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2016年高考排列、组合、复数与算法专题分析
大冶实验高中 冯江华
一、排列、组合部分
1．考情分析
计数原理是求解古典概型概率以及离散型随机变量的分布列、期望、方差等问题的基础；在分步和分类计数原理中所蕴含的思想方法是解答数学问题的重要策略．该部分内容在高考中主要以两种方式进行考查：一是单独命题；二是与概率、统计等方面的试题融合在一起考查，特别是与古典概型的概率，随机变量的分布列等综合在一起．高考中的计数原理试题多以现实生活中的实际问题为背景，通过数字问题、人或物的排列问题、集合的子集个数问题、选代表或选样品等问题考查考生对计数原理的运用能力，难度不大，以中档题为主．
2．考试要求
2015年高考数学（全国卷Ⅰ）《理科考试说明》中考试范围与要求层次：
内　　　　　容
知识要求
知道（A）
理解（B）
掌握（C）
计数
原理（仅限理科）
加法原理、
乘法原理
分类加法计数原理、分步乘法计数原理
√
用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题
√
排列与组合
排列、组合的概念
√
排列数公式、组合数公式
√
用排列与组合解决一些简单的实际问题
√
二项式定理
用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题
√
考纲具体要求如下：
①理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题．
②理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.
③理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.
④会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
3．要点串讲
（1）用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是要确定需要分类还是分步．分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才算完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理把完成每一步的方法数相乘，得到总数．对于较复杂的问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来求解．
（2）判断某一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看选出的元素是否与顺序有关．若交换任意两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．
（3）对于排列组合的综合性问题，一般的思想方法是先选元素(组合)，后排列．按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”始终是处理这类问题的基本方法和原理．
（4）排列组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法；②合理分类与准确分步；③排列组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题缩倍法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反，等价转化法．
（5）要熟练掌握二项式定理，学会灵活应用．对于三项式问题，可转化为二项式定理去处理．在求二项展开式系数之和问题时经常用赋值法；对于二项式系数的最值问题，有时需要对n的奇偶性进行讨论.
从2008年开始正式实行全国卷Ⅰ命题已经八年，可以发现全国卷Ⅰ命题具备以下重要特点：平而不淡，内涵丰富，充分体现“以教材为本”，稳中求变出新，淡化特殊技巧．根据近六年全国卷Ⅰ的特点，预估全国卷Ⅰ明年的计数原理知识考查仍在“二项式定理”中命制，考察方法形式多样，以选择题和填空题的形式考查，难度一般不超过中等．建议备考时对计数原理、排列组合不能忽视，确保拿下本题。
4．考题重现
真题1（2015·新课标全国卷Ⅰ理科·第10题）的展开式中，的系数为(　　)
A.10 B.20 C.30 D.60
【考点分析】排列组合；二项式定理.
【解析】在(x2+x+y)5的5个因式中,2个取因式中x2,剩余的3个因式中1个取x,其余因式取y,故x5y2的系数为=30.故选C.
【点评】本题考察二项展开式的系数，偏中档难度知识的考查.
真题2（2014·新课标全国卷Ⅰ理科·第13题）的展开式中的系为 .(用数字填写答案)
【考点分析】排列组合；二项式定理.
【解析】展开式的通项为，
∴，∴的展开式中的项为，故系数为20.
【点评】本题考察二项展开式的系数，基本知识的考查．
真题3（2013·新课标全国卷Ⅰ理科·第9题）设为正整数，展开式的二项
式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【考点分析】排列组合；二项式定理.
【解析】由题意可知，，而即，解得.故选B.
【点评】本题考察二项展开式的系数，基本知识的考查．
5．考题预测
1．从8个不同的数中选出5个数构成函数f(x)(x∈{1,2,3,4,5})的值域，如果8个不同的数中的A、B两个数不能是x＝5对应的函数值，那么不同的选法种数为(　　)
A． B． C． D．无法确定
解析：自变量有5个，函数值也是5个不同的数，因此自变量与函数值只能一一对应，不会出现多对一的情形．因为A、B两个数不能是x＝5对应的函数值，故先从余下6个数中选出与5对应的函数值，有种选法，再从其他7个数中选出4个排列即可，故不同选法共有种． 答案：C
2．数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列，设第一行这个数为N1，N2、N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1解析：由题意知6必在第三行，安排6有C种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A种方法，在留下的三个数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有C种方法，剩下的两个数字有A种排法，按分步计数原理，所有排列的个数是C×A×C×A＝240.
3．在(3－2)11的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为α，则xαdx＝(　　)
A. B. C. D.
解析：因为展开式一共12项，其通项公式为Tr＋1＝C·(3)11－r·(－2)r
＝C·311－r·(－2)r·x，r＝0,1，…，11.
其中只有第4项和第10项是有理项，
故概率α＝＝，∴xdx＝x|＝.
4．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，含x4项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的(　　)
A．第11项 B．第13项 C．第18项 D．第20项
解析：(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，含x4项的系数为：
C＋C＋C＝C＋C＋C＝5＋＋＝55，
以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式an＝－2＋3(n－1)＝3n－5，
令an＝55，即3n－5＝55，n＝20，故选D.
5．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.
解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36；
令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1，∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝；
令x＝0，则a0＝1，∴a2＋a4＋…＋a12＝－1＝364.
二、复数部分
1．考情分析
高考全国卷Ⅰ复数的考查要求较低，主要集中在复数的概念及复数的四则运算这两部分内容，且都是容易题，在题型设计上，通常以选择题或填空题的形式出现，不论是高考题还是模拟题有相当数量的题目来源于教材，故我们复习时应重视课本，抓住重点即复数的概念及复数的四则运算，对于复数的几何意义了解即可．
2．考试要求
2015年高考数学（全国卷Ⅰ）《理科考试说明》中考试范围与要求层次：
内　　　　　容
知识要求
知道（A）
理解（B）
掌握（C）
数系的
扩充
与复数的引入
复数的概
念与运算
复数的基本概念，复数相等的条件
√
复数的代数表示法及几何意义
√
复数代数形式的四则运算
√
复数代数形式加、减法的几何意义
√
考纲具体要求如下：
①理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.
②了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示.
③能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义．
3．要点串讲
（1）复数的有关概念是高考的重点，对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时z是虚数，当b＝0时z是实数，当a＝0，b≠0时z是纯虚数，特别是纯虚数，是高考的一个热点内容，应牢固掌握．
（2）复数的运算是另一个重点，此类问题一般不难，但运算要仔细，特别要注意复数的除法运算，其中“分母实数化”是经常使用的方法．
（3）复数的几何意义方面应该主要掌握复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点(a，b)之间的一一对应关系及|z|、|z1－z2|的几何意义．
（4）应当熟记的一些公式和结论：
(1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，|z|＝，|z|2＝||2＝z·；
(2)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i；
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈Z)；
(4)若ω＝－＋i，则ω3＝1，|ω|＝1,1＋ω＋ω2＝0，ω2＝.
4．考题重现
真题1（2015·新课标全国卷Ⅰ理科·第1题）设复数z满足=i,则|z|=　(　　)
A.1 B. C. D.2
【考点分析】复数代数形式的四则运算，复数的模．
【解析】∵=i, ∴,故|z|=1.故选A. 本题也可以设出复数z，利用两个复数相等的充要条件，解出复数z．
【点评】本题考查复数代数形式的四则运算、复数的模的求解，基本知识的考查．
真题2（2015·新课标全国卷Ⅰ文科·第3题）已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=　(　　)
A.-2-i B.-2+I C.2-i D.2+i
【考点分析】复数代数形式的四则运算．
【解析】∵(z-1)i=1+i,∴z===2-i.故选C. 本题也可以设出复数z，利用两个复数相等的充要条件，解出复数z．
【点评】本题考查复数代数形式的四则运算，基本知识的考查．
真题3（2014·新课标全国卷Ⅰ理科·第2题）= （ ）
A. B. C. D.
【考点分析】复数代数形式的四则运算．
【解析】∵=，选D.
【点评】本题考查复数代数形式的四则运算，基本知识的考查．
真题4（2014·新课标全国卷Ⅰ文科·第3题）设，则（ ）
A. B. C. D. 2
【考点分析】复数代数形式的四则运算，复数的模．
【解析】由题知，，故选B．
【点评】本题考查复数代数形式的四则运算、复数的模的求解，基本知识的考查．
真题5（2013·新课标全国卷Ⅰ理科·第2题）若复数z满足 (3－4i)z＝|4＋3i |，则z的虚部为 ( )
A.－4 B.－ C.4 D.
【考点分析】复数代数形式的四则运算，复数的基本概念．
【解析】由题知===，故z的虚部为，故选D.
【点评】本题考查复数代数形式的四则运算和复数的基本概念中的虚部。基本知识的考查．
真题6（2013·新课标全国卷Ⅰ文科·第2题）（ ）
A. B. C. D.
【考点分析】复数代数形式的四则运算．
【解析】由题知，故选B.
【点评】本题考查复数代数形式的四则运算．基本知识的考查．
5．考题预测
1. 已知z1＝1＋ai，z2＝b－i(a，b∈R)，z1·z2＝5＋5i，的实部为负数，则|z1－z2|＝________.
解析：∵z1·z2＝(1＋ai)(b－i)＝b＋abi－i＋a＝5＋5i，
∴∴或
∴＝＝＋i(不合题意，舍去) 或 ＝＝－＋i.
∴z1＝1＋3i，z2＝2－i，
∴z1－z2＝－1＋4i，
∴|z1－z2|＝.
2．设i是虚数单位，则复数的共轭复数是(　　)
A.＋i B.－i C.－i D.＋i
解析：＝＝－i，所以它的共轭复数是＋i，选D.
3. 已知复数z1＝2＋i，z2＝3－i，其中i是虚数单位，则复数的实部与虚部之和为________．
解析：＝＝＝＋i，所以它的实部与虚部之和为1.
三、算法部分
1．考情分析
算法初步主要包括三个方面的内容：一是算法的含义及简单的算法设计，二是算法的逻辑结构，三是算法语句以及程序设计．其中程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构是算法的核心，是高考的必考内容．纵观近几年高考，以程序框图为载体，综合考查函数求值、数列求和、不等式求解、概率统计等问题已经成为主要的命题类型，同时，算法思想贯穿于高中课程的始终，是高中数学课程的一条主线，在备考中不仅要关注程序框图和算法语句，而且要在运算中不断体会算法的思想，以分析、明确思路，提高逻辑思维及运算求解能力．
2．考试要求
2015年高考数学（全国卷Ⅰ）《理科考试说明》（文理要求相同）中考试范围与要求层次：
内　　　　　容
知识要求
知道（A）
理解（B）
掌握（C）
算法
初步
算法及其
程序框图
算法的含义、思想
√
程序框图与算法的三种基本逻辑结构（顺序结构、条件结构、循环结构）
√
基本算法
语句
输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句
√
考纲具体要求如下：
① 了解算法的含义，了解算法的思想.
② 理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.
③了解几种基本算法语句――输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.
3．要点串讲
（1）算法的要求：写出的算法，必须能解决一类问题，并且能重复使用；算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且在有限步后能得出结果．
（2）程序框图分为顺序结构、条件结构和循环结构，任何算法都可以由这三种基本逻辑结构来构成．顺序结构是最简单的算法结构．条件结构是指在算法中需要对条件作出判断，根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构．根据指定条件，决定是否重复执行某些步骤的控制结构称为循环结构．反复执行的处理步骤为循环体．
常见的循环结构有当型循环和直到型循环．
①当型(while型)循环结构
如图所示，它的功能是当给定的条件P1成立时，执行循环体即语句序列A，执行完后，再判断条件P1是否成立，如果仍然成立，再执行循环体，如此反复执行循环体，直到某一次条件不成立时跳出循环．
②直到型(until)循环结构
直到型循环一般用于预先难以知道循环次数，通过设置某个条件满足时退出循环．
如图所示，它的功能是先执行循环体，即语句序列A，然后判断给定的条件P2是否成立，如果条件P2不成立，则再执行循环体，然后再对条件P2作判断，如果条件P2仍然不成立，又执行循环体……如此反复执行循环体，直到给定的条件P2成立时跳出循环．
（4）算法语句
输入语句：
①“提示内容”提示用户输入什么样的信息．
②变量是指程序在运行时其值可以变化的量．
③输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式．
④提示内容与变量之间用分号“；”隔开，可以一次为一个或多个变量赋值，若输入多个变量，变量与变量之间用“，”隔开．
输出语句：
①“提示内容”提示用户输出什么样的信息．
②表达式是指程序要输出的数据．
③输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符．
赋值语句：
用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句叫做赋值语句．
①赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式 .
②赋值号左右不能对换．赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量．
③不能利用赋值语句进行代数式的演算．
④赋值语句中的“＝”号，称为赋值号．赋值号与数学中的等号的意义不同．赋值号左边的变量如果原来没有值，则在执行赋值语句后获得一个值，如果原已有值，则执行该语句后，以赋值号右边的表达式的值代替该变量的原值．
⑤对于一个变量可以多次赋值，变量总是取最后赋出的值．
⑥一个赋值语句只能给一个变量赋值，不能出现两个或多个“＝”．
⑦“表达式”可以是一个数据、常量和算式，如果“表达式”是一个算式时，赋值语句的作用是先计算出“＝”右边表达式的值，然后将该值赋给“＝”左边的变量．
4．考题重现
真题1（2015·新课标全国卷Ⅰ理科·第9题·新课标全国卷Ⅰ文科·第9题）执行如图所示的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=　(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
【考点分析】程序框图．
【解析】
执行第一次,t=0.01,S=1,n=0,m==,S=S-m=0.5,m==0.25,n=1,S=0.5>t=0.01,是,循环;
执行第二次,S=S-m=0.25,m==0.125,n=2,S=0.25>t=0.01,是,循环;
执行第三次,S=S-m=0.125,m==0.0625,n=3,S=0.125>t=0.01,是,循环;
执行第四次,S=S-m=0.0625,m==0.03125,n=4,S=0.0625>t=0.01,是,循环;
执行第五次,S=S-m=0.03125,m==0.015625,n=5,S=0.03125>t=0.01,是,循环;
执行第六次,S=S-m=0.015625,m==0.0078125,n=6,S=0.015625>t=0.01,是,循环;
执行第七次,S=S-m=0.0078125,m==0.00390625,n=7,S=0.0078125>t=0.01,否,输出n=7.故选C.
【点评】本题考查程序框图中的循环结构，基本知识的考查．
真题2（2014·新课标全国卷Ⅰ理科·第7题·新课标全国卷Ⅰ文科·第9题）执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的=（ ）
A. B. C. D.
【考点分析】程序框图．
【解析】输入；
时：；
时：；
时：；
时：输出 .故选D.
【点评】本题主要考查程序框图中的循环结构，基本知识的考查．
真题3（2013·新课标全国卷Ⅰ理科·第5题·新课标全国卷Ⅰ文科·第7题）运行如下程序框图，如果输入的，则输出s属于（ ）
A.[-3,4] B.[-5,2] C .[-4,3] D.[-2,5]
【考点分析】程序框图，分段函数值域．
【解析】有题意知，
当时，，
当时，，
∴输出s属于[-3,4]，故选A.
【点评】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题.
5．考题预测
1. 阅读程序框图，输出的结果s的值为(　　)
A．0 B. C. D．－
解析：本题是求数列{sin}前2013项的和，数列是，，0，－，－，0，，，0，－，－，0，…具有周期性，周期为6且每个周期内6项的和为0，故前2013项求和得＋＋0＝，故选C.
2. 执行如图所示的程序框图，则输出的λ是(　　)
A．－4 B．－2 C．0 D．－2或0
解析：λa＋b＝(λ＋4，－3λ－2)，依题意，若λa＋b与b垂直，则有(λa＋b)·b＝4(λ＋4)－2(－3λ－2)＝0，解得λ＝－2；若λa＋b与b平行，则有－2(λ＋4)＝4(－3λ－2)，解得λ＝0.结合题中的程序框图，输出的λ是－2，选B.
点评：本题中条件虽然是满足平行或垂直关系时，输出λ，但因为λ初值为－4，λ＝λ＋1，所以当λ＝－2时，两向量垂直，输出λ＝－2后即结束循环．
3．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是(　　)
A．2014 B．－1 C． D．2
解析：程序运行过程依次为：
k＝0<2014→S＝＝－1，k＝1<2014→S＝＝，k＝2<2014→S＝＝2，k＝3，故S的值依次循环取值－1，，2，周期为3，因为2014＝671×3＋1，故最后输出结果为S＝－1，故选B.
点评：遇到这种数值较大，循环次数较多的情形，可将数值变小，∵2014能被3整除，故可取k<6，k<3来检验输出结果．
4.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为________．
解析:运行过程为：x＝1，y＝1，z＝2→x＝1，y＝2，z＝3→x＝2，y＝3，z＝5→x＝3，y＝5，z＝8→x＝5，y＝8，z＝13→x＝8，y＝13，z＝21→输出＝.
5．阅读如图所示的程序框图．若输入n＝5，则输出k的值为________．
解析:执行程序框图可得，n＝5，k＝0；n＝16，k＝1；n＝49，k＝2；n＝148，k＝3；n＝148×3＋1>150，循环结束，故输出的k值为3.
冯江华执笔 2015-11-30

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