2023-2024学年湖北省黄冈市数学八年级下学期期末模拟考试必刷卷(原卷版+解析版)

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2023-2024学年湖北省黄冈市数学八年级下学期期末模拟考试必刷卷
考生须知:
1.本次考试安排:时间:120分钟 满分:120分 考察范围:人教版八下第16-20章
1.答题前,考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚,将“条形码”准确粘贴在条形码区域内。
2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题纸上答题无效。
3.选择题必须使用2B 铅笔填涂:非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
4.保持卡面整洁,不要折叠、不要弄脏、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀。
第Ⅰ卷 选择题
一.选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的,请将正确选项前的字母填在答题卡相应位置上)
1.(3分)下列各式中是最简二次根式的是(  )
A. B. C. D.
2.(3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线交AC于点D,若AD=6,则CD的长为(  )
A.1.5 B.3 C.4.5 D.6
3.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=45°,AB=8,点P为BC上任意一点,连结PA,以PA,PC为邻边作平行四边形PAQC,连结PQ,则PQ的最小值为(  )
A.4 B.2 C.8 D.4
4.(3分)小强的爷爷饭后出去散步,从家走25分钟到达离家1000米的报亭,看了10分钟报纸后,用了20分钟返回家,下列图中表示小强的爷爷离家的距离y(米)与离家的时间x(分钟)之间的函数关系的是(  )
A. B.
C. D.
5.(3分)如图,在 ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点,AF与DE交于点G,BF与CE交于点H,下列说法:
①四边形AECF是平行四边形;
②四边形EHFG是平行四边形;
③当AB⊥BC时,四边形EHFG是菱形;
④当AB=BC时,四边形EHFG是矩形.
其中正确的有(  )
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
6.(3分)在平面直角坐标系中,若点A(﹣a,b)在第四象限,则函数y=ax﹣b不经过的象限是(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7.(3分)如图所示的一段楼梯,高BC是3米,斜边AB长是5米,现打算在楼梯上铺地毯,至少需要地毯的长度为(  )
A.5米 B.6米 C.7米 D.8米
8.(3分)如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD,垂足为E,∠DAE:∠BAE=1:2,则∠CAE的度数(  )
A.30° B.45° C.60° D.75°
第Ⅱ卷 非选择题
二.填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分,把答案直接填在答题卡相应位置上)
9.(3分)已知x,y都是实数,且y4,则yx=   .
10.(3分)甲、乙两队参加“传承红色基因,推动绿色发展”为主题的合唱比赛,每队均由20名队员组成.其中两队队员的平均身高为160cm,身高的方差分别为s甲2=10.5,s乙2=1.2.如果单从队员的身高考虑,你认为演出形象效果较好的队是    .(填“甲队”或“乙队”)
11.(3分)已知a是的整数部分,b是的小数部分,则2a+b=   .
12.(3分)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)在直线y=﹣2x+4上,当x1<x2<x3时,下列结论:
①若x1+x2<0,则y2y3>0;
②若x2+x3<0,则y1y2>0;
③若y1y3>0,则x2x3>0;
④若y1y2<0,则x2x3>0,
其中正确结论的序号为    .
13.(3分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB=5,AC=6,AC的平行线DE交BC的延长线于点E,则四边形ACED的面积为    .
14.(3分)某恒温棚升温过程中,温度与时间成一次函数关系.已知升温时间为2min时,棚内温度为15℃,升温时间为5 min时,棚内温度为27℃,则棚内温度y(℃)与升温时间x(min)之间的一次函数表达式为    .
15.(3分)小刚从家出发步行去学校,几分钟后发现忘带作业,于是掉头原速返回并立即打电话给爸爸,挂断电话后爸爸立即跑步去追小刚,同时小刚以原速的两倍跑步回家,爸爸追上小刚后以原速的0.5倍原路步行回家,而小刚则以原跑步速度赶往学校,并在从家出发23分钟后到校(小刚被爸爸追上时交流时间忽略不计).两人之间相距的路程y(米)与小刚从家出发到学校的时间x(分钟)之间的函数关系如图所示,则小刚的步行速度为    m/min.
16.(3分)正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图所示方式放置,点A1,A2,A3,…和C1,C2,C3,…分别在直线y=x+1和x轴上,则点B4的坐标是    ,B2020的纵坐标是    .
三.解答题(本大题共8小题,共72分.请将解答过程写在答题卡相应位置上,解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。)
17.(8分)计算:
(1)(2)4; (2)()2﹣(1)(1)
18.(8分)如图,在 ABCD中,过点D作DF⊥BC于点F,点E在边AD上,AE=CF,连结BE、CE.
(1)求证:四边形BFDE是矩形.
(2)若DE=AB,∠ABC=130°,求∠DEC的度数.
19.(8分)某校初二年级600名学生参加植树活动,要求每人植4至7棵,活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量,并分为四种类型,A:4棵,B:5棵,C:6棵,D:7棵.
将各类的人数绘制成扇形图(如图1)和条形图(如图2),回答下列问题:
(1)在这次调查中D类型有多少名学生?
(2)写出被调查学生每人植树量的众数、中位数;
(3)求被调查学生每人植树量的平均数,并估计这600名学生共植树多少棵?
20.(8分)为了解某新能源汽车的充电速度,实验小组调查研究发现:当汽车充电率w(充电率w)满足0.2≤w≤0.9时,用该品牌汽车专用充电桩充电,汽车充电率W1与充电时间t(单位:h)的函数图象是折线ABC;用公共充电桩充电时,汽车充电率w2与充电时间t(单位:h)的函数图象是线段AD.研究表明:为保护电池寿命,当充电率超过0.8时,品牌专用充电桩的充电速度与公共充电桩充电速度相同.根据以上信息,回答下列问题:
(1)求AD的函数解析式.
(2)若该汽车充电率从0.2至0.9,用品牌专用充电桩比公共充电桩充电少用多少时间?
21.(8分)某校秉承“学会生活,学会学习,学会做人”的办学理念,将本校的办学理念做成宣传牌(AB),放置在教室的黑板上面(如图所示).在三月雷锋活动中小明搬来一架梯子(AE=5米)靠在宣传牌(AB)A处,底端落在地板E处,然后移动的梯子使顶端落在宣传牌(AB)的B处,而底端E向外移到了1米到C处(CE=1米).测量得BM=4米.求宣传牌(AB)的高度(结果用根号表示).
22.(8分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象经过点A(﹣2,6),且与x轴相交于点B,与正比例函数y=3x的图象相交于点C,点C的横坐标为1.
(1)求出一次函数的表达式;
(2)请直接写出不等式kx+b﹣3x>0的解集    ;
(3)若点D在坐标轴上,且满足S△DOC=S△BOC,求出点D的坐标.
23.(12分)已知四边形ABCD是平行四边形,点E是对角线BD上一点,点F是 ABCD外一点,连接EC、CF和DF,且CE=CF.
【问题背景】(1)如图1,若∠BCD=∠ECF,∠ADB=∠CDF,求证:四边形ABCD是菱形;
【问题拓展】(2)如图2,在(1)的条件下,连接FE并延长和AB交于点P,FP和CD交于点Q,求证:PE=QF;
【问题迁移】(3)如图3,连接AE和BF,点M是BF的中点,连接EM和CM,若∠ADE=∠CDE=30°,DF=CF,ED﹣ME=2,AE=5,求线段AB的长.
24.(12分)如图,直线y=﹣x+10与x轴、y轴分别交于点B和点C,点A的坐标为(8,0),点P(x,y)是直线上第一象限内的一个动点.
(1)求△OPA的面积S与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
(2)当△OPA的面积为10时,求点P的坐标;
(3)在直线BC上是否存在点M,使以O,B,M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年湖北省黄冈市数学八年级下学期期末模拟考试必刷卷
一.选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的,请将正确选项前的字母填在答题卡相应位置上)
1.(3分)下列各式中是最简二次根式的是(  )
A. B. C. D.
解:A.的被开方数中含有能开方的因数,不是最简二次根式,故本选项不符合题意;
B.的被开方数中的因数不是整数,不是最简二次根式,故本选项不符合题意;
C.的被开方数中的因数不是整数,不是最简二次根式,故本选项不符合题意;
D.是最简二次根式,故本选项符合题意;
故选:D.
2.(3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线交AC于点D,若AD=6,则CD的长为(  )
A.1.5 B.3 C.4.5 D.6
解:连接BD,如图,
∵点D为AB的垂直平分线与AC的交点,
∴DA=DB=6,
∴∠A=∠DBA,
∵∠C=90°,∠ABC=60°,
∴∠A=30°,
∴∠DBA=30°
∴∠CBD=30°,
∴CDBD=3.
故选:B.
3.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=45°,AB=8,点P为BC上任意一点,连结PA,以PA,PC为邻边作平行四边形PAQC,连结PQ,则PQ的最小值为(  )
A.4 B.2 C.8 D.4
解:设PQ与AC交于点O,作OP′⊥BC于P′.如图所示:
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=45°,AB=8,
∴AC=8,
∵四边形PAQC是平行四边形,
∴OA=OCAC=4,
∴OP′=2,
当P与P′重合时,OP的值最小,则PQ的值最小,
∴PQ的最小值=2OP′=4.
故选:A.
4.(3分)小强的爷爷饭后出去散步,从家走25分钟到达离家1000米的报亭,看了10分钟报纸后,用了20分钟返回家,下列图中表示小强的爷爷离家的距离y(米)与离家的时间x(分钟)之间的函数关系的是(  )
A. B.
C. D.
解:由题意可得,
小强的爷爷从家走25分钟到达离家1000米的报亭,在报亭看书10分钟,也就是说在第25分到第35分钟在报亭,然后从第35分钟到第55分钟回家,
故选:A.
5.(3分)如图,在 ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点,AF与DE交于点G,BF与CE交于点H,下列说法:
①四边形AECF是平行四边形;
②四边形EHFG是平行四边形;
③当AB⊥BC时,四边形EHFG是菱形;
④当AB=BC时,四边形EHFG是矩形.
其中正确的有(  )
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
解:①如图:
∵四边形是ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
又∵E、F分别是AB、CD的中点,
∴,
∴AE=CF,
又∵AB∥CD即AE∥CF,
∴四边形AECF是平行四边形;
故①正确.
②如图:
连接EF,由题意得:
AD=EF,BC=EF,AD∥EF,BC∥EF,
∴四边形ADFE,EFCB都为平行四边形且两者全等,
∴EC=AF,
又∵平行四边形对角线互相平分,
∴,
∴EH=FG,
又由①可知,四边形AECF是平行四边形,
∴EH∥FG,
∴四边形EHFG是平行四边形;
故②正确.
③如图:
∵AB⊥BC,四边形ABCD是平行四边形,
∴平行四边形ABCD是矩形,
∴四边形EBCF是矩形,
∴EC=BF,
又∵矩形对角线互相平分,
∴EH=HF,
结合②四边形EHFG为平行四边形,
∴四边形EHFG为菱形;
故③正确.
④如图:
由①②可得:EF=BC,,而AB=BC,
∴GH≠EF,
∴四边形EHFG不是矩形,
故④不正确.
故答案为:B.
6.(3分)在平面直角坐标系中,若点A(﹣a,b)在第四象限,则函数y=ax﹣b不经过的象限是(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解:∵点A(﹣a,b)在第四象限,
∴﹣a>0,b<0,
∴a<0,﹣b>0,
∴直线y=ax﹣b经过第一、二、四象限,不过第三象限,
故选:C.
7.(3分)如图所示的一段楼梯,高BC是3米,斜边AB长是5米,现打算在楼梯上铺地毯,至少需要地毯的长度为(  )
A.5米 B.6米 C.7米 D.8米
解:∵△ABC是直角三角形,BC=3m,AB=5m
∴AC4(m),
∴如果在楼梯上铺地毯,那么至少需要地毯为AC+BC=7米,
故选:C.
8.(3分)如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD,垂足为E,∠DAE:∠BAE=1:2,则∠CAE的度数(  )
A.30° B.45° C.60° D.75°
解:∵∠DAE:∠BAE=1:2,∠DAB=90°,
∴∠DAE=30°,∠BAE=60°,
∴∠DBA=90°﹣∠BAE=90°﹣60°=30°,
∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=30°
∴∠CAE=∠BAE﹣∠OAB=60°﹣30°=30°.
故选:A.
二.填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分,把答案直接填在答题卡相应位置上)
9.(3分)已知x,y都是实数,且y4,则yx= 64 .
解:由题意得:x﹣3≥0,3﹣x≥0,
解得:x=3,
则y=4,
∴yx=43=64,
故答案为:64.
10.(3分)甲、乙两队参加“传承红色基因,推动绿色发展”为主题的合唱比赛,每队均由20名队员组成.其中两队队员的平均身高为160cm,身高的方差分别为s甲2=10.5,s乙2=1.2.如果单从队员的身高考虑,你认为演出形象效果较好的队是  乙队 .(填“甲队”或“乙队”)
解:∵两队队员的平均身高为160cm,s甲2=10.5,s乙2=1.2,
即s甲2>s乙2.
∴如果单从队员的身高考虑,演出形象效果较好的队是乙队.
故答案为:乙队.
11.(3分)已知a是的整数部分,b是的小数部分,则2a+b= 2 .
解:∵4<5<9,
∴23,
∴的整数部分是2,小数部分是2,
∴a=2,b2,
∴2a+b=2×22
=42
=2,
故答案为:2.
12.(3分)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)在直线y=﹣2x+4上,当x1<x2<x3时,下列结论:
①若x1+x2<0,则y2y3>0;
②若x2+x3<0,则y1y2>0;
③若y1y3>0,则x2x3>0;
④若y1y2<0,则x2x3>0,
其中正确结论的序号为  ②④ .
解:∵直线y=﹣2x+4,k=﹣2,y随x的增大而减小.y=0时,x=2,且x1<x2<x3,
∴①、若x1+x2<0时,不能确定x2和2的大小关系,无法确定y2y3>0,故①不正确;
②、若x2+x3<0,能确定x2<0,y1>0,y2>0,能确定y1y2>0,故②正确;
③、若y1y3>0,能说明x1<2,x3<2或x1>2,x3>2,不能确定x2x3>0,故③不正确;
④、若y1y2<0,能说明x1<2,x2>2,能确定x2x3>0正确,故④正确.
故答案为:②④.
13.(3分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB=5,AC=6,AC的平行线DE交BC的延长线于点E,则四边形ACED的面积为  24 .
解:∵AD∥BE,AC∥DE,
∴四边形ACED是平行四边形,
∴AC=DE=6,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=CO=3,AB=CD=5,
∴DO4,
∴S ACED=DE×OD=4×6=24,
故答案为:24.
14.(3分)某恒温棚升温过程中,温度与时间成一次函数关系.已知升温时间为2min时,棚内温度为15℃,升温时间为5 min时,棚内温度为27℃,则棚内温度y(℃)与升温时间x(min)之间的一次函数表达式为  y=4x+7 .
解:设一次函数表达式为y=kx+b,
由于一次函数图象过点(2,15),(5,27),
则,
解得:,
∴y=4x+7,
故答案为:y=4x+7.
15.(3分)小刚从家出发步行去学校,几分钟后发现忘带作业,于是掉头原速返回并立即打电话给爸爸,挂断电话后爸爸立即跑步去追小刚,同时小刚以原速的两倍跑步回家,爸爸追上小刚后以原速的0.5倍原路步行回家,而小刚则以原跑步速度赶往学校,并在从家出发23分钟后到校(小刚被爸爸追上时交流时间忽略不计).两人之间相距的路程y(米)与小刚从家出发到学校的时间x(分钟)之间的函数关系如图所示,则小刚的步行速度为  160 m/min.
解:由图可知,小刚和爸爸相遇后,到小刚爸爸回到家用时17﹣15=2(分钟),
∵爸爸追上小刚后以原速的0.5倍原路步行回家,
∴小刚打完电话到与爸爸相遇用的时间为1分钟,
∵由于时间关系小明拿到作业后同样以之前跑步的速度赶往学校,
∴小刚和爸爸相遇之后跑步的1分和爸爸2分钟走的路程是720米,
∴小刚后来的速度为:(1040﹣720)÷1=320(米/分钟).
∴小刚步行的速度为:320÷2=160米/分.
故答案为:160.
16.(3分)正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图所示方式放置,点A1,A2,A3,…和C1,C2,C3,…分别在直线y=x+1和x轴上,则点B4的坐标是  (15,8) ,B2020的纵坐标是  22019 .
解:当x=0时,y=x+1=1,
∴点A1的坐标为(0,1),
∵四边形A1B1C1O为正方形,
∴点B1的坐标为(1,1),点C1的坐标为(1,0),
当x=1时,y=x+1=2,
∴点A2的坐标为(1,2),
∵四边形A2B2C2C1为正方形,
∴点B2的坐标为(3,2),点C2的坐标为(3,0),
同理可知,
点B3的坐标为(7,4),
点B4的坐标为(15,8),
点B5的坐标为(31,16),
……,
∴点Bn的坐标为(2n﹣1,2n﹣1)(n为正整数),
∴点B2020的纵坐标为2n﹣1=22019.
故答案为:(15,8);22019.
三.解答题(本大题共8小题,共72分.请将解答过程写在答题卡相应位置上,解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。)
17.(8分)计算:
(1)(2)4;
(2)()2﹣(1)(1).
解:(1)原式22
=318﹣2
18;
(2)原式=3﹣22﹣(6﹣1)
=3﹣22﹣5
=﹣2.
18.(8分)如图,在 ABCD中,过点D作DF⊥BC于点F,点E在边AD上,AE=CF,连结BE、CE.
(1)求证:四边形BFDE是矩形.
(2)若DE=AB,∠ABC=130°,求∠DEC的度数.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴ED∥BF.
∵ED=AD﹣AE,BF=BC﹣CF,AE=CF,
∴ED=BF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
∵DF⊥BC,
∴∠DFB=90°.
∴四边形BFDE是矩形.
(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠ADC=∠ABC=130°,
∵DE=AB,
∴DE=CD,
∴.
19.(8分)某校初二年级600名学生参加植树活动,要求每人植4至7棵,活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量,并分为四种类型,A:4棵,B:5棵,C:6棵,D:7棵.
将各类的人数绘制成扇形图(如图1)和条形图(如图2),回答下列问题:
(1)在这次调查中D类型有多少名学生?
(2)写出被调查学生每人植树量的众数、中位数;
(3)求被调查学生每人植树量的平均数,并估计这600名学生共植树多少棵?
解:(1)调查人数为:8÷40%=20(人),
“D类型”的人数为:20×10%=2(人),
答:在这次调查中D类型的学生有2人;
(2)植树棵数最多的是5棵,共有8人,因此众数是5棵,
将这20名学生植树的棵数从小到大排列,处在中间位置的两个数都是5棵,因此中位数是5棵,
答:众数是5棵,中位数是5棵;
(3)600=5.3×600=3180(棵),
答:被调查学生每人植树量的平均数为5.3棵,这600名学生共植树3180棵.
20.(8分)为了解某新能源汽车的充电速度,实验小组调查研究发现:当汽车充电率w(充电率w)满足0.2≤w≤0.9时,用该品牌汽车专用充电桩充电,汽车充电率W1与充电时间t(单位:h)的函数图象是折线ABC;用公共充电桩充电时,汽车充电率w2与充电时间t(单位:h)的函数图象是线段AD.研究表明:为保护电池寿命,当充电率超过0.8时,品牌专用充电桩的充电速度与公共充电桩充电速度相同.根据以上信息,回答下列问题:
(1)求AD的函数解析式.
(2)若该汽车充电率从0.2至0.9,用品牌专用充电桩比公共充电桩充电少用多少时间?
解:(1)设AD的解析式为w=kt+b,
由题图可知,AD过点(0,0.2),(6,0.8),
∴,解得:,
∴AD的解析式为w=0.1t+0.2.
(2)该汽车使用公共充电桩充电时,
充电速度为0.1,且充电率从0.2至0.9需7(h),
由题图可知,该汽车使用专用充电桩充电时,
充电率从0.2至0.8,所用时间为2h,
∵当充电率超过0.8时,品牌专用充电桩的充电速度与公共充电桩充电速度相同,
∴充电率从0.8至0.9需1(h),
所以汽车使用专用充电桩充电时,充电率从0.2至0.9需2+1=3(h),
即该汽车充电率从0.2至0.9,用品牌专用充电桩比公共充电桩充电少用7﹣3=4(h).
21.(8分)某校秉承“学会生活,学会学习,学会做人”的办学理念,将本校的办学理念做成宣传牌(AB),放置在教室的黑板上面(如图所示).在三月雷锋活动中小明搬来一架梯子(AE=5米)靠在宣传牌(AB)A处,底端落在地板E处,然后移动的梯子使顶端落在宣传牌(AB)的B处,而底端E向外移到了1米到C处(CE=1米).测量得BM=4米.求宣传牌(AB)的高度(结果用根号表示).
解:由题意可得:AE=BC=5米,BM=4米,EC=1米,
在Rt△MBC中,MC3(米),
则EM=3﹣1=2(米),
在Rt△AEM中,AM(米),
故AB=AM﹣BM=(4)米,
答:宣传牌(AB)的高度为(4)米.
22.(8分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象经过点A(﹣2,6),且与x轴相交于点B,与正比例函数y=3x的图象相交于点C,点C的横坐标为1.
(1)求出一次函数的表达式;
(2)请直接写出不等式kx+b﹣3x>0的解集  x<1 ;
(3)若点D在坐标轴上,且满足S△DOC=S△BOC,求出点D的坐标.
解:(1)当x=1时,y=3x=3,
∴点C的坐标为(1,3),
将A(﹣2,6)、C(1,3)代入y=kx+b,
得:,
解得:,
∴一次函数的表达式为y=﹣x+4;
(2)根据函数图象知,不等式kx+b>3x的解集是x<1;
故答案为:x<1;
(3)∵当y=0时,即0=﹣x+4,
∴x=4,
∴B(4,0),
∴S△BOC6,
当点D在x轴上时,
∵S△DOC=S△BOC,
∴OD 3=6,
解得OD=4,
∴D点坐标分别是(4,0),(﹣4,0),
当点D在y轴上时,
∵S△DOC=S△BOC,
∴OD 1=6,
解得OD=12,
∴D点坐标分别是(0,12),(0,﹣12),
综上,点D的坐标为(4,0)或(﹣4,0)或(0,12)或(0,﹣12).
23.(12分)已知四边形ABCD是平行四边形,点E是对角线BD上一点,点F是 ABCD外一点,连接EC、CF和DF,且CE=CF.
【问题背景】(1)如图1,若∠BCD=∠ECF,∠ADB=∠CDF,求证:四边形ABCD是菱形;
【问题拓展】(2)如图2,在(1)的条件下,连接FE并延长和AB交于点P,FP和CD交于点Q,求证:PE=QF;
【问题迁移】(3)如图3,连接AE和BF,点M是BF的中点,连接EM和CM,若∠ADE=∠CDE=30°,DF=CF,ED﹣ME=2,AE=5,求线段AB的长.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
∵∠ADB=∠CDF,
∴∠CBD=∠CDF,
∵∠BCD=∠ECF,
∴∠BCD﹣∠DCE=∠ECF﹣∠DCE,
即∠BCE=∠DCF,
又∵CE=CF,
∴△BCE≌△DCF(AAS),
∴BC=CD,
∴平行四边形ABCD是菱形;
(2)证明:由(1)可知,四边形ABCD是菱形,
∴,AB∥CD,
∴∠BPE=∠CQF,
如图2,在CD上取一点T,使FT=FD,连接FT,
则∠FTD=∠FDT,
∴FT=FD,
∵BE=FD,
∴BE=FT,
∵∠ADB=∠CDF,
∴∠PBE=∠QTF,
∴△PBE≌△QTF(AAS),
∴PE=QF;
(3)解:如图3,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD=∠CDE=30°,
∴BC=CD,
∴平行四边形ABCD是菱形,
∴AD=CD,
∵∠ADE=∠CDE=30°,DE=DE,
∴△ADE≌△CDE(SAS),
∴AE=CE,
∵DF=CF=CE,
∴DF=EC=CF=AE=5,
如图3,连接AC,
∵∠ADC=60°,AD=DC,
∴△ADC是等边三角形,
∴AC=CD,∠ACD=60°,
∴△ACE≌△DCF(SSS),
∴∠ACE=∠DCF,
∵∠ACE+∠ECD=60°,
∴∠DCF+∠ECD=60°,
即∠ECF=60°,
延长FC到点N使CN=CE,连接BN,
∵∠BCD=∠ECN=120°,
∴∠BCN=∠DCE,
∵BC=CD,
∴△BCN≌△DCE(SAS),
∴BN=DE,∠NBC=∠EDC=30°,
∵点M是BF的中点,CF=CN,
∴CM是△FBN的中位线,
∴CM∥BN,CMBN,
∴∠BCM=∠NBC=30°,
∴∠MCD=∠BCD﹣∠BCM=120°﹣30°=90°,
∴MC⊥CD,
过点E作EH⊥CD于点H,
则EH∥MC,
在Rt△EHD中,,
∴EH=MC,
∴四边形EMCH是平行四边形,
又∵∠MCD=90°,
∴平行四边形EMCH为矩形,
∴∠EMC=90°,
设MC=EH=3a,则ED=6a,
∵ED﹣ME=2,
∴ME=6a﹣2,
在Rt△EMC中,由勾股定理得:ME2+MC2=EC2,
即(6a﹣2)2+(3a)2=52,
解得:a1=1,(不符合题意,舍去),
∴MC=EH=3,ME=CH=4,
∴ED=6,
∴DH3,
∴CD=CH+DH=4+3,
∴AB=CD=4+3.
24.(12分)如图,直线y=﹣x+10与x轴、y轴分别交于点B和点C,点A的坐标为(8,0),点P(x,y)是直线上第一象限内的一个动点.
(1)求△OPA的面积S与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
(2)当△OPA的面积为10时,求点P的坐标;
(3)在直线BC上是否存在点M,使以O,B,M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵点P在直线y=﹣x+10上,且点P在第一象限内,
∴x>0且y>0,
即﹣x+10>0,
解得,0<x<10,
∵点A的坐标为(8,0),
∴OA=8,
∴S OA y8(﹣x+10),
即S=﹣4x+40,
自变量的取值范围是:0<x<10;
(2)当S=10时,﹣4x+40=10,
解得x,
把x代入y=﹣x+10,
得x,
∴P();
(3)存在,理由:
令y=0,则﹣x+10=0,解得:x=10,
∴点B(10,0),
点M在直线y=﹣x+10上,设M(m,﹣m+10),
点O(0,0),B(10,0),
当OB=OM时,
102=m2+(﹣m+10)2,
解得:m1=0,m2=10(不合题意,舍去),
∴M(0,10);
当OB=BM时,
102=(10﹣m)2+(m﹣10)2,
解得:,,
∴M(10﹣5,5)或(10+5,﹣5);
当OM=BM时,
m2+(﹣m+10)2=(10﹣m)2+(m﹣10)2,
解得:m=5,
∴M(5,5);
综上所述,M(5,5)或(0,10)或(10﹣5,5)或(10+5,﹣5)

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