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机密★考试结束前
2024年6月温州市普通高中学业水平模拟测试
数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分100分，考试时间80分钟。
考生注意：
1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上。
2．选择题的答案须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。
3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷上无效。
选择题部分
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数（为虚数单位）的虚部是（ ）
A．1 B． C． D．
3．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．当前我国青少年因脊柱健康患病的人数已经超过了500万，并且还在以每年30万的速度增长。已知某地小学、初中、高中三个学段的学生人数如图所示，为了解该地区学生的脊柱健康状况，现采用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生人数分别为（ ）
A．200，40 B．100，40 C．200，20 D．100，20
6．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．已知正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，高为2，则该正四棱台的体积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．温州市的“永嘉昆曲”、“乐清细纹刻纸”、“瑞安东源木活字印刷术”、“泰顺编梁木拱桥营造技艺”四个项目已入选联合国教科文组织非遗名录．某学校计划周末两天分别从四个非遗项目中随机选择两个不同项目开展研学活动，则周六欣赏“永嘉昆曲”，周日体验“瑞安东源木活字印刷术”的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
10．已知，，则（ ）
A．7 B． C． D．
11．已知函数，，下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数的最小正周期为
C．函数的值域为
D．函数的一条对称轴为
12．如图所示，圆柱的底面半径为，，为圆的直径，点为圆上的动点，点为圆柱侧面上的动点（不含边界），平面，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选题（本大题共4小题，小题4分，共16分．在每小题列出的四个选项中有多个符合题目要求，全部选对得4分，选对但不完全的得2分，选错或不选得0分）
13．下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．某不透明盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个白球2个黑球，现从中随机取两个球，甲表示事件“第一次取到黑球”，乙表示事件“第二次取到白球”，则下列说法错误的是（ ）
A．若不放回取球，则甲乙相互独立 B．若有放回取球，则甲乙相互独立
C．若不放回取球，则甲乙为互斥事件 D．若有放回取球，则甲乙为互斥事件
15．双曲正弦函数与“S”型函数是两类重要的函数模型，它们在数学与信息学科中有着广泛的运用，其解析式分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．的值域为
C．点是曲线的对称中心
D．函数在上有且仅有一个零点
16．如图，已知梯形中，，，点，分别为线段，上的动点，，点为线段中点，则以下说法正确的是（ ）
A．若，则 B．
C． D．若为的外心，则
非选择题部分
三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）
17．已知，则的最小值为_________．
18．已知函数是偶函数，则_________，函数的单调递增区间为_________．
19．如图，在中，，，为中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，则三棱锥外接球的表面积为_________．
20．在中，已知，，连接，满足，则的面积的最大值为_________．
四、解答题（本大题共3小题，共33分）
21．（本小题满分11分）某校为了解高二段学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取了100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时长（单位：分钟），并将样本数据分成，，，，，六组，绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）若该校高二段有800名学生，估计该段日平均数学学习时长不低于80分钟的学生有多少名？
（2）估计该100名学生的日平均数学学习时长的平均数和第75百分位数。
22．（本小题满分11分）如图，直线，，相交于点，，，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）为中点，求与平面所成角的余弦值．
23．（本小题满分11分）已知函数，的零点分别是与．
（1）若，解不等式；
（2）已知，
①证明：；
②若，满足，求的最小值．
答案
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 C B A B A B D D C A C D
二、选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
题号 13 14 15 16
选项 AD ACD ACD ABD
三、填空题：本题共4小题，每空3分，共15分．
17．3 18．0，（区间开闭均可） 19． 20．3
21．解：（1）由，可知每天数学学习时长不低于80分钟的同学约有240人。
（2）法1：由可知，100名学生数学学习时长样本的平均数约为72
（2）设第75百分位数为，
所以第75百分位数在之间，
则，解得（也可写成）
所以100名学生数学学习时长样本的第75百分位数约为82
22．（1），
，
又，平面，，平面，
又平面，平面平面，
（2）连接，
，，
平面平面，平面平面，
平面，平面，
，，，，四点共面
，，，，
，又平面，平面
平面，同理可得平面，
又，平面平面
平面，与平面所成角为
而，
故
与平面所成角即与平面所成角，其余弦值为
23．解：（1）由题意知，则有，
即，
所以不等式的解集为
（2）①由题意知，，则有
当时，，不符合题意；
当时，，此时无解；
当时，，解得；
综上所述，，证得．
②由知，，
即
因为，所以，
即，
设，令，
因为在上单调递增，且
所以，所以的最小值为

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