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第21章 一元二次方程 单元测试卷
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（23-24八年级下·全国·假期作业）下列方程一定是关于的一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·广东深圳·三模）将方程化成（m、n为常数）的形式，则m、n的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·辽宁大连·二模）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
4．（2024·福建厦门·三模）某开发公司2023年投入的科研资金为100亿元．为扩大产品的竞争力，该公司不断增加科研投资，计划2025年投入的科研资金为400亿元，设2024年和2025年投入的科研资金平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，于点E，，，且a是一元二次方程的根，则的周长为（ ）
A． B． C．10 D．
6．（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（ ）
A． B．4 C．2 D．0
7．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．2024 B．2027 C．2032 D．2035
8．（2024·黑龙江佳木斯·三模）在数学实践课上，小华要给一幅长，宽的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为，则小华添加的边框的宽度是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题：
①若， 则
②若方程的两根为和， 则
③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根；
④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根．
其中真命题的个数 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．（23-24八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程，，，其中a，b，c是正实数，且满足．设这三个方程不相等的实数根的个数分别为，，，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）方程的解是 ．
12．（2024·江西·二模）已知关于x的方程 的一根是，则该方程的另一根为 .
13．（2024·湖南岳阳·二模）已知关于 x 的一元二次方程两个根，则 ．
14．（2024八年级下·浙江·专题练习）某数学竞赛组，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，共照相片45张，则该组的人数是 ．
15．（2024八年级下·浙江·专题练习）对于实数，，定义一种运算“ ”为：，若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围为 ．
16．（2024八年级下·浙江·专题练习）若一元二次方程的两根也是方程的根，则的值为 ．
17．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ．
18．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个根，，且满足．记，则的取值范围是 ．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（2024八年级下·浙江·专题练习）解方程：
(1)
(2)
20．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则偶数的最小值是多少？
21．（23-24八年级下·西藏日喀则·期中）为了喜迎全国藏文书法日，在2024年4月30日昂仁县中学党总支举行了筑牢中华民族共同体意识之迎4.30“全国藏文书法日”为主题的学生书法比赛，此次比赛中前50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为比赛的奖品，已知，笔记本的单价为12元，钢笔的单价为10元，购买奖品共花费了540元，本次活动中学校购买了多少本笔记本？
22．（2024·北京房山·二模）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若，且该方程的两个实数根的差为3，求的值．
23．（2024·安徽合肥·二模）类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料：
设的两个根为和，那么比较系数，可得，．
类比推广，回答问题：设的三个根为，，，那么
（___________）（___________）．
比较系数，可以得到一元三次方程的根与系数的关系：
___________，___________，___________．
24．（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式；
再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)代数式的最大值为________；
(2)已知：，，求代数式的值．
25．（2024·四川达州·一模）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
(1)“全整根方程”的“最值码”是______；
(2)关于x的一元二次方程（m为整数、且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”；
(3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值．
26．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值.
解：设，则原方程变为，整理得，，
∴，∵，∴.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
(1)已知实数x，y满足，求的值；
(2)设a，b满足等式，求的值；
(3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数.
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第21章 一元二次方程 单元测试卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（23-24八年级下·全国·假期作业）下列方程一定是关于的一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、是分式方程，故不是一元二次方程，不符合题意；
B、，是一元二次方程，符合题意；
C、中含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意；
D、是一次方程，故不是一元二次方程，不符合题意；
故选：B．
2．（2024·广东深圳·三模）将方程化成（m、n为常数）的形式，则m、n的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题目中的方程利用配方法即可求出，本题考查解一元二次方程，配方法的应用，解题的关键是会用配方法解方程．
【详解】
故选：A．
3．（2024·辽宁大连·二模）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式．根据根的判别式，代入数据计算可得答案．
【详解】解：一元二次方程，
，，，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
4．（2024·福建厦门·三模）某开发公司2023年投入的科研资金为100亿元．为扩大产品的竞争力，该公司不断增加科研投资，计划2025年投入的科研资金为400亿元，设2024年和2025年投入的科研资金平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查一元二次方程的应用，设2024年和2025年投入的科研资金平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设2024年和2025年投入的科研资金平均增长率为，根据题意得
故选：D．
5．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，于点E，，，且a是一元二次方程的根，则的周长为（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，以及用因式分解法解一元二次方程，是基础知识要熟练掌握．先解方程求得，再根据勾股定理求得，从而计算出的周长即可．
【详解】解：是一元二次方程的根，
，
即，
解得，或（不合题意，舍去）．
∴，，
在中，，
，
的周长．
故选：A．
6．（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（ ）
A． B．4 C．2 D．0
【答案】D
【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断即可
【详解】解：∵是一元二次方程方程的根，
∴，，，
∴，
故选：D
7．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．2024 B．2027 C．2032 D．2035
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，根据根与系数的关系和一元二次方程的解的定义得到，，进而得到，再把所求式子变形为，进一步变形为，据此可得答案．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴原式
，
故选：C．
8．（2024·黑龙江佳木斯·三模）在数学实践课上，小华要给一幅长，宽的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为，则小华添加的边框的宽度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设小华添加的边框的宽度是，根据整个图形面积为，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设小华添加的边框的宽度是，由题意，得：
，
解得：（舍去）；
故小华添加的边框的宽度是；
故选A．
9．（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题：
①若， 则
②若方程的两根为和， 则
③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根；
④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根．
其中真命题的个数 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关键．
根据一元二次方程的解，把代入可判定命题①②；根据根的判别式可判定命题③；根据方程的根进行验证即可判断命题④；由此即可求解．
【详解】解：命题①，当时，一元二次方程为，
∴是方程的解，即方程有实数解，
∴，原命题为真命题；
命题②，当时，一元二次方程为，当时，一元二次方程为，
∴联立方程组得，
∴解得，，
∴，原命题为真命题；
命题③，一元二次方程有两个相等的实根，
∴，
∵，则，
∴，
∴当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程无实根，
∴原命题是假命题；
命题④，一元二次方程的一个根式，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
若是根，则，
∴，
∴原命题为真命题；
综上所述，是真命题的有①②④，共3个，
故选：B ．
10．（23-24八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程，，，其中a，b，c是正实数，且满足．设这三个方程不相等的实数根的个数分别为，，，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，正确记忆一元二次方程根的判别式的相关知识是解题关键．
由题意得，，根据、判定出、的符号，再由得，代入即可确定判别式的符号，得出的值，从而确定答案．
【详解】解：A、∵，，∴，，即，，∵，∴，∵，无法确定符号，∴的值无法确定，故此选项不符合题意；
B、∵，，∴，，即，，∴∵，∴，∵，∴，故此选项不符合题意；
C、∵，，，，即，，，
而，，，，；故此选项符合题意；
D、∵，，∴，，即，，∵，∴，∵，无法确定的符号，∴的值无法确定，故此选项不符合题意；
故选：C．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查解方程，熟练掌握利用因式分解法解方程是解题的关键．
利用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
∵，
∴，
故答案为：．
12．（2024·江西·二模）已知关于x的方程 的一根是，则该方程的另一根为 .
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系的应用，解此题的关键是根据根与系数的关系得到，解题即可．
【详解】解：设另一根为a，
则，解得，
故答案为：1．
13．（2024·湖南岳阳·二模）已知关于 x 的一元二次方程两个根，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，对于一元二次方程的两个根是解题的关键．
直接根据根与系数的关系即可解答．
【详解】解：关于 x 的一元二次方程两个根，则 ．
故答案为．
14．（2024八年级下·浙江·专题练习）某数学竞赛组，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，共照相片45张，则该组的人数是 ．
【答案】10
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
设该组的人数是人，则每个人需要照张相片，根据“每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，共照相片45张”列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设该组的人数是人，则每个人需要照张相片，根据题意得：
，
解得：，（不符合题意，舍去），
该组的人数是10，
故答案为：10．
15．（2024八年级下·浙江·专题练习）对于实数，，定义一种运算“ ”为：，若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，实数的运算，根据定义的新运算可得：，从而可得，然后利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答．
【详解】解：，
，
，
方程没有实数根，
，
，
故答案为：．
16．（2024八年级下·浙江·专题练习）若一元二次方程的两根也是方程的根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．设是方程的一个根．根据方程解的意义知，既满足方程，也满足方程，将代入这两个方程，并整理，得．从而可知：方程的两根也是方程的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可．
【详解】解：设是方程的一个根，则，所以．
由题意，也是方程的根，所以，
把代入此式，得，整理得．
从而可知：方程的两根也是方程的根，
这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，
从而有（其中为常数），
所以，．
因此，，
故答案为：．
17．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到，，，再根据，推出，据此求解即可．
【详解】解：∵、是关于x的方程的实数根，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得，，
经检验或为原方程的解，
∵，
∴，
∴k的值为4．
故答案为：4．
18．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个根，，且满足．记，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，不等式的性质，由根和系数的关系可得，，，得到，由可得，即得到，即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
【详解】解：由根和系数的关系可得，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（2024八年级下·浙江·专题练习）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）根据配方法得到，再开平方即可解答；
（2）根据因式分解法得到，进而可得或即可解答．
本题考查一元二次方程，熟练运用一元二次方程的解法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
∴，．
20．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则偶数的最小值是多少？
【答案】4
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；由题意易得且，然后问题可求解．
【详解】解：由方程有两个不相等的实数根可知：
，且，
解得：且，
∴偶数k的最小值为4．
21．（23-24八年级下·西藏日喀则·期中）为了喜迎全国藏文书法日，在2024年4月30日昂仁县中学党总支举行了筑牢中华民族共同体意识之迎4.30“全国藏文书法日”为主题的学生书法比赛，此次比赛中前50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为比赛的奖品，已知，笔记本的单价为12元，钢笔的单价为10元，购买奖品共花费了540元，本次活动中学校购买了多少本笔记本？
【答案】20本
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题中等量关系列出方程是解题的关键．设购买笔记本x本，钢笔为支，根据“笔记本的单价为12元，钢笔的单价为10元，购买奖品共花费了540元”列出方程求解即可．
【详解】解：设购买笔记本x本，钢笔为支，由题意得，
解得：．
答：本次活动中学校购买了20本笔记本．
22．（2024·北京房山·二模）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若，且该方程的两个实数根的差为3，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，解一元二次方程的一般方法．
（1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可；
（2）先解方程得出，根据该方程的两个实数根的差为3，得出，求出m的值即可．
【详解】（1）证明：
，
，
，
该方程总有两个实数根．
（2）解：原方程可化为，
，（也可用求根公式求出两根）
，
，
该方程的两个实数根的差为3，
．
．
23．（2024·安徽合肥·二模）类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料：
设的两个根为和，那么比较系数，可得，．
类比推广，回答问题：设的三个根为，，，那么
（___________）（___________）．
比较系数，可以得到一元三次方程的根与系数的关系：
___________，___________，___________．
【答案】，，，，，r
【分析】本题主要考查根据一元二次方程中根和系数之间的关系推理一元三次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程中根与系数的关系，多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
将一元三次方程按照一元二次方程的方式因式分解为，再将其按照多项式乘以多项式的方式展开，得到，最后得到根与系数关系，，即可；
【详解】解：根据材料提示得，
，
，
，
，
，
，
，，；
故答案为：，，，，，-r．
24．（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式；
再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)代数式的最大值为________；
(2)已知：，，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用，
（1）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可；
（2）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非负性可得，，即可得解．
掌握非负数性质及完全平方公式是解题的关键，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值．
【详解】（1）解：∵
，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴代数式的最大值为，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴代数式的值为．
25．（2024·四川达州·一模）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
(1)“全整根方程”的“最值码”是______；
(2)关于x的一元二次方程（m为整数、且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”；
(3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值．
【答案】(1)
(2)方程的“最值码”为；
(3)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“全整根方程”的定义，理解新定义的含义是解本题的关键．
（1）直接利用新定义计算即可；
（）通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，按照“最值码”定义求解即可；
（）依次求出方程和的“最值码”，根据“全整根伴侣方程”的定义列得方程，结合，均为正整数即可求解；读懂题目中“全整根方程”的“最值码”及“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：“全整根方程”的“最值码”是
；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是“全整根方程”，
∴是完全平方数，
即是完全平方数，
∴或或，
解得或或，
∵为整数，
∴，
当时，方程化为
，
∴；
∴方程的“最值码”为；
（3）解：方程的“最值码”为
，
方程的“最值码”为
，
∵是的“全整根伴侣方程”，
∴，
即，
整理得，，
∴，
即，
∵，均为正整数，
∴，
∴，
∴．
26．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值.
解：设，则原方程变为，整理得，，
∴，∵，∴.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
(1)已知实数x，y满足，求的值；
(2)设a，b满足等式，求的值；
(3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数.
【答案】(1)
(2)
(3)这四个连续正整数为1，2，3，4
【分析】（1）设，则，解得：，由，得，即可求解，
（2）设，则，或，由，得，即可求解，
（3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，即可求解，
本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．
【详解】（1）解：设，则，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，
（2）解：设，则，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，
（3）解：设最小正整数为x，则，即：，
设，则，
解得：，，
∵x为正整数，
∴，
解得，（舍去），
故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4．
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