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2023-2024学年度高二下学期期末考试数学模拟试卷
一、单选题
1．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．学校要安排一场文艺晚会的12个节目（2个小品节目、2个话剧节目、4个音乐节目、4个舞蹈节目）的演出顺序，要求2个小品节目必须相邻，2个话剧节目不能相邻，则不同的排法数为（ ）
A． B． C． D．
3．若偶函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
4．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．在梯形ABCD中，，，，E为的中点，F为上的动点（含端点），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．对方程表示的图形，下列叙述中正确的是（ ）
A．斜率为2的一条直线
B．斜率为的一条直线
C．斜率为2的一条直线，且除去点（,6）
D．斜率为的一条直线，且除去点（,6）
7．我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．
二、多选题
9．已知某省2023年各地市地区生产总值的占比如图所示，则根据图中关于该省2023年各地市地区生产总值占比的统计情况，下列结论正确的是（ ）
A．A市2023年地区生产总值比B市2023年地区生产总值多
B．图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为
C．图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为
D．若该省2024年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省2024年各地市地区生产总值的占比不变
10．数列满足，下列说法正确的是（ ）
A．可能为常数列 B．数列可能为公差不为0的等差数列
C．若，则 D．若，则的最大项为
11．如图是一个所有棱长均为4的正八面体，若点在正方形内运动（包含边界），点在线段上运动（不包括端点），则（ ）
A．异面直线与不可能垂直
B．当时，点M的轨迹长度是
C．该八面体被平面所截得的截面积既有最大值又有最小值
D．凡棱长不超过的正方体均可在该八面体内自由转动
三、填空题
12．已知的展开式中含有常数项，则的一个可能取值是 ．
13．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，，则点的横坐标为 ．
14．如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段与分别以为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点是线段上的动点，点O为线段的中点，点在以为直径的半圆弧上，且均为直角.若百米，则此步道的最大长度为 百米.
四、解答题
15．如图，在直角中，PO⊥OA，PO=2OA，将绕边PO旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点C为的中点．
(1)求证：；(2)设直线PC与平面PAB所成的角为，求．
16．某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为．
(1)若学生甲摸球2次，其总得分记为，求随机变量的分布列与期望；
(2)学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率．
17．已知函数．
(1)求的单调区间；(2)若时，证明：当时，恒成立．
18．已知、、是我方三个炮兵阵地，地在地的正东方向，相距6km；地在地的北偏西，相距4km．为敌方炮兵阵地．某时刻地发现地产生的某种信号，12s后地也发现该信号（该信号传播速度为km/s）．以方向为轴正方向，中点为坐标原点，与垂直的方向为轴建立平面直角坐标系．

(1)判断敌方炮兵阵地可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程；
(2)若地与地同时发现该信号，求从地应以什么方向炮击地？
19．某农户购入一批种子，已知每粒种子发芽的概率均为0.9，总共种下n粒种子，其中发芽种子的数量为X．
(1)要使的值最大，求n的值；
(2)已知切比雪夫不等式：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意均有，切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布末知的情况下，对事件的概率作出估计．
①当随机变量X为离散型随机变量，证明切比雪夫不等式（可以直接证明，也可以用下面的马尔科夫不等式来证明切比雪夫不等式）；
②为了至少有的把握使种子的发芽率落在区间，请利用切比雪夫不等式估计农户种下种子数的最小值．
注：马尔科夫不等式为：设X为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有．
2023-2024学年度高二下学期期末考试数学模拟试卷
参考答案
1．A
【分析】利用集合观点，子集是全集的充分条件，只有真子集才是全集的充分不必要条件，就可以得到答案.
【详解】由，得，因为是的真子集，
所以是的充分不必要条件，
故选：A．
2．B
【分析】依据相邻捆绑法和不相邻插空法，结合排列数公式，即可求解.
【详解】先捆绑2个小品节目，再和4个音乐节目、4个舞蹈节目排列，然后插入2个话剧节目，
不同的排法数为．
故选：B.
3．C
【分析】利用函数的奇偶性与周期性计算即可.
【详解】由已知可得，
即是函数的一个周期，
所以.
故选：C
4．C
【分析】根据一次函数以及对数函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解.
【详解】函数在上单调递减，
解得.
故选：C.
5．D
【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用向量的数量积的坐标公式表示出，结合的范围即可得解.
【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，，，，，
所以，
因为的取值范围是，所以的取值范围是.
故选：D．
6．C
【分析】根据方程成立的条件知，故它表示的直线中要去除一点.
【详解】方程成立的条件知，
当时，方程变形为，由直线方程的点斜式知它表示一条斜率为2的直线,但要除去点（,6），
故选:C
7．C
【分析】根据给定条件，列出变轨前后椭圆长半轴长和离心率的关系等式，即可求解得答案.
【详解】设变轨前椭圆的长半轴长和离心率分别为，则半焦距为，
设变轨后椭圆的长半轴长为，显然变轨后椭圆离心率为，半焦距为，
依题意，，整理得，即，
而，解得，
此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为.
故选：C
8．D
【分析】设，，，，由题设条件得到的关系：，
由是三角形的外心可得，，对，消去AO，利用基本不等式求得m的范围.
【详解】如图所示：
设，，，，
由
得，
化简得，
由是三角形的外心可知，是三边中垂线交点，得，，
代入上式得，∴.
根据题意知，是三角形外接圆的半径，可得，，
代入得，
∴，当且仅当“”时，等号成立.
故选：D.
9．ABD
【分析】根据统计图及百分位数的定义一一判断即可.
【详解】由图中统计数据，可得市2023年地区生产总值比B市2023年地区生产总值多，故A正确；
因为，所以图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为，故B正确；
因为，所以图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为，故C错误；
若该省2024年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省2024年各地市地区生产总值的占比不变，D正确.
故选：ABD
10．AD
【分析】令，确定方程的解判断A；利用等差数列定义计算判断BCD.
【详解】对于A，令，由，可得，解得，A正确；
对于B，若数列为公差不为0的等差数列，由，得，
则不会是非零常数，B错误；
对于C，，
因此数列是首项为1，公差为的等差数列，
则，C错误；
对于D，，则，即，
当时，；当时，，且数列递减，因此数列的最大项为，D正确.
故选：AD
11．BD
【分析】对于A，当M与点重合时垂直，故A错；对于B，由探求出M的运动轨迹即可求解；对于C，截面为正方形或等腰梯形，将截面等腰梯形的高作为变量将截面等腰梯形面积表达式求出来即可利用导数工具研究面积的最值，进而即可判断求解；对于D，先求出最长棱的正方体的外接球，再求正八面体的内切球，当正方体最大外接球不超过几何体的内切球时，正方体可在八面体内自由转动，由此原理即可判断.
【详解】连接，相交于点O，
则由正八面体性质可知O为中点，且面，
所以是正四面体的高为，
对于A，当M与点重合时，因为，
所以，所以，故A错；
对于B，取中点G，因为，所以，
取中点，连接，则，且，
故面，所以如图，M点在高为母线长为2的圆锥底面圆周上，
即M点在为以为圆心直径为的圆上运动，
所以M点的运动轨迹为圆心直径为的圆的一部分为圆弧，
其中分别为中点，且，
所以，即点M的轨迹长度是，故B对；
对于C，由题意以及正八面体结构性质可知当E与O重合时，
八面体被平面所截得的截面是正方形，
当E与O不重合时，八面体被平面所截得的截面是等腰梯形，
如图，四边形为被平面所截得的截面，
连接中点、，则为等腰梯形的高，设为h，
取中点V，连接,
则由题意可求得，且O在上，
过R作交于点K，
则由等面积法得，
显然当S点由K往V靠近时等腰梯形的上底边和高均在增大，
当截面为正方形截面面积最大为16，
当S点由K往P靠近（不包含S与K、P重合时）时，则，
在此过程中设，
则，且由题意，
所以，故由正弦定理得：
，，
因为，所以，
所以，
又，
所以截面面积为，
所以，
令，
则，
所以在上单调递减，无最小值，
故被平面所截得的截面面积无最小值，故C错；
对于D，过正八面体的两顶点P，Q和中点去截正八面体以及其内切球，
则由正八面体性质得到正八面体与其内切球（半径为r）截面图如图所示，
其中四边形为菱形，棱长为正四面体的斜高，
是正四面体的高，
所以由等面积法得，
当一正方体棱长为时，其外接球半径为，
所以凡棱长不超过的正方体其外接球半径均小于或等于，
故正方体均可在该八面体内自由转动，故D正确.
故选：BD.
12．4、8、12、16（任选一个为答案）
【分析】根据二项式定理展开上述式子，找到满足题意的关于的取值规律，即可求出答案.
【详解】根据二项式定理展开可得，
因为展开式中含有常数项，所以，
由此可得当为4的倍数时，即可满足题意，又因，故可取4、8、12、16.
故答案为：4、8、12、16（任选一个为答案）
13．
【分析】过点作于点，由抛物线定义以及三角函数可用含的横坐标的式子表示，注意到，由此即可列方程求解.
【详解】如图所示：
过点作于点，
显然抛物线的焦点为，准线为，
由抛物线定义有，结合得，
而，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】设半圆步道直径为百米，连接，借助相似三角形性质用表示，结合对称性求出步道长度关于的函数关系，利用导数求出最大值即得.
【详解】设半圆步道直径为百米，连接，显然，
由点O为线段的中点，得两个半圆步道及直道都关于过点垂直于的直线对称，
则，又，则∽，有，
即有，因此步道长，，
求导得，由，得，
当时，，函数递增，当时，，函数递减，
因此当时，，
所以步道的最大长度为百米.
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）本题首先易证PO⊥平面AOB，可得PO⊥AB，再证AB⊥平面POC；
（2）根据线面夹角可知，利用空间向量计算处理．
【详解】（1）证明：由题意知：，
∴PO⊥平面AOB，
又∵平面AOB，所以PO⊥AB．
又点C为的中点，所以OC⊥AB，
，
所以AB⊥平面POC，
又∵平面POC，所以PC⊥AB．
（2）以O为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，
所以，，．
设平面PAB的法向量为，则取，则
可得平面PAB的一个法向量为，
所以．
16．(1)分布列见解析，
(2)．
【分析】（1）依题得到的取值，求出对应的概率，列出分布列，求得均值；
（2）记“甲最终得分为分”，；“乙获得奖励”,求得和，以及和，利用全概率公式计算即可得到.
【详解】（1）由题意知学生甲摸球2次总得分的取值为2，3，4，
则，，，
所以的分布列为：
2 3 4
所以．
（2）记“甲最终得分为分”，；“乙获得奖励”．
，．
当甲最终得9分时，乙获得奖励需要最终得10分，则
；
当甲最终得8分时，乙获得奖励需要最终得10分或9分，则
；
故
．
即乙获得奖励的概率为．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；
（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可.
【详解】（1）定义域为，
当时，，故在上单调递减；
当时，时，，单调递增，
当时，，单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减.
（2），且时，，
令，下证即可.
，再令，则，
显然在上递增，则，
即在上递增，
故，即在上单调递增，
故，问题得证
18．(1)在以为焦点的双曲线右支上，
(2)炮击的方位角为北偏东.
【分析】（1）依题意可得，根据双曲线的定义可知在以、为焦点的双曲线右支上，即可求出轨迹方程；
（2）首先求出点坐标，依题意点在线段的垂直平分线上，求出的垂直平分线方程，再联立（1）中轨迹方程，求出点坐标，即可求出，从而确定方向.
【详解】（1）依题意，，
又，即，
故在以、为焦点的双曲线右支上，
设双曲线方程为，则且，
所以，所以双曲线方程为.
（2）因为且，所以，，
所以，
因为，所以点在线段的垂直平分线上，
因为，中点，
所以直线的方程为，
由 （1） 知点还在上，
由，解得（负值已舍去），所以，
因此，则，所以，
故炮击的方位角为的北偏东.

19．(1)
(2)①证明见解析；②45
【分析】（1）由题意可得，计算可求；
（2）①法一：设的分布列为，其中，，记，则对任意，利用计算可证结论；
法二：由马尔科夫不等式，得，计算可证结论．
②，则，，进而可得，结合切比雪夫不等式，可得，求解即可.
【详解】（1），由题意有，
解得，由于为整数，故．
（2）①证法1：设的分布列为，
其中，，记，则对任意，
．
证法2：由马尔科夫不等式，得．
②，则，．
由题意，，即，，也即．
由切比雪夫不等式，有，
从而，，估计的最小值为45．

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