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2.4　圆的方程
2.4.1　圆的标准方程
A级 必备知识基础练
1.[探究点一][2024四川南充高二校考阶段练习]圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心、半径是(　　)
A.(1,-2),4 B.(1,-2),2
C.(-1,2),4 D.(-1,2),2
2.[探究点一][2024上海徐汇高二校考期末]已知一个圆满足圆心在点(-3,4),且过原点,则它的方程为(　　)
A.(x-3)2+(y-4)2=5
B.(x+3)2+(y+4)2=25
C.(x+3)2+(y-4)2=5
D.(x+3)2+(y-4)2=25
3.[探究点一]已知O为坐标原点,A(2,2),则以OA为直径的圆的方程为(　　)
A.(x+1)2+(y+1)2=2
B.(x-1)2+(y-1)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=8
D.(x+1)2+(y+1)2=8
4.[探究点二]点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-1,1) B.
C. D.
5.[探究点一][2024河北保定高二统考期末]圆(x+2)2+(y-12)2=4关于直线x-y+4=0对称的圆的方程为(　　)
A.(x+6)2+(y+4)2=4
B.(x+8)2+(y+2)2=4
C.(x-8)2+(y-2)2=4
D.(x-6)2+(y-4)2=4
6.[探究点二](多选题)[2024广东坪山校级期末]已知圆M的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=25,则下列说法正确的有(　　)
A.圆M的圆心为(4,-3)
B.点(1,0)在圆内
C.圆M的半径为5
D.点(-3,1)在圆内
7.[探究点一]与圆(x-2)2+(y+3)2=16有公共圆心,且过点P(-1,1)的圆的标准方程是
　 .
8.[探究点一][2024山东临沂月考]△AOB的三个顶点分别是A(2,0),O(0,0),B(0,2),则其外接圆的方程为　　　　　　　　　.
9.[探究点一]求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程.
B级 关键能力提升练
10.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过定点P,则与圆C:(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为(　　)
A.(x-2)2+(y+3)2=36
B.(x-2)2+(y+3)2=25
C.(x-2)2+(y+3)2=18
D.(x-2)2+(y+3)2=9
11.已知直线x+3y=1经过圆(x-m)2+(y-n)2=1的圆心,其中mn>0,则的最小值为(　　)
A.7 B.8
C.9 D.12
12.(多选题)以直线2x+y-4=0与两坐标轴的一个交点为圆心,过另一个交点的圆的方程可能为(　　)
A.x2+(y-4)2=20
B.(x-4)2+y2=20
C.x2+(y-2)2=20
D.(x-2)2+y2=20
13.(多选题)设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列说法正确的是(　　)
A.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3,0)
C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4π
14.(多选题)[2024江苏连云港月考]若圆C的半径为,且直线2x+3y-10=0与圆C相切于点P(2,2),则圆的方程可以是(　　)
A.x2+(y-1)2=13
B.x2+(y+1)2=13
C.(x+4)2+(y-5)2=13
D.(x-4)2+(y-5)2=13
15.[2024四川凉山高二期中]若圆C1:(x-1)2+y2=9和圆C2:(x+3)2+(y+2)2=9关于直线l对称,则直线l的方程是　　　　　　　　　.
16.已知点A(8,-6)与圆C:x2+y2=25,P是圆C上任意一点,则|AP|的最小值是　　　　.
17.已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,且圆心到直线3x+4y+4=0的距离等于半径长,则圆C的标准方程为　　　　　　　　　　　.
18.[2024福建长乐期末]如图,在平面直角坐标系中,点A(2,0),∠OAB=∠ABC=120°, |AB|=2.
(1)求直线BC的方程;
(2)求△OAB的外接圆M的方程.
C级 学科素养创新练
19.[2024辽宁沈阳高二月考]已知在△ABC中,点A(-1,5),AC边上的中线所在直线l1的方程为8x+y-12=0,AB边上的高线所在直线l2的方程为x-3y+6=0.
(1)求点B和点C的坐标;
(2)以M(1,0)为圆心作一个圆,使得A,B,C三点中的一个点在圆内,一个点在圆上,一个点在圆外,求这个圆的方程.
答案：
1.D　圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心为(-1,2),半径是2.故选D.
2.D　设圆的半径为r,因为圆心坐标为(-3,4),且圆过点(0,0),
所以r==5,所以圆的方程为(x+3)2+(y-4)2=25.故选D.
3.B　设OA的中点为M,则由题可得M(1,1),以OA为直径的圆的圆心为M(1,1),半径为|OM|=,故以OA为直径的圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.故选B.
4.D　依题意有(5a)2+144a2<1,得169a2<1,所以a2<,即-5.C　设圆(x+2)2+(y-12)2=4的圆心(-2,12)关于直线x-y+4=0对称的点为(a,b),易知a≠-2,
则有整理得解得
因为关于直线对称的两个圆半径相等,所以所求圆的半径为2,
所以所求圆的方程为(x-8)2+(y-2)2=4.
故选C.
6.ABC　对于A,圆M的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=25,其圆心为(4,-3),故A正确;对于B,由于(1-4)2+(0+3)2<25,
则点(1,0)在圆内,故B正确;对于C,圆M的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=25,其半径为5,故C正确;
对于D,由于(-3-4)2+(1+3)2>25,则点(-3,1)在圆外,故D错误.故选ABC.
7.(x-2)2+(y+3)2=25　所求圆的圆心为(2,-3),设所求圆的半径为r,
则r2=(-1-2)2+(1+3)2=25.
所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
8.(x-1)2+(y-1)2=2　易知∠AOB=90°,所以AB是△AOB的外接圆的直径,
所以所求外接圆的圆心为(1,1),半径为.
所以所求外接圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
9.解 (方法1)设点C为圆心,
∵点C在直线l:x-2y-3=0上,
∴可设点C的坐标为(2a+3,a).
又该圆经过A,B两点,∴|CA|=|CB|.
∴,解得a=-2.
∴圆心坐标为C(-1,-2),半径r=.
故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
(方法2)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
由条件知解得
故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
10.B　由(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0,
得(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0,
则解得即P(-1,1).
∵圆C:(x-2)2+(y+3)2=16的圆心坐标是(2,-3),
∴|PC|==5,
∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
故选B.
11.D　因为直线x+3y=1经过圆(x-m)2+(y-n)2=1的圆心(m,n),所以m+3n=1.
所以=(m+3n)=6+≥6+2=12,
当且仅当,且m+3n=1,即m=3n=时,等号成立.
故选D.
12.AD　令x=0,则y=4;令y=0,则x=2.
所以直线2x+y-4=0与两坐标轴的交点分别为A(0,4),B(2,0).所以|AB|==2.
所以以A为圆心,过B点的圆的方程为x2+(y-4)2=20.以B为圆心,过A点的圆的方程为(x-2)2+y2=20.
13.ABD　圆心坐标为(k,k),在直线y=x上,故A正确;
令(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,
∵Δ=36-40=-4<0,
∴2k2-6k+5=0无实数根,故B正确;
由(2-k)2+(2-k)2=4,化简得k2-4k+2=0,∵Δ=16-8=8>0,有两个不等实根,∴经过点(2,2)的圆Ck有两个,故C错误;由圆的半径为2,得圆的面积为4π,故D正确.故选ABD.
14.BD　圆C的半径为,
可设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=13.
过圆心且过切点的直线与直线2x+3y-10=0垂直,
则=-1,即3a-2b=2.①
点P(2,2)在圆C上,
则(2-a)2+(2-b)2=13.②
联立①②,解得
故所求圆的方程为x2+(y+1)2=13或(x-4)2+(y-5)2=13.
故选BD.
15.2x+y+3=0　圆C1:(x-1)2+y2=9的圆心为C1(1,0),圆C2:(x+3)2+(y+2)2=9的圆心为C2(-3,-2),
则线段C1C2的中点为(-1,-1),直线C1C2的斜率.
因为圆C1:(x-1)2+y2=9和圆C2:(x+3)2+(y+2)2=9关于直线l对称,
所以直线l的斜率kl=-=-2.
所以直线l的方程是y+1=-2(x+1),即2x+y+3=0.
16.5　由于82+(-6)2=100>25,故点A在圆外,从而|AP|的最小值为-5=10-5=5.
17.(x-2)2+y2=4　设圆心坐标为(a,0),且a>0,则点(a,0)到直线3x+4y+4=0的距离为2,
即=2,所以3a+4=±10,解得a=2或a=-(舍去),
则圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4.
18.解 (1)在平面直角坐标系中,点A(2,0),∠OAB=∠ABC=120°,|AB|=2,可得B(3,).
所以直线BC的方程为y-=-(x-3),即x+y-4=0.
(2)因为|OB|==2,所以△OAB的外接圆的半径R==2,设△OAB的外接圆的圆心为S,则△SOA是正三角形,边长为2,则外接圆的圆心坐标为(1,).
所以△OAB的外接圆M的方程为(x-1)2+(y-)2=4.
19.解 (1)因为AB边上的高线所在直线l2的方程为x-3y+6=0,
且直线l2的斜率为,所以直线AB的斜率kAB=-3,
故直线AB的方程为y-5=-3(x+1),即3x+y-2=0.
联立直线AB和直线l1的方程可得解得即点B(2,-4).
设点C(m,n),则线段AC的中点为D,
由题意可得解得m=n=3,即点C(3,3).
(2)因为|AM|=,
|BM|=,|CM|=,
所以|CM|<|BM|<|AM|,
故圆M的半径为|BM|=,
所以圆M的方程为(x-1)2+y2=17.
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