资源简介

2024年数学三模试卷
一、选择题（每小题3分分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.
1.-2024的相反数是（ ）
A. B.-2024 C. D.2024
2.河南博物院是国家文物局公布的第一批国家一级博物馆，现有馆藏文物17万余件（套），其中国家一级文物与国家二级文物5000多件，历史文化艺术价值极高，一部分藏品被誉为国之重器.这里的数据17万可用科学记数法表示为（ ）
A.人 B.人 C.人 D.人
3.如图，已知∠1=90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）
A.∠2=90° B.∠3=90° C.∠4=90° D.∠5=90°
4.菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，每四年颁发一次，被誉为“数学界的诺贝尔奖”.截至2022年，世界上共有65位数学家获得菲尔兹奖，获奖者获奖时的年龄分布如表：
年龄/岁 27 29 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45
人数 1 3 5 4 4 4 6 5 9 9 7 7 1
则该组由年龄组成的数据的众数是（ ）
A.9 B.37 C.45 D.37，38
5.如图是一个正方体盒子的展开图，把展开图折叠成正方体后，“数”相对的面上的字是（ ）
A.发 B.现 C.之 D.美
6.计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
7.已知一次函数的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（ ）
A.（-1，2） B.（1，-2） C.（2，3） D.（3，4）
8.如图，在等边三角形ABC中，点D在边AC上，连接BD，将BD绕点B旋转一定角度，使得，连接，若，则为（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
9.如图，平面直角坐标系中，经过三点，，，点D是上的一动点.当点D到弦OB的距离最大时，点D的坐标是（ ）
A.（9，3） B.（9，6） C.（10，3） D.（10，6）
10.如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则PQ的长度为（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.因式分解：________.
12.郑州市某中学体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶.已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手及两根与垂直且长为1米的不锈钢架杆和（杆子的底端分别为，），且.则所用不锈钢材料的总长度（即，结果精确到0.1米）为________米.（参考数据：，，）
13.化学实验课上，张老师带来了Mg（镁）、Al（铝）、Zn（锌）、Cu（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气.（根据金属活动顺序可知：Mg、Al、Zn可以置换出氢气，而Cu不能置换出氢气）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属进行实验，则二人所选金属均能置换出氢气的概率是________.
14.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC和正方形ADEF的顶点A，C，D均在坐标轴上，点F是边AB的中点，点B，E在反比例函数的图象上.若，则k的值为________.
15.如图，点M是等边三角形ABC边BC的中点，P是三角形内一点，连接AP，将线段AP以A为中心逆时针旋转60°得到线段AQ，连接MQ.若，，则MQ的最小值为________.
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16.（10分）（1）计算；（2）解不等式组：.
17.（9分）下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.
已知：直线及直线外一点P.
求作：直线PQ，使得.
作法：如图，
①在直线上取一点A，以点P为圆心，PA长为半径画弧，与直线交于另一点B；
②分别以A，B为圆心，PA长为半径在直线下方画弧，两弧交于点Q；
③作直线PQ.
直线PQ即为所求.
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：连接PA，PB，QA，QB.
∵，
∴四边形APBQ是菱形.________（填推理的依据）.
∴.________（填推理的依据）.
即.
18.（9分）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.小华家计划购买一辆新能源汽车，经过初步了解，看中了售价一样的甲、乙两款汽车.小华的爸爸根据汽车鉴定机构发布的数据对这两款车的续航里程、百公里加速、智能化水平三项性能进行了评分（满分100分），如表：
续航里程（分） 百公里加速（分） 智能化水平（分）
甲款汽车 82 90 100
乙款汽车 80 100 90
两款汽车的综合得分按如图（扇形图）所示的权重计算.
同时小华的爸爸又收集了10位网友对这两款汽车的评价（满分10分），并整理、描述、分析如下：
a.网友评价得分（满分10分）：
甲：4 5 5 6 6 7 8 9 10 10
乙：4 5 6 7 7 7 8 8 9 9
b.网友评价得分统计表：
平均数 中位数 方差
甲款汽车 7 4.2
乙款汽车 7 7 2.4
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的__________；
（2）由表中成绩和扇形图所示权重已算得甲款车的总评成绩为89分，请计算乙款车的总评成绩；
（3）综合考虑甲、乙两款汽车的综合评分以及网友评价，你认为小华的爸爸应选择购买哪款汽车？请说明理由.
19.（9分）观察以下等式：
第1个等式：，第2个等式：，
第3个等式：，第4个等式：，
第5个等式：
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：__________；
（2）写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明.
20.（9分）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （I）这样的点A唯一吗 （II）点A的位置有什么特征 你有什么感悟 “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报:点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），……小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）.
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决.
①该弧所在圆的半径长为__________；
②面积的最大值为__________；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明.
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长，，点P在直线CD的左侧，且.若，求线段的PD长为__________.
21.（9分）某超市购进甲、乙两种水果的进价分别为10元/kg、15元/kg，乙种水果在销售30kg后采取降价销售，这个价格保持到销售完这批水果.这两种水果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数关系如图所示.
（1）甲种水果每千克的销售价为__________元；
（2）求乙种水果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当两种水果销售额相同，且销售额大于0时，请直接写出销售这两种水果的利润和.
22.（10分）在平面直角坐标系中，已知点，为抛物线上任意两点，其中.
（1）当M，N的坐标分别为（1，4），（3，4）时，抛物线的对称轴为__________；
（2）若抛物线的对称轴为，当，为何值时，；
（3）设抛物线的对称轴为，若对于，都有，求t的取值范围.
23.（10分）已知点O是线段AB的中点，直线l与线段AB交于点P（点P与点A，B不重合），分别过点A，点B作直线l的垂线，垂足分别为点C，点D.
（1）【猜想验证】如图1，当点P与点O重合时，线段OC和OD的数量关系是；
（2）【探究证明】如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，判断OC和OD的数量关系并说明理由；
（3）【拓展延伸】若，，当为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长.
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
DBCDD ABBAB
二、填空题（共5小题）
11. 12.5.0 13. 14.2 15.
三、解答题（共7小题）
16.（1）原式=9-4（-3）=8
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：.
17.（1）如图所示.
（2）四条边相等的四边形是菱形
菱形的对角线互相垂直.
18.（1）；
（2）乙款车的综合评分为：80×50%+100×20%+90×30%=87分
（3）小华的爸爸应选择购买乙款汽车.
理由如下：甲、乙两款汽车的综合评分相差不大，网友评价得分甲和乙的平均数相同，但是网友对乙款汽车的评价更稳定.（答案不唯一，合理即可）
19.（1）第6个等式：；
（2）猜想的第n个等式：
证明：∵左边右边，
∴.
20.解：（1）①2；②；
（2）如图，延长，交圆于点D，连接CD，
∵点D在圆上，∴，
∵，∴，
∴，即；
（3）.
21.（1）20；
（2）当时，设乙种苹果销售额y与销售量x之间的函数解析式为，
把（30，750）代入解析式得：，解得：，
∴；
当时，设乙种苹果销售额y与销售量x之间的函数解析式为，
则，解得，
∴，
综上，乙种苹果销售额y与销售量之间的函数解析式为：
（3）900元
22.解：（1）∵M，N的坐标分别为（1，4），（3，4），
∴抛物线的对称轴为，
故答案为：2；
（2）由题意.∴，
∵对称轴为直线，
∴M，N关于对称，
∴，
∴，时，.
（3）∵，，且抛物线的对称轴为
∴
又∵，
当时，都有，
∴满足条件的值为：.
23.（1）
（2）
如图，延长CO交BD于点E，
∵，，∴，∴.
∵点O为AB的中点，∴.
∵，∴，
∴，即点O为CE中点.
∴DO是斜边上的中线，
∴；
（3）或

展开更多......

收起↑