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2016高考概率与统计考点分析
黄石有色一中 周丹
摘要：“概率与统计”是高中数学新课程的重要组成部分，也是高考的重点，在一定程度上反映数学应用性。 我们知道，统计学注重的是数据的收集、整理、分析，而概率论是研究随机现象的科学。 如何加强学生对“概率与统计”的内容与要求以及教学的方法和策略的理解是本文阐述的重点，通过实际的案例分析能有效地让学生们加深对“概率与统计” 的认识。
关键词：概率与统计 考点 案例分析
前言：普通高中课程标准提出了明确的要求，将概率与统计作为高中数学课程的必修内容。从目前信息时代的要求来看，概率与统计实用性非常广泛，不仅涉及到生活的方方面面，也涉及到一些知识学科和领域。从整体上看，高中必修课程有五大模块所组成，，在模块当中“概率统计”是其中的重点。从目前高中数学教材来看，除了传统的基础知识和基本技能之外， 还加入了向量、算法、概率、统计等内容，其中“概率统计” 原为大学教材。这充分体现了“概率统计” 知识的在信息时代运用的重要性和实用性。
一、高中数学新课程“概率与统计”的内容和特点分析
（一）统计学的内容和特点
统计学是研究如何收集、整理、分析、数据的科学，人们在对待事物的发展、现象的认识必须依赖这门学科进行，从而指导人们的实践活动。在客观世界中，对事物的理解和认识除了感官之外，必须要通过一定的观察和试验才能得出对事物了解的真实数据，通过这些数据分析来正确的认识事物的发展过程和现象。统计部分内容有如下几个方面：
1、随机抽样
　（1）对照具体的问题、具体的事物来理解和加深对随机抽样的必要性和重要性的认识。（2）对事物进行分析统计过程当中，能够掌握用随机抽样的办法来抽取样本，了解随机取样的科学性和正确性，并通过实际的例子来了解分层取样、系统抽样两种方法，并对方法进行正确的认识。
2、用样本估计总体
　（1）频率分布表、画频率分布直方图是统计知识当中重要的一个方面，力求学生能够掌握；学生要能够根据实际问题所产生的需求来进行规范化的、合理化的样本选择，并能够从样本数据找出最基本、最有特征性的数字，并加以详细的描述和解释。（2）用样本估计总体的思想是学生领悟统计知识的必要环节，学生要能够在实际问题当中学会用样本的基本数字特征估计总体基本数字，找出有规律性、合理的理由和方法来阐述样本频率分布和数字特征的随机性。（3）统计数据出来以后，学生要能够对数据进行合理的分析，并对相关的决策制定阐述相关理由，正确的认识统计的功能和作用，并能够将统计思维与确定性思维之间的差异进行理解。　　　　
3、变量的相关性
　（1）变量的相关性要求在实际的问题当中，学生能够依据相关的变量数据作出相应的散点图，并依据散点图描述变量之间的相互关系和相互作用。（2）学生要能够掌握用不同的估算方法来阐述普通变量之间的线性关系，理解线形关系的概念，并熟知最小二乘法的思想，并能够结合线性回归方程系数公式建立起相关的线性回归方程，并能够正确的进行阐述。
统计部分知识框图（如上所示）
4、统计部分教材特点分析
（1）典型案例作用。在统计部分教材当中，典型案例的作用十分明显，利用与实际生活息息相关的案例来进行统计内容的编排，让学生亲身体验数据处理的全过程；并在此过程当中对统计的知识与方法和相关思想进行渗透和理解，于此同时让学生领悟到在处理实际生活问题当中统计的作用，加强对统计知识理解和兴趣培养。
（2）目前教科书各节的开头部分，均采用需求问题情节来引导学生的思维，让学生在具体的问题当中学会自我总结，并运用抽象的观念来寻找一般性的规律，这样能够使得学生对统计思想的来源进行深度的理解，激发学生对创新思维的追求，继而形成学生独特的统计能力。
（3）在目前教科书当中往往能够通过思考、探究、阅读理解等内容对学生开放性思维留下了一定的拓展空间。
（二）随机的内容和特点
在自然界与人类的社会活动中记存在确定性现象也存在随机现象，这样的例子在日常生活中随处可见并不奇怪。从一个大的方面来说概率是研究随机现象规律的学科，而从小的方面来说是人们认识客观世界、客观事物这思维模式和一种实际解决问题的方法。概率部分内容有以下内容：（1）在日常生活当中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，并针对概率的意义进行有力的评述，对频率与概率概念的理解和认识，并加以区分开来。（2）要求学生对两个互斥事件的概率加法公式进行记忆，必须针对古典概型及其概率计算公式进行理解。而且在实际过程当中，能够用列举法计算客观世界、客观事物随机事件所含的基本事件数和事件发生的概率，并加以详细的描述。（3）要求学生对随机数的意义能够清醒的认识，并且能运用模拟方法估计概率，对几何概型的意义进行相应的理解和认识。
概率部分知识框图（如上所示）
概率部分教材特点分析：
（1）概率在实际中的应用
在目前教材当中，无论对概率的阐述、说明和定义都列举了实际的生活实例的来进行说明，涉及的问题很多，不仅讨论了彩票中奖的概率，也阐述了体育比赛当中游戏公平性的问题，还对天气预报降水概率进行了分析总结，与此同时还列举了遗传机理的统计规律、储蓄卡密码等等。这些实际应用有助于学生对概率进行正确的认识，也有助于在信息时代学生将来发展的选择和对事物的理解，从而更好地为社会服务。
（2）注重统计思想和计算结果的解释
统计思想从小方面来说，在学生阶段是为了解决数学上的难题；而从一个大的方面来说，是为了培养学生正确思想方法和解决实际问题的能力。从长远的角度上来说，统计思想在学生阶段培养非常重要。在目前教材当中对统计思想把握尤其明确。并且能够留下一定的思想拓展空间让学生进行进一步的探究实践活动，教材的灵活性熟悉促使学生灵活性的思维和无限拓展的空间想像，有助于学生创新思维的发展。
（3）注重现代信息技术手段的应用
当今的世界在迈向一个崭新的信息技术广泛应用的时代，由此对学生未来的发展教材给予了充分的考虑。现代教育手段、技术基础工具给学生提供了良好的学习发展的环境，使得学生在丰富多彩的教育环境当中得到了熏陶。基于概率统计的特点，现代教育技术手段让原本枯燥的教学内容以活灵活现的、一目了然的形式展现在学生面前，使得学生学习兴趣更加浓厚，也使得学生对概率的演变过程认识更加清晰。
二、概率统计部分考点分析
（一）概率统计命题特点
1、从近几年的高考命题来看，都会涉及到概念统计的相关解答题目，分值也占据10分到20分左右。从题目的类型来看，以实际应用为主要出发点，更注重应用能力的考查，一方面设置了灵活的题目情景，如一些测试成绩、产品合格率、计算机上网、串联并联系统、温度调节等等，而且还设置了较为灵活的分层次的难度。所以针对学生高考复习而言，要注意复习的全面性和及时性，以及应用性的了解和认知，避免考试的过程当中产生混乱和某些应用不了解的情况。
2、就考查内容而言, 以小题形式出现的是用概率定义或基本事件求事件概率；以大题形式出现的是随机变量取值－取每一个值的概率－列分布列－求期望方差常等等。与此同时在选择与填空中也常常出现概率与统计部分题目，考查学生对概念和应用基础性的认识。
（二）考点透视
1．随机事件的概率；
2．古典概型与几何概型
3．离散型随机变量及其分布列，均值与方差
4．二项分布及其应用
5．正态分布
6.随机抽样
7.用样本估计总体
8．变量间的相关关系与统计案例
（三）例题解析
考点1. 随机事件的概率及古典概型和几何概型
1.随机事件及其概率：
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数；称事件A出现的比例=为事件A出现的频率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数n的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
2.概率的基本性质
（1）概率的取值范围是0—1之间,即0≤P(A)≤1.
（2）必然事件的概率是1.
（3）不可能事件的概率是0
（4）当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和,即P(A∪B)=P(A)+P(B),这就是概率的加法公式.也称互斥事件的概率的加法公式.
（5）事件A与事件B互为对立事件,A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,P(A∪B)=1.所以1=P(A)+P(B),P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).
3.古典概型：
基本事件具有如下的两个特点：
①任何两个基本事件是互斥的；
②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.
在一个试验中如果
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）
②每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型简称古典概型.
古典概型的概率公式
4.几何概型：
对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.
几何概型的基本特点：
a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
b.每个基本事件出现的可能性相等.
几何概型的概率公式．
例1.【2015高考广东，理4】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）
A．1 B. C. D.
【答案】．
【解析】从袋中任取个球共有种，其中恰好个白球个红球共有种，所以从袋中任取的个球恰好个白球个红球的概率为，故选．
本题主要考查排列组合，古典概率的计算和转化与化归思想应用、运算求解能力，解答此题关键在于理解所取球恰好个白球个红球即是分步在白球和红球各取个球的组合。
2.【2015高考广东，文7】已知件产品中有件次品，其余为合格品．现从这件产品中任取件，恰有一件次品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
本题主要考查的是古典概型，属于容易题．解题时要抓住重要字眼“恰有”，否则很容易出现错误．列举基本事件一定要注意按顺序列举，做到不重不漏，防止出现错误．解本题需要掌握的知识点是古典概型概率公式，即．
3.【2015高考陕西，理11】设复数，若，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
本题主要考查的是复数的模和几何概型，属于中档题．解几何概型的试题，一般先求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件构成的区域长度（面积或体积），最后代入几何概型的概率公式即可．解本题需要掌握的知识点是复数的模和几何概型的概率公式，即若（、），则，几何概型的概率公式．
4.【2015高考湖北，理7】在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，对事件“”，如图（1）阴影部分，
对事件“”，如图（2）阴影部分，
对为事件“”，如图（3）阴影部分，
由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，
根据几何概型公式可得.
（1） （2） （3）
对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．
5.【2015高考湖北，文8】在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】.
【解析】由题意知，事件“”的概率为，事件“”的概率，其中，，所以，故应选.
本题考查几何概型和微积分基本定理，涉及二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域.以几何概型为依托，融合定积分的几何意义、二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域等内容，充分体现了转化的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生灵活运用基础知识解决实际问题的能力.
6.【2015高考福建，理13】如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，函数 ，若在矩形 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．
【答案】
【解析】由已知得阴影部分面积为．所以此点取自阴影部分的概率等于．
本题考查几何概型，当实验结果由等可能的无限多个结果组成时，利用古典概型求概率显然是不可能的，可以将所求概率转化为长度的比值（一个变量）、面积的比值（两个变量）、体积的比值（三个变量或根据实际意义）来求．
7.【2015高考福建，文8】如图，矩形中，点在轴上，点的坐标为．且点与点
在函数的图像上．若在矩形内随机
取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知得，，，．则矩形面积为，阴影部分面积为，故该点取自阴影部分的概率等于．
本题考查几何概型，当实验结果由等可能的无限多个结果组成时，利用古典概型求概率显然是不可能的，可以将所求概率转化为长度的比值（一个变量）、面积的比值（两个变量）、体积的比值（三个变量或根据实际意义）来求，属于中档题．
8.【2015高考新课标1，文4】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】从中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为，故选C.
求解古典概型问题的关键是找出样本空间中的基本事件数及所求事件包含的基本事件数，常用方法有列举法、树状图法、列表法法等，所求事件包含的基本事件数与样本空间包含的基本事件数的比值就是所求事件的概率.
9.【2015高考山东，文7】在区间上随机地取一个数,则事件“”发生的概率为( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】由得，，所以，由几何概型概率的计算公式得，，故选.
本题考查几何概型及对数函数的性质，在理解几何概型概率计算方法的前提下，解答本题的关键，是利用对数函数的单调性，求得事件发生的范围.
10.【2015高考重庆，文15】在区间上随机地选择一个数p，则方程有两个负根的概率为________.
【答案】
【解析】方程有两个负根的充要条件是即或，又因为，所以使方程有两个负根的p的取值范围为，故所求的概率，故填：.
本题考查几何概率及一元二次方程实根的分布，首先将方程有两个负根的充要条件找出来，求出的取值范围，再利用几何概率公式求解，本题属于中档题，注意运算的准确性.
11.【2015高考山东，文16】某中学调查了某班全部名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
未参加演讲社团
（1）从该班随机选名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的名同学中，有5名男同学名女同学现从这名男同学和名女同学中各随机选人，求被选中且未被选中的概率.
【答案】(1) ；(2).
【解析】
（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有人，故至少参加上述一个社团的共有人，所以从该班级随机选名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为
(2)从这名男同学和名女同学中各随机选人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
，共个.
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.
事件“被选中且未被选中”所包含的基本事件有：，共个.
因此被选中且未被选中的概率为.
本题考查了古典概型概率及随机事件的概率，在正确理解题意的情况下，能准确确定基本事件数是关键.本题是一道应用题，也是一道能力题，属于中等题，较全面地考查了概率的基础知识，同时考查考生的计算能力及应用数学知识，解决实际问题的能力.
12.【2015高考四川，文17】一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.
(Ⅰ)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法.下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处)
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
3
2
1
4
5
3
2
4
5
1
(Ⅱ)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P1坐到5号座位的概率.
【解析】(Ⅰ)余下两种坐法如下表所示
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
3
2
4
1
5
3
2
5
4
1
(Ⅱ)若乘客P1做到了2号座位，其他乘客按规则就坐
则所有可能坐法可用下表表示为
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
2
1
3
4
5
2
3
1
4
5
2
3
4
1
5
2
3
4
5
1
2
3
5
4
1
2
4
3
1
5
2
4
3
5
1
2
5
3
4
1
于是，所有可能的坐法共8种
设“乘客P5坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4
所以P(A)＝
答：乘客P5坐到5号座位的概率为.
本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法分析和解决问题的能力，考查推理论证能力、应用意识.
概率统计问题，文科的考查重点是随机事件、古典概型以及列举法求概率，本题需要考生根据条件细致填写座位表，通常采取按照某种顺序，如本题中已经设定的P1，P2，P3，P4，P5的座位号顺序填写，只要能正确填写好表格，相应概率随之得到.属于简单题.
13.【2015高考陕西，文19】随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
晴
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
(I)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(II)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.
【答案】(I) ； (II) .
【考点定位】概率与统计.
【名师点睛】(1)利用古典概型概率公式求概率时，求试验的基本事件和事件的基本事件的个数，必须利用树状图.表格.集合等形式把事件列举出来，格式要规范；（2）列举基本事件时，要注意找规律，要不重不漏.本题属于基础题，注意运算的准确性.
14.【2015高考北京，文17】（本小题满分13分）某超市随机选取位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，
整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
甲
乙
丙
丁
√
×
√
√
×
√
×
√
√
√
√
×
√
×
√
×
√
×
×
×
×
√
×
×
（I）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（II）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买中商品的概率；
（III）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？
【答案】（I）0.2；（II）0.3；（III）同时购买丙的可能性最大.
【解析】
试题分析：本题主要考查统计表、概率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（I）由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数，计算出概率；（II）先由统计表读出顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买中商品的人数，再计算概率；（III）由统计表读出顾客同时购买甲和乙的人数为，顾客同时购买甲和丙的人数为，顾客同时购买甲和丁的人数为，分别计算出概率，再通过比较大小得出结论.
试题解析：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这位顾客中，有位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为.
（Ⅱ）从统计表可以看出，在在这位顾客中，有位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率可以估计为.
（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为，
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.
考点：统计表、概率.
本题主要考查的是统计表和古典概型，属于中档题．解题时一定要抓住重要字眼“估计”和“最大”，否则很容易失分．解此类统计表的试题一定要理解透彻题意，提取必要的信息．解本题需要掌握的知识点是古典概型概率公式，即．
考点2离散型随机变量及其分布列，均值与方差
1.随机变量及相关概念
①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.
②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.
③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
①离散型随机变量的分布列的概念和性质
一般地，设离散型随机变量可能取的值为，，……，，……，取每一个值（1，2，……）的概率P（）=，则称下表.
…
…
P
…
…
为随机变量的概率分布，简称的分布列.
由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：
（1），1，2，…;（2）…=1.
②常见的离散型随机变量的分布列：
（1）二项分布
次独立重复试验中，事件A发生的次数是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n，并且，其中，，随机变量的分布列如下：
0
1
…
…
P
…
称这样随机变量服从二项分布，记作，其中、为参数，并记： .
（2） 几何分布
在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量，“”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生。随机变量的概率分布为：
1
2
3
…
k
…
P
p
qp
…
…
随机变量的数学期望和方差
(1)离散型随机变量的数学期望：…；期望反映随机变量取值的平均水平.
(2)离散型随机变量的方差：……；
方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.
（3）基本性质：；.
(4)若～B(n，p)，则 ; D =npq（这里q=1-p） ;
如果随机变量服从几何分布，，则，D =其中q=1-p。
例1.【2015高考广东，理13】已知随机变量服从二项分布，若，，则 .
【答案】．
【解析】依题可得且，解得，故应填入．
本题主要考查二项分布的均值和方差应用及运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于理解熟记二项分布的均值和方差公式，并运用其解答实际问题．
2【2015高考福建，理16】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.
(Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
【解析】（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，
则
（Ⅱ）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3
又
所以X的分布列为
所以．学优高考网
本题考查古典概型和随机变量的期望，第一问，将事件转化为所选的三个密码都不是该银行卡密码，共有种，而基本事件总数为，代入古典概型概率计算公式；第二问，写出离散型随机变量所有可能取值，并求取相应值的概率，写成分布列求期望即可．确定离散型取值时，要科学兼顾其实际意义，做到不重不漏，计算出概率后要注意检验概率和是否为1，以便及时矫正。
3.【2015高考山东，理19】若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分.
（I）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；
（II）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望.
试题分析：（I）明确“三位递增数”的含义，写出所有的三位符合条件的“三位递增数”；
（II）试题解析：明确随机变量的所有可能取值及取每一个值的含义，结合组合的知识，利用古典概型求出的分布列和数学期望.
解：（I）个位数是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；
（II）由题意知，全部“三位递增烽”的个数为
随机变量X的取值为：0，-1，1，因此
, ,
所以X的分布列为
X
0
-1
1
P
因此
本题在一个新概念的背景下，考查了学生对组合、概率、离散型随机变量的分布列等知识，意在考查学生对新知识的理解与应用能力，以及利用所学知识解决遇到了的问题的能力，解决此类问题的关键是从实际问题中抽象出数学模型.
4.【2015高考安徽，理17】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.
故的分布列为
.
高考中常常通过实际背景考查互斥事件、对立事件、相互独立事件、独立重复试验的概率计算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，同时也考查二项分布、超几何分布等特殊的概率模型.解读此类问题时要注意分清类型，运用相应的知识进行解答.本题易犯的错误是事件之间的关系混乱，没有理解题中给定的实际意义.
5.【2015高考天津，理16】（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(I)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；
(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.
【解析】(I)由已知，有
所以事件发生的概率为.
(II)随机变量的所有可能取值为
所以随机变量的分布列为
所以随机变量的数学期望
本题主要考查古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.把实际生活中的乒乓球比赛与数学中的古典概型相结合，体现了数学的实际应用价值与研究价值，也体现了数学中概率、期望对实际生活中的一些指导作用.
6.【2015高考重庆，理17】 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。
（1）求三种粽子各取到1个的概率；
（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望
X
0
1
2
P
故．
在解古典概型概率题时，首先把所求样本空间中基本事件的总数，其次所求概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率；求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解.
7.【2015高考四川，理17】某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队
（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.
【解析】（1）由题意，参加集训的男女生各有6名.
参赛学生全从B中抽取（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为.
因此，A中学至少1名学生入选的概率为.
（2）根据题意，X的可能取值为1，2，3.
，
，
，
所以X的分布列为：
因此，X的期望为.
应用问题一定要注意弄清题意，找出题中的关键字词.在本题中，就要分清楚集训队与代表队的区别.求概率时，如果直接求比较复杂，就应该先求其对立事件的概率.超几何分布和二项分布是中学中的两个重要概率分布，考生必须牢固掌握.本题的概率分布就是一个超几何分布问题.
8.【2015高考湖北，理20】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品．生产1吨产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
W
12
15
18
P
0.3
0.5
0.2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量．
（Ⅰ）求的分布列和均值；
（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
目标函数为 ．
当时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为．
将变形为，
当时，直线：在轴上的截距最大，
最大获利．
当时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为．
将变形为，
当时，直线：在轴上的截距最大，
最大获利．
当时，（1）表示的平面区域如图3，
四个顶点分别为.
将变形为，
当时，直线：在轴上的截距最大，
最大获利．
故最大获利的分布列为
8160
10200
10800
0.3
0.5
0.2
因此，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率，
由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为
二项分布是高中概率中最重要的概率分布模型，是近年高考非常重要的一个考点.独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．
9【2015高考陕西，理19】（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为，只与道路畅通状况有关，对其
容量为的样本进行统计，结果如下：
（分钟）
25
30
35
40
频数（次）
20
30
40
10
（I）求的分布列与数学期望；
（II）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授
从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
试题解析：（I）由统计结果可得的频率分步为
（分钟）
25
30
35
40
频率
0.2
0.3
0.4
0.1
以频率估计概率得的分布列为
25
30
35
40
0.2
0.3
0.4
0.1
从而 （分钟）
故.
本题主要考查的是离散型随机变量的分布列与数学期望和独立事件的概率，属于中档题．解题时一定要抓住重要字眼“不超过”，否则很容易出现错误．解离散型随机变量的分布列的试题时一定要万分小心，特别是列举随机变量取值的概率时，要注意按顺序列举，做到不重不漏，防止出现错误．
10. 【2015高考湖南，理18】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.
试题分析：（1）记事件｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝
｛顾客抽奖1次获一等奖｝，｛顾客抽奖1次获二等奖｝，｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可知
与相互独立，与互斥，与互斥，且，，，再
利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知，分别求得，，，，即可知的概率分布及其期望.
试题解析：（1）记事件｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝
｛顾客抽奖1次获一等奖｝，｛顾客抽奖1次获二等奖｝，｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，且，，，∵，，∴，

，
故所求概率为；
（2）
本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一
直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.
考点3：随机抽样，用样本估计总体
随机抽样
（1）．简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法，简单随机抽样有两种选取个体的方法：放回和不放回，我们在抽样调查中用的是不放回抽样，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．
（2）．抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，又不方便，如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平，随机数表法的优点与抽签法相同，缺点是当总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体容量较小的抽样类型．
（3）．简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为，但是这里一定要将每个个体入样的可能性、第n次每个个体入样的可能性、特定的个体在第n次被抽到的可能性这三种情况区分开来，避免在解题中出现错误
2.用样本估计总体
统计图表的含义
(1)频率分布表
①含义：把反映总体频率分布的表格称为频率分布表．
②频率分布表的画法步骤：
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．
(2)频率分布直方图：能够反映样本的频率分布规律的直方图．
(3)频率分布折线图：将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起来，就得到频率分布折线图．
(4)总体密度曲线：如果将样本容量取得足够大，分组的组距足够小，则相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线，即总体密度曲线．
(5)茎叶图的画法步骤
第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；
第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列；
第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的两侧．
样本的数字特征
(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．
(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位数．
(3)平均数：把称为a1，a2，…，an这n个数的平均数．
(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，则这组数据的标准差和方差分别是
s＝
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]
例1.【2015高考湖北，理2】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
【答案】B
【解析】依题意，这批米内夹谷约为石，选B.
《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种.该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.本题“米谷粒分”是我们统计中的用样本估计总体问题.
2.【2015高考安徽，理6】若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准 差为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】设样本数据，，，的标准差为，则，即方差，而数据，，，的方差，所以其标准差为.故选C.
已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解.若随机变量的均值、方差、标准差，则数的均值、方差、标准差.
3.【2015高考湖南，理12】在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间上的运动员人数是 .
【答案】.
试题分析：由茎叶图可知，在区间的人数为，再由系统抽样的性质可知人数为人.
本题主要考查了系统抽样与茎叶图的概念，属于容易题，高考对统计相关知识的考查，重点
在于其相关的基本概念，如中位数，方差，极差，茎叶图，回归直线等，要求考生在复习时注意对这些方
面的理解与记忆.
4.【2015江苏高考，2】已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.
【答案】6
【解析】
样本数据的算术平均数，即．解答此类问题关键为概念清晰，类似概念有样本方差，标准差.其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，是平均数．将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
5.【2015高考重庆，文4】重庆市2013年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如下
0
8
9
1
2
5
8
2
0
0
3
3
8
3
1
2
则这组数据中的中位数是（ ）
19 (B) 20 (C ) 21.5 (D )23
【答案】B
【解析】由茎叶图可知总共12个数据，处在正中间的两个数是第六和第七个数，它们都是20，由中位数的定义可知：其中位数就是20，故选B.
本题考查复数的概念和运算，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.
6.【2015高考陕西，文2】某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）
A．93 B．123 C．137 D．167
【答案】
【解析】由图可知该校女教师的人数为，故答案选.
1.扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表各部分数量占总数的百分数.
2.通过扇形图可以很清晰地表示各部分数量同总数之间的关系.
7.【2015高考山东，文6】为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.
其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( )
（A）①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④
【答案】
【解析】甲地数据为：；乙地数据为：；
所以，
即正确的有①④，故选.
本题考查茎叶图的概念以及平均数、方差、标准差的概念及其计算，解答本题的关键，是记清公式，细心计算.
8.【2015高考北京，文4】某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有人，则该样本的老年教师人数为（ ）
A． B． C． D．
类别
人数
老年教师
中年教师
青年教师
合计
【答案】C
【解析】由题意，总体中青年教师与老年教师比例为；设样本中老年教师的人数为，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即，解得，故选C.
本题主要考查的是分层抽样，属于容易题．解题时一定要清楚“”是指抽取前的人数还是指抽取后的人数，否则容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是分层抽样，即抽取比例．
9.【2015高考湖北，文14】某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示.
（Ⅰ）直方图中的_________；
（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为_________.
【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000.
【解析】由频率分布直方图及频率和等于1可得，
解之得.于是消费金额在区间内频率为，所以消费金额在区间内的购物者的人数为：，故应填3；6000.
以实际问题为背景，重点考查频率分布直方图，灵活运用频率直方图的规律解决实际问题，能较好的考查学生基本知识的识记能力和灵活运用能力.
10.【2015高考安徽，文17】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为
（Ⅰ）求频率分布图中的值；
（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（Ⅲ）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.
【答案】（Ⅰ）0.006；（Ⅱ）；（Ⅲ）
【解析】
（Ⅰ）因为，所以
（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为.
（Ⅲ）受访职工评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即为;
受访职工评分在[40,50)的有： 50×0.004×40＝2（人），即为.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是
又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即，故所求的概率为.
本题主要考查了频率分布直方图、概率和频率的关系、古典概型等基础知识.
利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重、漏的情况.
11.【2015高考广东，文17】（本小题满分12分）某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的
方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
【答案】（1）；（2），；（3）．
试题分析：（1）由频率之和等于可得的值；（2）由最高矩形的横坐标中点可得众数，由频率之和等于可得中位数；（3）先计算出月平均用电量为，，，的用户的户数，再计算抽取比例，进而可得月平均用电量在的用户中应抽取的户数．
试题解析：（1）由得：，所以直方图中的值是
（2）月平均用电量的众数是
因为，所以月平均用电量的中位数在内，设中位数为，由得：，所以月平均用电量的中位数是
（3）月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，抽取比例，所以月平均用电量在的用户中应抽取户
考点：1、频率分布直方图；2、样本的数字特征（众数、中位数）；3、分层抽样.
本题主要考查的是频率分布直方图、样本的数字特征（众数、中位数）和分层抽样，属于中档题．解题时一定要注意频率分布直方图的纵轴是，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是频率分布直方图、样本的数字特征（众数、中位数）和分层抽样，即在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于，众数是最高矩形的横坐标中点，中位数左边和右边的直方图的面积相等，，
12.【2015高考新课标2，理18】（本题满分12分）
某公司为了解用户对其产品的满意度，从，两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．
本题考查茎叶图、互斥事件和独立事件，根据茎叶的密集程度比较平均值大小，如果密集主干部位在高位，那么平均值大；方差看它们数字偏离程度，偏离越大则方差大．读懂所求概率事件包含的含义，利用分类讨论思想将事件分解为几个互斥的情况来求概率．
13.【2015高考广东，理17】某工厂36名工人的年龄数据如下表：
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
1
40
10
36
19
27
28
34
2
44
11
31
20
43
29
39
3
40
12
38
21
41
30
43
4
41
13
39
22
37
31
38
5
33
14
43
23
34
32
42
6
40
15
45
24
42
33
53
7
45
16
39
25
37
34
37
8
42
17
38
26
44
35
49
9
43
18
36
27
42
36
39
（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的平均值和方差；
（3）36名工人中年龄在与之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？
∴ 年龄在与之间共有人，所占百分比为．
本题主要考查系统抽样、样本的均值与方差、样本数据统计等基础知识和运算求解能力，属于中档题，整体难度不大，解答本题关键在于第（1）问要准确由系统抽样的定义得出对应的样本数据，第（2）（3）问则直接准确运用公式即可解答，但需注意运算过程和运算方法的应用．
14.【2015高考福建，文18】全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．
组号
分组
频数
1

2
2

8
3

7
4

3
（Ⅰ）现从融合指数在和内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在的概率；
（Ⅱ）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
【解析】解法一：（I）融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为，，；融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为，．从融合指数在和内的“省级卫视新闻台”中随机抽取家的所有基本事件是：，，，，，，，，，，共个．
其中，至少有家融合指数在内的基本事件是：，，，，，，，，，共个．
所以所求的概率．
（II）这家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于．
解法二：（I）融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为，，；融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为，．从融合指数在和内的“省级卫视新闻台”中随机抽取家的所有基本事件是：，，，，，，，，，，共个．
其中，没有家融合指数在内的基本事件是：，共个．
所以所求的概率．
（II）同解法一．
本题考差古典概型和平均数，利用古典概型的“等可能”“有限”性的特点，能方便的求出概率．由实际意义构造古典概型，首先确定试验的样本空间结构并计算它所含样本点总数，然后再求出事件A所含基本事件个数，代入古典概型的概率计算公式；根据频率分布表求平均数，对于每组的若干个数可以采取区间中点值作为该组数据的数值，再求平均数．
考点4 ： 正态分布
1.正态分布的概念及主要性质
（1）正态分布的概念
如果连续型随机变量 的概率密度函数为 ，x 其中、为常数，并且＞0，则称服从正态分布，记为（，）.
（2）期望E =μ，方差.
（3）正态分布的性质
2.正态曲线具有下列性质:
①曲线在x轴上方，并且关于直线x＝μ对称.
②曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低.
③曲线的对称轴位置由μ确定；曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”；反之越“高瘦”.
3标准正态分布
当=0，=1时服从标准的正态分布，记作（0，1）
4．两个重要的公式
①,② .
5.与二者联系.
若，则 ;
②若，则.
例1.【2015高考湖北，理4】设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．对任意正数， D．对任意正数，
【答案】C
正态曲线的性质
①曲线在轴的上方，与轴不相交．
②曲线是单峰的，它关于直线对称．
③曲线在处达到峰值.
④曲线与轴之间的面积为1.
⑤当一定时，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示
⑥μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中．如图乙所示．
2.【2015高考山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取
一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布 ，则 ，
。）
（A）4.56% （B）13.59% （C）27.18% （D）31.74%
【答案】B
本题考查了正态分布的有关概念与运算，重点考查了正态密度曲线的性质以及如何利用正态密度曲线求概率，意在考查学生对正态分布密度曲线性质的理解及基本的运算能力.
3.【2015高考湖南，理7】在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
A.2386 B.2718 C.3413 D.4772
附：若，则，
【答案】C.
试题分析：根据正态分布的性质，，故选C.
本题主要考查正态分布与几何概型等知识点，属于容易题，结合参考材料中给出的数据，结
合正态分布曲线的对称性，再利用几何概型即可求解，在复习过程中，亦应关注正态分布等相对冷门的知识点的基本概念.
考点5：变量间的相关关系及统计案例
1．变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．
2．两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．
(2)回归方程为＝x＋，其中＝，＝－．
(3)通过求Q＝ (yi－bxi－a)2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．
(4)相关系数：
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r<0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
3．独立性检验
假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．
例1.【2015高考湖北，文4】已知变量和满足关系，变量与正相关. 下列结论中正确的是（ ）
A．与负相关，与负相关 B．与正相关，与正相关
C．与正相关，与负相关 D．与负相关，与正相关
【答案】.
【解析】因为变量和满足关系，其中，所以与成负相关；又因为变量与正相关，不妨设，则将代入即可得到：，所以，所以与负相关，综上可知，应选.
将正相关、负相关、线性回归方程等联系起来，充分体现了方程思想在线性回归方程中的应用，能较好的考查学生运用基础知识的能力.其易错点有二：其一，未能准确理解正相关与负相关的定义；其二，不能准确的将正相关与负相关问题进行转化为直线斜率大于和小于0的问题.
2.【2015高考新课标2，理3】根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( )
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【答案】D
【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D．
本题以实际背景考查回归分析中的正、负相关，利用增长趋势或下降趋势理解正负相关的概念是解题关键，属于基础题．
3.【2015高考福建，理4】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入 （万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出 （万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程 ，其中 ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )
A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元
【答案】B
【解析】由已知得（万元），（万元），故，所以回归直线方程为，当社区一户收入为15万元家庭年支出为（万元），故选B．
本题考查线性回归方程，要正确利用平均数公式计算和理解线性回归方程的意义，属于基础题，要注意计算的准确性．
4.【2015高考新课标1，理19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
46.6
56.3
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中 ， =
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
(ⅰ)年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
(ⅱ)年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令，先求出建立关于的线性回归方程，即可关于的回归方程；（Ⅲ）(ⅰ)利用关于的回归方程先求出年销售量的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，列出关于的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.
试题解析：（Ⅰ）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型.
故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分
本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误.
5.【2015高考重庆，文17】随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号
1
2
3
4
5
储蓄存款（千亿元）
5
6
7
8
10
(Ⅰ)求y关于t的回归方程
(Ⅱ)用所求回归方程预测该地区2015年（）的人民币储蓄存款.
附：回归方程中
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）千亿元.
试题分析：（Ⅰ）列表分别计算出，的值，然后代入求得，再代入求出值，从而就可得到回归方程，
（Ⅱ）将代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款．
试题解析： (1)列表计算如下
i
1
1
5
1
5
2
2
6
4
12
3
3
7
9
21
4
4
8
16
32
5
5
10
25
50
15
36
55
120
这里
又
从而.
故所求回归方程为.
(2)将代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为
本题考查线性回归直线方程的求法及应用，采用列表方式分别求出，的值然后代入给出的公式中进行求解.本题属于基础题，特别注意运算的准确性.
结语
在高中数学“概率统计”学习阶段，在课堂上通过实际生活场景，学习随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法；针对于实际问题，结合“以学生为本” 的教学理念，使得学生较为系统的将数据的收集与整理整个过程完全渗透和理解，加深对统计和确定性的思维理解。针对随机现象，学生能够结合一定的实例建立简单的概率模型，通过试验、计算模拟估计来阐述事件发生的随机概率。虽然在高中阶段“概率统计” 知识点并没有进入到一个很深的程度，但是也为学生提供了一个良好的数学应用性的认识和平台，为学生将来的发展、学科的学习打下了坚实的基础，这不仅促进了学生对概率统计知识的认识，也从一定程度上扩展了学生学习数学的视野，极大地激发了高中学生学习数学的兴趣度，为学生缔造应用与创新意识打下了良好的基础。
参考文献：
[1] 陈立强. 高中数学教学概率统计部分浅析[D]. 华中师范大学 2011
[2] 王胜青. 新课改背景下的师专“概率论与数理统计”教学研究[D]. 西北师范大学 2004
[3] 冷婵. 高中数学教师对概率统计及其教学认识调查研究[D]. 辽宁师范大学 2008
[4] 冯轶伟. 信息技术与八年级概率统计教学整合的研究与实践[D]. 苏州大学 2007
[5] 何莎莎. 9-12年级学生对标准差概念理解的调查研究[D]. 华东师范大学 2007

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