其平衡因子为1.
任务一： 小明发现多项式，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子.
任务二： 判断多项式，，是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由.
任务三： 若多项式，，(为非零常数）是一组平衡多项式，求的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
2．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
4．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
5．【答案】A
【知识点】二次根式的应用
6．【答案】错误
【知识点】无理数的概念
7．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
8．【答案】36．
【知识点】勾股定理；等腰梯形的性质
9．【答案】；n=-3m
【知识点】解二元一次方程组；定义新运算
10．【答案】解：原式＝
＝
＝
【知识点】二次根式的混合运算
11．【答案】（1）－1；（2）
【知识点】二次根式的混合运算；加减消元法解二元一次方程组
12．【答案】解：x＝5＋2 ，y＝5－2 ，xy＝1，x＋y＝10，x－y＝4 ，原式＝ ＝
【知识点】二次根式的化简求值
13．【答案】解：
故代数式的值为．
【知识点】代数式求值；二次根式的化简求值
14．【答案】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根是与，的立方根是，
∴，，
解得，，
∴，
∴的平方根为
（2）解：∵，且，，
∴，，
解得，，
∴，
∴的立方根为．
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；平方根的性质；立方根的概念与表示；开立方（求立方根）
15．【答案】（1）13；
如图，点P即为表示的点．
（2）①∵3<<4，
∴的小数部分为-3，
即x=-3．
又∵3<<4，
的整数部分是3，
即y=3．
②当x=-3，y=3时，
(x+y)2=(-3+3)2=13．
所以(x+y)2的算术平方根为．
【知识点】算术平方根；无理数在数轴上表示；无理数的估值；实数的运算；几何图形的面积计算-割补法
16．【答案】（1）解：开平方得：x﹣1=±2，
解得：x1=3，x2=﹣1；
（2）解：系数化为1得，x3=﹣27，
开立方得：x=﹣3．
【知识点】平方根；立方根及开立方
17．【答案】（1）（a+b）2=a2+2ab+b2或a2+2ab+b2=（a+b）2
（2）解：（2a+b）（a+2b）
=2a2+4ab+ab+2b2
=2a2+5ab+2b2．
∴需A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张．
（3）解：由题意得，p2+q2=20，p+q=6．
∵（p+q）2=p2+q2+2pq=62，
∴2pq=62-20=16．
∴pq=8．
∴S阴＝pq×2＝pq＝8．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
18．【答案】（1）解：∵，而不能写成两个整数的平方和；
∴13是“平和数”，15不是“平和数”
（2）解：∵，
而，，，，
∴，17，18，20
（3）解：设一个“平和数”是，另一个“平和数”是
，所以是“平和数”
【知识点】完全平方公式及运用；定义新运算
19．【答案】（1）
（2）
（3）解：过作于，过作于，连接，如图：
在中，令得，
，
在中令得，
，
联立：，
解得：，
，
，，
，点到直线的距离为4，
，
解得，即的纵坐标为，
在中，令得，
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
20．【答案】（1）解：
（2）解：，，.
（3）解：
.
（4）解：
，
，
，
故．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；探索数与式的规律
21．【答案】解：任务一：该组平衡多项式的平衡因子为4．
任务二：
该组多项式是平衡多项式，其平衡因子为9．
任务三：①当为常数时，则，得；
②当为常数时，则，得；
③当为常数时，则，得（舍去）；（1分）综上所述，的值为6或-6．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
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