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2024年上海市杨浦区中考数学四模试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，无理数是( )
A. B. C. D.
2.下列方程中，有实数根的方程是( )
A. B. C. D.
3.气象台预报“本市明天降水概率是”，对此信息，下面的几种说法正确的是( )
A. 本市明天将有的地区降水 B. 本市明天将有的时间降水
C. 明天肯定下雨 D. 明天降水的可能性比较大
4.如图，已知二次函数、、为常数，且的图象顶点为，经过点以下结论正确的是( )
A.
B. 随的增大而增大
C.
D. 对于任意实数，总有
5.在四边形中，如果与不平行，与相交于点，那么下列条件中能判定四边形是等腰梯形的是( )
A. B.
C. ， D. ，
6.已知梯形的四条边长分别是、、、，则中位线长可以为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.抛物线的对称轴是直线______．
8.方程的根是______．
9.一个正多边形的内角和是它的外角和的倍，则这个多边形的边数是______．
10.在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校名学生课外阅读的情况，随机调查了名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校名学生一周的课外阅读时间不少于小时的人数是______．
11.在四张完全相同的卡片上，分别画有：正三角形、正八边形、圆和矩形．如果从中任意抽取张卡片，那么这张卡片上所画图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是______．
12.已知两组数据：、、、、和、、、、，下列有关这两组数据的说法中，错误的是______．
平均数相等；中位数相等；众数相等；方差相等．
13.如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象如图所示，那么关于的一元一次不等式的解集是______．
14.某款轿车每行驶千米的耗油量升与其行驶速度千米小时之间的函数关系图象如图所示，其中线段的表达式为，点的坐标为，即行驶速度为千米小时时该轿车每行驶千米的耗油量是升如果从甲地到乙地全程为千米，其中有千米限速千米小时的省道和千米限速千米小时的高速公路，那么在不考虑其他因素的情况下，这款轿车从甲地行驶到乙地至少需要耗油多少______升
15.顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形的两条对角线为、，则等腰梯形的面积为______．
16.如图，在直角梯形中，是腰的中点，，，，则 ______．
17.如图，正方形边长为，点在边上一点点与点、不重合，过点作，垂足为，与边相交于点连接、，如果的面积为，则的长______．
18.如图，正方形中，，为边的中点，点在上，过点作，分别交边、于点、，联结，如果是以为底边的等腰三角形，那么 ______．
三、解答题（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）
19.解方程：．
20.计算：．
21.如图所示，边长为的正方形与边长为的正方形的顶点重合，点在对角线上．
【问题发现】如图所示，与的数量关系为______；
【类比探究】如图所示，将正方形绕点旋转，旋转角为，请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由；
【拓展延伸】若点为的中点，且在正方形的旋转过程中，有点、、在一条直线上，直接写出此时线段的长度为______．
22.食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐经调查发现，每天开餐时，约有人排队，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列食堂目前开放了个售餐窗口规定每人购餐份，每分钟每个窗口能出售午餐份，前分钟每分钟有人进入食堂排队购餐每一天食堂排队等候购餐的人数人与开餐时间分钟的关系如图所示，
求的值．
求开餐到第分钟时食堂排队购餐等候的人数．
若要在开始售餐分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？
23.如图，在矩形中，点是边上任意一点点与点、不重合，过点作，交边的延长线于点，联结交边于点，连接．
求证：∽；
如果平分，联结，求证：四边形为菱形．
24.对于一些比较复杂的方程，可以利用函数图象来研究方程的根．
问题：探究方程的实数根的情况．
下面是小董同学的探究过程，请帮她补全：
设函数，这个函数的图象与直线的交点的横坐标就是方程的实数根．
注意到函数解析式中含有绝对值，所以可得：
当时，；
当时，______；
在下图的坐标系中，已经画出了当时的函数图象，请根据中的解析式，通过描点，连线，画出当时的函数图象．
画直线，由此可知的实数根有______个．
深入探究：若关于的方程有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为非负数，则的取值范围是______．
25.如图，在中，，，，分别为，，的中点，连接，．
如图，求证：；
如图，将绕点顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点，射线交于点时，连接并延长交射线于点，判断与的数量关系，并说明理由；
如图，在的条件下，当时，求的长．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】八
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】或
18.【答案】
19.【答案】解：
去分母得：，
整理得：，
解得 ，，
经检验：时，舍去；
时，，是原方程的根，
原方程的根是．
20.【答案】解：原式
．
21.【答案】解：【问题发现】：
【类比探究】：
上述结论还成立，理由如下：
连接，如图所示
，
，
在和中，
，，
，
∽，
，
；
【拓展延伸】：或
22.【答案】解：根据“等候购餐的人数开餐时排队人数前分钟新增排队人数购餐后离开的人数”，得，
解得，
的值是．
当时，设排队等候购餐的人数与开餐时间的关系为、为常数，且．
将坐标和代入，
得，
解得，
．
当时，，
开餐到第分钟时食堂排队购餐等候人；
设同时开放个窗口，则，解得，
所以至少需同时开放个售票窗口．
23.【答案】证明：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
∽；
如图：
平分，
，
，，
≌，
，，
，
≌，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形为菱形．
24.解：函数的图象与直线的交点的横坐标就是方程的实数根．
当时，，
故答案为；
画出函数的图象如图：
由图象可知，直线与函数图象有个交点，
所以，的实数根有个，
故答案为．
由图象可知：直线在轴的上方，与函数的交点的横坐标，且，，
，
，
关于的方程有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为非负数，则的取值范围是，
故答案为．
25.【答案】证明：如图，连接，
，，，分别为，，的中点，
，，
，
；
解：，
理由如下：
连接，如图，
，，，分别为，，的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
将绕点顺时针旋转一定角度，得到，
，
，
，
∽，
，
；
解：如图，连接，过点作于，
中，，
，
，
，
，
∽，
，
，
中，，
中，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
．
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