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2016年高考函数与导数专题分析
阳新一中 赵碧云
前言：
函数与导数是高考考查的重点内容，一般情况下，对函数与导数的直接考查可达30分，而间接对函数、导数进行考查的题目还不少，函数与导数的核心考点的地位不言而喻，因此高考复习必须给予足够的重视。
一、考情分析
函数与导数在高考全国卷中命题形式新颖且呈现出多样性，选择题、填空题考查的知识点的清楚明确，始终围绕函数与导数的概念、性质、图象等方面来命题，试题的设计多围绕一次函数、指数函数、对数函数等几个常见的基本初等函数来进行，不仅考查函数与导数的基础知识，基本方法，基本技巧，而且注重考查逻辑思维能力、运算能力和分析解决问题的能力，主观题叙述简洁、设问清楚，以函数、方程、不等式及其交叉部分的知识为背景，侧重函数与导数的综合应用，在数学思想、理性思维以及数学潜能方面进行了较为深入的地考查，难度较大。
二、常规考点及层次要求
内 容
知识要求
函数
概念
性质
1．构成函数的要素，映射的概念，简单的分段函数
了解
理解
掌握
2．函数的定义域和值域、函数的表示法
√
3．函数的单调性、最大（小）值及其几何意义
√
4．函数的奇偶性
√
√
5．运用基本初等函数的图像分析函数的性质
√
指数函数
1．指数函数模型的实际背景，实数指数幂的意义
√
2．有理指数幂的含义，指数函数的概念及其单调性
√
3．幂的运算、指数函数的图像
√
对数函数
1．对数在简化运算中的作用，指数函数与对数函数互为反函数
√
2．对数的概念及其运算性质，对数函数的概念及其单调性
√
3．对数函数的图像
√
幂
函
数
1．幂函数的概念
√
2．的图象及变化情况
√
函数与方程
1．函数的零点与方程根的联系
√
2．一元二次方程根的存在性与根的个数
√
函数模型及其应用
1．指、对、幂函数的增长特征，体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长
√
2．函数模型的广泛使用
√
导
数
1．导数概念的实际背景，函数的单调性与导数的关系；函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
√
2．导数的几何意义
√
3．根据导数的定义求函数(C为常数)
的导数
√
4．用基本初等函数的导数公式和导数四则运算法则求简单函数的导数，求简单复合函数的导数
√
5．利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间
√
6．用导数求函数的极值和闭区间上的最值
√
7．用导数解决实际问题
√
8．定积分的实际背景、基本思想、概念、微积分基本定理的含义
√
三、在解题中常用的有关结论（需要熟记）
(1)曲线在处的切线的斜率等于，切线方程为
(2)若可导函数在 处取得极值，则。反之，不成立。
(3)对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增（减）区间。
(4)函数在区间I上递增（减）的充要条件是：恒成立
(5)函数在区间I上不单调等价于在区间I上有极值，则可等价转化为函数在区间I上有变号零点。（若为二次函数且I=R，则有）。
(6) 在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在I上恒成立
(7)若，恒成立，则; 若，恒成立，则
(8)若，使得成立，则；若，使得成立，则.
(9)设与的定义域的交集为D若D 恒成立则有
(10)若对、 ，恒成立，则.
若，，使得，则.
若对，，使得,则.
若对，，使得，则.
（11）已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B，
①若对,，使得成立，则。
②若，，使得成立，则。
(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程有两个不等实根，且极大值大于0，极小值小于0.
(13)证题中常用的不等式:
① ② ③
④ ⑤ ⑥
四、考题回顾
2011年全国卷1（理）
（2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（B）
（A） (B) （C） (D)
12)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于(D)
（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8
（21）（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线方程为。
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。
（21）解：
（Ⅰ）
由于直线的斜率为，且过点，故即
解得，。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
。
考虑函数，则
。
(i)设，由知，当时，。而，故
当时，，可得；
当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0
从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
（ii）设00,故 (x）>0,而
h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。
（iii）设k1.此时（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾。
综合得，k的取值范围为（-，0]
2012年全国卷1（理）
（10） 已知函数；则的图像大致为（ ）
【解析】选

得：或均有 排除
（12）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）

【解析】选
函数与函数互为反函数，图象关于对称
函数上的点到直线的距离为
设函数
由图象关于对称得：最小值为
（21）（本小题满分12分）
已知函数满足满足；
（1）求的解析式及单调区间；
（2）若，求的最大值。
【解析】（1）
令得：

得：
在上单调递增

得：的解析式为
且单调递增区间为，单调递减区间为
（2）得
①当时，在上单调递增
时，与矛盾
②当时，
③当时，
得：当时，

令；则

当时，
当时，的最大值为
2013年全国卷1（理）
11.已知函数，若||≥，则的取值范围是(D)
A． B． C． D．
16.若函数=的图像关于直线对称，则的最大值是_16_____.
21.（本小题满分共12分）已知函数＝，＝，若曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线
（Ⅰ）求，，，的值；（Ⅱ）若≥－2时，≤，求的取值范围。
21．（Ⅰ）由已知得，
而=，=，∴=4，=2，=2，=2；……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，
设函数==（），
==，
有题设可得≥0，即，
令=0得，=，=－2，
（1）若，则－2＜≤0，∴当时，＜0，当时，＞0，即在单调递减，在单调递增，故在=取最小值，而==≥0，
∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，
(2)若，则=，
∴当≥－2时，≥0，∴在(－2,+∞)单调递增，而=0，
∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，
(3)若，则==＜0，
∴当≥－2时，≤不可能恒成立，
综上所述，的取值范围为[1,].
2014年全国卷1（理）
3.设函数，的定义域都为R，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是(B)
.是偶函数 .||是奇函数
.||是奇函数 .||是奇函数
11.已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为(C)
.（2，+∞） .（-∞，-2） .（1，+∞） .（-∞，-1）
21. (本小题满分12分)设函数，曲线在点（1，处的切线为. (Ⅰ)求； （Ⅱ）证明：.
（21）解：
……5分
……8分
2015年全国卷1（理）
12. 设函数=,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得0，则的取值范围是（ ）
A.[-，1） B. [-，） C. [，） D. [，1）
【答案】D
【解析】
试题分析：设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方. 因为，所以当时，＜0，当时，＞0，所以当时，=，
当时，=-1，，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故选D.
考点：导数的综合应用
（13）若函数f(x)=xln（x+）为偶函数，则a=
【答案】1
【解析】
试题分析，由题知是奇函数，所以
=。
考点：函数的奇偶性
（21）（本小题满分12分）
已知函数f（x）=
(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线 的切线；
（Ⅱ）用 表示m,n中的最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将分为研究的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论.
试题解析：（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得.
因此，当时，轴是曲线的切线. ……5分
（Ⅱ）当时，，从而，
∴在（1，+∞）无零点.
当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点.
当时，，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.
(ⅰ)若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点.
(ⅱ)若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=.
若＞0，即＜＜0，在（0,1）无零点.
若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；
若＜0，即，由于，，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点.…10分
综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点. ……12分
考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想

五、考向预测
1．小题2-3个，内容涉及函数的奇偶性、单调性、图象等常规性质，曲线的切线可能会有1-2个会在选择（或填空）的靠后的位置，如选择10、11、12或填空题15、16。
2、大题第21题，考查导数有关的综合问题，涉及单调区间、最值、明证不等式，求参数的取值范围等，函数的构成可能为一、二次函数，和以为底的指数和对数的之间的加减乘除的组合也可能涉及型复合函数，另外三角函数与分式函数也要引起注意。
1．已知函数的图像与的图像关于直线对称，则
（B）
A.1 B.10 C.107 D.
考查：指对数函数互为反函数的关系，以及对数运算，属容易题。
2．设函数的定义域为，其中，且在
上的最大值为6，最小值为3，则上的最大值与最小值的和是（ C ）
A. B.9 C.或9 D.以上都不对
考查：幂函数的性质，属容易题。
3．已知函数且函数在上的最
大值为2，若对任意，存在，使得，则实数的取值范
围是（ A ）
A. B. C. D.
4．定义在R上的奇函数满足
。
考查：函数奇偶性和周期性，属容易题。
5．函数的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A.0 B.2 C.4 D.6
考查：数形结合思想，要求学生准确画出两个函数图象，并充分利用两个函数图象的对称性，得到交点横坐标的关系，要求学生对这两个函数图象、性质很熟悉，属中档题。
6．已知函数为偶函数，且，函数
恰有4个零点，则的取值范围是 。
考查：函数的奇偶性，周期性以及数形结合的思想，把零点个数转化为两图象的交点个数，通过控制图象端点的值来获取的取值范围，难度比较大，易错，右端点很多学生都没有做出来。
7．已知函数，若方程有四个不同的解，且
，则的取值范围是（ ）
A. B.2 C. D.
考查：分段函数、函数图象的变化，要求学生能准确作出这两个函数的图象,并根据图像得到4个根之间的关系,,并且还要分析出的取值范围为,再结合函数的单调性才能得到答案,能力要求较高,难度较大。
8．已知函数是偶函数，当时，，则曲线在点
处的切线方程为（ D ）
A. B. C. D.
考查：函数的奇偶性，曲线在某点处的切线方程，属容易题。
考查：指对数函数的单调性，对数与二次函数复合的函数的单调性，最值以及不等式的恒成立和有解问题的问题的转化，综合性强，对学生的能力要求较高，难度偏大。
9．已知。
（1）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围；
（2）若上的最大值和最小值。
解：（1）上是单调增函数，对一切恒成立，即对恒成立，恒成立。
，实数的取值范围为。
（2）当时，
。
1）当时，，则在上单调递减，，。
2）当，则单调递减。
。
综上：上的最大值为，最小值为。
10.已知函数
（1）设，若函数在处的切线过点(1,0)，求的值；
（2）设函数的大小关系。
11．已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若是函数的两个极值点，，求证：对任意的，不
等式恒成立。
解：（1）
①当时，由得，由得，在单调递增，在（0，1）上单调递减。
②当时，在单调递增，在上单调递减。
③当时，在单调递增
④当时，在单调递增，在单调递减。
（2）证明：由，又有两个不等的正根且，，时，上单调递减，，
，令
时，。
上递增，上递增，
恒成立。
12．已知函数为自然对数底数。
（1）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；
（2）设对任意都成立，求的最大值。
13．设函数。
（1）当上恒成立，求实数的取值范围；
（2）当上恰有两个不同的零点，求实数的取值
范围；
（3）是否存在常数，使函数在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，
求出的取值范围；若不存在，请说明理由。
14．已知函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若对任意实数时，函数的最大值为的取值范围。
15．已知函数为自然对数的底数)。
（1）设上的最大值；
（2）定义：若函数
的“域同区间”，若，判断函数在上是否有符合条件的“域同区间”，
若有，求出相应的“域同区间”；若没有，请说明理由。
解：（1）
当时，
当
得，又
综上
（2）时，，
单调递增
假设存在“域同区间”[]，则有
即
令
令，单调递增
，当，
当。
函数在上是减函数，在上是增函数，又
而，函数在区间上只有一个零点，这与方程有两个大于1的相异实根相矛盾，假设成不立。
函数在上不存在“域同区间”。
16．已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，，求实数的取值范围。
六、复习建议：
（1）全面夯实基础，突出对重点内容的复习。全面复习函数的概念，性质，图象，掌握好导数的几何意义及运算、导数和函数的单调性与极值的关系，重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有参数的函数的单调性的研究是难点，注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究。
（2）注意横向联系，对函数性质单调性、奇偶性、周期性和图象的对称性等内容的考查，多以整合形式出现，要站在学科整体的高度去把握它们之间的联系以及函数与其它模块知识之间的联系。
（3）突出思想性，培养学科能力，知识结构是明线、思想、方法是隐线，思维能力是主线，对函数性质的研究常涉及到分类与整合，数形结合等思想方法，思维层次要求较高。

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