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探索规律
一、选择题
1．下列图形都是由一样的扣子按一定规律所摆成的，其中第1个图中有1颗扣子，第2个图中有3颗扣子，第3个图中有6颗扣子，第4个图中有10颗扣子，……，按此规律摆下去，第9个图中有（ ）颗扣子。www-2-1-cnjy-com
A．47 B．46 C．45 D．44
2．下列图形都是由一样大小的小棒按照一定规律所组成的，其中第1个图形中有1根小棒，第2个图形中有3根小棒，第3个图形中有7根小棒，第4个图形中有15根小棒，…按此规律排列下去，则第6个图形中有（ ）根小棒。【版权所有：21教育】
A．31 B．32 C．63 D．64
3．小华利用小圆片摆出了如下的图案，按照这样的规律摆下去，第7个图形中有（ ）个小圆片。
A．42 B．49 C．56 D．63
4．如下图，第1个图形有4根小棒，第2个图形有7根小棒，第3个图形有10根小棒……，照这样的规律摆下去，第10个图形有（ ）根小棒。
……
A．28 B．29 C．30 D．31
5．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，第1个图形有6枚棋子，第2个图形有9枚棋子，第3个图形有12枚棋子，第4个图形有15枚棋子，……，以此类推，第7个图形有（ ）枚棋子。
A．18 B．21 C．24 D．27
二、填空题
6．如图所示为一组按规律排列的图案，第1个图案有1个基本图形，第2个图案有4个基本图形，第3个图案有7个基本图形，则第5个图案有( )个基本图形，第18个图案有( )个基本图形。
7．按规律：1，0.2，3，0.8，5，3.2，7，( )，( )。
8．按规律填数。
1.2，2.4，3.6，( )，6，( )，8.4。
9．按规律填数。
(1)0.2，0.4，0.8，1.6，( )，( )。
(2)14.3，15.5，16.7，( )，( )。
10．根据规律填表。

三角形个数 1 2 3 4 … n
所需小棒数/根 3 5 7 …
11．操作活动。
活动一：剪一剪，拼一拼，然后猜一猜。
把这个钝角三角形的和剪下来，拼接到的位置，发现：正好组成一个（ ）角。猜一猜：如果用上面的方法，把直角和锐角三角形两个内角也剪下来跟第三个角拼接在一起，一定可以都组成（ ）角。
活动二：我来量一量。
三角形的形状 每个内角的度数 三个内角的和
直角三角形
钝角三角形
锐角三角形
我发现了一个规律：不管是什么三角形，它们的内角和都是（ ）。
12．用棋子摆图形，按照下图的规律摆下去，摆第6个图形需要( )枚棋子，摆第n个图形需要( )枚棋子。

13．根据算式的规律填空。
5.5×8.1＝44.55
5.55×80.1＝444.555
( )×800.1＝4444.5555
14．按规律填数：1.8，3，4.2，( )，6.6。
15．按规律填数：4，9，16，( )，36，49，( )。
16．观察下面图形的规律，其中第1个图形由4个小正方形组成，第2个图形由7个小正方形组成，第3个图形由10个小正方形组成，……，按此规律排列下去，则第20个图形由( )个小正方形组成。
17．按下图的规律，把一个三角形和一个等腰梯形依次拼起来，将第三个等腰梯形拼上去后，所拼出图形的周长为( )。
18．用同样大小的黑色棋子按如下图所示的规律摆放，第1个图形有6枚棋子，第2个图形有9枚棋子，第3个图形有12枚棋子，第4个图形有15枚棋子。……，以此类推，第7个图形有( )枚棋子。
三、解答题
19．小明有许多截面是六边形的铅笔，有一天他在做围铅笔游戏。如图，中间有1支铅笔，周围需要用6支铅笔把它围住。21教育网
第1圈 第2圈
（1）照这样的围法，你知道围第2圈需要多少支铅笔吗？围第3圈、第4圈呢？围一围，填写下表。
次序 围第1圈 围第2圈 围第3圈 围第4圈
需要的铅笔支数
（2）观察上表，你发现了什么规律？根据这个规律，你能推算出围第5圈、第8圈、第10圈分别需要多少支铅笔吗？
20．连接任意两个点可以画一条直线，连接不在一条直线上的三个点中的每两个点可以画三条直线。那么连接不在一条直线上四个点中的每两个点可以画多少条直线？五个点呢？九个点呢？画一画，数一数，找找规律。
21．用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆放，按照这样的规律摆下去。
（1）在第⑤个方框内继续画。
（2）想一想，第⑧个方框里有（ ）枚黑色棋子。
参考答案：
1．C
【分析】观察图形可知，第1个图：1＝1；第2个图：3＝1＋2；第3个图形：6＝1＋2＋3；第4个图形：10＝1＋2＋3＋4……，由此可知，第n个数为：1＋2＋3＋4＋5＋……＋（n－1）＋n＝（1＋n）×n÷2；据此求出第9个图形的扣子多少颗。21cnjy.com
【详解】根据分析可知，第9个图形有：
（9＋1）×9÷2
＝10×9÷2
＝90÷2
＝45（颗）
故答案为：C
【点睛】解答此类探究性问，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的以及第一个图形的相互联系，探寻其规律。
2．C
【分析】根据题目中的图形，可以发现图形的变化规律，每增加一层，小棒的数量都是在前一层的基础上乘2，第几层图形就是把前面的几层加在一起；
第一层是1，第一个图形有1根小棒；
第二层是1×2＝2，第二个图形有1＋2＝3根；
第三层是2×2＝4，第三个图形有1＋2＋4＝7根小棒；
第四层是2×4＝8，第四个图形有1＋2＋4＋8＝15根小棒；
第五层是2×8＝16，则第五个图形有：1＋2＋4＋8＋16＝31根小棒；
从而可以求出第6个图形中图形的小棒个数。
【详解】根据分析可知，第六层是16×2＝32，则第6个图形有：1＋2＋4＋8＋16＋32＝63（根）
故答案为：C
【点睛】本题考查图形的变化，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的图形的变化规律，再进行解答。
3．B
【分析】分析题目，第1个图形有1×1＝1（个）小圆片，第2个图形有2×2＝4（个）小圆片，第3个图形有3×3＝9（个）小圆片……则第n个图形有n×n＝n2（个）小圆片，据此解答。
【详解】7×7＝49（个）
第7个图形中有49个小圆片。
故答案为：B
【点睛】根据给出的图形总结出小圆片的个数和图形的个数之间的规律是解答本题的关键。
4．D
【分析】根据题意以及图形，发现第1个图形有4根小棒；第2个图形有7根小棒；第3个图形有10根小棒……发现规律：4＝3×1＋1，7＝3×2＋1，10＝3×3＋1；据此找到规律并解答。
【详解】第1个图形，4根小棒，4＝3×1＋1；
第2个图形，7根小棒，7＝3×2＋1；
第3个图形，10根小棒，10＝3×3＋1；
……
第n个图形的小棒有：（3n＋1）根；
第10个图形的小棒：
3×10＋1
＝30＋1
＝31（根）
所以第10个图形有31根小棒。
故答案为：D
【点睛】通过数形结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
5．C
【分析】仔细观察可以发现，每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个，根据这一规律得出第n个图形中的棋子数为3＋3n，据此计算即可得解。2-1-c-n-j-y
【详解】每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个，所以第n个图形中的棋子数为3＋3n；
第7个图中有棋子：3＋3×7＝24（枚）
即第7个图中有24枚黑棋子
故答案为：C
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，发现每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个是解本题的关键。
6． 13 52
【分析】结合题意可知，第二个图案比第一个图案多了3个基本图形，第三个图案比第二个图案多了3个基本图形，依照这个规律，第四个图案也应该比第三个图案多了3个基本图形，就是7＋3个，第五个图案比第四个图案多了3个基本图形，就是7＋3＋3个，据此可以发现，第n个图案的图形个数有1＋（n－1）×3个，据此将n＝18代入求解即可。
【详解】（1）当n＝5的时候，第5个图案基本图形有：1＋（5－1）×3＝1＋4×3＝1＋12＝13（个）【来源：21cnj*y.co*m】
（2）当n＝18的时候，第18个图案基本图形有：1＋（18－1）×3＝1＋17×3＝1＋51＝52（个）
7． 12.8 9
【分析】奇数位置上的数等于位置数，例如：第1个数是1，第3个数是3，第5个数是5……；偶数位置上的数，后面偶数位置上的数是它的前一个偶数位置上的数乘4，例如：第2个数是0.2，第4个数就是0.8，第6个数就是3.2……；据此即可解答。
【详解】3.2×4＝12.8
按规律：1，0.2，3，0.8，5，3.2，7，12.8，9。
8． 4.8 7.2
【分析】观察这组数字可知，两个相邻的小数，后面的小数比前面的小数多1.2；据此解答。
【详解】1.2＋1.2＝2.4
2.4＋1.2＝3.6
3.6＋1.2＝4.8
4.8＋1.2＝6
6＋1.2＝7.2
7.2＋1.2＝8.4
1.2，2.4，3.6，4.8，6，7.2，8.4。
9．(1) 3.2 6.4
(2) 17.9 19.1
【分析】（1）观察数列可知，前一个小数乘2，等于后一个小数。
（2）观察数列可知，前一个小数加1.2，等于后一个小数。
【详解】（1）1.6×2＝3.2，3.2×2＝6.4
0.2，0.4，0.8，1.6，3.2，6.4。
（2）16.7＋1.2＝17.9，17.9＋1.2＝19.1
14.3，15.5，16.7，17.9，19.1
10．9；（2n＋1）
【分析】根据题意可知：第一个三角形要3根小棒，每增加2根小棒就增加1个三角形，即增加1个三角形，需要增加2根小棒；摆n个三角形需要（2n十1）根小棒；由此求解。
【详解】摆4个三角形需要2×4＋1＝9（根）小棒；摆n个三角形需要（2n＋1）根小棒，解答如下：
三角形个数 1 2 3 4 … n
所需小棒数/根 3 5 7 9 … 2n＋1
【点睛】解决本题先由已知条件找到一般规律，再根据规律求解。
11．（1）平；平；（2）见详解
【分析】
（1）根据三角形内角和等于180°，所以任何一个三角形内角和都等于180°，平角＝180°，所以组成的角是平角；21世纪教育网版权所有
（2）用量角器量角的度数：首先把量角器放在所画角的上面，然后找到角的顶点，使量角器的中心位置和角的顶点重合，然后使角的一边和零刻度线重合（两个重合很重要）。然后找到角的另外一边，看角的另外一边落在量角器的哪个刻度上，此时这个角的度数就是多少；分别量出三角形每个内角的度数，填表即可。2·1·c·n·j·y
【详解】（1）＝180°
把这个钝角三角形的和剪下来，拼接到的位置，发现：正好组成一个平角。猜一猜：如果用上面的方法，把直角和锐角三角形两个内角也剪下来跟第三个角拼接在一起，一定可以都组成平角。21·世纪*教育网
（2）
三角形的形状 每个内角的度数 三个内角的和
直角三角形 90° 45° 45° 180°
钝角三角形 100° 40° 40° 180°
锐角三角形 80° 60° 40° 180°
12． 24 4n
【分析】观察图形可知，第一个图形有4枚棋子，第二个图形有8枚棋子，第三个图形有12枚棋子，则第n个图形棋子的枚数＝第n个图形×4，即第n个图形需要4n枚棋子；据此进行计算即可。21*cnjy*com
【详解】第6个图形需要棋子的枚数：4n＝4×6＝24
则按照下图的规律摆下去，摆第6个图形需要24枚棋子，摆第n个图形需要4n枚棋子。
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
13．5.555
【分析】观察第一、二个等式可以发现两个因数相乘，积的小数部分都是5，而整数部分都是4，积的小数位数由两个因数的小数位数来决定，积的整数位数由两个因数的整数位数来决定。据此解答即可。21*cnjy*com
【详解】5.5×8.1＝44.55
5.55×80.1＝444.555
5.555×800.1＝4444.5555
【点睛】此题考查了学生的观察能力，找出规律是解题的关键。
14．5.4
【分析】观察这组数字，3－1.8＝1.2，4.2－3＝1.2，则后一个数比前一个数大1.2，据此解答。21·cn·jy·com
【详解】4.2＋1.2＝5.4
则这组数字是：1.8，3，4.2，5.4，6.6。
【点睛】根据已知的数字得出前后数之间的变化关系和规律，然后利用这个变化规律解决问题。
15． 25 64
【分析】根据题意可知，4，可以写成22；9，可以写成32；16，可以写成42；由此可知，第n个数就是n2，据此解答。www.21-cn-jy.com
【详解】根据分析可知，4，9，16，25，36，49，64。
【点睛】本题考查找规律，解答本题的关键是正确找出规律并运用规律解答问题。
16．61
【分析】观察图形可知，第一幅图小正方形一共有3×1＋1＝4（个）；第二幅图小正方形一共有3×2＋1＝7（个）；第三幅图小正方形一共有3×3＋1＝10（个）；第四幅图小正方形一共有3×4＋1＝13（个）；……，根据上面推理得出的规律，即可得出可得第n幅图小正方形的个数一共有多少个，进位求出第20个图形需要的小正方的个数；据此解答。
【详解】第一幅图小正方形一共有3×1＋1＝4（个）；
第二幅图小正方形一共有3×2＋1＝7（个）；
第三幅图小正方形一共有3×3＋1＝10（个）；
第四幅图小正方形一共有3×4＋1＝13（个）；
……
第n幅图小正方形的个数一共有3×n＋1＝（3n＋1）个。
当n＝20时：
3×20＋1
＝60＋1
＝61（个）
【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。
17．14
【分析】从图中可知：的后面是三角形，接着才是等腰梯形；左右两边的边长不变，都是1；一个三角形和一个等腰梯形能够构成一个平行四边形，一个平行四边形的底是2；两个平行四边形拼成的图形的底是2×2＝4；三个平行四边形拼成的图形的底是2×3＝6；平行四边形的周长＝邻边和×2；据此解答。
【详解】（2×3＋1）×2
＝7×2
＝14
则将第三个等腰梯形拼上去后，所拼出图形的周长为14。
【点睛】本题主要先找到排列规律，再根据周长的计算方法进而求解。
18．24
【分析】分析题目，第1个图形有（1＋1）×3＝6（枚）棋子，第2个图形有（2＋1）×3＝9（枚）棋子，第3个图形有（3＋1）×3＝12（枚）棋子……则第n个图形有（n＋1）×3＝（3n＋3）枚棋子，据此计算当n＝7时有几枚棋子即可。
【详解】3×7＋3
＝21＋3
＝24（枚）
第7个图形有24枚棋子。
【点睛】能根据给出的图形找出图形的序号和棋子个数之间的关系是解答本题的关键。
19．（1）见详解
（2）我发现的规律是围第n圈需要6n支铅笔；30支；48支；60支
【分析】（1）围第1圈，仍构成一个正六边形，每边2支铅笔，重复数了6支，用了（2×6－6）支；围第2圈，仍构成一个正六边形，每边3支铅笔，重复数了6支，用了（3×6－6）支；围第3圈，仍构成一个正六边形，每边4支铅笔，重复数了6支，用了（4×6－6）支；围第4圈，仍构成一个正六边形，每边5支铅笔，重复数了6支，用了（5×6－6）支；据此计算出结果填表即可。
（2）观察（1）的表可以发现：围第1圈所需的铅笔支数＝1×6＝6（支），围第2圈所需的铅笔支数＝2×6＝12（支），围第3圈所需的铅笔支数＝3×6＝18（支），围第4圈所需的铅笔支数＝4×6＝24（支），所以围第几圈需要的铅笔支数＝围的圈数×6，代入数据即可求出围第5圈、第8圈、第10圈分别需要多少支铅笔。
【详解】（1）
第1圈：
2×6－6
＝12－6
＝6（支）
第2圈：
3×6－6
＝18－6
＝12（支）
第3圈：
4×6－6
＝24－6
＝18（支）
第4圈：
5×6－6
＝30－6
＝24（支）
围前4圈每圈需要的铅笔支数如下表所示：
次序 围第1圈 围第2圈 围第3圈 围第4圈
需要的铅笔支数 6 12 18 24
（2）围第n圈需要的铅笔支数＝n×6＝6n
规律：围第n圈需要6n支铅笔
围第5圈：5×6＝30（支）
围第8圈：8×6＝48（支）
围第10圈：10×6＝60（支）
答：我发现的规律是围第n圈需要6n支铅笔。围第5圈、第8圈、第10圈分别需要30支、48支、60支铅笔。
20．6条；10条；36条；n个点可以画n（n－1）条
【分析】如下图，连接任意两个点可以画1条直线，连接不在一条直线上的三个点中的每两个点可以画1＋2＝3（条）直线，连接不在一条直线上四个点中的每两个点可以画1＋2＋3＝6（条）直线，……，连接不在一条直线上n个点中的每两个点可以画1＋2＋3＋…＋（n－1）条直线，据此即可解答。【来源：21·世纪·教育·网】

【详解】1＋2＋3
＝3＋3
＝6（条）
1＋2＋3＋4
＝6＋4
＝10（条）
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8
＝10＋11＋15
＝36（条）
1＋2＋3＋…＋（n－1）
＝（1＋n－1）×（n－1）×
＝n×（n－1）×
＝n（n－1）（条）
答：连接不在一条直线上四个点中的每两个点可以画6条直线，五个点可以画10条直线，九个点可以画36条直线，n个点可以画n（n－1）条直线。【出处：21教育名师】
【点睛】本题主要考查学生的分析归纳能力，找出点数和直线条数之间的关系是解答题目的关键。
21．（1）见解析
（2）29
【分析】根据题目中的图形，可以写出前几个图形中黑色棋子的枚数，从而可以发现黑色棋子的枚数的变化规律，即每个图形比前一个图形多4枚黑色棋子，从而可以计算出第⑧个方框里有多少枚黑色棋子。21教育名师原创作品
【详解】（1）由图可知，
图①中有1枚黑色棋子，
图②中有1＋4＝5（枚）黑色棋子，
图③中有1＋4×2＝9（枚）黑色棋子，
图④中有1＋4×3＝13（枚）黑色棋子，
图⑤中有1＋4×4＝17（枚）黑色棋子，
……
则第n个方框里有1＋4×（n－1）＝4n－3（枚）黑色棋子。
（2） 4×8－3
＝32－3
＝29（枚）
第⑧个方框里有29枚黑色棋子。
【点睛】此题主要考查数与形结合的规律，解答本题的关键是明确题意，发现题目中黑色棋子的枚数的变化规律，利用数形结合的思想解答。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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