资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 小船渡河模型与速度关联问题
目录
01、TOC \o "1-2" \h \u HYPERLINK \l _Toc17099 知识精讲 1
02、 HYPERLINK \l _Toc13874 题型过关 3
HYPERLINK \l _Toc19966 题型一 小船渡河模型 3
HYPERLINK \l _Toc12308 题型二 绳(杆)端速度分解模型 3
03、 HYPERLINK \l _Toc3011 实战训练 7
知识点一 小船渡河模型
1.船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动.
2.三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度).
3.三种情景
（1）过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝(d为河宽).
（2）过河路径最短(v2（3）过河路径最短(v2>v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河.确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短.由图可知：cos α＝，最短航程：s短＝＝d.
知识点二 绳(杆)端速度分解模型
(1)模型特点：绳(杆)拉物体或物体拉绳(杆)，以及两物体通过绳(杆)相连，物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，求解运动过程中它们的速度关系，都属于该模型．
(2)模型分析
①合运动→绳拉物体的实际运动速度v
②分运动→
(3)解题原则：根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见实例如下：
情景图示 (注：A沿斜面下滑)
分解图示
定量结论 vB＝vAcos θ vAcos θ＝v0 vAcos α＝vBcos β vBsin α＝vAcos α
基本思路 确定合速度(物体实际运动)→分析运动规律→确定分速度方向→平行四边形定则求解
(4)解题思路
题型一 小船渡河模型
1．某次英雄小伙子救人的过程，可用下图去描述：落水孩童抓住绳索停在A处，对面河岸上的小伙子从B处沿直线匀速游到A处，成功把人救起。河宽和间距如图中标注，假定河水在各处的流速均为2m/s，则（　　）
A．小伙子如果面对垂直于河岸的方向游，是不可能到达A点的
B．小伙子渡河的时间为8s
C．小伙子在静水中游泳的速度至少应为1.2m/s，才能成功把人救起
D．只有小伙子总面对着A处游，才可能把人救起
【答案】C
【解答】解：C．小伙子的运动可以看成是游泳的运动和他随水流运动的合运动，
设小伙子在静水中的游泳的速度为v1，小伙子的合运动方向是从B到A，作出小伙子游泳时合速度与两个分速度的关系，如图所示
当v1与合速度垂直时v1有最小值，设AB与河岸的夹角为θ，根据几何关系有
解得
θ＝37°
即游泳时小伙子面对的方向是与合速度方向垂直，此时最小的速度为
v1＝v水sinθ＝2×0.6m/s＝1.2m/s
故C正确；
A．小伙子如果面对垂直于河岸的方向游，当相对于静水的速度
v1＝v水tan37°＝2×0.75m/s＝1.5m/s
恰好到达A点。故A错误；
B．只有小伙子在静水中速度垂直于河岸时，小伙子渡河的时间最小，最小的时间为
小伙子在静水中的速度不与河岸垂直时，小伙子渡河的时间不等于8s。
故B错误；
D．若小伙子总面对着A处游，且速度一定时，由于两个匀速直线运动的合运动仍然为匀速直线运动，可知，其轨迹为一条直线，根据运动的合成可知，此时其合速度方向指向A点右侧，即到达不了A处，故D错误。
故选：C。
2．小船在200m宽的河中横渡，水流速度是3m/s，船在静水中的航速是5m/s，则下列判断正确的是（　　）
A．要使小船过河的位移最短，船头应始终正对着对岸
B．要使小船过河的位移最短，过河所需的时间是40s
C．小船过河所需的最短时间是40s
D．如果水流速度增大为4m/s，小船过河所需的最短时间将增大
【答案】C
【解答】解：A、当合速度于河岸垂直，小船到达正对岸。设静水速的方向与河岸的夹角为θ。
，知θ＝53°．可知船头不能正对着对岸航行。故A错误；
B、要使小船过河的位移最短，合速度的大小为：v＝
则渡河时间为：t＝．故B错误；
C、当船头正对着对岸渡河时间最短为：t＝．故C正确；
D、当船头正对着对岸渡河时间最短，与水流的速度无关。故D错误。
故选：C。
3．小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，出发后10min到达对岸下游120m处；当船头保持与上游河岸成α角航行，出发后12.5min到达正对岸。水流速度保持不变，下列说法正确的是（　　）
A．水流的速度大小为0.25m/s
B．cosα＝0.8
C．河的宽度为200m
D．小船在静水中的速度大小为0.6m/s
【答案】C
【解答】解：A、船头垂直对岸方向航行时，如图甲所示，
由x＝v2t1，得水流的速度大小为，故A错误；
BCD、船头保持与河岸成α角航行时，如图乙所示
v2＝v1cosα，d＝v1sinαt2
由图甲可d＝v1t1，
代入数据联立解得cosα＝0.6，v1≈0.33m/s，d＝200m，故BD错误，C正确。
故选：C。
4．如图所示，甲、乙两小船在静水中的速度相等，渡河时甲船头向河的上游偏，乙船头向河的下游偏，两小船的船头与河岸的夹角大小相等。水流速度恒定，则下列说法正确的是（　　）
A．甲过河的位移大于乙过河的位移
B．在渡河过程中，两小船不可能相遇
C．无论水流速度多大，只要适当改变θ角，甲总能到达正对岸
D．若河水流速增大，两小船渡河时间减小
【答案】B
【解答】解：A．由于船速与水流速度的大小未知，那么船在沿水流方向的分速度不一定为零，则甲渡河的合速度方向与河岸的夹角一定大于乙渡河的合速度方向与河岸的夹角，而河宽相等，所以甲过河的位移小于乙过河的位移，故A错误；
B．甲、乙两船在沿河岸分速度的方向相反，则两船的实际速度（合速度）沿水流方向的分速度一定不相等，则两船不可能相遇，故B正确；
C．如果河水流速大于甲的船速，甲不能达到正对岸，故C错误；
D．由于两船在垂直河岸的分速度相等，而河宽一定，则渡河时间，则两小船渡河时间相等，与水速度无关，故D错误。
故选：B。
5．一只船匀速横渡一条河，当船身垂直河岸航行时，在出发后10min到达下游120m处。若船身保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5min到达正对岸。求：
（1）水流速度v1的大小。
（2）船在静水中的速度v2的大小。
【答案】（1）水流速度v1的大小为0.2m/s；
（2）船在静水中的速度v2的大小为0.33m/s。
【解答】解：（1）船身垂直河岸时，水速
（2）船身垂直河岸时，L＝v2t1，
轨迹垂直河岸时，L＝v2sinαt2，v1＝v2cosα
代入数据解得v2＝0.33m/s。
答：（1）水流速度v1的大小为0.2m/s；
（2）船在静水中的速度v2的大小为0.33m/s。
题型二 绳(杆)端速度分解模型
6．如图所示，物块B套在倾斜杆上，并用轻绳绕过定滑轮与物块A相连（定滑轮体积大小可忽略），今使物块B沿杆由J点匀速下滑到N点，运动中连接A、B的轻绳始终保持绷紧状态，在下滑过程中，下列说法正确的是（　　）
A．物块A的速率先变大后变小
B．物块A的速率先变小后变大
C．物块A始终处于失重状态
D．物块A先处于失重状态，后处于超重状态
【答案】B
【解答】解：AB、物块B沿杆由匀速下滑，运动中连接A、B的轻绳始终保持绷紧状态，
将物体B的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，如图，
根据平行四边形定则，沿绳子方向的速度为vA＝vBcosθ
可知θ在增大到90°的过程中，物体A的速度方向向下，且逐渐减小；
由图可知，当物体B到达P点时，物体B与滑轮之间的距离最短，绳子长度最小，此时θ＝90°，vA＝0
此后物体A向上运动，且速度增大；
所以在物体B沿杆由点M匀速下滑到N点的过程中，物体A的速度先向下减小，然后向上增大，故A错误，B正确；
CD、物体A向下做减速运动和向上做加速运动的过程中，加速度的方向都向上，所以物体A始终处于超重状态，故CD错误。
故选：B。
7．一根不可伸长的绳子跨过定滑轮分别与物体A和物体B连接，A穿在竖直的光滑杆上，物体A沿杆向下运动时物体B被竖直拉起，如图甲所示。当物体A的速度大小为v0时，绳与竖直杆的夹角为60°，则此时物体B向上运动的速度大小为（　　）
A． B． C．v0 D．
【答案】A
【解答】解：将物体A的速度分解到沿绳和垂直于绳方向，如图：
物体A沿绳方向的分速度大小等于B物体的速度大小，由几何关系得：根据运动的分解可知
故A正确，BCD错误。
故选：A。
8．如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮且不可伸长的轻绳与B相连，在外力作用下A沿杆以速度vA匀速上升经过P、Q，经过P点时绳与竖直杆间的角度为α，经过Q点时A与定滑轮的连线处于水平方向，则（　　）
A．经过Q点时，B的速度方向向下
B．经过P点时，B的速度等于
C．当A从P至Q的过程中，B处于失重状态
D．当A从P至Q的过程中，B受到的拉力大于重力
【答案】D
【解答】解：AB、对于A，它的速度如图中标出的vA，这个速度看成是A的合速度，其分速度分别是va，vb，
其中va就是B的速度vB（同一根绳子，大小相同），
刚开始时B的速度为vB＝vAcosα；
当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，va＝0，所以B的速度vB＝0，故AB错误；
CD、因A匀速上升时，由公式vB＝vAcosα，当A上升时，夹角α增大，因此B做向下减速运动，则处于超重状态，
由牛顿第二定律，可知，绳对B的拉力大于B的重力，故C错误、D正确；
故选：D。
9．如图所示，汽车在岸上用轻绳拉船，若汽车行进速度为v，当拉船的绳与水平方向的夹角为30°时船的速度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设船的速度为v′。
将小船的速度沿着绳子和垂直绳子方向进行分解，如图所示。
沿着绳子的分速度等于汽车拉绳子的速度，即
v′cosθ＝v
所以v′＝＝＝v，故ABD错误，C正确。
故选：C。
10．如图所示，竖直平面内固定一根“L”形足够长的细杆。a球套在竖直杆上，b球套在水平杆上，a、b通过铰链用长度为L的刚性轻杆连接，a球向下滑且轻杆与竖直杆夹角为30°时，a球与b球速度之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为杆不可伸长或缩短，所以a，b球沿刚性轻杆的速度相同，将两球实际速度沿杆和垂直杆分解，如图示，有：
所以：va：vb＝sin30°：cos30°＝：3
故A正确，BCD错误。
故选：A。
一．选择题（共14小题）
1．一只小船过河，河中水流速度各处相同且恒定，小船的初速度大小为v0，方向垂直于河岸，小船相对于水依次做匀加速运动、匀减速运动、匀速运动。在河中的运动轨迹如图中虚线所示，其中虚线AB为直线。由此可以确定（　　）
A．船沿AB轨迹运动时，相对于水做匀加速直线运动
B．船沿AB轨迹到达对岸前瞬间的速度最大
C．船沿AC轨迹渡河所用的时间最短
D．船沿三条不同路径渡河的时间相同
【答案】C
【解答】解：A．船合速度方向与河岸方向的夹角满足
船沿AB轨迹运动时，合速度方向不变，说明船速不变，相对于水做匀速直线运动，故A错误；
B．由图可知，AC轨迹的船合速度方向与河岸方向的夹角越来越大，说明船相对于水的速度增大，则AC轨迹是小船相对于水做匀加速的轨迹；同理可知AD轨迹是小船相对于水做匀减速运动的轨迹。由于到达对岸前瞬间的速度为船速与水速的合速度，显然船速越大，合速度越大，则应该是匀加速运动时到达对岸的速度最大，故B错误；
CD．考虑到渡河时间时仅由垂直河岸方向的速度决定，故小船相对于水做匀加速时渡河的时间最短，即沿AC轨迹渡河所用的时间最短，故C正确，D错误。
故选：C。
2．如图所示，某人由A点划船渡河，船头指向始终与河岸垂直，则小船能到达对岸的位置是（　　）
A．正对岸的B点 B．正对岸B点的右侧
C．正对岸B点的左侧
【答案】B
【解答】解：船头朝河对岸，所以船自身产生的速度方向向上，而水流方向向右，所以合速度方向向右上方，故船最终会到达B点右侧，故B正确，AC错误。
故选：B。
3．在静水中速度为v1的小船，为垂直渡过宽度为d的河流，船头与河岸成θ角斜向上游，如图甲所示。航行中发现河水流速vs与河岸间距离x的关系如图乙所示，为使小船仍能到达正对岸，下列措施中可行的是（　　）
A．保持船头方向不变，v1先增大后变小
B．保持船头方向不变，v1先变小后增大
C．保持船速v1大小不变，θ先增大后减小
D．保持船速v1大小不变，θ一直减小
【答案】A
【解答】解：当船头与上游河岸成θ角方向时，小船恰好能垂直到达对岸，此时船沿河岸方向的分速度等于水流的速度，如下图所示：
则：vs＝v1cosθ，可知，保持船头方向不变，v1先增大后变小，或者保持船速v1大小不变，θ先减小后增大，故A正确，BCD错误；
故选：A。
4．一艘动力小船在宽度为300m的河流中船头正对河对岸过河，到达河对岸。电动机正常工作时动力小船在静水中的速度为3m/s，河水的流速v水＝kd（d为观测点距河岸的距离，k＝0.02s﹣1）则（　　）
A．该小船全程的位移大小为450m
B．该小船全程一定是匀变速运动
C．该小船的最大航行速度为6m/s
D．该小船在由岸边向河中心航行的过程中轨迹一定是抛物线
【答案】D
【解答】解：AB.设河宽为L，则垂直河岸方向有L＝vct，解得过河的时间t＝100s，根据v水＝kd＝kvct＝0.02×3t＝0.06t，可知小船沿水流方向做匀加速运动，加速度a＝0.06m/s2，则到达河中间时沿水流方向的位移，该小船全程的位移大小为＝m＝150m，该小船全程上半段时间和下半段时间内加速度方向相反，则全程不是匀变曲速运动，故AB错误；
C.该小船的最大航行速度为，故C错误；
D.该小船在由岸边向河中心航行的过程中沿水流方向做匀加速运动，垂直水流方向做匀速运动，则轨迹一定是抛物线，故D正确。
故选：D。
5．如图所示，在距河面高度h＝20m的岸上有人用长绳拴住一条小船，开始时绳与水面的夹角为30°。人以恒定的速率v＝3m/s拉绳，使小船靠岸，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，那么（　　）
A．5s时绳与水面的夹角为60°
B．5s时小船前进了15m
C．5s时小船的速率为4m/s
D．5s时小船到岸边的距离为15m
【答案】D
【解答】解：D．开始时河面上的绳长为L＝＝m＝40m，此时船离岸的距离x1＝htan60°＝20m，5s后，绳子向左移动了x＝vt＝3×5m＝15m
则河面上绳长为L′＝40m﹣15m＝25m
此时小船离河岸的距离为x2＝
解得x2＝15m，故D正确；
B．5s后小船前进了Δx＝x1﹣x2＝20m﹣15m≈19.6m，故B错误；
A．5s时绳与水面的夹角为α，则有tanα＝＝＝，可得α＝53°，故A错误；
C．船的速度为合速度，由绳收缩的速度及绳摆动的速度合成得出，如图，由几何关系可知，5s时小船的速率为vC＝＝m/s＝5m/s，故C错误。
故选：D。
6．如图，有一条宽为20m的河道，小船从岸边某点渡河，渡河过程中始终保持船头与河岸垂直。小船在静水中的速度大小为5m/s，水流速度为12m/s。下列说法正确的是（　　）
A．小船在河水中行驶轨迹为曲线
B．小船渡河时间为
C．小船在渡河过程中位移大小为48m
D．小船在河水中的速度为13m/s
【答案】D
【解答】解：A．小船在静水中的速度、水流速度均恒定，所以合速度恒定，小船在河水中做匀速直线运动，轨迹为直线，故A错误；
B．小船渡河过程中始终保持船头与河岸垂直，所以渡河时间为，故B错误；
C．小船沿河流方向的位移为l＝v水t＝12×4m＝48m，位移大小为＝m＝52m，故C错误；
D．小船在河水中的速度为＝m/s＝13m/s，故D正确。
故选：D。
7．一只小船过河，河中水流速度各处相同且恒定，小船船头始终垂直于平直岸，小船三次运动中，轨迹如图中虚线所示，三次运动中，小船速度大小不同，由此可以确定（　　）
A．船沿三条不同路径渡河的时间相同
B．船沿AC轨迹过河所用的时间最短
C．三次运动中，船到对岸的瞬时速度大小相同
D．三次运动中，船在静水中的速度大小相同
【答案】B
【解答】解：AB、渡河时间只与垂直于河岸速度（本题中即船相对于静水速度）有关，沿水流方向有
小船船头始终垂直于平直岸，
根据轨迹可知，船沿AC轨迹过河所用的时间最短，故A错误，B正确；
CD、因为水流速度相同，但三次船相对于静水的速度不同，故三次运动中，船到对岸的瞬时速度大小不相同，故CD错误。
故选：B。
8．如图所示，小船在静水中的速度为8m/s，它在宽为240m，水流速度为6m/s的河中渡河，船头始终与河岸垂直，则小船渡河需要的时间为（　　）
A．24s B．40s C．30s D．17.1s
【答案】C
【解答】解：小船渡河时间由垂直河岸方向的分运动决定，船头始终垂直河岸，渡河时间：
t＝s＝30s，
故ABD错误，C正确
故选：C。
9．河宽480m，船在静水中的速度大小为4m/s，水流速度大小为3m/s，则船过河的最短时间为（　　）
A．160s B．96s C．120s D．100s
【答案】C
【解答】解：当船头垂直于河岸运动的时候，船过河的时间最短，
所以船过河的最短时间为tmin＝＝s＝120s
故选：C。
10．如图，一辆货车通过轻绳提升一货物，某一时刻拴在货车一端的轻绳与水平方向的夹角为θ，此时货车的速度大小为v0，则此时货物的速度大小为（　　）
A． B．v0cosθ C．v0sinθ D．v0tanθ
【答案】B
【解答】解：货车的运动是合运动，货车的速度为合速度，
货车的速度等于沿绳子方向和垂直于绳子方向速度的合速度，
根据平行四边形定则，
有v绳＝v0cosθ
货物的速度等于沿绳子方向的速度，所以货物的速度为v0cosθ
故ACD错误，B正确。
故选：B。
11．如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，小车以速率vA水平向左做匀速直线运动，绳子跨过定滑轮拉着物体B竖直上升，下列判断正确的是（　　）
A．物体B竖直向上做匀速直线运动
B．小车与物体B之间的速率关系是vA＝vB
C．当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ时，物体B的速度为vB＝vAcosθ
D．当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ时，物体B的速度为vB＝
【答案】C
【解答】解：绳子与水平方向的夹角为θ，将小车的速度分解为沿绳子方向的分速度和垂直于绳子方向的分速度，如图：
沿绳方向的分速度大小即为B物体上升的速度大小，则
vB＝vAcosθ
随小车向左运动，θ角减小，则物体B竖直向上做加速运动。故C正确，ABD错误。
故选：C。
12．质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动，当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时（如图所示），下列判断正确的是（　　）
A．P的速率为vcosθ2
B．P的速率为
C．绳的拉力等于mgsinθ1
D．绳的拉力小于mgsinθ1
【答案】A
【解答】解：AB、将小车的速度在沿细绳和垂直细绳两个方向分解
则沿绳方向的分量大小为
v∥＝vcosθ2
所以P的速率为
vP＝v∥＝vcosθ2
故A正确，B错误；
CD、由于θ2不断减小，cosθ2不断增大，vP＝v∥＝vcosθ2，所以vP不断增大，根据牛顿第二定律，有：T﹣mgsinθ1＝ma
可知P所受合外力沿斜面向上，则绳的拉力大于mgsinθ1，故CD错误。
故选：A。
13．为了减小关后备箱时箱盖和车体间的冲力，在箱盖和车体间安装液压缓冲杆，其结构如图所示。当液压杆AO2长度为L时，AO2和水平方向夹角为75°，AO1和水平方向夹角为45°，A点相对于O1的速度是vA，则A点相对于O2的角速度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由几何关系可知∠O1AO2＝30°；
将vA沿着AO2杆和垂直AO2杆分解如图
由几何关系可得v⊥与vA之间的夹角是30°，且vAcos30°＝v⊥
设A点相对于O2的角速度为ω，则v⊥＝ωL
解得
故A正确，BCD错误。
故选：A。
14．如图，跨过光滑定滑轮的轻绳一端系着铁球（大小不可忽略，系绳延长线过球心）、一端连在水平台上的玩具小车上，车牵引着绳使球沿光滑竖直墙面从较低处竖直上升。则在球匀速竖直上升且未离开墙面的过程中（　　）
A．玩具小车做减速运动
B．玩具小车做加速运动
C．绳对球的拉力大小变小
D．绳对球的拉力大小变大，球处于超重状态
【答案】A
【解答】解：拉球的绳子与竖直方向夹角为θ，由于球的半径不能忽略，易知球在上升的过程中，θ逐渐增大。
AB、将球的速度分解为沿绳子和垂直于绳子方向，车与球在沿绳子方向上速度相等
可知
v车＝vcosθ
球上升的过程中，随着θ增大，车速逐渐减小，因此玩具小车做减速运动，故A正确，B错误；
CD、由于球匀速运动，所受合力为零
则在竖直方向上有
Tcosθ＝mg
可得
随着θ逐渐增大，绳子拉力逐渐增大，而球匀速运动，即不处于超重状态也不处于失重状态，故CD错误。
故选：A。
二．解答题（共2小题）
15．小船匀速横渡一条河流，水流速度的大小v1，船在静水中的速度大小v2，第一次船头垂直对岸方向航行时，在出发后t0＝20s到达对岸下游30m处；第二次船头保持与河岸成θ＝53°角向上游航行时，小船恰好经过时间t1能垂直河岸到达正对岸，已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，求：
（1）求船在静水中的速度大小v2；
（2）求第二次过河的时间t1；
（3）若上游大暴雨，导致水流速度增大到6.5m/s时，求小船到达河对岸的最短位移x及所用时间t2。
【答案】（1）船在静水中的速度大小是2.5m/s；
（2）第二次过河的时间是25s；
（3）若上游大暴雨，导致水流速度增大到6.5m/s时，小船到达河对岸的最短位移是130m，所用时间是s。
【解答】解：（1）第一次船头垂直对岸方向航行时，在出发后t0＝20s到达对岸下游x0＝30m处，根据分运动的等时性与独立性，可知水流的速度：
第二次过河时，合速度方向垂直于河岸，则有：v2cos53°＝v1
解得船在静水中的速度大小：v2＝2.5m/s
（2）第一次船头垂直对岸方向航行时，根据分运动的等时性与独立性，可知河宽为：d＝v2t0＝2.5×20m＝50m
第二次过河的合速度：v＝v2sin53°＝2.5m/s×0.8＝2m/s
则第二次过河的时间：s＝25s
（3）若上游大暴雨，导致水流速度增大到v′16.5m/s时，由于v2＜v′1
知当船头指向与合速度方向垂直时，航程最短，令此时船头指向与上游河岸成θ，如图：
则有：＝＝
根据位移合成可知：
解得：x＝130m
此过程的合速度v'＝v′1sinθ
此过程的过河时间：
解得：
答：（1）船在静水中的速度大小是2.5m/s；
（2）第二次过河的时间是25s；
（3）若上游大暴雨，导致水流速度增大到6.5m/s时，小船到达河对岸的最短位移是130m，所用时间是s。
16．如图所示，质量都为1kg的两个物体A、B，用轻绳跨过定滑轮相连接，在水平力作用下，物体B沿水平地面向右运动，物体A恰以速度2m/s匀速上升，已知物体B与水平面间的动摩擦因数为0.1，重力加速度为g＝10m/s2。当物体B运动到使斜绳与水平方向成α＝37°时。（已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）求：
（1）物体B所受摩擦力的大小；
（2）物体B的速度大小。
【答案】（1）物体B所受摩擦力的大小为0.4N；
（2）物体B的速度大小为2.5m/s。
【解答】解：（1）A物体匀速运动可得：T＝mg
当斜绳与水平方向成α角时，对B物体进行受力分析，根据共点力平衡，有
mg＝FN+Tsinα，f＝μFN
解得f＝0.4N
（2）如图根据平行四边形定则，将B物体的速度沿绳子方向和垂直绳子方向进行分解有
vA＝vBcosα
解得B物体的速度大小
vB＝2.5m/s
答：（1）物体B所受摩擦力的大小为0.4N；
（2）物体B的速度大小为2.5m/s。
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 小船渡河模型与速度关联问题
目录
01、TOC \o "1-2" \h \u HYPERLINK \l _Toc17099 知识精讲 1
02、 HYPERLINK \l _Toc13874 题型过关 3
HYPERLINK \l _Toc19966 题型一 小船渡河模型 3
HYPERLINK \l _Toc12308 题型二 绳(杆)端速度分解模型 3
03、 HYPERLINK \l _Toc3011 实战训练 4
知识点一 小船渡河模型
1.船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动.
2.三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度).
3.三种情景
（1）过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝(d为河宽).
（2）过河路径最短(v2（3）过河路径最短(v2>v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河.确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短.由图可知：cos α＝，最短航程：s短＝＝d.
知识点二 绳(杆)端速度分解模型
(1)模型特点：绳(杆)拉物体或物体拉绳(杆)，以及两物体通过绳(杆)相连，物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，求解运动过程中它们的速度关系，都属于该模型．
(2)模型分析
①合运动→绳拉物体的实际运动速度v
②分运动→
(3)解题原则：根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见实例如下：
情景图示 (注：A沿斜面下滑)
分解图示
定量结论 vB＝vAcos θ vAcos θ＝v0 vAcos α＝vBcos β vBsin α＝vAcos α
基本思路 确定合速度(物体实际运动)→分析运动规律→确定分速度方向→平行四边形定则求解
(4)解题思路
题型一 小船渡河模型
1．某次英雄小伙子救人的过程，可用下图去描述：落水孩童抓住绳索停在A处，对面河岸上的小伙子从B处沿直线匀速游到A处，成功把人救起。河宽和间距如图中标注，假定河水在各处的流速均为2m/s，则（　　）
A．小伙子如果面对垂直于河岸的方向游，是不可能到达A点的
B．小伙子渡河的时间为8s
C．小伙子在静水中游泳的速度至少应为1.2m/s，才能成功把人救起
D．只有小伙子总面对着A处游，才可能把人救起
2．小船在200m宽的河中横渡，水流速度是3m/s，船在静水中的航速是5m/s，则下列判断正确的是（　　）
A．要使小船过河的位移最短，船头应始终正对着对岸
B．要使小船过河的位移最短，过河所需的时间是40s
C．小船过河所需的最短时间是40s
D．如果水流速度增大为4m/s，小船过河所需的最短时间将增大
3．小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，出发后10min到达对岸下游120m处；当船头保持与上游河岸成α角航行，出发后12.5min到达正对岸。水流速度保持不变，下列说法正确的是（　　）
A．水流的速度大小为0.25m/s
B．cosα＝0.8
C．河的宽度为200m
D．小船在静水中的速度大小为0.6m/s
4．如图所示，甲、乙两小船在静水中的速度相等，渡河时甲船头向河的上游偏，乙船头向河的下游偏，两小船的船头与河岸的夹角大小相等。水流速度恒定，则下列说法正确的是（　　）
A．甲过河的位移大于乙过河的位移
B．在渡河过程中，两小船不可能相遇
C．无论水流速度多大，只要适当改变θ角，甲总能到达正对岸
D．若河水流速增大，两小船渡河时间减小
5．一只船匀速横渡一条河，当船身垂直河岸航行时，在出发后10min到达下游120m处。若船身保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5min到达正对岸。求：
（1）水流速度v1的大小。
（2）船在静水中的速度v2的大小。
题型二 绳(杆)端速度分解模型
6．如图所示，物块B套在倾斜杆上，并用轻绳绕过定滑轮与物块A相连（定滑轮体积大小可忽略），今使物块B沿杆由J点匀速下滑到N点，运动中连接A、B的轻绳始终保持绷紧状态，在下滑过程中，下列说法正确的是（　　）
A．物块A的速率先变大后变小
B．物块A的速率先变小后变大
C．物块A始终处于失重状态
D．物块A先处于失重状态，后处于超重状态
7．一根不可伸长的绳子跨过定滑轮分别与物体A和物体B连接，A穿在竖直的光滑杆上，物体A沿杆向下运动时物体B被竖直拉起，如图甲所示。当物体A的速度大小为v0时，绳与竖直杆的夹角为60°，则此时物体B向上运动的速度大小为（　　）
A． B． C．v0 D．
8．如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮且不可伸长的轻绳与B相连，在外力作用下A沿杆以速度vA匀速上升经过P、Q，经过P点时绳与竖直杆间的角度为α，经过Q点时A与定滑轮的连线处于水平方向，则（　　）
A．经过Q点时，B的速度方向向下
B．经过P点时，B的速度等于
C．当A从P至Q的过程中，B处于失重状态
D．当A从P至Q的过程中，B受到的拉力大于重力
9．如图所示，汽车在岸上用轻绳拉船，若汽车行进速度为v，当拉船的绳与水平方向的夹角为30°时船的速度为（　　）
A． B． C． D．
10．如图所示，竖直平面内固定一根“L”形足够长的细杆。a球套在竖直杆上，b球套在水平杆上，a、b通过铰链用长度为L的刚性轻杆连接，a球向下滑且轻杆与竖直杆夹角为30°时，a球与b球速度之比为（　　）
A． B． C． D．
一．选择题（共14小题）
1．一只小船过河，河中水流速度各处相同且恒定，小船的初速度大小为v0，方向垂直于河岸，小船相对于水依次做匀加速运动、匀减速运动、匀速运动。在河中的运动轨迹如图中虚线所示，其中虚线AB为直线。由此可以确定（　　）
A．船沿AB轨迹运动时，相对于水做匀加速直线运动
B．船沿AB轨迹到达对岸前瞬间的速度最大
C．船沿AC轨迹渡河所用的时间最短
D．船沿三条不同路径渡河的时间相同
2．如图所示，某人由A点划船渡河，船头指向始终与河岸垂直，则小船能到达对岸的位置是（　　）
A．正对岸的B点 B．正对岸B点的右侧
C．正对岸B点的左侧
3．在静水中速度为v1的小船，为垂直渡过宽度为d的河流，船头与河岸成θ角斜向上游，如图甲所示。航行中发现河水流速vs与河岸间距离x的关系如图乙所示，为使小船仍能到达正对岸，下列措施中可行的是（　　）
A．保持船头方向不变，v1先增大后变小
B．保持船头方向不变，v1先变小后增大
C．保持船速v1大小不变，θ先增大后减小
D．保持船速v1大小不变，θ一直减小
4．一艘动力小船在宽度为300m的河流中船头正对河对岸过河，到达河对岸。电动机正常工作时动力小船在静水中的速度为3m/s，河水的流速v水＝kd（d为观测点距河岸的距离，k＝0.02s﹣1）则（　　）
A．该小船全程的位移大小为450m
B．该小船全程一定是匀变速运动
C．该小船的最大航行速度为6m/s
D．该小船在由岸边向河中心航行的过程中轨迹一定是抛物线
5．如图所示，在距河面高度h＝20m的岸上有人用长绳拴住一条小船，开始时绳与水面的夹角为30°。人以恒定的速率v＝3m/s拉绳，使小船靠岸，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，那么（　　）
A．5s时绳与水面的夹角为60°
B．5s时小船前进了15m
C．5s时小船的速率为4m/s
D．5s时小船到岸边的距离为15m
6．如图，有一条宽为20m的河道，小船从岸边某点渡河，渡河过程中始终保持船头与河岸垂直。小船在静水中的速度大小为5m/s，水流速度为12m/s。下列说法正确的是（　　）
A．小船在河水中行驶轨迹为曲线
B．小船渡河时间为
C．小船在渡河过程中位移大小为48m
D．小船在河水中的速度为13m/s
7．一只小船过河，河中水流速度各处相同且恒定，小船船头始终垂直于平直岸，小船三次运动中，轨迹如图中虚线所示，三次运动中，小船速度大小不同，由此可以确定（　　）
A．船沿三条不同路径渡河的时间相同
B．船沿AC轨迹过河所用的时间最短
C．三次运动中，船到对岸的瞬时速度大小相同
D．三次运动中，船在静水中的速度大小相同
8．如图所示，小船在静水中的速度为8m/s，它在宽为240m，水流速度为6m/s的河中渡河，船头始终与河岸垂直，则小船渡河需要的时间为（　　）
A．24s B．40s C．30s D．17.1s
9．河宽480m，船在静水中的速度大小为4m/s，水流速度大小为3m/s，则船过河的最短时间为（　　）
A．160s B．96s C．120s D．100s
10．如图，一辆货车通过轻绳提升一货物，某一时刻拴在货车一端的轻绳与水平方向的夹角为θ，此时货车的速度大小为v0，则此时货物的速度大小为（　　）
A． B．v0cosθ C．v0sinθ D．v0tanθ
11．如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，小车以速率vA水平向左做匀速直线运动，绳子跨过定滑轮拉着物体B竖直上升，下列判断正确的是（　　）
A．物体B竖直向上做匀速直线运动
B．小车与物体B之间的速率关系是vA＝vB
C．当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ时，物体B的速度为vB＝vAcosθ
D．当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ时，物体B的速度为vB＝
12．质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动，当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时（如图所示），下列判断正确的是（　　）
A．P的速率为vcosθ2
B．P的速率为
C．绳的拉力等于mgsinθ1
D．绳的拉力小于mgsinθ1
13．为了减小关后备箱时箱盖和车体间的冲力，在箱盖和车体间安装液压缓冲杆，其结构如图所示。当液压杆AO2长度为L时，AO2和水平方向夹角为75°，AO1和水平方向夹角为45°，A点相对于O1的速度是vA，则A点相对于O2的角速度为（　　）
A． B． C． D．
14．如图，跨过光滑定滑轮的轻绳一端系着铁球（大小不可忽略，系绳延长线过球心）、一端连在水平台上的玩具小车上，车牵引着绳使球沿光滑竖直墙面从较低处竖直上升。则在球匀速竖直上升且未离开墙面的过程中（　　）
A．玩具小车做减速运动
B．玩具小车做加速运动
C．绳对球的拉力大小变小
D．绳对球的拉力大小变大，球处于超重状态
二．解答题（共2小题）
15．小船匀速横渡一条河流，水流速度的大小v1，船在静水中的速度大小v2，第一次船头垂直对岸方向航行时，在出发后t0＝20s到达对岸下游30m处；第二次船头保持与河岸成θ＝53°角向上游航行时，小船恰好经过时间t1能垂直河岸到达正对岸，已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，求：
（1）求船在静水中的速度大小v2；
（2）求第二次过河的时间t1；
（3）若上游大暴雨，导致水流速度增大到6.5m/s时，求小船到达河对岸的最短位移x及所用时间t2。
16．如图所示，质量都为1kg的两个物体A、B，用轻绳跨过定滑轮相连接，在水平力作用下，物体B沿水平地面向右运动，物体A恰以速度2m/s匀速上升，已知物体B与水平面间的动摩擦因数为0.1，重力加速度为g＝10m/s2。当物体B运动到使斜绳与水平方向成α＝37°时。（已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）求：
（1）物体B所受摩擦力的大小；
（2）物体B的速度大小。
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑