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苏科版八年级下学期期末压轴题专项练习
一．分式的基本性质（共1小题）
1．若＝2，则＝　 　．
二．分式的加减法（共1小题）
2．定义：若两个分式的差的绝对值为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．
（1）下列3组分式：
①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有 　 　（只填序号）；
（2）若正实数a，b互为倒数，求证，分式与属于“友好分式组”；
（3）若a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值．
三．分式的化简求值（共1小题）
3．先化简：，然后x在﹣1，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值．
四．二次根式的性质与化简（共1小题）
4．先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m， ＝，那么便有＝＝±（a＞b）例如：化简
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7， ＝，
∴＝＝＝2+
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）；
（3）．
五．分母有理化（共1小题）
5．观察下列等式：
①；
②；
③；…
回答下列问题：
（1）利用你的观察到的规律，化简：；
（2）计算：．
六．二次根式的应用（共1小题）
6．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
OA1＝1；
OA2＝＝；S1＝×1×1＝；
OA3＝＝；S2＝××1＝；
OA4＝＝；S3＝××1＝；
（1）推算出OA10＝　 　．
（2）若一个三角形的面积是．则它是第 　 　个三角形．
（3）用含n（n是正整数）的等式表示上述面积变化规律；
（4）求出+S22+S23+…+S2100的值．
七．分式方程的解（共2小题）
7．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≤5且m≠﹣3 B．m≥5且m≠﹣3 C．m≤5且m≠3 D．m≥5且m≠3
8．若关于x的分式方程﹣＝1无解，则m的值为 　 　．
八．分式方程的应用（共1小题）
9．甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．
（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？
（2）若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？
九．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）
10．如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB＝BD，则点D的坐标为　 　．
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是　 　．
一十．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
12．如图，Rt△ABO的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝2，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）连接CD，求四边形CDBO的面积．
一十一．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
13．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出﹣x＞的解集；
（3）将直线l1：y＝x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．
一十二．三角形中位线定理（共1小题）
15．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF，则EF的长是（　　）
A．3 B． C． D．
一十三．平行四边形的性质（共1小题）
16．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝　 　．
一十四．平行四边形的判定（共1小题）
17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．
（1）若PE⊥BC，求BQ的长；
（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
一十五．平行四边形的判定与性质（共1小题）
18．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
一十六．菱形的性质（共3小题）
19．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　）
A． B．3+3 C．6+ D．
20．如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF．
（1）求证：CE＝CF；
（2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB＝2∠ECB，求证：CH＝AH+AB．
21．菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
（2）如图2，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
一十七．菱形的判定与性质（共2小题）
22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
23．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．
（1）证明平行四边形ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示，
①求证：△DGC≌△BGE；
②求∠BDG的度数．
若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．
一十八．矩形的性质（共5小题）
24．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（　　）
A．3 B．2 C． D．4
25．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是　 　．
26．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD．若AE＝2，PF＝8，则图中阴影部分的面积为 　 　．
27．如图，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，E为CD边上一点，CE＝5，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为　 　时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．
28．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
一十九．矩形的判定与性质（共2小题）
29．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（　　）
A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
30．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t s．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
二十．正方形的性质（共13小题）
31．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是AD的中点，BE与CF相交于点P，设AB＝a．得到以下结论：
①BE⊥CF；②AP＝a；③CP＝a
则上述结论正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
32．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
33．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离是；③EB⊥ED；④S正方形ABCD＝4+．其中正确的结论是（　　）
①② B．①④ C．①③④ D．①②③
34．如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连接MF，则MF的长为（　　）
A． B． C．2 D．
35．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
36．如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为2，则线段CF的最小值是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
37．如图，以△ABC的边AB、AC为边往外作正方形ABEF与正方形ACGD，连接BD、CF、DF，若AB＝2，AC＝4，则BC2+DF2的值为　 　．
38．已知正方形ABCD的边长为1，P为射线AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为E，连接PE，BE，CE，DE．当△CDE是等腰三角形时，AP的值为　 　．
39．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG．
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．
40．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．
（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝　 　；
（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；
（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．
41．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，过点F作FG⊥BC于点G，连接AC．易证：AC＝（EC+FG）．（提示：取AB的中点M，连接EM）
（1）当点E是BC边上任意一点时，如图2；当点E在BC延长线上时，如图3．请直接写出AC，EC，FG的数量关系，并对图2进行证明；
（2）已知正方形ABCD的面积是27，连接AF，当△ABE中有一个内角为30°时，则AF的长为 　 　．
42．如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？
（2）求证：△AMB≌△ENB；
（3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．
43．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．
（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，有BM+DN＝MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．
二十一．正方形的判定（共2小题）
44．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
45．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：EO＝FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．
二十二．正方形的判定与性质（共1小题）
46．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
二十三．旋转的性质（共4小题）
47．如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+3；⑤S△AOC+S△AOB＝6+．其中正确的结论是（　　）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③
48．如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
49．如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为 　 　．
50．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．
求：①旋转角的度数　 　；
②线段OD的长　 　；
③求∠BDC的度数．
（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．中小学教育资源及组卷应用平台
苏科版八年级下学期期末压轴题专项练习
一．分式的基本性质（共1小题）
1．若＝2，则＝　　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由＝2，得x+y＝2xy
则＝＝＝．
故答案为．
二．分式的加减法（共1小题）
2．定义：若两个分式的差的绝对值为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．
（1）下列3组分式：
①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有 　②③　（只填序号）；
（2）若正实数a，b互为倒数，求证，分式与属于“友好分式组”；
（3）若a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值．
【答案】（1）②③；（2）证明过程见上面具体过程；（3）的值为﹣或﹣．
【解答】解：（1）①﹣＝≠2，
②﹣＝＝2，
③|﹣|＝||＝2，
∴属于“友好分式组”的有②③，
故答案为：②③．
（2）∵a，b互为倒数，
∴ab＝1，b＝，
∴|﹣|
＝|﹣|
＝|﹣|
＝||
＝2，
∴分式与属于“友好分式组”；
（3）∵|﹣|
＝|﹣|
＝||
＝||，
∵与属于“友好分式组”，
∴||＝2，
∴2a2+2ab＝2（a2﹣4b2）或2a2+2ab＝﹣2（a2﹣4b2），
①a＝﹣4b，②ab＝4b2﹣2a2，
把①代入＝＝﹣，
把②代入＝＝﹣，
综上所述：的值为﹣或﹣．
三．分式的化简求值（共1小题）
3．先化简：，然后x在﹣1，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝
＝x+1．
∵在﹣1，0，1，2四个数中，使原式有意义的值只有2，
∴当x＝2时，原式＝2+1＝3．
四．二次根式的性质与化简（共1小题）
4．先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m， ＝，那么便有＝＝±（a＞b）例如：化简
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7， ＝，
∴＝＝＝2+
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）＝＝﹣；
（2）＝＝＝﹣；
（3）＝＝．
五．分母有理化（共1小题）
5．观察下列等式：
①；
②；
③；…
回答下列问题：
（1）利用你的观察到的规律，化简：；
（2）计算：．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）＝﹣；
（2）计算：+++…+
＝﹣1+﹣+2﹣+…+﹣
＝﹣1
＝9．
六．二次根式的应用（共1小题）
6．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
OA1＝1；
OA2＝＝；S1＝×1×1＝；
OA3＝＝；S2＝××1＝；
OA4＝＝；S3＝××1＝；
（1）推算出OA10＝　　．
（2）若一个三角形的面积是．则它是第 　20　个三角形．
（3）用含n（n是正整数）的等式表示上述面积变化规律；
（4）求出+S22+S23+…+S2100的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1））∵＝n，
∴OA10＝．
故答案为：；
（2）若一个三角形的面积是，
∵Sn＝＝，
∴＝2＝，
∴它是第20个三角形．
故答案为：20；
（3）结合已知数据，可得：＝n；Sn＝；
（4）+S22+S23+…+S2100
＝++++…+
＝
＝
七．分式方程的解（共2小题）
7．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≤5且m≠﹣3 B．m≥5且m≠﹣3 C．m≤5且m≠3 D．m≥5且m≠3
【答案】C
【解答】解：原分式方程可化为：﹣2＝，
去分母，得1﹣m﹣2（x﹣1）＝﹣2，
解得x＝，
∵分式方程解是非负数，
∴≥0，且≠1，
∴m的取值范围是：m≤5且m≠3，
故选：C．
8．若关于x的分式方程﹣＝1无解，则m的值为 　﹣2或1　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：去分母得：x2﹣mx﹣3x+3＝x2﹣x，
解得：（2+m）x＝3，
由分式方程无解，得到2+m＝0，即m＝﹣2或x＝＝1，即m＝1，
综上，m的值为﹣2或1．
故答案为：﹣2或1
八．分式方程的应用（共1小题）
9．甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．
（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？
（2）若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
（1）设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x﹣0.5）千米，
根据题意，可列方程：1.5×＝，
解得x＝1.5，
经检验x＝1.5是原方程的解，且x﹣0.5＝1，
答：甲每天修路1.5千米，则乙每天修路1千米；
（2）设甲修路a天，则乙需要修（15﹣1.5a）千米，
∴乙需要修路＝15﹣1.5a（天），
由题意可得0.5a+0.4（15﹣1.5a）≤5.2，
解得a≥8，
答：甲工程队至少修路8天．
九．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）
10．如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB＝BD，则点D的坐标为　（8，）　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解法1：如图，连接AD并延长，交x轴于E，
由A（5，12），可得AO＝＝13，
∴BC＝13，
∵AB∥CE，AB＝BD，
∴∠CED＝∠BAD＝∠ADB＝∠CDE，
∴CD＝CE，
∴AB+CE＝BD+CD＝13，即OC+CE＝13，
∴OE＝13，
∴E（13，0），
由A（5，12），E（13，0），可得AE的解析式为y＝﹣x+，
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（5，12），
∴k＝12×5＝60，
∴反比例函数的解析式为y＝，
解方程组，可得，，
∴点D的坐标为（8，）．
解法2：如图，过D作DH⊥x轴于H，过A作AG⊥x轴于G，
∵点A（5，12），
∴OG＝5，AG＝12，AO＝13＝BC，
∵∠AOG＝∠DCH，∠AGO＝∠DHC＝90°，
∴△AOG∽△DCH，
∴可设CH＝5k，DH＝12k，CD＝13k，
∴BD＝13﹣13k，
∴OC＝AB＝13﹣13k，
∴OH＝13﹣13k+5k＝13﹣8k，
∴D（13﹣8k，12k），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（5，12）和点D，
∴5×12＝（13﹣8k）×12k，
解得k＝，k＝1（舍去），
∴D的坐标为（8，）．
故答案为：（8，）．
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是　（6，）　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，
∵D（3，4）
∴OM＝3，DM＝4，
∴OD＝＝5，
∵菱形OBCD，
∴OB＝BC＝CD＝OD＝5，
∴B（5，0），C（8，4），
∵A是菱形OBCD的对角线交点，
∴A（4，2），代入y＝得，k＝8，
∴反比例函数的关系式为：y＝，
设直线BC的关系式为y＝kx+b，将B（5，0），C（8，4）代入得：
5k+b＝0且8k+b＝4，
解得：k＝，b＝﹣，
∴直线BC的关系式为y＝x﹣，
将反比例函数与直线BC联立方程组得：
解得：，（舍去），
∴F（6，），
解法二：过点F作FH⊥x轴于点H，设BH＝3a．
∵FB∥OD，
∴∠FBH＝∠DOM，
∴tan∠FBH＝tan∠DOM＝＝，
∴FH＝4a，
∴F（5+3a，4a），
∵A（4，2），
∴（5+3a）×4a＝8，
解得a＝或﹣2（舍去），
∴F（6，）．
故答案为：（6，）．
一十．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
12．如图，Rt△ABO的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝2，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）连接CD，求四边形CDBO的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝2，
∴AB＝OB＝2，
作CE⊥OB于E，
∵∠ABO＝90°，
∴CE∥AB，
∴OC＝AC，
∴OE＝BE＝OB＝，CE＝AB＝1，
∴C（，1），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，
∴1＝，
∴k＝，
∴反比例函数的关系式为y＝；
（2）连接CD，
∵OB＝2，
∴D的横坐标为2，
代入y＝得，y＝，
∴D（2，），
∴BD＝，
∵AB＝2，
∴AD＝，
∴S△ACD＝AD BE＝××＝，
∴S四边形CDBO＝S△AOB﹣S△ACD＝OB AB﹣＝×2×2﹣＝．
一十一．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
13．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）分别把A（m，6），B（3，n）代入得6m＝6，3n＝6，
解得m＝1，n＝2，
所以A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），
分别把A（1，6），B（3，2）代入y＝kx+b得，
解得，
所以一次函数解析式为y＝﹣2x+8；
（2）当0＜x＜1或x＞3时，；
（3）如图，当x＝0时，y＝﹣2x+8＝8，则C点坐标为（0，8），
当y＝0时，﹣2x+8＝0，解得x＝4，则D点坐标为（4，0），
所以S△AOB＝S△COD﹣S△COA﹣S△BOD
＝×4×8﹣×8×1﹣×4×2
＝8．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出﹣x＞的解集；
（3）将直线l1：y＝x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣x经过点A，A点的纵坐标是2，
∴当y＝2时，x＝﹣4，
∴A（﹣4，2），
∵反比例函数y＝的图象经过点A，
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）∵直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，
∴B（4，﹣2），
∴不等式﹣x＞的解集为x＜﹣4或0＜x＜4；
（3）如图，设平移后的直线l2与x轴交于点D，连接AD，BD，
∵CD∥AB，
∴△ABC的面积与△ABD的面积相等，
∵△ABC的面积为30，
∴S△ABD＝S△AOD+S△BOD＝30，即OD（|yA|+|yB|）＝30，
∴×OD×4＝30，
∴OD＝15，
∴D（15，0），
设平移后的直线l2的函数表达式为y＝﹣x+b，
把D（15，0）代入，可得0＝﹣×15+b，
解得b＝，
∴平移后的直线l2的函数表达式为y＝﹣x+．
一十二．三角形中位线定理（共1小题）
15．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF，则EF的长是（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：如图，取AB的中点G，连接EG、FG，
∵E、F分别是边AD、CB的中点，
∴EG∥BD且EG＝BD＝×6＝3，
FG∥AC且FG＝AC＝×6＝3，
∵AC⊥BD，
∴EG⊥FG，
∴EF＝＝＝3．
故选：C．
一十三．平行四边形的性质（共1小题）
16．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝　2　．
【答案】2．
【解答】解：如图，过点M作MH∥BC交CP于H，
则∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，
∵BP＝BC，
∴∠BCP＝∠BPC，
∴∠BPC＝∠MHP，
∴PM＝MH，
∵PM＝CN，
∴CN＝MH，
∵ME⊥CP，
∴PE＝EH，
在△NCF和△MHF中，
，
∴△NCF≌△MHF（AAS），
∴CF＝FH，
∴EF＝EH+FH＝CP，
∵矩形ABCD中，AD＝10，
∴BC＝AD＝10，
∴BP＝BC＝10，
在Rt△ABP中，AP＝＝＝6，
∴PD＝AD﹣AP＝10﹣6＝4，
在Rt△CPD中，CP＝＝＝4，
∴EF＝CP＝×4＝2．
故答案为：2．
一十四．平行四边形的判定（共1小题）
17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．
（1）若PE⊥BC，求BQ的长；
（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）作AM⊥BC于M，设AC交PE于N．如图所示：
∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，
∴∠C＝45°＝∠B，
∴AB＝AC，
∴BM＝CM，
∴AM＝BC＝5，
∵AD∥BC，
∴∠PAN＝∠C＝45°，
∵PE⊥BC，
∴PE＝AM＝5，PE⊥AD，
∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，
∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，
∵CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2，
∴5﹣t＝2t﹣2，
解得：t＝，所以BQ＝BC﹣CQ＝10﹣2×＝；
（2）存在，t＝4或12；理由如下：
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，
则AP＝BE，
∴t＝10﹣2t+2或t＝2t﹣2﹣10
解得：t＝4或12
∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4或12．
一十五．平行四边形的判定与性质（共1小题）
18．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH＝BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG＝BD，
∴EH∥FG，EH＝GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB＝∠CPD，
∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD
即∠APC＝∠BPD，
在△APC和△BPD中，
，
∴△APC≌△BPD，
∴AC＝BD
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF＝AC，FG＝BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）四边形EFGH是正方形．
证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP＝∠BDP，
∵∠DMO＝∠CMP，
∴∠COD＝∠CPD＝90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
一十六．菱形的性质（共3小题）
19．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　）
A． B．3+3 C．6+ D．
【答案】D
【解答】解：如图，过点M作ME⊥AB于点E，连接BD交AC于O，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠MAE＝30°，
∴AM＝2ME，
∵MD＝MB，
∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，
点M运动到DE上，且DE⊥射线AB时，DE取得最小值，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，
∵菱形ABCD的边长为6，
∴DE＝＝＝3，
∴2DE＝6．
∴MA+MB+MD的最小值是6．
故选：D．
20．如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF．
（1）求证：CE＝CF；
（2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB＝2∠ECB，求证：CH＝AH+AB．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝AD，
∵点E、F分别为AB、AD的中点，
∴BE＝AB，DF＝AD，
∴BE＝DF，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴CE＝CF；
（2）证明：延长BA与CF，交于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝AD，AF∥BC，AB∥CD，
∴∠G＝∠FCD，
∵点F为AD的中点，且AG∥CD，
∴AG＝AB，
∵△BCE≌△DCF，
∴∠ECB＝∠DCF，
∵∠CHB＝2∠ECB，
∴∠CHB＝2∠G，
∵∠CHB＝∠G+∠HCG，
∴∠G＝∠HCG，
∴GH＝CH，
∴CH＝AH+AG＝AH+AB．
21．菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
（2）如图2，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）连接AC，
∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD，∠C＝180°﹣∠B＝120°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∵∠AEF＝60°，
∴∠FEC＝90°﹣∠AEF＝30°，
∴∠CFE＝180°﹣∠FEC﹣∠ECF＝180°﹣30°﹣120°＝30°，
∴∠FEC＝∠CFE，
∴EC＝CF，
∴BE＝DF；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠B＝∠ACF＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAD＝∠EAF+∠FAD＝60°+∠FAD，
∠AFC＝∠D+∠FAD＝60°+∠FAD，
∴∠AEB＝∠AFC，
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴AE＝AF，
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
一十七．菱形的判定与性质（共2小题）
22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：能．
理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，
∴DF＝2t，
又∵AE＝2t，
∴AE＝DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，
即60﹣4t＝2t，解得t＝10．
∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形．
（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠AED＝30°，
∴AD＝AE＝t，
又AD＝60﹣4t，即60﹣4t＝t，解得t＝12；
②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，即60﹣4t＝4t，解得t＝．
③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形．
23．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．
（1）证明平行四边形ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示，
①求证：△DGC≌△BGE；
②求∠BDG的度数．
（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△DGC≌△BGE（SAS）；
②∵△DGC≌△BGE，
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）方法一：如图3中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝8，AD＝14，
∴BD＝2，
∴DM＝BD＝．
方法二：过M作MH⊥DF于H，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形，
∴∠CEF＝45°，
∴∠AEB＝∠CEF＝45°，
∴BE＝AB＝8，
∴CE＝CF＝14﹣8＝6，
∵MH∥CE，EM＝FM，
∴CH＝FH＝CF＝3，
∴MH＝CE＝3，
∴DH＝11，
∴DM＝＝．
一十八．矩形的性质（共5小题）
24．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（　　）
A．3 B．2 C． D．4
【答案】C
【解答】解：
连接OB，过B作BM⊥x轴于M，
∵点B的坐标是（1，3），
∴OM＝1，BM＝3，由勾股定理得：OB＝＝，
∵四边形OABC是矩形，
∴AC＝OB，
∴AC＝，
故选：C．
25．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是　2　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图：
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2．
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2，
∴BP1＝2
∴PB的最小值是2．
故答案为：2．
26．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD．若AE＝2，PF＝8，则图中阴影部分的面积为 　16　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8，
∴S阴＝8+8＝16，
故答案为16．
27．如图，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，E为CD边上一点，CE＝5，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为　2或　时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得：BP＝t，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝4，
∴CD＝AB＝8，BC＝AD＝4，
∴AP＝8﹣t，DE＝DC﹣CE＝8﹣5＝3，
由勾股定理得：AE＝＝5，
过E作EF⊥AB于F，
则∠EFA＝∠EFB＝90°，
∵∠C＝∠B＝90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴BF＝CE＝5，BC＝EF＝4，
∴PF＝5﹣t，
由勾股定理得：PE2＝EF2+PF2＝42+（5﹣t）2，
①当AE＝PE时，52＝42+（5﹣t）2，
解得：t＝2，t＝8，
∵t＝8不符合题意，舍去；
②当AP＝PE时，（8﹣t）2＝42+（5﹣t）2，
解得：t＝，
即当t的值为2或时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形，
故答案为：2或．
28．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA＝OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形，
②设菱形的边长AF＝CF＝xcm，则BF＝（8﹣x）cm，
在Rt△ABF中，AB＝4cm，
由勾股定理得42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴AF＝5cm．
（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC＝QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC＝5t，QA＝CD+AD﹣4t＝12﹣4t，即QA＝12﹣4t，
∴5t＝12﹣4t，
解得，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．
②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．
分三种情况：
i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP＝CQ，即a＝12﹣b，得a+b＝12；
ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ＝CP，即12﹣b＝a，得a+b＝12；
iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP＝CQ，即12﹣a＝b，得a+b＝12．
综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b＝12（ab≠0）．
一十九．矩形的判定与性质（共2小题）
29．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（　　）
A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
【答案】B
【解答】解：如图，连接PA．
∵在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴∠A＝90°．
又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形PEAF是矩形．
∴AP＝EF．
∴当PA最小时，EF也最小，
即当AP⊥CB时，PA最小，
∵AB AC＝BC AP，即AP＝＝＝4.8，
∴线段EF长的最小值为4.8；
故选：B．
30．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t s．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，
∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，
由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝16﹣t，得t＝8，
故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；
（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形
即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，
故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；
（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，
则周长为4×10cm＝40cm；
面积为10cm×8cm＝80cm2．
二十．正方形的性质（共13小题）
31．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是AD的中点，BE与CF相交于点P，设AB＝a．得到以下结论：
①BE⊥CF；②AP＝a；③CP＝a
则上述结论正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解答】解：在△CDF和△BCE中
∴△CDF≌△BCE（SAS）
∴∠CEB＝∠CFD
∵∠DCF+∠CFD＝90°
∴∠DCF+∠CEB＝90°
∴∠EPC＝90°
∴①正确；
如图延长CF交BA延长线于点M，
在△CFD和△MFA中
∴△CFD≌△MFA（ASA）
∴CD＝MA＝AB＝a，
∵BP⊥CF
∴AP为Rt△MPB斜边BM上的中线，是斜边的一半，即AP＝BM＝×2a＝a，
∴②正确；
∵CP⊥BE
∴CP×BE＝CE×BC＝
∵BE＝＝＝
∴CP＝＝＝
∴③正确
故选：D．
32．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∴把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图：
∴∠BAF＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAF+∠DAE＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG，
∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠EDG＝180°，点E、D、G共线，
在△AFE和△AGE中，
，
∴△AFE≌△AGE（SAS），
∴EF＝EG，
即：EF＝EG＝ED+DG，
∵E为CD的中点，边长为6的正方形ABCD，
∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°，
∴设BF＝x，则CF＝6﹣x，EF＝3+x，
在Rt△CFE中，由勾股定理得：
EF2＝CE2+CF2，
∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，
解得：x＝2，
即BF＝2，
故选：A．
33．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离是；③EB⊥ED；④S正方形ABCD＝4+．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③
【答案】C
【解答】解：∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，
∴∠EAB＝∠PAD，
又∵AE＝AP，AB＝AD，
∵在△APD和△AEB中，，
∴△APD≌△AEB（SAS）；故①正确；
由△APD≌△AEB得，∠AEP＝∠APE＝45°，从而∠APD＝∠AEB＝135°，
所以∠BEP＝90°，
过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，则BF的长是点B到直线AE的距离，
在△AEP中，由勾股定理得PE＝，
在△BEP中，PB＝，PE＝，由勾股定理得：BE＝，
∵∠PAE＝∠PEB＝∠EFB＝90°，AE＝AP，
∴∠AEP＝45°，
∴∠BEF＝180°﹣45°﹣90°＝45°，
∴∠EBF＝45°，
∴EF＝BF，
在△EFB中，由勾股定理得：EF＝BF＝，
故②是错误的；
因为△APD≌△AEB，所以∠ADP＝∠ABE，而对顶角相等，所以③是正确的；
连接BD，则S△BPD＝PD×BE＝，
所以S△ABD＝S△APD+S△APB+S△BPD＝2+，
所以S正方形ABCD＝2S△ABD＝4+所以④是正确的；
综上可知，正确的有①③④，
故选：C．
34．如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连接MF，则MF的长为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解答】解：延长AD至H，延长FM与AH交于H点，
则在△AMH和△EMF中，
，
∴△AMH≌△EMF，即FM＝MH，AH＝EF，
∴DH＝AH﹣AD＝EF﹣AD＝1，
∵DF＝CF﹣CD＝3﹣2＝1，
在直角△DFH中，FH为斜边，
解直角△DFH得：FH＝，
又∵FM＝MH，
∴FM＝，
故选：B．
35．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解答】解：连接AG并延长交CD于M，连接FM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，
∵G为DE的中点，
∴GE＝GD，
在△AGE和MGD中，
，
∴△AGE≌△MGD（AAS），
∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，
∴CM＝CD＝2，
∵点H为AF的中点，
∴GH＝FM，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝2，
∴FM＝＝2，
∴GH＝，
故选：C．
36．如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为2，则线段CF的最小值是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【答案】C
【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，
在Rt△ADM和Rt△BCN中，
，
∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），
∴∠1＝∠2，
在△DCE和△BCE中，
，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠ADF+∠3＝∠ADC＝90°，
∴∠1+∠ADF＝90°，
∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，
取AD的中点O，连接OF、OC，
则OF＝DO＝AD＝1，
在Rt△ODC中，OC＝＝＝，
根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，
∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，
最小值＝OC﹣OF＝﹣1．
故选：C．
37．如图，以△ABC的边AB、AC为边往外作正方形ABEF与正方形ACGD，连接BD、CF、DF，若AB＝2，AC＝4，则BC2+DF2的值为　40　．
【答案】40．
【解答】解：如图所示，连接BF，CD，
∵四边形ABEF，四边形ACGD都是正方形，
∴AB＝AF，AC＝AD，∠BAF＝∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠FAC，
∴△BAD≌△FAC（SAS），
∴∠ACF＝∠ADB，
又∵∠AHC＝∠OHD，
∴∠CAH＝∠DOH＝90°，
∴CF⊥BD，
∴BC2＝OB2+OC2，DF2＝OD2+OF2，BF2＝OB2+OF2，DC2＝OD2+OC2，
∴BC2+DF2＝OD2+OF2+OB2+OC2，
BF2+DC2＝OD2+OF2+OB2+OC2，
即BC2+DF2＝BF2+DC2，
又∵△ABF和△ACD都是等腰直角三角形，且AB＝2，AC＝4，
∴BF2+DC2＝8+32＝40，
∴BC2+DF2＝40，
故答案为：40．
38．已知正方形ABCD的边长为1，P为射线AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为E，连接PE，BE，CE，DE．当△CDE是等腰三角形时，AP的值为　2﹣或2+或　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①如图1，当CE＝CD，且点P在线段AD上时，
由题意知，△BEC为等边三角形，
过点E作BC的垂线，分别交AD，BC于点M，N，
则EN＝BE＝，
∴ME＝1﹣，
在四边形ABEP中，
∠ABE＝30°，∠A＝∠PEB＝90°，
∴∠APE＝150°，
∴∠MPE＝180°﹣∠APE＝30°，
∴在Rt△PEM中，
PE＝2ME＝2﹣，
∴AP＝PE＝2﹣；
②如图2，当CE＝CD，且点P在线段AD的延长线上时，
由题意知，△BCE为等边三角形，
过点E作BC的垂线，交BC于N，交AD于M，
则NE＝CE＝，
∴ME＝1+，
在四边形ABEP中，
∠A＝∠BEP＝90°，∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝150°，
∴∠APE＝30°，
∴在Rt△PME中，
PE＝2ME＝2+，
∴AP＝PE＝2+；
③如图3，当ED＝EC时，点E在CD的垂直平分线上，也在AB的垂直平分线上，
∴AE＝BE，
又∵AB＝EB，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠ABE＝60°，
∴∠ABP＝∠EBP＝30°，
在Rt△ABP中，
AP＝AB＝，
综上所述，AP的值为2﹣或2+或．
39．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG．
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）结论：AG2＝GE2+GF2．
理由：连接CG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于对角线BD对称，
∵点G在BD上，
∴GA＝GC，
∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°，
∴四边形EGFC是矩形，
∴CF＝GE，
在Rt△GFC中，∵CG2＝GF2+CF2，
∴AG2＝GF2+GE2．
（2）过点A作AH⊥BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠GBF＝45°，
∵GF⊥BC，
∴∠BGF＝45°，
∵∠AGF＝105°，
∴∠AGB＝∠AGF﹣∠BGF＝105°﹣45°＝60°，
在Rt△ABH中，∵AB＝1，
∴AH＝BH＝，
在Rt△AGH中，∵AH＝，∠GAH＝30°，
∴HG＝AH tan30°＝，
∴BG＝BH+HG＝+．
解法二：如图，过点B作BN⊥AG于N，在BN上截取BM，使得BM＝AM，设AN＝x．
∵∠AGF＝105°，∠GBF＝∠FGB＝∠ABG＝45°，
∴∠AGB＝60°，∠GBN＝30°，∠ABM＝∠BAM＝15°，
∴∠AMN＝∠ABM+∠BAM＝30°，
∴AM＝BM＝2x，MN＝x，
在Rt△ABN中，则有1＝x2+（2x+x）2，
解得x＝，
∴BN＝，
∴BG＝＝．
40．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．
（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝　5　；
（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；
（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，连接CG，
∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，
∴∠CBG＝45°，
∴∠CBG＝∠CBD，
∵BC＝BC，
∴△CBD≌△CBG（SAS），
∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，
∴G，C，D三点共线，
∴AG＝＝＝5；
故答案为：5；
（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，
∵DE＝2，DC＝5，
∴CE＝3，
∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG＝90°，∠CBG+∠GBK＝90°，
∴∠EBC＝∠GBK，
∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，
∴△BCE≌△BKG（AAS），
∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，
∴AK＝10，
由勾股定理得：AG＝＝；
（3）分三种情况：
①当点E在CD的延长线上时，如图3，同理知△BCE≌△BKG（AAS），
∴BC＝BK＝5，
∵AG＝，
由勾股定理得：KG＝＝，
∴CE＝KG＝，此种情况不成立；
②当点E在边CD上时，如图4，
同理得：DE＝；
③当点E在DC的延长线上时，如图5，
同理得CE＝GK＝，
∴DE＝5+＝，
综上，DE的长是或．
41．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，过点F作FG⊥BC于点G，连接AC．易证：AC＝（EC+FG）．（提示：取AB的中点M，连接EM）
（1）当点E是BC边上任意一点时，如图2；当点E在BC延长线上时，如图3．请直接写出AC，EC，FG的数量关系，并对图2进行证明；
（2）已知正方形ABCD的面积是27，连接AF，当△ABE中有一个内角为30°时，则AF的长为 　6或6　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图2中，结论：AC＝（FG+EC）．
理由：在AB上截取BM＝BE，连接EM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC，
∴∠DCG＝90°，∠EAM+∠AEB＝90°，
∵BM＝BE，
∴AB﹣BM＝BC﹣BE，∠BME＝∠BEM＝45°，
∴AM＝EC，∠AME＝135°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCG＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠AME＝∠ECF，
∵∠AEF＝90°，
∴∠FEC+∠AEB＝90°，
∴∠EAM＝∠FEC，
∴在△AEM和△EFC中，
，
∴△AEM≌△EFC（ASA），
∴EM＝CF，
∵EM＝BE，CF＝FG，
∴BE＝FG，
∵AC＝BC＝（BE+EC），
∴AC＝（FG+EC）．
如图3中，结论：AC＝（FG﹣EC）．
（2）如图1中，当∠BAE＝30°时，
∵正方形的面积为27，
∴AB＝3，∠B＝90°，
∴BE＝AB tan30°＝3×＝3，
∴AE＝2BE＝6，
∵△AEM≌△EFC
∴AE＝EF＝6，
∴AF＝6，
如图3中，当∠AEB＝30°时，同法可得AE＝EF＝2AB＝6，
∴AF＝AE＝6，
综上所述，AF的长为6或6．
42．如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？
（2）求证：△AMB≌△ENB；
（3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：△BMN是等边三角形．
理由如下：如图①，∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，
∴BM＝BN，∠MBN＝60°，
∴△BMN是等边三角形；
（2）证明：∵△ABE和△BMN都是等边三角形，
∴AB＝EB，BM＝BN，∠ABE＝∠MBN＝60°，
∴∠ABE﹣∠ABN＝∠MBN﹣∠ABN，
即∠ABM＝∠EBN，
在△AMB和△ENB中，
，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；
（3）①由两点之间线段最短可知A、M、C三点共线时，AM+CM的值最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点M为BD的中点；
②当点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小，
理由如下：如图②，∵△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN，
∵△BMN是等边三角形，
∴BM＝MN，
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，
由两点之间线段最短可知，点E、N、M、C在同一直线上时，EN+MN+CM，
故，点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小．
43．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．
（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，有BM+DN＝MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）图1中的结论仍然成立，即BM+DN＝MN，理由为：
如图2，在MB的延长线上截取BE＝DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝∠ABE＝90°，
∵在△ABE和△ADN中
，
∴△ABE≌△ADN（SAS）．
∴AE＝AN；∠EAB＝∠NAD，
∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠EAM＝∠BAM+∠EAB＝45°＝∠MAN，
∵在△AEM和△ANM中
，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
∴MN＝ME＝BE+BM＝DN+BM，
即DN+BM＝MN；
（2）猜想：线段BM，DN和MN之间的等量关系为：DN﹣BM＝MN．
证明：如图3，在DN上截取DE＝MB，连接AE，
∵由（1）知：AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°，BM＝DE，
∴△ABM≌△ADE（SAS）．
∴AM＝AE；∠MAB＝∠EAD，
∵∠MAN＝45°＝∠MAB+∠BAN，
∴∠DAE+∠BAN＝45°，
∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，
∵在△AMN和△AEN中
，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN＝EN，
∵DN﹣DE＝EN，
∴DN﹣BM＝MN．
二十一．正方形的判定（共2小题）
44．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴四边形BECD是菱形；
（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴AC＝BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
45．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：EO＝FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）
∵MN∥BC，
∴∠3＝∠2，
又∵CF平分∠GCO，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴FO＝CO，
同理：EO＝CO，
∴EO＝FO．
（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，
又∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
由（1）可知，FO＝CO，
∴AO＝CO＝EO＝FO，
∴AO+CO＝EO+FO，即AC＝EF，
∴四边形AECF是矩形．
（3）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB＝90°的直角三角形时，四边形AECF是正方形．
∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
∵MN∥BC，
∴∠AOE＝∠ACB
∵∠ACB＝90°，
∴∠AOE＝90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．
二十二．正方形的判定与性质（共1小题）
46．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝2，
∵EC＝，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝．
（3）①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE＝30°，
则∠CDE＝90°﹣30°＝60°，
在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝30°，如图3所示：
∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD，
∴∠EFC＝∠CDE＝30°，
综上所述，∠EFC＝120°或30°．
二十三．旋转的性质（共4小题）
47．如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+3；⑤S△AOC+S△AOB＝6+．其中正确的结论是（　　）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③
【答案】A
【解答】解：由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，
又∵OB＝O′B，AB＝BC，
∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′＝60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图①，连接OO′，
∵OB＝O′B，且∠OBO′＝60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′＝OB＝4．
故结论②正确；
∵△BO′A≌△BOC，∴O′A＝5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，
∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，
故结论③正确；
S四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′＝×3×4+×42＝6+4，
故结论④错误；
如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．
易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，
则S△AOC+S△AOB＝S四边形AOCO″＝S△COO″+S△AOO″＝×3×4+×32＝6+，
故结论⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②③⑤．
故选：A．
48．如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴∠PEO＝∠PFO＝90°，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF（AAS），
∴OE＝OF，PE＝PF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM＝NF，PM＝PN，故①正确，
∴S△PEM＝S△PNF，
∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故④正确，
∵OM+ON＝OE+ME+（OF﹣NF）＝2OE，是定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，故③错误，
故选：B．
49．如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为 　2　．
【答案】2．
【解答】解：如图，以OA为对称轴作等边△AMN，延长CN交x轴于E，
∵△ABC是等边三角形，△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN，AB＝AC，∠MAN＝∠BAC，∠AMN＝60°＝∠ANM，
∴∠BAM＝∠CAN，
∴△ANC≌△AMB（SAS），
∴∠AMB＝∠ANC＝60°，
∴∠ENO＝60°，
∵AO＝4，∠AMB＝60°，AO⊥BO，
∴MO＝NO＝，
∵∠ENO＝60°，∠EON＝90°，
∴∠AEN＝30°，EO＝ON＝4，
∴点C在EN上移动，
∴当OC'⊥EN时，OC'有最小值，
此时，OC'＝EO＝2．
故答案为：2．
50．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．
求：①旋转角的度数　60°　；
②线段OD的长　4　；
③求∠BDC的度数．
（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝60°，
∴旋转角的度数为60°；
②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴BO＝BD，
而∠OBD＝60°，
∴△OBD为等边三角形；
∴OD＝OB＝4；
③∵△BOD为等边三角形，
∴∠BDO＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴CD＝AO＝3，
在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，
∵32+42＝52，
∴CD2+OD2＝OC2，
∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，
∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；
（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，
∴△OBD为等腰直角三角形，
∴OD＝OB，
∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，
∴OA2+2OB2＝OC2，
∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．
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