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2024年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷
新课标Ⅱ卷
1.已知，则( ).
A.0 B.1 C. D.2
2.已知命题：，，命题，，则( ).
A.p和q都是真命题 B.和q都是真命题
C.p和都是真命题 D.和都是真命题
3.已知向量，满足，，且，则( ).
A. B. C. D.1
4.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：）并部分整理如下表所示.
亩产
频数 6 12 18 24 10
根据表中数据，下列结论正确的是( )
A.100块稻田亩产量的中位数小于
B.100块稻田中的亩产量低于的稻田所占比例超过
C.100块稻田亩产量的极差介于到之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于到之间
5.已知曲线，从C上任意一点P向x轴作垂线，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为( ).
A. B.
C. D.
6.设函数，，当时，曲线和恰有一个交点，则( )
A.-1 B. C.1 D.2
7.已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为( ).
A. B.1 C.2 D.3
8.设函数，若，则的最小值为( ).
A. B. C. D.1
9.对于函数和，下列正确的有( ).
A.与有相同零点 B.与有相同最大值
C.与有相同的最小正周期 D.与的图像有相同的对称轴
10.拋物线的准线为l，P为C上的动点，对P作的一条切线，Q有切点，对P作C的垂线，垂足为B.则( ).
A.l与相切 B.当P，A，B三点共线时，
C.当时， D.满足的点A有且仅有2个
11.设函数，则( ).
A.当时，有一个零点
B.当时是的极大值点
C.存在a，b使得为曲线的对称轴
D.存在a使得点为曲线的对称中心
12.记为等差数列的前n项和，若，，则__________.
13.已知为第一象限角，为第三象限角，，，则__________.
14.在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有__________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是__________.
15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求A；
（2）若，，求周长.
16.已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
17.如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF对折至，使得，
（1）证明：：
（2）求面PCD与PBF所成的二面角的正弦值.
18.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分，若至少被投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立.
（1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5的概率；
（2）假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，则该由谁参加第一阶段的比赛？
（ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数与期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
19.已知双曲线，点在C上，k为常数，，按照如下公式依次构造点，过点作斜率为k的直线与C的左支点交于点，令为关于y轴的对称点，记的坐标为.
（1）若，求，；
（2）证明：数列是公比为的等比数列；
（3）设为的面积，证明：对任意的正整数n，.
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学答案 新课标Ⅱ卷
答案：C
解析：.
答案：B
解析：时，，错误，和q是真命题.
答案：A
解析：，
又，，
得.
答案：C
解析：中位数错误，标差介于之间，选C.
答案：A
解析：设，将坐标代入原方程联立，得M方程.
答案：D
解析：联立，，代入方程，恰好得到一个极点，.
答案：B
解析：，.
答案：C
解析：，，，
，，
.
答案：BC
解析：A.令，，零点不同；
B.，最大值相同；
C.，，C正确；
D.，对称轴显然不同，D错误.
答案：ABD
解析：依次代入抛物线方程，联立求解，所以C错，ABD对.
答案：D
解析：依次带入质检即可
后为直角三角形，，，，.
答案：95
解析：命题意图是考察正确应用等差数列的通项公式和求和公式以及会解相关方程
得，
答案：
解析：考察三角恒等式变形
.
答案：24；58
解析：（1）
（2）分别列出，13，14，15，16最大，.
答案：（1）
（2）
解析：（1）
，.
（2）
，
.
答案：（1）
（2）
解析：（1）
当，时
；
（2），
，，
时，
代入，得
.
答案：（1）
（2）正弦值为0
解析：（1）证明：设A的坐标为，则B为，
依次求出，，，
P关于EF的中点M对称，
设，，
将x，y表达式代
建立坐标系求出各点坐标，再利用向量相乘之积为0证明垂直
（2）
求出面PCD与面PBF的法向量，
又
正弦值为0.
答案：（1）0.686
（2）（i）乙
（ii）甲
答案：（1），
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）设
.
代入得，.
（2）
利用等性证明

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