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第一节　集 合
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；
2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；
3.在具体情境中，了解全集与空集的含义.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
4.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.
1.元素与集合
（1）集合元素的三个特性：　 　　、　 　　、　　　　；
（2）集合的三种表示方法：　 　　、　 　　、　　　　；
（3）元素与集合的两种关系：属于，记为　　　　；不属于，记为　　　　；
（4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示　　　　集，N表示非负整数集（自然数集），Z表示　　　　集，Q表示　　　　集，R表示实数集.
提醒
（1）解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；
（2）N为自然数集（即非负整数集），包含0，而N*（N＋）表示正整数集，不包含0.
2.集合间的基本关系
　　表示 关系　　 自然语言 符号语言 图形语言
子集 集合A中　　　　元素都是集合B中的元素 　　（或B A） 或
真子集 集合A B，但存在元素x∈B，且x A 　　（或B A）
集合相等 集合A，B中元素相同 A＝B
提醒
（1）A B包含两层含义：A B或A＝B；
（2）若A B，要分A＝ 或A≠ 两种情况讨论，不要忽略A＝ 的情况.
3.集合的基本运算
　　类别 表示　　 并集 交集 补集
图形语言
符号语言 A∪B＝　　　 A∩B＝　　　 UA＝　　　
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）任何一个集合都至少有两个子集.（　　）
（2）{0，1，3}和{0，3，1}是同一个集合.（　　）
（3）集合{x｜x＝x3}用列举法表示为{－1，1}.（　　）
（4）若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.（　　）
（5）{x｜y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1}＝{（x，y）｜y＝x2＋1}.（　　）
2.设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪ UN＝（　　）
A{1，2，4，6，8} B.{0，1，4，6，8}
C.{0，2，4，6，8.}　 D.U
3.（多选）已知集合P＝{x｜x2＝4}，则（　　）
A.P＝{－2，2} B.2∈P　
C.P N　 D.{ } P
4.已知集合A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x＝　　　　.
5.若集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤1或x≥4}，则A∪B＝　　　　，A∩B＝　　　　.
常用结论
1.子集的传递性：A B，B C A C.
2.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
3.等价关系：A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
结论运用
1.已知集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，则A∩B的子集个数为（　　）
A.2　 B.4
C.8　 D.6
2.已知集合A＝{x｜x＞1}，B＝{x｜x＞a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是　　　　.
【典例1】　（1）已知集合A＝{1，2，3}，则B＝{（x，y）｜x∈A，y∈A，｜x－y｜∈A}中所含元素的个数为（　　）
A1　 B.3
C.6　 D.4
（2）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则a2 024＋b2 025＝（　　）
A.1　 B.4
C.2　 D.3
方法技巧
解决与集合含义有关问题的关键
（1）确定构成集合的元素是点集、数集、还是其他类型的集合；
（2）确定元素的限制条件；
（3）根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题.
提醒　集合中元素的互异性容易忽略，求解问题时要特别注意.
跟踪训练
1.已知集合A＝x｜x∈Z，且∈Z，则集合A中的元素个数为（　　）
A.2　　 B.5　　
C.4　　 D.6
2.已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m＝　　　　.
【典例2】已知集合A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜1＜x＜2}，若B A，则实数a的取值范围为（　　）
A.[1，＋∞）　 B.（－∞，1]
C.（1，＋∞）　 D.（－∞，1）
变式
若本例条件变为：已知集合A＝{x｜2a－3≤x≤a}，B＝{x｜1＜x＜2}.若A B，则实数a的取值范围为　　　　.
方法技巧
1.判断集合间关系的常用方法
（1）列举法：先用列举法表示集合，再从元素中寻求关系；
（2）化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系；
（3）数形结合法：利用数轴或Venn图直观判断.
2.由集合间的关系求参数的解题策略
已知集合间的关系求参数时，关键是将集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn图帮助分析并对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.
提醒　当B为A的子集时，易漏掉B＝ 的情况.
跟踪训练
1.设全集U＝R，则集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}的关系可表示为（　　）
2.已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N｜x2－6x＜0}，则满足A C B的集合C的个数为（　　）
A.3　 B.5
C.7　 D.9
考向1　集合的运算
【典例3】（1）（2023·全国甲卷1题）设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则 U（M∪N）＝（　　）
A. B.{x｜x＝3k，k∈Z}
C.{x｜x＝3k－1，k∈Z} D.{x｜x＝3k－2，k∈Z}
（2）（2024·广东联考）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）
A.(－1，3]　 B.（3，＋∞）
C.（－∞，3)　 D.[－1，3）
方法技巧
集合基本运算的方法技巧
考向2　利用集合的运算求参数
【典例4】　（2024·九省联考）已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x｜｜x－3｜≤m}.若A∩B＝A，则m的最小值为　　　　.
方法技巧
利用集合的运算求参数的方法
（1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍；
（2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解.
考向3　集合的新定义问题
【典例5】给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中正确的是（　　）
A.集合M＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合 B.正整数集是闭集合
C.集合M＝{n｜n＝3k，k∈Z}为闭集合 D.若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合
方法技巧
解决以集合为背景的新定义问题的关键
（1）紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中，这是破解新定义集合问题的关键所在；
（2）用好集合的性质：解题时要善于从题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.
跟踪训练
1.设集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，则{x｜x≥2}＝（　　）
A. U（M∪N）　 B.N∪ UM
C. U（M∩N）　 D.M∪ UN
2.已知集合A＝{x｜2＜x＜3}，B＝{x｜x＞m}，且（ RA）∪B＝R，则实数m的取值范围是（　　）
A.m≥2　 B.m＜2
C.m≤2　 D.m＞2
3.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x｜x∈A且x B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），记A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，则A*B＝　　　　　　.
答案
第一节　集 合
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；在具体情境中，了解全集与空集的含义.
2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.
1.元素与集合
（1）集合元素的三个特性：　确定性　、　无序性　、　互异性　；
（2）集合的三种表示方法：　列举法　、　描述法　、　图示法　；
（3）元素与集合的两种关系：属于，记为　∈　；不属于，记为　 　；
（4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示　正整数　集，N表示非负整数集（自然数集），Z表示　整数　集，Q表示　有理数　集，R表示实数集.
提醒　（1）解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；（2）N为自然数集（即非负整数集），包含0，而N*（N＋）表示正整数集，不包含0.
2.集合间的基本关系
　　表示 关系　　 自然语言 符号语言 图形语言
子集 集合A中　任意一个　元素都是集合B中的元素 A （或B A） 或
真子集 集合A B，但存在元素x∈B，且x A A B（或B A）
集合相等 集合A，B中元素相同 A＝B
提醒　（1）A B包含两层含义：A B或A＝B；（2）若A B，要分A＝ 或A≠ 两种情况讨论，不要忽略A＝ 的情况.
3.集合的基本运算
　　类别 表示　　 并集 交集 补集
图形语言
符号语言 A∪B＝ 　{x｜x∈A，　 　或x∈B}　 A∩B＝ 　{x｜x∈A，　 　且x∈B}　 UA＝ 　{x｜x∈U，　 　且x A}　
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）任何一个集合都至少有两个子集.（　×　）
（2）{0，1，3}和{0，3，1}是同一个集合.（　√　）
（3）集合{x｜x＝x3}用列举法表示为{－1，1}.（　×　）
（4）若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.（　×　）
（5）{x｜y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1}＝{（x，y）｜y＝x2＋1}.（　×　）
2.设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪ UN＝（　　）
A.{1，2，4，6，8} B.{0，1，4，6，8}
C.　{0，2，4，6，8}　 D.U
解析：C　因为U＝{0，1，2，4，6，8}，M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，所以 UN＝{2，4，8}，所以M∪ UN＝{0，2，4，6，8}.故选C.
3.（多选）已知集合P＝{x｜x2＝4}，则（　　）
A.P＝{－2，2}.　 B2∈P
CP N.　 D.{ } P
解析：AB　P＝{x｜x2＝4}＝{－2，2}，故2∈P，故A、B正确. 不是P中的元素，故D错误.因为－2 N，故P N错误，故C错误.
4.已知集合A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x＝　1或4　.
解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4.
5.若集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤1或x≥4}，则A∪B＝　R　，A∩B＝　{x｜－1＜x≤1或4≤x＜5}　.
解析：因为A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤1或x≥4}，借助数轴如图①，所以A∪B＝R，如图②，所以A∩B＝{x｜－1＜x≤1或4≤x＜5}.
常用结论
1.子集的传递性：A B，B C A C.
2.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
3.等价关系：A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
结论运用
1.已知集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，则A∩B的子集个数为（　　）
A.2　 B.4
C.8　 D.6
解析：C　因为A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，所以A∩B＝{2，3，4}，由结论2得A∩B的子集个数为23＝8，故选C.
2.已知集合A＝{x｜x＞1}，B＝{x｜x＞a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是　（－∞，1]　.
解析：如图，在数轴上表示出A，B.由结论3可得A B，所以a≤1.
　　
【典例1】（1）已知集合A＝{1，2，3}，则B＝{（x，y）｜x∈A，y∈A，｜x－y｜∈A}中所含元素的个数为（　　）
A.1　 B.3
C.6　 D.4
（2）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则a2 024＋b2 025＝（　　）
A.1　 B.4
C.2　 D.3
答案：（1）C　（2）C
解析：（1）因为A＝{1，2，3}，所以B＝{（2，1），（3，1），（3，2），（1，2），（1，3），（2，3）}，共6个元素.故选C.
由题意知a≠0，因为{1，a＋b，a}＝{0，，b}.所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2 024＋b2 025＝2.
方法技巧
解决与集合含义有关问题的关键
（1）确定构成集合的元素是点集、数集、还是其他类型的集合；
（2）确定元素的限制条件；
（3）根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题.
提醒　集合中元素的互异性容易忽略，求解问题时要特别注意.
跟踪训练
1.已知集合A＝x｜x∈Z，且∈Z，则集合A中的元素个数为（　　）
A.2　 B.5
C.4　 D.6
解析：C　因为x∈Z，且∈Z，所以2－x的取值有－4，－2，-1，1，2,4所以x的值分别为6，4，3，1，0,-2故集合A中的元素个数为6故选D.
2.已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m＝　－　　.
解析：令m＋2＝3，得m＝1，此时2m2＋m＝3，不合题意.令2m2＋m＝3，得m＝－或m＝1（舍去）.若m＝－，则m＋2＝，满足条件，所以m＝－.
【典例2】（必修第一册第9页5（2）题改编）已知集合A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜1＜x＜2}，若B A，则实数a的取值范围为（　　）
A.[1，＋∞）　 B.（－∞，1]
C.（1，＋∞）　 D.（－∞，1）
解析：B　因为A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜1＜x＜2}，且B A.用数轴表示其关系如图.所以实数a的取值范围为a≤1.故选B.
变式
　若本例条件变为：已知集合A＝{x｜2a－3≤x≤a}，B＝{x｜1＜x＜2}.若A B，则实数a的取值范围为　（3，＋∞）　.
解析：因为A＝{x｜2a－3≤x≤a}，B＝{x｜1＜x＜2}，且A B.①当A＝ 时，2a－3＞a，则a＞3，满足题意；②当A≠ 时，用数轴表示其关系如图，所以即所以a不存在，综上所述，实数a的取值范围为（3，＋∞）.
方法技巧
1.判断集合间关系的常用方法
（1）列举法：先用列举法表示集合，再从元素中寻求关系；
（2）化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系；
（3）数形结合法：利用数轴或Venn图直观判断.
2.由集合间的关系求参数的解题策略
已知集合间的关系求参数时，关键是将集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn图帮助分析并对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.
提醒　当B为A的子集时，易漏掉B＝ 的情况.
跟踪训练
1.设全集U＝R，则集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}的关系可表示为（　　）
解析：A　因为N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}＝{1，2}，M＝{0，1，2}，所以N是M的真子集.故选A.
2.已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N｜x2－6x＜0}，则满足A C B的集合C的个数为（　　）
A.3　 B.5
C.7　 D.9
解析：C　∵A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，且A C B，∴集合C的所有可能为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个.
考向1　集合的运算
【典例3】（1）（2023·全国甲卷1题）设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则 U（M∪N）＝（　　）
A.
B.{x｜x＝3k，k∈Z}
C.{x｜x＝3k－1，k∈Z}
D.{x｜x＝3k－2，k∈Z}
（2）（2024·广东联考）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）
A.(－1，3]　 B.（3，＋∞）
C.（－∞，3) D.[－1，3）
答案：（1）B　（2）D
解析：（1）法一（列举法）　M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以 U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即 U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故选A.
法二（描述法）　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A.
（2）集合A＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}＝{x｜x＜3}，所以题图中阴影部分表示的集合为（ UA）∩B＝{x｜－1≤x≤3}∩{x｜x＜3}＝{x｜－1≤x＜3}.故选D.
方法技巧
集合基本运算的方法技巧
考向2　利用集合的运算求参数
【典例4】　（2024·九省联考）已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x｜｜x－3｜≤m}.若A∩B＝A，则m的最小值为　5　.
解析：B＝{x｜｜x－3｜≤m}＝{x｜3－m≤x≤3＋m}，又A∩B＝A，则A B，所以所以m≥5，故m的最小值为5.
方法技巧
利用集合的运算求参数的方法
（1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍；
（2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解.
考向3　集合的新定义问题
【典例5】给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中正确的是（　　）
A.集合M＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合
B.正整数集是闭集合
C.集合M＝{n｜n＝3k，k∈Z}为闭集合
D.若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合
解析：C　选项A：当集合M＝{－4，－2，0，2，4}时，2，4∈M，而2＋4＝6 M，所以集合M不为闭集合，A选项错误；选项B：设a，b是任意的两个正整数，则a＋b∈M，当a＜b时，a－b是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B选项错误；选项C：当M＝{n｜n＝3k，k∈Z}时，设a＝3k1，b＝3k2，k1，k2∈Z，则a＋b＝3（k1＋k2）∈M，a－b＝3（k1－k2）∈M，所以集合M是闭集合，C选项正确；选项D：设A1＝{n｜n＝3k，k∈Z}，A2＝{n｜n＝2k，k∈Z}，由C可知，集合A1，A2为闭集合，2，3∈（A1∪A2），而（2＋3） （A1∪A2），故A1∪A2不为闭集合，D选项错误.
方法技巧
解决以集合为背景的新定义问题的关键
（1）紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中，这是破解新定义集合问题的关键所在；
（2）用好集合的性质：解题时要善于从题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.
跟踪训练
1.（2023·全国乙卷2题）设集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，则{x｜x≥2}＝（　　）
A. U（M∪N）　 B.N∪ UM
C. U（M∩N）　 D.M∪ UN
解析：A　因为M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，所以M∪N＝{x｜x＜2}，所以 U（M∪N）＝{x｜x≥2}.故选A.
2.已知集合A＝{x｜2＜x＜3}，B＝{x｜x＞m}，且（ RA）∪B＝R，则实数m的取值范围是（　　）
A.m≥2　 B.m＜2
C.m≤2　 D.m＞2
解析：C　∵A＝{x｜2＜x＜3}，∴ RA＝（－∞，2]∪[3，＋∞），∵（ RA）∪B＝R，∴m≤2.
3.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x｜x∈A且x B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），记A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，则A*B＝　{x｜－3≤x＜0或x＞3}　.
解析：∵A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，∴A－B＝{x｜x＞3}，B－A＝{x｜－3≤x＜0}.∴A*B＝{x｜－3≤x＜0或x＞3}.
6 / 6第二节　常用逻辑用语
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，理解定义、判定定理、性质定理与充要条件、充分条件、必要条件的关系.
2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
1.充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 “若p，则q”和“若q，则p”都是真命题
推出关系 p　　q p 　　q p　　q
条件关系 p是q的　　条件，q是p的　　　条件 p不是q的　　　条件，q不是p的　　　条件 p是q的　　条件，简称　　　条件
提醒　（1）A是B的充分不必要条件 A B且BA；（2）A的充分不必要条件是B B A且AB.
2.全称量词和存在量词
类别 全称量词 存在量词
量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个
符号
命题 含有　　　　　的命题叫做全称量词命题 含有　　　　　的命题叫做存在量词命题
命题形式 “对M中任意一个x，p（x）成立”，可用符号简记为“　　　　　　　　” “存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符号简记为“　　　　　　　　”
3.全称量词命题和存在量词命题的否定
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p（x）成立 存在M中的元素x，p（x）成立
简记 x∈M，p（x） x∈M，p（x）
否定 ____________ ____________
提醒　对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.（　　）
（2）写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.（　　）
（3）“至少有一个三角形的内角和为π”是全称量词命题.（　　）
（4）若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.（　　）
2.已知命题p： x∈R，x＞sin x，则p的否定为（　　）
A. x∈R，x＜sin x B. x∈R，x≤sin x
C. x∈R，x≤sin x　 D. x∈R，x＜sin x　
3..(概念辨析)(多选)下列结论正确的是(　　).
A.“x2>1”是“x>1”的充分不必要条件
B.设M N,则“x M”是“x N”的必要不充分条件
C.“a,b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件
D.“a>1且b>1”是“a+b>2且ab>1”的充要条件
4.“等边三角形都是等腰三角形”的否定是　　 　.
5.若“x＞m”是“x＞2”的充分不必要条件，则m的取值范围是　　　　.
常用结论
1.充分（必要、充要）条件与集合间的包含关系
设A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}：
（1）若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
（3）若A＝B，则p是q的充要条件.
2.命题p和 p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.
结论运用
1.(多选)下列说法正确的是(　　)
A．“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件
B．“>”是“aC．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A B
D．“a>b>0”是“an>bn(n∈N，n≥2)”的充要条件
2.若“ x∈R，x2－ax－2a＞0”是假命题，则实数a的取值范围是　　　　.
考向1　含量词命题的否定及真假判定
【例1】　（1）已知命题p： x∈R，x＝－1或x＝2，则（　　）
A. p： x∈R，x＝－1且x＝2 B. p： x∈R，x≠－1且x≠2
C. p： x R，x≠－1或x≠2 D. p： x R，x＝－1或x＝2
（2）(多选)下列命题中是存在量词命题且为真命题的有(　　).
A.中国所有的江河都流入太平洋
B.有的四边形既是矩形,又是菱形
C.存在x∈R,使得x2+x+1=0
D.有的数比它的倒数小
方法技巧
1.对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法
（1）改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；
（2）否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可.
2.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
（1）全称量词命题：①要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；②要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可.
（2）存在量词命题：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题.
考向2　含量词的命题的应用
【例2】　已知命题“ x∈R，使ax2－x＋1≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）
A.（－，0）　 B.（0，）
C.（，＋∞）　 D.（1，＋∞）
方法技巧
由命题的真假求参数的方法
（1）全称量词命题可转化为恒成立问题；
（2）存在量词命题可转化为存在性问题；
（3）全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真.
跟踪训练
1.(多选）若“xk+3”是“-4A.-8 B.-5 C.1 D.4
2.若命题“ x∈（－1，3），x2－2x－a≤0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（　　）
A.－1　　 B.2
C.0　　 D.2
【例3】　（1）设x∈R，则“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的（　　）
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
（2）（多选)对任意实数a,b,c,下列命题为真命题的是(　　).
A.“a<5”是“a<3”的必要条件
B.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
C.“a=b”是“ac=bc”的充要条件
D.“a≥2且b≥2”是“a2+b2≥4”的充分不必要条件
方法技巧
充分条件、必要条件的两种判定方法
（1）定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题；
（2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.
跟踪训练
1.已知a，b都是实数，那么“方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圆”是“a＞2”的（　　）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2.(多选)若p:x2+x-6=0是q:ax+1=0的必要不充分条件,则实数a的值为(　　).
A.2 B.- C. D.3
【例4】　已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为　　　　.
变式
本例中条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“x∈P是x∈S的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
方法技巧
应用充分、必要条件求解参数范围的方法
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式组）求解；
（2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
跟踪训练
设p：1＜x＜2；q：（x－a）（x－1）≤0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　　　　.
答案
第二节　常用逻辑用语
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，理解定义、判定定理、性质定理与充要条件、充分条件、必要条件的关系.
2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
1.充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 “若p，则q”和“若q，则p”都是真命题
推出关系 p　 　q p　　q p　 　q
条件关系 p是q的　充分　条件，q是p的　必要　条件 p不是q的　充分　条件，q不是p的　必要　条件 p是q的　充分必要　条件，简称　充要　条件
提醒　（1）A是B的充分不必要条件 A B且BA；（2）A的充分不必要条件是B B A且AB.
2.全称量词和存在量词
类别 全称量词 存在量词
量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个
符号
命题 含有　全称量词　的命题叫做全称量词命题 含有　存在量词　的命题叫做存在量词命题
类别 全称量词 存在量词
命题 形式 “对M中任意一个x，p（x）成立”，可用符号简记为“　 x∈M，p（x）　” “存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符号简记为“　 x∈M，p（x）　”
3.全称量词命题和存在量词命题的否定
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p（x）成立 存在M中的元素x，p（x）成立
简记 x∈M，p（x） x∈M，p（x）
否定 x∈M， p（x） x∈M， p（x）
提醒　对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.（　√　）
（2）写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.（　√　）
（3）“至少有一个三角形的内角和为π”是全称量词命题.（　×　）
（4）若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.（　√　）
2.已知命题p： x∈R，x＞sin x，则p的否定为（　　）
A. x∈R，x＜sin x　 B. x∈R，x≤sin x
C. x∈R，x≤sin x　 D. x∈R，x＜sin x
解析：C　对全称量词命题的否定既要否定量词又要否定结论，p： x∈R，x＞sin x，则p的否定为： x∈R，x≤sin x.故选C.
3.(概念辨析)(多选)下列结论正确的是(　　).
A.“x2>1”是“x>1”的充分不必要条件
B.设M N,则“x M”是“x N”的必要不充分条件
C.“a,b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件
D.“a>1且b>1”是“a+b>2且ab>1”的充要条件
解析　对于选项A,x2>1 / x>1,x>1 x2>1,所以“x2>1”是“x>1”的必要不充分条件,故A错误;
对于选项B,由M N得 RN RM,则x N x M,x M / x N,所以“x M”是“x N”的必要不充分条件,故B正确;
对于选项C,由“a,b都是偶数”可以得到“a+b是偶数”,但是当a+b是偶数时,a,b可能都是奇数,所以“a,b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件,故C正确;
对于选项D,“a>1且b>1” “a+b>2且ab>1”,而由“a+b>2且ab>1” / “a>1且b>1”,比如a=3,b=, 所以“a>1且b>1”是“a+b>2且ab>1”的充分不必要条件,故D错误.
4.“等边三角形都是等腰三角形”的否定是　存在一个等边三角形，它不是等腰三角形　.
解析：全称量词命题的否定是存在量词命题.故命题的否定是存在一个等边三角形，它不是等腰三角形.
5.若“x＞m”是“x＞2”的充分不必要条件，则m的取值范围是　（2，＋∞）　.
解析：因为“x＞m”是“x＞2”的充分不必要条件，所以（m，＋∞）是（2，＋∞）的真子集，由图可知m＞2.
常用结论
1.充分（必要、充要）条件与集合间的包含关系
设A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}：
（1）若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
（3）若A＝B，则p是q的充要条件.
2.命题p和 p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.
结论运用
1.(多选)下列说法正确的是(　　)
A．“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件
B．“>”是“aC．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A B
D．“a>b>0”是“an>bn(n∈N，n≥2)”的充要条件
解析：c＝0时，由ac＝bc不能得出a＝b，A错；>与a，但不满足a，∴“>”是“ab>0能得出an>bn，当a＝－4，b＝－2时，a2>b2，但aD错．故选B.C
2.若“ x∈R，x2－ax－2a＞0”是假命题，则实数a的取值范围是　（－∞，－8]∪[0，＋∞）　.
解析：由结论2得 x∈R，x2－ax－2a≤0为真命题，所以Δ＝a2＋8a≥0，解得a∈（－∞，－8]∪[0，＋∞）.
　　
考向1　含量词命题的否定及真假判定
【例1】（1）已知命题p： x∈R，x＝－1或x＝2，则（　　）
A. p： x∈R，x＝－1且x＝2
B. p： x∈R，x≠－1且x≠2
C. p： x R，x≠－1或x≠2
D. p： x R，x＝－1或x＝2
（2）(多选)下列命题中是存在量词命题且为真命题的有(　　).
A.中国所有的江河都流入太平洋
B.有的四边形既是矩形,又是菱形
C.存在x∈R,使得x2+x+1=0
D.有的数比它的倒数小
答案：（1）B 　（2）B D
解析：（1）注意“x＝－1或x＝2”的否定是“x≠－1且x≠2”，所以命题p的否定是“ x∈R，x≠－1且x≠2”.
(2)对于A,中国所有的江河都流入太平洋是全称量词命题,故A错误;对于B,有的四边形既是矩形,又是菱形是存在量词命题且为真命题,比如正方形,故B正确;对于C,存在x∈R,有x2+x+1=0是存在量词命题且为假命题,因为x2+x+1=+>0恒成立,故C错误;对于D,有的数比它的倒数小是存在量词命题且为真命题,比如,故D正确.
方法技巧
1.对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法
（1）改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；
（2）否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可.
2.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
（1）全称量词命题：①要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；②要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可.
（2）存在量词命题：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题.
考向2　含量词的命题的应用
【例2】　已知命题“ x∈R，使ax2－x＋1≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）
A.（－，0）　 B.（0，）
C.（，＋∞）　 D.（1，＋∞）
解析：C　因为命题“ x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，所以命题“ x∈R，ax2－x＋1＞0”是真命题，当a＝0时，得x＜1，不符合题意；当a≠0时，得解得a＞.
方法技巧
由命题的真假求参数的方法
（1）全称量词命题可转化为恒成立问题；
（2）存在量词命题可转化为存在性问题；
（3）全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真.
跟踪训练
1.(多选）若“xk+3”是“-4A.-8 B.-5 C.1 D.4
解析　若“xk+3”是“-4k+3} {x|-42.若命题“ x∈（－1，3），x2－2x－a≤0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（　　）
A.－1　 B.1
C.0 D.2
解析：A　由题意， x∈（－1，3），a≥x2－2x，令h（x）＝x2－2x，因为函数h（x）＝x2－2x在（－1，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，所以h（x）min＝h（1）＝1－2＝－1，所以a≥－1.所以实数a可取的最小整数值是－1.
【例3】（1）设x∈R，则“｜x－1｜＜1”是“x2－5x＜0”的（　　）
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
（2）（多选)对任意实数a,b,c,下列命题为真命题的是(　　).
A.“a<5”是“a<3”的必要条件
B.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
C.“a=b”是“ac=bc”的充要条件
D.“a≥2且b≥2”是“a2+b2≥4”的充分不必要条件
答案：（1）B　（2）ABD
解析：（1）不等式x2－5x＜0的解集A＝{x｜0＜x＜5}，由｜x－1｜＜1得－1＜x－1＜1，其解集B＝{x｜0＜x＜2}，则集合B是A的真子集，所以“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的必要不充分条件，故选B.
（2）)对于A,因为a<5表示的范围包含a<3表示的范围,所以“a<5”是“a<3”的必要条件,故A正确.对于B,a+5是无理数,则a是无理数,反之也成立,所以“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件,故B正确.对于C,若a=b,则ac=bc,正确;取c=0,a=1,b=2,则ac=bc=0,但是a≠b,所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件,故C错误.对于D,若a≥2且b≥2,由不等式的性质可知a2≥4,b2≥4,则a2+b2≥8≥4成立;取a=-2,b=1,a2+b2=5≥4成立,显然a≥2不成立,b≥2也不成立,所以“a≥2且b≥2”是“a2+b2≥4”的充分不必要条件,故D正确.
方法技巧
充分条件、必要条件的两种判定方法
（1）定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题；
（2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.
跟踪训练
1.已知a，b都是实数，那么“方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圆”是“a＞2”的（　　）
A.充要条件　 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件　 D.既不充分也不必要条件
解析：B　方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圆 方程（x－1）2＋（y－b）2＝a＋1表示圆 a＋1＞0 a＞－1.由a＞2能推出a＞－1，但是a＞－1推不出a＞2，故“a＞2”是“方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圆”的充分不必要条件.
2.(多选)若p:x2+x-6=0是q:ax+1=0的必要不充分条件,则实数a的值为(　　).
A.2 B.- C. D.3
解析：由x2+x-6=0,可得x=2或x=-3.对于方程ax+1=0,当a=0时,方程ax+1=0无解;当a≠0时,解方程ax+1=0,可得x=-.由题意知p / q,q p,则可得a≠0,此时应有-=2或-=-3,解得a=-或a=.综上可得,a=-或a=.故选BC
【例4】　已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为　[0，3]　.
解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x｜－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的必要条件，则S P，∴解得0≤m≤3，故0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件.
变式
本例中条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“x∈P是x∈S的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解：由例题知P＝{x｜－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的充分不必要条件，∴P S.∴[－2，10] [1－m，1＋m].∴或∴m≥9，则m的取值范围是[9，＋∞）.
方法技巧
应用充分、必要条件求解参数范围的方法
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式组）求解；
（2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
跟踪训练
　设p：1＜x＜2；q：（x－a）（x－1）≤0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　[2，＋∞）　.
解析：由题意知{x｜1＜x＜2} {x｜（x－a）（x－1）≤0}，则a＞1，即{x｜1＜x＜2} {x｜1≤x≤a}，从而a≥2.
4 / 4第三节　等式性质与不等式性质
1.回顾等式的性质.
2.理解不等式的概念，掌握不等式的性质.
3.会比较两个数（式）的大小.
1.比较实数的大小
（1）文字叙述：如果a－b是正数，那么a　　b；如果a－b等于0，那么a　　　　b；如果a－b是负数，那么a　　　　b.反过来也成立；
（2）符号表示：a－b＞0 a　 　　b；a－b＝0 a　　　　b；a－b＜0 a　　　　b.
2.等式的基本性质
（1）对称性：如果a＝b，那么b＝a；
（2）传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
（3）可加性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
（4）可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
（5）可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3.不等式的基本性质
（1）对称性：a＞b b＜a；
（2）传递性：a＞b，b＞c a＞c；
（3）可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c　　　　b＋d；
（4）可乘性：a＞b，c＞0 ac　　　bc；a＞b，c＜0 ac　　　　bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
（5）可乘方性：a＞b＞0 an＞bn（n∈N，n≥2）；
（6）可开方性：a＞b＞0 ＞ （n∈N，n≥2）.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）a＝b ac＝bc.（　　）
（2）若＞1，则a＞b.（　　）
（3）若a＞b，则ac2＞bc2.（　　）
（4）两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种.（　　）
2.(多选)下面结论不正确的有(　　).
A.若>1,则b>a
B.若a>b,则a2>b2
C.若a>b,cb-d
D.若a>b,c>d,则ac>bd
3.设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A.＜ B.ac＞bc
C.a2＞b2　 D.a＋c＞b＋c
4.比较两数的大小：＋　　　＋.
5.已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，则a－b的取值范围为　　　　.
常用结论
1.倒数性质：（1）a＞b，ab＞0 ＜；（2）a＜0＜b ＜；（3）a＞b＞0，d＞c＞0 ＞.
2.分数性质：若a＞b＞0，m＞0，则（1）真分数性质：＜；＞（b－m＞0）；（2）假分数性质：＞；＜（b－m＞0）.
结论运用
（多选）下列命题中正确的是（　　）
A.若a＜b，则ac2＜bc2 B.若b＞a＞0，则＞
C.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d D.若ab＜0，a＞b，则＞
【典例1】　（1）已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是（　　）
A.M＞N　 B.M＝N
C.M＜N　 D.不能确定
（2）若a＝，b＝，则a　　　　b（填“＞”或“＜”）.
方法技巧
比较大小的常用方法
（1）作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.
（2）作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.
跟踪训练
若a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为（　　）
A.p≥q　 B.p≤q
C.p＞q　 D.p＜q
【典例2】　（多选）若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论正确的是（　　）
A.ad＞bc B.＋＜0
C.a－c＞b－d D.a（d－c）＞b（d－c）
方法技巧
利用不等式的性质判断不等式的方法
（1）直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；
（2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性.
跟踪训练
　（多选）已知a，b∈R，则下列选项中能使＜成立的是（　　）
A.b＞a＞0　 B.a＞b＞0
C.b＜0＜a　 D.b＜a＜0
【典例3】　（必修第一册第43页5题改编）已知2＜a＜3，－1＜b＜5，则a＋2b的取值范围是　　　　，ab的取值范围是　　　　.
变式
若本例条件变为1＜a＋b＜3，0＜a－b＜2，则a＋2b的取值范围是　　　　.
方法技巧
　　利用不等式性质可以求某些代数式的范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的范围.解决的途径是先确立所求范围的整体与已知范围的整体的数量关系，最后通过“一次性”不等关系运算求解.
跟踪训练
已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是　　　　.
答案
第三节　等式性质与不等式性质
1.回顾等式的性质.
2.理解不等式的概念，掌握不等式的性质.
3.会比较两个数（式）的大小.
　　
1.比较实数的大小
（1）文字叙述：如果a－b是正数，那么a　＞　b；如果a－b等于0，那么a　＝　b；如果a－b是负数，那么a　＜　b.反过来也成立；
（2）符号表示：a－b＞0 a　＞　b；a－b＝0 a　＝　b；a－b＜0 a　＜　b.
2.等式的基本性质
（1）对称性：如果a＝b，那么b＝a；
（2）传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
（3）可加性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
（4）可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
（5）可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3.不等式的基本性质
（1）对称性：a＞b b＜a；
（2）传递性：a＞b，b＞c a＞c；
（3）可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c　＞　b＋d；
（4）可乘性：a＞b，c＞0 ac　＞　bc；a＞b，c＜0 ac　＜　bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
（5）可乘方性：a＞b＞0 an＞bn（n∈N，n≥2）；
（6）可开方性：a＞b＞0 ＞ （n∈N，n≥2）.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）a＝b ac＝bc.（　×　）
（2）若＞1，则a＞b.（　×　）
（3）若a＞b，则ac2＞bc2.（　×　）
（4）两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种.（　√　）
2.(多选)下面结论不正确的有(　　).
A.若>1,则b>a
B.若a>b,则a2>b2
C.若a>b,cb-d
D.若a>b,c>d,则ac>bd
答案　ABD
3.设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A..＜　 Bac＞bc
C.a2＞b2　 D.a＋c＞b＋c
解析：D　对于选项A，当c≤0时，不等式ac＞bc不成立，故A不正确.对于选项B，当a＞0，b＜0时，不等式＜不成立，故B不正确.对于选项C，当a＝－1，b＝－2时，不等式a2＞b2不成立，故C不正确.选项D正确，
故选D.
4.比较两数的大小：＋　＞　＋.
解析：因为（＋）2＝17＋2，（＋）2＝17＋2，所以（＋）2＞（＋）2，所以＋＞＋.
5.已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，则a－b的取值范围为　（－6，5）　.
解析：∵－3＜b＜5，∴－5＜－b＜3，又－1＜a＜2，∴－6＜a－b＜5.
常用结论
1.倒数性质：（1）a＞b，ab＞0 ＜；（2）a＜0＜b ＜；（3）a＞b＞0，d＞c＞0 ＞.
2.分数性质：若a＞b＞0，m＞0，则（1）真分数性质：＜；＞（b－m＞0）；（2）假分数性质：＞；
＜（b－m＞0）.
结论运用
（多选）下列命题中正确的是（　　）
A.若a＜b，则ac2＜bc2
B.若b＞a＞0，则＞
C.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d
D.若ab＜0，a＞b，则＞
解析：BD　A中，当c＝0时不成立，故A不正确；B中，由真分数性质知B正确；C中，因为a＞b，（－c）＜（－d），不满足不等式的同向可加性，故C不正确；D中，因为ab＜0，所以a，b异号，所以当a＞b时a＞0且b＜0，＞，故D正确.综上可知B、D正确.
【例1】　（1）已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是（　A　）
A.M＞N　 B.M＝N
C.M＜N　 D.不能确定
（2）若a＝，b＝，则a　＜　b（填“＞”或“＜”）.
解析：（1）∵0＜a＜，∴1＋a＞0，1＋b＞0，1－ab＞0.∴M－N＝＋＝＞0，∴M＞N.故选A.
（2）易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.
方法技巧
比较大小的常用方法
（1）作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.
（2）作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.
跟踪训练
若a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为（　　）
A.p≥q B.p≤q
C.p＞q　 D.p＜q
解析：B　p－q＝＋－a－b＝＋＝（b2－a2）·（－）＝＝，∵a＜0，b＜0，∴a＋b＜0，ab＞0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q＜0，故p＜q.综上，p≤q.故选B.
【例2】　（多选）若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论正确的是（　　）
A.ad＞bc　 B.＋＜0
C.a－c＞b－d　 D.a（d－c）＞b（d－c）
解析：BCD　因为a＞0＞b，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，所以ad＜bc，故A错误；因为0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以a（－c）＞（－b）（－d），所以ac＋bd＜0，cd＞0，所以＝＋＜0，故B正确；因为c＜d，所以－c＞－d，因为a＞b，所以a＋（－c）＞b＋（－d），即a－c＞b－d，故C正确；因为a＞0＞b，d－c＞0，所以a（d－c）＞b（d－c），故D正确.
方法技巧
利用不等式的性质判断不等式的方法
（1）直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；
（2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性.
跟踪训练
　（多选）已知a，b∈R，则下列选项中能使＜成立的是（　　）
A.b＞a＞0　 B.a＞b＞0
C.b＜0＜a　 D.b＜a＜0
解析：BD　对于A，由b＞a＞0可得＞＞0，A错误；对于B，由a＞b＞0可得＞＞0，B正确；对于C，由b＜0＜a可得＞0＞，C错误；对于D，由b＜a＜0可得0＞＞，D正确.故选B、D.
【例3】　（必修第一册第43页5题改编）已知2＜a＜3，－1＜b＜5，则a＋2b的取值范围是　（0，13）　，ab的取值范围是　（－3，15）　.
解析：∵2＜a＜3，－1＜b＜5，∴－2＜2b＜10，∴0＜a＋2b＜13，当－1＜b＜0时，0＜－b＜1，∴0＜－ab＜3，则－3＜ab＜0，当0＜b＜5时，0＜ab＜15，当b＝0时，ab＝0，综上，－3＜ab＜15.
变式
若本例条件变为1＜a＋b＜3，0＜a－b＜2，则a＋2b的取值范围是　（，）　.
解析：设a＋2b＝x（a＋b）＋y（a－b），则a＋2b＝（x＋y）a＋（x－y）b，即解得即a＋2b＝（a＋b）－（a－b），由1＜a＋b＜3，则＜（a＋b）＜，由0＜a－b＜2，则－2＜－（a－b）＜0，－1＜－（a－b）＜0，故＜（a＋b）－（a－b）＜.
方法技巧
　　利用不等式性质可以求某些代数式的范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的范围.解决的途径是先确立所求范围的整体与已知范围的整体的数量关系，最后通过“一次性”不等关系运算求解.
跟踪训练
已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是　（－3，－1）　.
解析：因为a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，b＝－2a－c，因为a＞b＞c，所以－2a－c＜a，即3a＞－c，解得＞－3，将b＝－2a－c代入b＞c中，得－2a－c＞c，即a＜－c，得＜－1，所以－3＜＜－1.
3 / 3第四节　基本不等式
1.掌握基本不等式≤（a，b≥0）
2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
1.基本不等式≤
（1）基本不等式成立的条件是　　　　　　；
（2）等号成立的条件是：当且仅当　　　　　时取等号；
（3）其中叫做正数a，b的　　　　平均数，叫做正数a，b的　　　　平均数.
提醒　应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.
2.基本不等式与最值
已知x＞0，y＞0，则
（1）如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2（简记：积定和最小）；
（2）如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是（简记：和定积最大）.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝x＋的最小值是2.（　　）
（2）x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.（　　）
（3）两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.（　　）
2.设a＞0，则4a＋的最小值为（　　）
A.4 　B.5
C.6　 D.7
3.(多选)下面结论不正确的有(　　).
A.不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是相同的
B.函数y=|x|+的最小值是2
C.函数f(x)=sinx+的最小值为4
D.“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件
4.函数y＝x（4－x）的最大值为　　　　.
5.函数y＝x＋（x≥0）的最小值为　　　　.
常用结论
1.＋≥2（a，b同号）.
2.ab≤（）2（a，b∈R）.
3.≥（）2（a，b∈R）.
4.≥≥＞0（a＞0，b＞0）.
结论运用
1.若x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则的最大值为（　　）
A.9　 B.18
C.36　 D.81
2.函数f（x）＝（x＞0）的最小值是　　　　
A.2 　B.3
C.4　 D.5
法1　配凑法
【典例1】　（1）设0＜x＜4，则y＝3x（8－2x）的最大值为　　　　；
（2）函数f（x）＝的最小值为　　　　.
方法技巧
配凑法求最值的实质及关键点
　　配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.
法2　常数代换法
【典例2】（1）已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为　　　　.
（2）知非负实数x,y满足+=1,则x+y的最小值为(　　).
A. B. C. D.
方法技巧
常数代换法求最值的基本步骤
（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；
（2）把确定的定值（常数）变形为1；
（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；
（4）利用基本不等式求最值.
法3　消元法
【典例3】　（必修第一册第58页5题改编）已知a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为　　　　.
变式
已知x＞2，y＞1，xy－x－2y＝2，则x＋y的最小值是（　　）
A.1　 B.4
C.7　 D.3＋
方法技巧
消元法求最值的思路
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值.
跟踪训练
1.(多选)已知x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,则下列结论正确的是(　　).
A.xy的取值范围是(0,9]
B.x+y的取值范围是[2,3)
C.x+2y的最小值是4-3
D.x+4y的最小值是3
2.若a＞0，b＞0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为　　　　，＋的最小值为　　　　.
【典例4】　（2024·绍兴质检）若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是（　　）
A.（－4，1） B.（－∞，0）∪（3，＋∞）
C.（－∞，－1）∪（4，＋∞） D.（－1，4）
方法技巧
利用基本不等式解题的策略
（1）应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式（或式子）变形，然后利用基本不等式求解；
（2）条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解；
（3）求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而求得参数的值或范围.
跟踪训练
　若对任意正数x，不等式≤恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A.[1，＋∞）　 B.［－，＋∞）
C.［，＋∞）　 D.［，＋∞）
【典例5】　单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N＝，其中d0为安全距离，v为车速（m/s）.当安全距离d0取30 m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（　　）
A.131　 B.149
C.150　 D.145
方法技巧
利用基本不等式解决实际问题的策略
（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；
（2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；
（3）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.
跟踪训练
港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（　　）
A..两种方案一样　 B.第二种方案划算
C第一种方案划算　 D.无法确定
答案
第四节　基本不等式
1.掌握基本不等式≤（a，b≥0）.
2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
1.基本不等式≤
（1）基本不等式成立的条件是　a＞0，b＞0　；
（2）等号成立的条件是：当且仅当　a＝b　时取等号；
（3）其中叫做正数a，b的　算术　平均数，叫做正数a，b的　几何　平均数.
提醒　应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.
2.基本不等式与最值
已知x＞0，y＞0，则
（1）如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2（简记：积定和最小）；
（2）如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是（简记：和定积最大）.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝x＋的最小值是2.（　×　）
（2）x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.（　×　）
（3）两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.（　×　）
2.设a＞0，则4a＋的最小值为（　　）
A.4　 B.5
C.6　 D.7
解析：A　因为a＞0，所以4a＋≥2 ＝4，当且仅当4a＝，即a＝时等号成立，
所以4a＋的最小值为4.故选A.
3.(多选)下面结论不正确的有(　　).
A.不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是相同的
B.函数y=|x|+的最小值是2
C.函数f(x)=sinx+的最小值为4
D.“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件
解析　对于A,使a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R,而使≥成立的条件是a,b都是非负数,故A不正确;对于B,|x|+≥2=2,故B正确;对于C,sinx∈[-1,1],所以C不正确;对于D,“x>0且y>0”是“+≥2”的充分不必要条件,故D不正确.
4.函数y＝x（4－x）的最大值为　　.
解析：y＝x（4－x）≤（）2＝，当且仅当x＝4－x，即x＝时等号成立.
5.函数y＝x＋（x≥0）的最小值为　1　.
解析：因为x≥0，所以x＋1＞0，＞0，利用基本不等式得y＝x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝0时，等号成立.所以函数y＝x＋（x≥0）的最小值为1.
常用结论
1.＋≥2（a，b同号）.
2.ab≤（）2（a，b∈R）.
3.≥（）2（a，b∈R）.
4.≥≥＞0（a＞0，b＞0）.
结论运用
1.若x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则的最大值为（　　）
A.9　 B.18
C.36　 D.81
解析：A　因为x＞0，y＞0，且x＋y＝18，所以由结论4知≤＝9，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故的最大值为9.
2.函数f（x）＝（x＞0）的最小值是　4　
A.2　 B.3
C.4 　D.5
解析：C　由结论1知＝x＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝1时，等号成立，故f（x）的最小值为4.故选C.
　　
法1　配凑法
【典例1】　（1）设0＜x＜4，则y＝3x（8－2x）的最大值为　24　；
（2）设x>0,则3-3x-的最大值是(　　).
A.3 B.3-2
C.-1 D.3-2
解析：（1）y＝6x（4－x）≤6（）2＝24，当且仅当x＝4－x，即x＝2时，y＝3x（8－2x）有最大值24.
（2）因为x>0,所以3x+≥2=2,当且仅当x=时,等号成立,所以-≤-2,则3-3x-≤3-2.
方法技巧
配凑法求最值的实质及关键点
　　配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.
法2　常数代换法
【典例2】（1）已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为　4　.
（2）知非负实数x,y满足+=1,则x+y的最小值为(　　).
A. B. C. D.
解析：（1）因为a＋b＝1，所以＋＝（＋）·（a＋b）＝2＋（＋）≥2＋2 ＝2＋2＝4.当且仅当a＝b＝时，取等号.
（2）非负实数x,y满足+=1,有3x+y>0,2y+2>0,则x+y=[(3x+y)+(2y+2)]-=[(3x+y)+(2y+2)]-=-≥·2=,当且仅当=,即3x+y=2y+2时取“=”,由3x+y=2y+2,+=1,得x=,y=0,所以当x=,y=0时,x+y的最小值为.
方法技巧
常数代换法求最值的基本步骤
（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；
（2）把确定的定值（常数）变形为1；
（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；
（4）利用基本不等式求最值.
法3　消元法
【典例3】　（必修第一册第58页5题改编）已知a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为　6　.
解析：法一　∵a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，∴a＝且b－1＞0，∴a＋b＝＋b＝1＋＋b＝＋b－1＋2≥2＋2＝6，当且仅当＝b－1，即a＝b＝3时取得最小值.
法二　由ab＝a＋b＋3，可得（a－1）（b－1）＝4，又a＞0，b＞0，所以a＞1，b＞1，所以a＋b＝（a－1）＋（b－1）＋2≥2＋2＝6，当且仅当a＝b＝3时取得最小值.
法三　因为ab＝a＋b＋3≤（a＋b）2，故可得（a＋b）2－4（a＋b）－12≥0，即（a＋b－6）（a＋b＋2）≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2，又因为a＞0，b＞0，故a＋b≥6（当且仅当a＝b＝3时取得最小值）.
变式
已知x＞2，y＞1，xy－x－2y＝2，则x＋y的最小值是（　　）
A.1　 B.4
C.7　 D.3＋
解析：C　由x＞2，y＞1，xy－x－2y＝2，得（x－2）·（y－1）＝4，所以x＋y＝（x－2）＋（y－1）＋3≥2＋3＝7，当且仅当时，等号成立.
方法技巧
消元法求最值的思路
　　当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值.
跟踪训练
1.(多选)已知x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,则下列结论正确的是(　　).
A.xy的取值范围是(0,9]
B.x+y的取值范围是[2,3)
C.x+2y的最小值是4-3
D.x+4y的最小值是3
解析：对于A,因为x>0,y>0,所以x+y≥2,当且仅当x=y时取等号,由x+y+xy-3=0,得3-xy=x+y,即3-xy≥2,解得0<≤1,即0对于B, 由x>0,y>0,3-(x+y)=xy≤,当且仅当x=y时取等号,得(x+y)2+4(x+y)-12≥0,所以x+y≥2,又3-(x+y)=xy>0,所以x+y<3,即2≤x+y<3,故B正确;
对于C,因为x>0,y>0,x+y+xy-3=0,得x==-1+,所以x+2y=-1++2y=+2(y+1)-3≥4-3,当且仅当=2(y+1),即y=-1时等号成立,C正确;
对于D,由C选项知x==-1+,则x+4y=-1++4y=+4(y+1)-5 ≥2-5=3,当且仅当=4(y+1),即y=0时等号成立,但y>0,所以x+4y>3(等号取不到),故D错误.
2.若a＞0，b＞0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为　2　，＋的最小值为　　.
解析：∵a＞0，b＞0，且a＋2b－4＝0，∴a＋2b＝4，∴ab＝a·2b≤×（）2＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，∴ab的最大值为2.∵＋＝（＋）·＝（5＋＋）≥·（5＋2）＝，当且仅当a＝b时等号成立，∴＋的最小值为.
【典例4】　（2024·绍兴质检）若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是（　　）
A.（－4，1）
B.（－∞，0）∪（3，＋∞）
C.（－∞，－1）∪（4，＋∞）
D.（－1，4）
解析：C　因为两个正实数x，y满足＋＝1，所以x＋＝（x＋）（＋）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时取等号，因为不等式x＋＜m2－3m有解，所以m2－3m大于x＋的最小值，即m2－3m＞4，解得m＜－1或m＞4，即实数m的取值范围是（－∞，－1）∪（4，＋∞），故选C.
方法技巧
利用基本不等式解题的策略
（1）应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式（或式子）变形，然后利用基本不等式求解；
（2）条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解；
（3）求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而求得参数的值或范围.
跟踪训练
　若对任意正数x，不等式≤恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A.[1，＋∞）　 B.［－，＋∞）
C.［，＋∞）　 D.［，＋∞）
解析：B　依题意得，当x＞0时，2a＋1≥＝恒成立，又因为x＋≥4，当且仅当x＝2时取等号，所以的最大值为，所以2a＋1≥，解得实数a的取值范围为［－，＋∞）.故选B.
【典例5】　单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N＝，其中d0为安全距离，v为车速（m/s）.当安全距离d0取30 m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（　　）
A.131　 B.149
C.150 D.145
解析：B　由题意得，N＝＝≤≈149，当且仅当0.3v＝，即v＝10时取“＝”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选B.
方法技巧
利用基本不等式解决实际问题的策略
（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；
（2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；
（3）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.
跟踪训练
港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（　　）
A.两种方案一样　 B.第二种方案划算
C.第一种方案划算 D.无法确定
解析：B　任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升，第一种方案的均价：＝≥；第二种方案的均价：＝≤.所以无论油价如何变化，第二种都更划算.故选B.
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