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专题05 万有引力定律的应用
目录
01、TOC \o "1-2" \h \u HYPERLINK \l _Toc17099 知识精讲 1
02、 HYPERLINK \l _Toc13874 题型过关 1
HYPERLINK \l _Toc19966 题型一 开普勒三大定律 4
HYPERLINK \l _Toc12308 题型二 重力加速度的相关计算 4
HYPERLINK \l _Toc18820 题型三 中心天体质量和密度的估算 6
03、 HYPERLINK \l _Toc3011 实战训练 8
知识点一 开普勒三大定律
定律 内容 图示
开普勒第一定律 所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律 太阳到行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律 行星绕太阳运行轨道半长轴r的立方与其公转周期T的二次方成正比，公式：＝k（适用条件：针对于同一中心天体，中心天体不同，k不同）
知识点二 重力加速度的相关计算
假设地球是质量分布均匀的球体，密度为ρ，质量为 M，半径为 R。
物体在地球表面（近地卫星） 卫星距地面一定高度h1 物体距离地面深度h2
mg＝G 则： 由，，，解得：，则：
知识点三 万有引力与重力的关系
1．地球表面的重力与万有引力
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力．
(1)在两极，向心力等于零，重力等于万有引力；
(2)除两极外，物体的重力都比万有引力小；
(3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝－mRω.
2．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)；mg＝G，得g＝.
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝
所以＝.
知识点四 中心天体质量和密度的估算
中心天体质量和密度常用的估算方法
质量的计算 使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注
利用运行天体 r、T G＝mr M＝ 只能得到中心天体的质量
r、v G＝m M＝
v、T G＝mG＝mr M＝
密度的计算 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ －
利用运行天体 r、T、R G＝mrM＝ρ·πR3 ρ＝当r＝R时ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度 g、R mg＝M＝ρ·πR3 ρ＝ —
应用公式时注意区分“两个半径”和“两个周期”
(1)天体半径和卫星的轨道半径,通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于等于天体的半径．
(2)自转周期和公转周期,自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间．自转周期与公转周期一般不相等．
题型一 开普勒三大定律
1．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。“行星冲日”是指当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象。已知地球及部分地外行星绕太阳运动的轨道半径如表中所示。
地球 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1.0 5.2 9.5 19 30
则表中相邻两次冲日的时间间隔最长的地外行星是（　　）
A．木星 B．土星 C．天王星 D．海王星
2．海王星是仅有的利用数学预测发现的行星，是牛顿经典力学的辉煌标志之一。在未发现海王星之前，天文学家发现天王星实际运动的轨道与万有引力理论计算的值总存在一些偏离，且周期性地每隔时间t发生一次最大的偏离。天文学家认为形成这种现象的原因是天王星外侧还存在着一颗未知行星绕太阳运行，其运行轨道与天王星在同一平面内，且与天王星的绕行方向相同，每当未知行星与天王星距离最近时，它对天王星的万有引力引起天王星轨道的最大偏离，该未知行星即为海王星。已知天王星的公转周期为T，则海王星的公转周期为（　　）
A． B． C． D．
3．“日心说”以太阳为参考系，金星和地球运动的轨迹可以视为共面的同心圆；“地心说”以地球为参考系，金星的运动轨迹（实线）和太阳的运动轨迹（虚线）如图所示。观测得每隔1.6年金星离地球最近一次，则下列判断正确的是（　　）
A．在8年内太阳、地球、金星有5次在一条直线上
B．在8年内太阳、地球、金星有10次在一条直线上
C．地球和金星绕太阳公转的周期之比为8：5
D．地球和金星绕太阳公转的周期之比为
4．关于开普勒定律，下列说法正确的是（　　）
A．开普勒定律是经过长时间连续不断的观察、推理总结出来的，未经过实际计算
B．开普勒第一定律表明，行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
C．开普勒第二定律表明，地球在近日点比火星在远日点更快
D．开普勒第三定律中，k是一个在任何星系中都相等的常量
5．某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆，每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图所示，该行星与地球的公转半径比为（　　）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
题型二 重力加速度的相关计算
6．科学家发现一个新的星体，其半径约为20km，质量约为地球质量的5×105倍，已知地球的半径为6400km，忽略星球自转的影响，则该星体表面的重力加速度大小与地球表面的重力加速度大小之比约为（　　）
A．2×1010 B．5×1010 C．5×105 D．2×105
7．亚地球行星GJ367b是一颗超轻、超快的系外行星，该行星的半径为地球半径的72%，质量为地球质量的55%。若取g＝9.8m/s2，则该行星的表面重力加速度约为（　　）
A．6.0m/s2 B．10m/s2 C．8.0m/s2 D．12m/s2
8．在宇宙中有一种由恒星衰变形成的神秘天体——中子星，中子星一般是一些大质量恒星的终极状态，它们在耗尽了燃料随之演化到生命末期，最终不堪重负重力崩溃并以超新星的形式爆炸而成为一颗中子星。某中子星的质量约为3.0×1030kg，与太阳的质量大致相等，但是它的半径只有10km，已知引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2，则（　　）
A．此中子星表面的重力加速度约为1.4×1012m/s2
B．此中子星表面的重力加速度约为2.0×1012m/s2
C．绕该中子星做圆周运动的卫星最大速度不超过2×108m/s
D．绕该中子星做圆周运动的卫星最大速度不超过1.4×109m/s
9．由于行星自转的影响，行星表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知某行星表面两极处的重力加速度大小为g，其赤道处的重力加速度大小为g，该行星可视为质量均匀分布的球体，则该行星表面北纬42°处的重力加速度大小约为（已知cos42°＝）（　　）
A．g B．g C．g D．g
题型三 中心天体质量和密度的估算
10．同一“探测卫星”分别围绕某星球和地球多次做圆周运动。“探测卫星”在圆周运动中的周期二次方T与轨道半径三次方r3的关系图像如图所示，其中P表示“探测卫星”绕该星球运动的关系图像，Q表示“探测卫星”绕地球运动的关系图像，“探测卫星”在该星球近表面和地球近表面运动时均满足T2＝c，图中c、m、n已知，则（　　）
A．该星球和地球的密度之比为m：n
B．该星球和地球的密度之比为n：m
C．该星球和地球的第一宇宙速度之比为
D．该星球和地球的第一宇宙速度之比为
11．科幻电影《流浪地球2》中，人类利用地球赤道上的“行星发动机”将地球送至距离太阳系很远的比邻星附近，成为比邻星的行星。若太阳质量为m1，流浪前地球绕太阳运行轨道半径为r1，周期为T1，流浪后地球绕比邻星运行的轨道半径为r2，周期为T2，则比邻星的质量为（　　）
A．
B．
C．
D．
12．2020年11月24日，长征五号运载火箭将“嫦娥五号”探测器送入预定轨道，执行月面采样任务后平安归来，首次实现我国地外天体采样返回。已知“嫦娥五号”探测器在距离月球表面h高处环月做匀速圆周运动的周期为T，月球半径为R，万有引力常量为G，据此可以求出月球的质量是（　　）
A． B．
C． D．
13．1970年4月24日，中国成功将第一颗人造卫星——东方红一号送入近地点441km、远地点2368km的椭圆轨道，运行周期为114分钟，设计寿命仅20天。但是至今，东方红一号卫星仍在空间轨道上运行，已知地球半径为6400km，万有引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2。根据以上数据，可估算出（　　）
A．地球的质量
B．东方红一号在近地点的动能
C．东方红一号在近地点受到的万有引力
D．东方红一号在远地点的向心力
一．选择题（共12小题）
1．关于行星运动定律及万有引力定律的建立，下列说法中正确的是（　　）
A．第谷通过观察和研究发现了行星运动的规律
B．开普勒定律仅适用于行星绕太阳的运动
C．牛顿发现了万有引力定律，并测出了引力常量的具体数值
D．“月﹣地检验”表明地面物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律
2．如图为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上位置的示意图，其中冬至时地球离太阳最近。地球公转线速度最大的节气是（　　）
A．春分 B．夏至 C．秋分 D．冬至
3．木星有4颗卫星是伽利略发现的，称为伽利略卫星，其中两颗卫星绕木星做圆周运动的周期之比为1：4，则这两颗卫星的轨道半径之比为（　　）
A． B． C． D．
4．关于万有引力和行星运动规律，下列说法中正确的是（　　）
A．开普勒利用自己观测的行星运动数据，发现行星绕太阳做匀速圆周运动
B．牛顿提出了万有引力定律，并计算出了地球的质量
C．“月—地检验”中比较的是月球绕地球公转的向心加速度和赤道上物体随地球自转的向心加速度
D．开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动
5．关于重力和万有引力的关系，下列说法正确的是（　　）
A．物体在南极受到的万有引力大于重力
B．物体在赤道受到的万有引力大于重力
C．离地越高，物体的重力加速度越大
D．万有引力是重力的一个分力，因此重力大于万有引力
6．关于万有引力公式的理解，以下说法中正确的是（　　）
A．牛顿首先得到了万有引力定律，并且用实验测定了引力常量G的数值
B．由公式可知，两物体紧靠在一起时万有引力无穷大
C．可看作质点的两物体间的引力可用公式计算
D．两个质点质量不变，距离变为原来的2倍，则它们之间的万有引力将变为原来的
7．飞船在火星表面软着陆之前，在靠近火星表面的轨道上做匀速圆周运动。若要估算火星的平均密度，唯一要测量的物理量是（　　）
A．飞船的轨道半径 B．飞船的飞行周期
C．飞船的线速度 D．火星的半径
8．2021年2月24日，我国首个火星探测器“天问一号”成功进入火星停泊轨道，开始科学探测，并为择机着陆火星做好准备。假设火星和地球绕太阳公转的运动均可视为匀速圆周运动。某一时刻，火星会运动到日地连线的延长线上，如图所示。下列说法正确的是（　　）
A．“天问一号”在发射过程中处于完全失重状态
B．火星的公转速度大于地球的公转速度
C．火星的公转周期大于地球的公转周期
D．从图示时刻再经过半年的时间，太阳、地球、火星再次共线
9．如图，火星与地球的轨道近似在同一平面内，绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍。地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行。当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日，2022年火星冲日的时间为12月8号。已知地球轨道以外的行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是（　　）
地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径（AU） 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A．在2025年内一定会出现火星冲日
B．在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行
C．图表中的地外行星中，火星相邻两次冲日间隔时间最短
D．火星的公转周期是地球的倍
10．太空望远镜观测到银河系中某行星赤道上空存在环状物质带，环状物质带绕行星中心运动的角速度与到行星中心的距离r的关系如图所示（图中两坐标点对应的物理量均为已知值）。已知行星的半径为R，环状物质的宽度为d，引力常量为G，以下说法正确的是（　　）
A．环状物质绕行星运动的最大周期为
B．该行星赤道上物体的线速度为Rω1
C．环状物质环绕行星中心的周期与行星自转周期相同
D．该行星的质量为
11．2024年5月3日17时28秒，我国“嫦娥六号”月球探测器由“长征五号”遥八运载火箭从位于海南的文昌航天发射场101工位发射升空，主要目的是实现月球背面自动采样并返回。已知月球的半径R。万有引力常数G。关于“嫦娥六号”的发射及返回的整个过程，下列说法正确的是（　　）
A．在转移轨道上火箭关机后，火箭携带探测器在滑行过程中做匀速直线运动
B．“嫦娥六号”在转移椭圆轨道的近月点Q进入月球工作轨道时与月球组成的系统的机械能要增加
C．如果探测器登陆月球表面后，以初速度v0竖直向上抛出一个小球，上升的最大高度为h（远小于月球半径），则可得到月球的密度
D．探测器取回月壤土返回地球，进入地球大气层后，由于所受合力增加，且合力做正功，所以机械能要增加
12．如图所示，A、B、C分别为太阳、地球和月球，地球绕太阳运动的轨道形状为椭圆，P点为近日点，到太阳的距离为R1，Q点为远日点，到太阳的距离为R2，地球公转周期为T；月球绕地球的运动可视为匀速圆周运动（忽略太阳对月球的引力），月球运行轨道半径为r，月球公转周期为t。则（　　）
A．相同时间内，月球与地球的连线扫过的面积等于地球与太阳连线扫过的面积
B．地球在P点和Q点的速率之比
C．地球从P点运动到Q点的过程中，动能一直变大
D．由开普勒第三定律可知为常数
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专题05 万有引力定律的应用
目录
01、TOC \o "1-2" \h \u HYPERLINK \l _Toc17099 知识精讲 1
02、 HYPERLINK \l _Toc13874 题型过关 1
HYPERLINK \l _Toc19966 题型一 开普勒三大定律 4
HYPERLINK \l _Toc12308 题型二 重力加速度的相关计算 4
HYPERLINK \l _Toc18820 题型三 中心天体质量和密度的估算 7
03、 HYPERLINK \l _Toc3011 实战训练 10
知识点一 开普勒三大定律
定律 内容 图示
开普勒第一定律 所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律 太阳到行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律 行星绕太阳运行轨道半长轴r的立方与其公转周期T的二次方成正比，公式：＝k（适用条件：针对于同一中心天体，中心天体不同，k不同）
知识点二 重力加速度的相关计算
假设地球是质量分布均匀的球体，密度为ρ，质量为 M，半径为 R。
物体在地球表面（近地卫星） 卫星距地面一定高度h1 物体距离地面深度h2
mg＝G 则： 由，，，解得：，则：
知识点三 万有引力与重力的关系
1．地球表面的重力与万有引力
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力．
(1)在两极，向心力等于零，重力等于万有引力；
(2)除两极外，物体的重力都比万有引力小；
(3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝－mRω.
2．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)；mg＝G，得g＝.
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝
所以＝.
知识点四 中心天体质量和密度的估算
中心天体质量和密度常用的估算方法
质量的计算 使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注
利用运行天体 r、T G＝mr M＝ 只能得到中心天体的质量
r、v G＝m M＝
v、T G＝mG＝mr M＝
密度的计算 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ －
利用运行天体 r、T、R G＝mrM＝ρ·πR3 ρ＝当r＝R时ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度 g、R mg＝M＝ρ·πR3 ρ＝ —
应用公式时注意区分“两个半径”和“两个周期”
(1)天体半径和卫星的轨道半径,通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于等于天体的半径．
(2)自转周期和公转周期,自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间．自转周期与公转周期一般不相等．
题型一 开普勒三大定律
1．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。“行星冲日”是指当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象。已知地球及部分地外行星绕太阳运动的轨道半径如表中所示。
地球 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1.0 5.2 9.5 19 30
则表中相邻两次冲日的时间间隔最长的地外行星是（　　）
A．木星 B．土星 C．天王星 D．海王星
【答案】A
【解答】解：由开普勒第三定律，有 可知轨道半径较大的行星，其周期也长。
设地球绕太阳运行的周期为T，地球外另一行星的周期为 T'，两次冲日时间间隔为t，则，解得：＝，可知海王星相邻两次冲日的时间间隔最短，木星相邻两次冲日的时间间隔最长，故A正确，BCD错误。
故选：A。
2．海王星是仅有的利用数学预测发现的行星，是牛顿经典力学的辉煌标志之一。在未发现海王星之前，天文学家发现天王星实际运动的轨道与万有引力理论计算的值总存在一些偏离，且周期性地每隔时间t发生一次最大的偏离。天文学家认为形成这种现象的原因是天王星外侧还存在着一颗未知行星绕太阳运行，其运行轨道与天王星在同一平面内，且与天王星的绕行方向相同，每当未知行星与天王星距离最近时，它对天王星的万有引力引起天王星轨道的最大偏离，该未知行星即为海王星。已知天王星的公转周期为T，则海王星的公转周期为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：设海王星的的公转周期为T海，由题知，每隔时间t海王星与天王星距离最近，则有：
＝2π
解得：T海＝
故A正确，BCD错误。
故选：A。
3．“日心说”以太阳为参考系，金星和地球运动的轨迹可以视为共面的同心圆；“地心说”以地球为参考系，金星的运动轨迹（实线）和太阳的运动轨迹（虚线）如图所示。观测得每隔1.6年金星离地球最近一次，则下列判断正确的是（　　）
A．在8年内太阳、地球、金星有5次在一条直线上
B．在8年内太阳、地球、金星有10次在一条直线上
C．地球和金星绕太阳公转的周期之比为8：5
D．地球和金星绕太阳公转的周期之比为
【答案】B
【解答】解：AB.根据题意由图可知，金星绕太阳的轨道半径较小，由于每隔1.6年金星离地球最近一次，即每隔1.6年金星比地球多转一圈，则每隔0.8年金星比地球多转半圈，即每隔0.8年太阳、地球、金星在一条直线上，则在8年内太阳、地球、金星有10次在一条直线上，故B正确，A错误；
CD.设金星的公转周期为T1，地球的公转周期为T2，则有：
t＝2π
又因为：t＝1.6年，T2＝1年
代入解得：T1：T2＝13：8
根据万有引力提供向心力有：
G＝m
解得：r＝
则地球和金星绕太阳公转的半径之比为：＝
代入解得：＝
故CD错误。
故选：B。
4．关于开普勒定律，下列说法正确的是（　　）
A．开普勒定律是经过长时间连续不断的观察、推理总结出来的，未经过实际计算
B．开普勒第一定律表明，行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
C．开普勒第二定律表明，地球在近日点比火星在远日点更快
D．开普勒第三定律中，k是一个在任何星系中都相等的常量
【答案】B
【解答】解：A、开普勒定律是开普勒依据第谷经长时间连续不断的观察、记录的数据，推理计算总结出来的，故A错误；
B、所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，这是开普勒第一定律，故B正确；
C、开普勒第二定律中，对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，在近日点速度比远日点大，故C错误；
D、开普勒第三定律中，k是一个与中心天体质量有关的常量，故D错误。
故选：B。
5．某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆，每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图所示，该行星与地球的公转半径比为（　　）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】A
【解答】解：由图可知行星的轨道半径大，那么由开普勒第三定律知其周期长。每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，说明从最初在日地连线的延长线上开始，每一年地球都在行星的前面比行星多转圆周的N分之一，N年后地球转了N圈，比行星多转1圈，即行星转了N﹣1圈，从而再次在日地连线的延长线上。所以行星的周期是年，
根据开普勒第三定律有：，
则＝＝（）。
故选：A。
题型二 重力加速度的相关计算
6．科学家发现一个新的星体，其半径约为20km，质量约为地球质量的5×105倍，已知地球的半径为6400km，忽略星球自转的影响，则该星体表面的重力加速度大小与地球表面的重力加速度大小之比约为（　　）
A．2×1010 B．5×1010 C．5×105 D．2×105
【答案】B
【解答】解：设任一星球质量为M，半径为R，星球表面的重力加速度为g。
忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力，有
G＝mg
可得g＝
所以该星体表面的重力加速度大小与地球表面的重力加速度大小之比为＝ ＝5×105×（）2＝5.12×1010≈5×1010，故ACD错误，B正确。
故选：B。
7．亚地球行星GJ367b是一颗超轻、超快的系外行星，该行星的半径为地球半径的72%，质量为地球质量的55%。若取g＝9.8m/s2，则该行星的表面重力加速度约为（　　）
A．6.0m/s2 B．10m/s2 C．8.0m/s2 D．12m/s2
【答案】B
【解答】解：忽略星球自转的影响，在星球表面，有，则得
则该行星的表面重力加速度与地球的表面重力加速度之比为＝
可得g行＝ g＝0.55××9.8m/s2≈10m/s2，故ACD错误，B正确。
故选：B。
8．在宇宙中有一种由恒星衰变形成的神秘天体——中子星，中子星一般是一些大质量恒星的终极状态，它们在耗尽了燃料随之演化到生命末期，最终不堪重负重力崩溃并以超新星的形式爆炸而成为一颗中子星。某中子星的质量约为3.0×1030kg，与太阳的质量大致相等，但是它的半径只有10km，已知引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2，则（　　）
A．此中子星表面的重力加速度约为1.4×1012m/s2
B．此中子星表面的重力加速度约为2.0×1012m/s2
C．绕该中子星做圆周运动的卫星最大速度不超过2×108m/s
D．绕该中子星做圆周运动的卫星最大速度不超过1.4×109m/s
【答案】B
【解答】解：AB、在星体表面上的物体，其受到的重力等于万有引力：
代入数据得到：，故A错误，B正确；
CD、对绕中子星表面做匀速圆周运动的卫星，根据万有引力提供向心力：
变形得到：，故CD错误。
故选：B。
9．由于行星自转的影响，行星表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知某行星表面两极处的重力加速度大小为g，其赤道处的重力加速度大小为g，该行星可视为质量均匀分布的球体，则该行星表面北纬42°处的重力加速度大小约为（已知cos42°＝）（　　）
A．g B．g C．g D．g
【答案】B
【解答】解：在考虑自转的行星上，物体的重力是物体所受行星万有引力的一个分力，如图所示
设物体的质量为m，行星的半径为R，行星自转的角速度为ω，物体静止在该行星两极表面上时有F万＝mg，物体静止在该行星赤道表面上时有F万﹣mg＝mω2R，物体静止在北纬42°的行星表面上时，物体随行星自转所需的向心力大小F向＝mω2Rcos42°，根据余弦定理有（mg'）2＝+﹣2F万×F向cos 42°，联立解得g'＝g，故B正确，ACD错误。
故选：B。
题型三 中心天体质量和密度的估算
10．同一“探测卫星”分别围绕某星球和地球多次做圆周运动。“探测卫星”在圆周运动中的周期二次方T与轨道半径三次方r3的关系图像如图所示，其中P表示“探测卫星”绕该星球运动的关系图像，Q表示“探测卫星”绕地球运动的关系图像，“探测卫星”在该星球近表面和地球近表面运动时均满足T2＝c，图中c、m、n已知，则（　　）
A．该星球和地球的密度之比为m：n
B．该星球和地球的密度之比为n：m
C．该星球和地球的第一宇宙速度之比为
D．该星球和地球的第一宇宙速度之比为
【答案】C
【解答】解：AB、设中心天体质量为M，半径为R，环绕天体的质量为m′，轨道半径为r，环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动的周期为T，根据万有引力提供向心力有
G＝m′r
可得M＝
则中心天体的密度为ρ＝＝＝
当“探测卫星”在该星球近表面和地球近表面运动时均满足T2＝c，则ρ＝
当r＝R，则ρ＝，可知该星球和地球的密度之比为1：1，故AB错误；
CD、由图可知，该星球的半径为，地球的半径为，该星球和地球的第一宇宙速度分别为
v星＝，v地＝，则v星：v地＝，故C正确，D错误。
故选：C。
11．科幻电影《流浪地球2》中，人类利用地球赤道上的“行星发动机”将地球送至距离太阳系很远的比邻星附近，成为比邻星的行星。若太阳质量为m1，流浪前地球绕太阳运行轨道半径为r1，周期为T1，流浪后地球绕比邻星运行的轨道半径为r2，周期为T2，则比邻星的质量为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：地球绕太阳运转时，根据牛顿第二定律有
当地球绕比邻星运行时，根据牛顿第二定律得
联立解得比邻星的质量为
，故A正确，BCD错误。
故选：A。
12．2020年11月24日，长征五号运载火箭将“嫦娥五号”探测器送入预定轨道，执行月面采样任务后平安归来，首次实现我国地外天体采样返回。已知“嫦娥五号”探测器在距离月球表面h高处环月做匀速圆周运动的周期为T，月球半径为R，万有引力常量为G，据此可以求出月球的质量是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意可知，嫦娥五号绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有：
整理变形解得：，故ABC错误，D正确。
故选：D。
13．1970年4月24日，中国成功将第一颗人造卫星——东方红一号送入近地点441km、远地点2368km的椭圆轨道，运行周期为114分钟，设计寿命仅20天。但是至今，东方红一号卫星仍在空间轨道上运行，已知地球半径为6400km，万有引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2。根据以上数据，可估算出（　　）
A．地球的质量
B．东方红一号在近地点的动能
C．东方红一号在近地点受到的万有引力
D．东方红一号在远地点的向心力
【答案】A
【解答】解：A.设与东方红一号相同运行周期的圆形轨道半径为r，根据万有引力提供向心力有
＝mr
又由开普勒第三定律可得
＝
解得
M＝
故A正确；
BCD.由于不知道东方红一号的质量所以无法得知，东方红一号在近地点的动能，东方红一号在近地点受到的万有引力，东方红一号在远地点的向心力，均无法求出结果，故BCD错误。
故选：A。
一．选择题（共12小题）
1．关于行星运动定律及万有引力定律的建立，下列说法中正确的是（　　）
A．第谷通过观察和研究发现了行星运动的规律
B．开普勒定律仅适用于行星绕太阳的运动
C．牛顿发现了万有引力定律，并测出了引力常量的具体数值
D．“月﹣地检验”表明地面物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律
【答案】D
【解答】解：A.开普勒通过观察和研究发现了行星运动的规律，故A错误；
B.开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于宇宙中其它卫星绕行星的运动，故B错误；
C.牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什测出了引力常量的具体数值，故C错误；
D.“月﹣地检验”表明地面物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律，故D正确。
故选：D。
2．如图为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上位置的示意图，其中冬至时地球离太阳最近。地球公转线速度最大的节气是（　　）
A．春分 B．夏至 C．秋分 D．冬至
【答案】D
【解答】解：根据开普勒第二定律，地球在近日点运动速度最大，即地球公转线速度最大的节气是冬至，故ABC错误，D正确。
故选：D。
3．木星有4颗卫星是伽利略发现的，称为伽利略卫星，其中两颗卫星绕木星做圆周运动的周期之比为1：4，则这两颗卫星的轨道半径之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：两颗卫星绕木星做圆周运动，由开普勒第三定律可知，，得，故ABC错误，D正确；
故选：D。
4．关于万有引力和行星运动规律，下列说法中正确的是（　　）
A．开普勒利用自己观测的行星运动数据，发现行星绕太阳做匀速圆周运动
B．牛顿提出了万有引力定律，并计算出了地球的质量
C．“月—地检验”中比较的是月球绕地球公转的向心加速度和赤道上物体随地球自转的向心加速度
D．开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动
【答案】D
【解答】解：A、开普勒利用第谷观测的行星运动数据，发现行星绕太阳的轨迹为椭圆，故A错误；
B、牛顿提出了万有引力定律，卡文迪什测出了引力常量，并首次计算出了地球的质量，故B错误；
C、牛顿通过比较月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度和地面重力加速度，对万有引力定律进行了“月地检验”，故C错误；
D、开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动，故D正确。
故选：D。
5．关于重力和万有引力的关系，下列说法正确的是（　　）
A．物体在南极受到的万有引力大于重力
B．物体在赤道受到的万有引力大于重力
C．离地越高，物体的重力加速度越大
D．万有引力是重力的一个分力，因此重力大于万有引力
【答案】B
【解答】解：ABD.万有引力的一个分力表现为重力，另一个分力提供物体转动的向心力，在赤道处地球自转线速度最大，所需向心力最大，故此地重力最小，所以物体在赤道受到的万有引力大于重力，在地球两极，向心力为零，万有引力等于重力，故AD错误，B正确；
C.在地面附近物体受到的万有引力等于物体的重力，设地球半径为R，地球质量为M，物体质量为m，离地面高度为h，则
解得：
由公式可知，离地越高，物体的重力加速度越小，故C错误。
故选：B。
6．关于万有引力公式的理解，以下说法中正确的是（　　）
A．牛顿首先得到了万有引力定律，并且用实验测定了引力常量G的数值
B．由公式可知，两物体紧靠在一起时万有引力无穷大
C．可看作质点的两物体间的引力可用公式计算
D．两个质点质量不变，距离变为原来的2倍，则它们之间的万有引力将变为原来的
【答案】C
【解答】解：A、牛顿首先得到了万有引力定律，卡文迪什用实验测定了引力常量G的数值，故A错误；
B、两物体紧靠在一起时，不能看成质点，万有引力公式不再适用，故B错误；
C、公式可用来计算看作质点的两物体间的引力，故C正确；
D、根据公式，两个质点质量不变，距离变为原来的2倍，则它们之间的万有引力将变为原来的，故D错误。
故选：C。
7．飞船在火星表面软着陆之前，在靠近火星表面的轨道上做匀速圆周运动。若要估算火星的平均密度，唯一要测量的物理量是（　　）
A．飞船的轨道半径 B．飞船的飞行周期
C．飞船的线速度 D．火星的半径
【答案】B
【解答】解：飞船靠近火星，在靠近火星的表面做匀速圆周运动，轨道半径等于火星半径，设为r，根据牛顿第二定律，有G，其中
联立解得，G为常数，故需要测量飞船的公转周期T；故ACD错误，B正确。
故选：B。
8．2021年2月24日，我国首个火星探测器“天问一号”成功进入火星停泊轨道，开始科学探测，并为择机着陆火星做好准备。假设火星和地球绕太阳公转的运动均可视为匀速圆周运动。某一时刻，火星会运动到日地连线的延长线上，如图所示。下列说法正确的是（　　）
A．“天问一号”在发射过程中处于完全失重状态
B．火星的公转速度大于地球的公转速度
C．火星的公转周期大于地球的公转周期
D．从图示时刻再经过半年的时间，太阳、地球、火星再次共线
【答案】C
【解答】解：A、“天问一号”在发射过程中，加速度向上，处于超重状态，故A错误；
BC、行星绕太阳做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力，有
G＝m＝mr
可得v＝，T＝2π
因火星的轨道半径比地球的大，所以火星的公转速度小于地球的公转速度，火星的公转周期大于地球的公转周期，故B错误，C正确；
D、从图示再经过半年的时间，地球刚好转过半周，火星转不到半周，故太阳、地球、火星三者不会共线，故D错误。
故选：C。
9．如图，火星与地球的轨道近似在同一平面内，绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍。地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行。当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日，2022年火星冲日的时间为12月8号。已知地球轨道以外的行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是（　　）
地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径（AU） 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A．在2025年内一定会出现火星冲日
B．在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行
C．图表中的地外行星中，火星相邻两次冲日间隔时间最短
D．火星的公转周期是地球的倍
【答案】A
【解答】解：AD.根据开普勒第三定律有＝，得＝＝＝，设经过时间t再次出现火星冲日，依题意有（﹣） t＝2π，解得t＝2.20年，由于2022年12月8号发生火星冲日，故在2025年会再次发生火星冲日现象，故A正确，D错误；
B.由万有引力充当向心力有，解得v＝，地球轨道半径小于火星，故在冲日处地球速度大于火星速度，火星相对地球向后运动，地球上观测者观测到火星由东向西运动，为逆行，
故B错误；
C.依图中数据，地外其它行星要发生冲日现象，需满足（﹣） t＝2π，解得t＝因为r越大，周期越大，则t越短，所以在这些地外行星中，火星相邻两次冲日时间最长，
故C错误。
故选：A。
10．太空望远镜观测到银河系中某行星赤道上空存在环状物质带，环状物质带绕行星中心运动的角速度与到行星中心的距离r的关系如图所示（图中两坐标点对应的物理量均为已知值）。已知行星的半径为R，环状物质的宽度为d，引力常量为G，以下说法正确的是（　　）
A．环状物质绕行星运动的最大周期为
B．该行星赤道上物体的线速度为Rω1
C．环状物质环绕行星中心的周期与行星自转周期相同
D．该行星的质量为
【答案】D
【解答】解：A、由题图知，环状物质绕行星运动的最小角速度为ω2，则最大周期为，故A错误；
B、由题可知，在该行星表面附近做匀速圆周运动的环状物质的角速度为ω1，线速度为Rω1，根据v＝可知，该环状物质的线速度大于该行星的同步卫星的线速度，根据v＝ωr知，该行星的同步卫星的线速度大于该行星赤道上物体的线速度，所以该行星赤道上物体的线速度小于Rω1，故B错误；
C、只有与行星运动同步的环状物质绕行星中心的周期才与行星自转周期相同，其他部分运行周期与行星自转周期并不相同，故C错误；
D、对于轨道半径为R+d的环状物质，根据万有引力提供向心力，得
G＝m（R+d），解得该行星的质量为，故D正确。
故选：D。
11．2024年5月3日17时28秒，我国“嫦娥六号”月球探测器由“长征五号”遥八运载火箭从位于海南的文昌航天发射场101工位发射升空，主要目的是实现月球背面自动采样并返回。已知月球的半径R。万有引力常数G。关于“嫦娥六号”的发射及返回的整个过程，下列说法正确的是（　　）
A．在转移轨道上火箭关机后，火箭携带探测器在滑行过程中做匀速直线运动
B．“嫦娥六号”在转移椭圆轨道的近月点Q进入月球工作轨道时与月球组成的系统的机械能要增加
C．如果探测器登陆月球表面后，以初速度v0竖直向上抛出一个小球，上升的最大高度为h（远小于月球半径），则可得到月球的密度
D．探测器取回月壤土返回地球，进入地球大气层后，由于所受合力增加，且合力做正功，所以机械能要增加
【答案】C
【解答】解：A、在转移轨道上火箭关机后，火箭携带探测器在滑行过程中受到地球和月球的引力，合力不为零，不可能做匀速直线运动，故A错误；
B、“嫦娥六号”在转移椭圆轨道的近月点Q进入月球工作轨道时，在Q点要制动减速，则“嫦娥六号”与月球组成的系统的机械能要减小，故B错误；
C、小球在月球表面做竖直上抛运动，可得月球表面的重力加速度g＝
设月球的质量为M，密度为ρ。根据万有引力等于重力得
G＝mg
月球的密度为
ρ＝
联立以上三式得：ρ＝，故C正确；
D、探测器取回月壤土返回地球，进入地球大气层后，空气阻力做负功，其机械能减小，故D错误。
故选：C。
12．如图所示，A、B、C分别为太阳、地球和月球，地球绕太阳运动的轨道形状为椭圆，P点为近日点，到太阳的距离为R1，Q点为远日点，到太阳的距离为R2，地球公转周期为T；月球绕地球的运动可视为匀速圆周运动（忽略太阳对月球的引力），月球运行轨道半径为r，月球公转周期为t。则（　　）
A．相同时间内，月球与地球的连线扫过的面积等于地球与太阳连线扫过的面积
B．地球在P点和Q点的速率之比
C．地球从P点运动到Q点的过程中，动能一直变大
D．由开普勒第三定律可知为常数
【答案】B
【解答】解：A、根据开普勒第二定律可知，在同一轨道上绕同一中心天体运行的天体与中心天体的连线在相同时间内扫过的面积相等，可知相同时间内，月球与地球的连线扫过的面积与地球与太阳连线扫过的面积不相等，故A错误；
B、由开普勒第二定律可知在相同时间内，在近日点和远日点地球与太阳的连线扫过的面积相等，则有：
R1vP Δt＝R2vQ Δt，解得地球在P点和Q点的速率之比，故B正确；
C、由上分析可知，vP＞vQ，则知地球从P点运动到Q点的过程中，速度减小，动能减小，故C错误；
D、由开普勒第三定律有＝k，k是与中心天体质量有关的常数，由于地球与月球围绕的中心天体不同，所以≠，即≠，故D错误。
故选：B。
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