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2025华师版九年级数学上册
第21章 二次根式
时间：90分钟 满分：100分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.计算的结果是（　　）
A.±4 B.-4 C.4 D.16
2.若是最简二次根式，则a的值可能是（　　）
A.-2 B.8 C.0.5 D.2
3.若代数式 有意义，则x的取值范围是（　　）
A.x≥0 B.x≠1 C.x≥0且x≠1　 D.x>1
4.已知是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A.8 B.6 C.4 D.2
5.如图，数轴上的点可近似表示（3+）÷的值的是（　　）
A.点A B.点B C.点C D.点D
6.我们把形如a+b（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如2+1是型无理数，则（-）2属于（　　）
A.型无理数 B.型无理数
C.型无理数 D.型无理数
7.下列式子一定成立的是（　　）
A.=a B.=·
C.+= D.=2
8.若三角形三边的长分别是2，5，m，则+的值为（　　）
A.4 B.10 C.10-2m　　 D.2m-10
9.将m中根号外的m移到根号里后得到的式子为（　　）
A.- B. C. D.m
10.如图，从一个大正方形中裁去面积为16 cm2和24 cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（　　）
A.16 cm2 B.40 cm2
C.8 cm2 D.（2+4）cm2
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.化简：（y>0）=　　　　.
12.符号“*”表示一种新的运算，规定a*b=·-，则6*2的值为　　　　.
13.已知x=+1，y=-1，则x2y-xy2=　　　　　.
14.有一个体积为120 cm3的长方体，它的高为2 cm，长为3 cm，则这个长方体的宽为　　　　 cm.
15.在如图所示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的实数相乘都得出同样的结果，则两个空格中的实数之和为　　　　　.
16.法国数学家爱德华·卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第n项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题.“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用.卢卡斯数列中的第n个数F（n）可以表示为（）n-1+（）n-1，其中n≥1.（说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列）
（1）卢卡斯数列中的第2个数F（2）=　　　　；
（2）卢卡斯数列有一个重要特征：当n≥3时，满足F（n）=F（n-1）+F（n-2），则卢卡斯数列中的第6个数F（6）=　　　　.
三、解答题（共6小题，共52分）
17.计算：
（1）（3分）（3-2+）÷2；
（2）×+；
（3）（3分）（3+）（-3）+（2）2；
（4）（3分）（）-2+（1+π）0-×+|1-|.
18.（6分）先化简，再求值：[（a+2b）2+（2a+b）（a-2b）-2b2]÷a，其中+b2+6b+9=0.
19.（7分）先化简，再求值：2a+，其中a=3.
小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下.
小宇的解答过程如下.
解：2a+
=2a+……（第一步）
=2a+a-5……（第二步）
=3a-5.……（第三步）
当a=3时，原式=3×3-5=4.……（第四步）
小颖为验证小宇的做法是否正确，她将a=3直接代入原式中：
2a+=6+=6+2=8.
由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步 并给出完整正确的解答过程.
20.（8分）我国南宋时期数学家秦九韶，曾提出著名的秦九韶公式，它与海伦公式实质相同，我们也称为“海伦-秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=，那么三角形的面积为S=.如图，在△ABC中，a=8，b=4，c=6.
（1）求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，BC边上的高为h3，求h1+h2+h3的值.
21.（9分）高空抛物是一种不文明的危险行为.据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和高度h（m）近似满足公式t=（不考虑阻力的影响）.
（1）求物体从40 m的高空落到地面的时间.
（2）小明说物体从80 m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗 请说明理由.
（3）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）=10×物体质量（kg）×高度（m）.某质量为0.05 kg的鸡蛋经过6 s落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大 你能得到什么启示
22.（10分）阅读材料：
小明在学习完二次根式后，发现一些式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=（1+）2.
善于思考的小明进行了如下探索：
设a+b=（m+n）2（其中a，b，m，n均为正整数），
则有a+b=m2+2n2+2mn，故a=m2+2n2，b=2mn.
这样小明就找到了把类似a+b的式子化为完全平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b=（m+n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，则a=　　　，b=　　　　.
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n，填空：　　 +　　 =（　　 +　　 ）2.
（3）若a+4=（m+n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值.
（4）若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：.
参考答案与解析
1.C　
2.D
3.C　
4.B　=2，∵是整数，∴2是整数，∴正整数n的最小值为6.
5.C　原式=3+=3+，而2<<3，∴点C表示的数可近似表示3+.
6.B　（-）2=6-2××+2=-4+8，属于型无理数.
7.D　=|a|，∴选项A不符合题意；当a≥0，b≥0时，=·，∴选项B不符合题意；+=不一定成立，∴选项C不符合题意；==2，∴选项D符合题意.
8.A　∵三角形三边的长分别是2，5，m，∴39.A　由题意可知->0，∴m<0，∴m=-（-m）=-=-.
10.A　根据题意得，大正方形的边长是+=（4+2）（cm），余下部分（即阴影部分）的面积是（4+2）2-16-24=16+16+24-16-24=16（cm2）.
11.y　∵y>0，∴=y
12.　6*2=×-=2-=.
13.4　∵x=+1，y=-1，∴xy=（+1）（-1）=3-1=2，x-y=（+1）-（-1）=+1-+1=2，则原式=xy（x-y）=4.
14.2　∵这个体积为120 cm3的长方体的高为2 cm，长为3 cm，∴这个长方体的宽为120÷（2×3）=2（cm）.
15.4　由题意得，所乘的结果为6，∴从上往下两个空格中的数分别为
=3，=，∴两数之和为3+=4.
16.（1）1；（2）11　（1）第2个数F（2）=+=1.（2）∵F（n）=F（n-1）
+F（n-2），F（1）=2，∴F（3）=F（2）+F（1）=1+2=3，F（4）=F（3）+F（2）
=3+1=4，F（5）=F（4）+F（3）=4+3=7，∴F（6）=F（5）+F（4）=7+4=11.
17.解：（1）原式=（6-+4）÷2=÷2=.（3分）
（2）原式=+-1=+-1=2+-1=3-1.（3分）
（3）原式=7-9+8=6.（3分）
（4）原式=9+1-4+-1=5+.（3分）
18.解：∵+b2+6b+9=0，∴+（b+3）2=0，
∴a-2=0，b+3=0，解得a=2，b=-3.（2分）
原式=（a2+4ab+4b2+2a2-4ab+ab-2b2-2b2）÷a=（3a2+ab）÷a=a+b，
当a=2，b=-3时，原式=×2+×（-3）=2-=.（6分）
19.解：错在第二步.（2分）
原式=2a+=2a+|a-5|.
∵a=3<5，∴a-5<0，∴原式=2a+（5-a）=a+5.
当a=3时，原式=3+5=8.（7分）
20.解：（1）根据题意知p==9.
∴S===3，
∴△ABC的面积为3.（4分）
（2）∵S=ch1=bh2=ah3=3，∴×6h1=×4h2=×8h3=3，
∴h1=，h2=，h3=，∴h1+h2+h3=.（8分）
21.解：（1）由题意得，当h=40 m时，t====2（s）.（3分）
（2）不正确.理由如下：（4分）
当h=80 m时，t===4（s），
∵4≠2×2，∴小明的说法不正确.（6分）
（3）当t=6 s时，6=，解得h=180 m.
鸡蛋在下落过程中所带能量=10×0.05×180=90（J）.（8分）
启示：严禁高空抛物.（答案不唯一）.（9分）
22.解：（1）m2+3n2　2mn（2分）
（2）13　4　1　2（或12　6　3　1，答案不唯一）.（4分）
（3）由b=2mn，得4=2mn，∴mn=2.
∵m，n均为正整数，∴m=1，n=2或m=2，n=1.（5分）
当m=1，n=2时，a=m2+3n2=12+3×22=13；
当m=2，n=1时，a=m2+3n2=22+3×12=7.
因此a的值为13或7.（7分）
（4）∵a是216的立方根，b是16的平方根，∴a=6，b=±4，（9分）
∴===2±.（10分）
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