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南通市2023—2024学年度七年级数学第二学期期末测试
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求的。）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列不等式中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．为了解江北区2024年初中毕业年级体育考试成绩情况，从全区20000名初三参考学生中随机抽取1500名学生的体育考试成绩进行分析，下列说法正确的是（ ）
A．该调查方式是普查
B．该调查中的总体是全区初三学生
C．该调查中个体是江北区每位初三学生的体考成绩
D．该调查中的样本是抽取的1500名学生
5．如图，在中，．把沿的方向平移到的位置，若，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知是二元一次方程组的解，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．将一个直角三角板按如图方式放置在一个无刻度的直尺上，可知的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
9．如图，，点、点在上，点、点在上，，点在与之间，连接、，与交于点，且．是内部的一条射线，满足，已知，平分．下列说法错误的有（ ）个．
；；；
A． B． C． D．
10．已知非负数 x，y，z 满足，设 W = 3x－2y + z，则 W 的最大值与最小值的和为（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-6
二、填空题（本大题有8个小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分）
11．“内错角相等”是 命题．（填“真”、“假”）
12．一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、8、8、2，则第5组的频率为 ．
13．如果把一个多边形剪去一个内角，剩余部分的内角和为，那么原多边形有 条边．
14．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是 ．
15．如果点的坐标满足，那么称点为“美丽点”，若某个“美丽点”到轴的距离为2，则点的坐标为 ．
16．关于的不等式组的整数解仅有5个，则的取值范围是 ．
17．如图，中，点D、点E分别在边上，相交于点F，的面积分别是2、2、1，那么四边形的面积是 ．
第17题 第18题
18．如图，、、、，点在轴上，直线将四边形的面积分成两部分，则的长为 ．
三、解答题（本题有8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（10分）（1）计算： （2）解方程组：
20．（8分）解不等式组：，并求出最小整数解：
21．（12分）某学校组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务活动，其服务项目有“清洁卫生”“ 敬老服务”“ 文明宣传”“ 交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，随机调查了参加志思者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，回答下列问题：
(1)本次调查的师生共有_____人，“敬老服务”对应的圆心角度数为______；
(2)请补全条形统计图；
(3)该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．
22．（8分）如图，在中，平分交于点，是的高，与交于点．若，，求的度数．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知，点，，．
(1)请直接写出A、B的坐标；
(2)若点在第二象限内，请用含m的式子表示四边形的面积：
(3)在（2）的条件下，若四边形的面积与的面积相等，求出点P的坐标．
24．（12分）阅读下列材料，解决问题．
《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
(1)[尝试]若设母鸡有x只，公鸡有y只，
① 小鸡有_______只，买小鸡一共花费_____文钱（用含x，y的式子表示）；
② 根据题意，列出一个含有x，y的方程__________；
(2)[探索]小军对“百鸡问题”增加一个条件：“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”求此时公鸡 母鸡 小鸡的只数；
(3)[拓展]小明对“百鸡问题”增加两个条件：“若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”求此时公鸡 母鸡 小鸡的只数．
25．（14分）已知：如图1，．求证：．
老师要求学生在完成这道题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？
(1)小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是 ；
(2)接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点，连接，后，用鼠标拖动点，分别得到了图，，，小颖发现图正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图和图中的，与之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系．
请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：
①猜想图中，与之间的数量关系并加以证明；
②利用图③探究，在拖动点至上方或的下方时，，与之间还存在其他数量关系，请直接写出、与之间的数量关系 （写出一种即可）；
(3)一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点．平行于地面，若，则的度数为 ．
26．（14分）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．
（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；
①； ②．
（2）若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围；
（3）若关于x的组合是“无缘组合”；求a的取值范围．中小学教育资源及组卷应用平台
南通市2023—2024学年度七年级数学第二学期期末测试
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求的。）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，掌握算术平方根的概念是解题的关键．
【详解】A. ，原计算错误，此选项不符合题意；
B. 没有意义，此选项不符合题意；
C. ，计算正确，此选项符合题意；
D. 没有意义，此选项不符合题意；
故选C．
2．若，则下列不等式中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
根据不等式的性质对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴，A错误，故不符合要求；
∴，B正确，故符合要求；
∴，C错误，故不符合要求；
∴，即，D错误，故不符合要求；
故选：B．
3．在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】此题主要考查了平面直角坐标系的有关性质，熟练掌握平面直角坐标系内点的坐标特征是解题的关键．
判断出点的横纵坐标的符号即可求解．
【详解】解：∵，
∴点在第二象限．
故答案选B．
4．为了解江北区2024年初中毕业年级体育考试成绩情况，从全区20000名初三参考学生中随机抽取1500名学生的体育考试成绩进行分析，下列说法正确的是（ ）
A．该调查方式是普查
B．该调查中的总体是全区初三学生
C．该调查中个体是江北区每位初三学生的体考成绩
D．该调查中的样本是抽取的1500名学生
【答案】C
【分析】本题主要考查了抽样调查、总体、个体以及样本的概念，依据抽样调查、总体、个体以及样本的概念进行判断，即可得出结论，掌握相关概念是解题的关键．
【详解】解：A．该调查方式是抽样调查，故选项不符合题意；
B．该调查中的总体是全区20000名初三参考学生的体育考试成绩，故选项不符合题意；
C．该调查中个体是江北区每位初三学生的体考成绩，故选项符合题意；
D．该调查中的样本是抽取的1500名学生的体育考试成绩，故选项不符合题意．
故选：C．
5．如图，在中，．把沿的方向平移到的位置，若，则下列结论中错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了图形的平移．根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行或在同一直线上，对各选项分析判断即可求解．
【详解】解：∵把沿的方向平移到的位置，，，
∴， ，故选项AC正确，不符合题意；
∴，
∴，选项B正确，不符合题意；
长度不能确定；故选项D错误，符合题意；
故选：D．
6．已知是二元一次方程组的解，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解求参数，先将解的值代入到方程组中，可得到有关和的一个二元一次方程，再根据加减消元法可得到和的值，计算即可，正确计算是解题的关键．
【详解】解：∵是二元一次方程组的解，
∴，
根据得：，解得：，
根据得：，解得：，
∴，
故选：D．
7．将一个直角三角板按如图方式放置在一个无刻度的直尺上，可知的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，利用拐点作辅助线是解题关键．过点作，可得，再利用平行线性质分别得出和的等式，再利用整体法即可解决．
【详解】解：如图，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
8．已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】C
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求不等式组的解集，先利用加减消元法推出，再由推出，据此可得答案．
【详解】解：
得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴整数k值为2024，
故选：C．
9．如图，，点、点在上，点、点在上，，点在与之间，连接、，与交于点，且．是内部的一条射线，满足，已知，平分．下列说法错误的有（ ）个．
；；；
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质逐一判断即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，故错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，因缺少条件，无法证明的结论，故错误；
∴错误，共个，
故选：．
10．已知非负数 x，y，z 满足，设 W = 3x－2y + z，则 W 的最大值与最小值的和为（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-6
【答案】D
【分析】设，求得，，，则又由x，y，z均为非负实数，即可求得k的取值范围，进而可求得W的取值范围，得出W的最大值和最小值，从而解题．
【详解】解：设，
∴，，，
∵x，y，z均为非负实数，
∴ ，
解得：，
∵，
∴，
∴，即：，
∴W 的最大值是-2，最小值是-4，它们的和为-6；
故选：D．
二、填空题（本大题有8个小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分）
11．“内错角相等”是 命题．（填“真”、“假”）
【答案】假
【分析】本题考查了判定命题的真假，两直线平行，内错角相等．熟练掌握两直线平行，内错角相等，错误的命题是假命题是解题的关键．
根据两直线平行，内错角相等进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，两直线平行，内错角相等，
∴“内错角相等”是假命题，
故答案为：假．
12．一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、8、8、2，则第5组的频率为 ．
【答案】0.25
【分析】题目主要考查频数与频率，熟练掌握频率的计算方法是解题关键．
根据第1～4组的频数，求出第5组的频数，即可确定出其频率．
【详解】解：根据题意得：，
则第5组的频率为，
故答案为：．
13．如果把一个多边形剪去一个内角，剩余部分的内角和为，那么原多边形有 条边．
【答案】或或9
【分析】本题考查了多边形的内角和度数，熟记相关结论是解题关键．
【详解】解：以五边形为例，如图所示：

剪去一个内角后，多边形的边数可能加，可能不变，也可能减
设新多边形的边数为，
则，
解得：
∴原多边形可能有或或9条边．
故答案为：或或9．
14．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，先把代入原方程组得到，解方程组求出a、b的值即可得到答案．
【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
15．如果点的坐标满足，那么称点为“美丽点”，若某个“美丽点”到轴的距离为2，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，一元一次方程的应用，正确理解“美丽点”的定义是解题关键．设点的坐标为，根据点到轴的距离，得到，再分别代入“美丽点”公式，求出的值，即可得到点的坐标．
【详解】解：设点的坐标为，
到轴的距离为2，
的横坐标为，即，
是“美丽点”，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
点的坐标为或，
故答案为：或
16．关于的不等式组的整数解仅有5个，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是由不等式组解集的情况，求参数的取值范围．
先根据原不等式组的解集中有五个整数解，求出x的取值范围，进而可得的取值范围，得出答案.
【详解】解：由，可得．
∵原不等式组的整数解仅有5个，
∴,
解得：．
故答案为：．
17．如图，中，点D、点E分别在边上，相交于点F，的面积分别是2、2、1，那么四边形的面积是 ．
【答案】7
【分析】本题主要考查了三角形的面积计算问题，能够利用三角形的性质进行一些简单的计算．
连，根据的面积分别是2、2、1，得出，，即，，再根据，，算出，，再根据进而可得四边形的面积．
【详解】解：如图，连，
∵的面积分别是2、2、1，
，，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：7．
18．如图，、、、，点在轴上，直线将四边形的面积分成两部分，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积，作轴，与轴交于点，用分割法求出四边形的面积，分类讨论求出的面积，再求出的值，进而可得的值，根据坐标与图形的性质，用分割法求出不规则图形的面积，再进行计算是解本题的关键．
【详解】解：如图，作轴，与轴交于点，
由题意可得，
，
，
∴，
∵，
∴，
当时，即，
解得，
∴点的坐标为，
∴；
当时，即，
解得，
∴点的坐标为，
∴；
综上所述，，
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（10分）（1）计算： （2）解方程组：
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先计算立方根、化简绝对值后， 再进行实数混合运算即可；
（2）利用加减法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
①＋②得：，
即③，
①－③得：，
即，
把代入①得：，
即，
∴原方程组的解为．
20．（8分）解不等式组：，并求出最小整数解：
【答案】，最小的整数解为．
【分析】本题考查的是解元一次不等式组及求整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，再找到最小的整数解即可．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
∴不等式组的整数解为最小的整数解为．
21．（12分）某学校组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务活动，其服务项目有“清洁卫生”“ 敬老服务”“ 文明宣传”“ 交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，随机调查了参加志思者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，回答下列问题：
(1)本次调查的师生共有_____人，“敬老服务”对应的圆心角度数为______；
(2)请补全条形统计图；
(3)该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．
【答案】(1)300，
(2)见解析
(3)360
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
（1）根据“清洁卫生”的人数除以占比即可得出样本的容量，根据“敬老服务”的占比乘以即可求解；
（2）求“文明宣传”的人数，补全统计图即可；
（3）用样本估计总体，用师生总人数乘以再乘以“文明宣传”的占比即可求解．
【详解】（1）解：由条形图得到“清洁卫生”的人数为60人，由扇形图得到“清洁卫生”的人数的比例为，
∴调查的总人数为：人，
从条形图可以得到“敬老服务”的人数为：120人，
∴“敬老服务”对应的圆心角度数：；
故答案为：300，
（2）“文明宣传”的人数为：人，
补全图形如下：
（3）解：∵（人）．
答：估计参加“文明宣传”项目的师生人数为360人．
22．（8分）如图，在中，平分交于点，是的高，与交于点．若，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了三角形内角和定理、垂线以及角平分线的定义．由平分，利用角平分线的定义，可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，由是的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，再将其代入中，即可求出的度数．
【详解】解：平分，
．
在中，，，
．
是的高，
，
，
．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知，点，，．
(1)请直接写出A、B的坐标；
(2)若点在第二象限内，请用含m的式子表示四边形的面积：
(3)在（2）的条件下，若四边形的面积与的面积相等，求出点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)点P的坐标是．
【分析】本题考查了坐标与图形性质，算术平方根的非负性的应用，解题的关键是利用坐标计算线段的长度和判断线段与坐标轴的位置关系，也考查了三角形的面积公式．
（1）根据几个非负数和的性质得到，分别解一元一次方程得到即可；
（2）根据三角形的面积公式和进行计算即可；
（3）先求出，由得到，求出m的值，然后写出P点的坐标即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
可得：；
∴，；
（2）由（1）可得则，
∴，
∵，
，
∴，
即．
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
则，
即点P的坐标是．
24．（12分）阅读下列材料，解决问题．
《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
(1)[尝试]若设母鸡有x只，公鸡有y只，
① 小鸡有_______只，买小鸡一共花费_____文钱（用含x，y的式子表示）；
② 根据题意，列出一个含有x，y的方程__________；
(2)[探索]小军对“百鸡问题”增加一个条件：“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”求此时公鸡 母鸡 小鸡的只数；
(3)[拓展]小明对“百鸡问题”增加两个条件：“若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”求此时公鸡 母鸡 小鸡的只数．
【答案】(1)① ；②
(2)公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只
(3)公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只
【分析】（1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合小鸡的价格即可求出购买小鸡的总花费；
②根据总价=单价×数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于x、y的二元一次方程；
（2）根据（1）中②的结论结合“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）先根据求出x，y之间的关系，然后结合“若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”讨论，即可求出结论．
【详解】（1）①∵要买100只鸡，且小鸡每三只值一文钱，
∴买了只小鸡，买小鸡花了文钱．
故答案为：；．
②根据题意得：．
故答案为：．
（2）由题意得
，
解得，
∴只．
答：公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；
（3）根据题意得：，化简得：，
当时，；当时，；当时，；当时，；当时，（舍去）．
又因为，且，
所以仅有，符合题意，此时．
答：公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只．
25．（14分）已知：如图1，．求证：．
老师要求学生在完成这道题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？
(1)小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是 ；
(2)接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点，连接，后，用鼠标拖动点，分别得到了图，，，小颖发现图正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图和图中的，与之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系．
请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：
①猜想图中，与之间的数量关系并加以证明；
②利用图③探究，在拖动点至上方或的下方时，，与之间还存在其他数量关系，请直接写出、与之间的数量关系 （写出一种即可）；
(3)一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点．平行于地面，若，则的度数为 ．
【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补
(2)①，证明见解析；②或（写出一种即可）；
(3)
【分析】本题主要考查了平行线的性质，
（1）根据平行线的性质进行填空即可；
（2）①过D作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可；②在拖动点至的上方或的下方两种情况下，分别过点D作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可；
（3）过点B作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可．
【详解】（1）证明：∵
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∵
∴（两直线平行，同旁内角互补）
故答案为：两直线平行，同旁内角互补．
（2）①
证明：如下图，过D作
∴
∵
∴
∴
∴；
②当拖动点至的上方时，如下图，过点D作
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴；
当拖动点至的下方时，如下图，过点D作
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴；
故答案为：或（写出一种即可）．
（3）
过点B作
∵，
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∴，
故答案为：．
26．（14分）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．
（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；
①； ②．
（2）若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围；
（3）若关于x的组合是“无缘组合”；求a的取值范围．
【答案】（1）①组合是“无缘组合”，②组合是“有缘组合”；（2）a＜-3；（3）a<
【分析】（1）先求方程的解，再解不等式，根据“有缘组合”和“无缘组合“的定义，判断即可；
（2）先解方程和不等式，然后根据“有缘组合”的定义求a的取值范围；
（3）先解方程和不等式，然后根据“无缘组合”的定义求a的取值范围．
【详解】解：（1）①∵2x-4＝0，
∴x=2，
∵5x-2＜3，
∴x＜1，
∵2不在x＜1范围内，
∴①组合是“无缘组合”；
②，
去分母，得：2（x-5）＝12-3（3-x），
去括号，得：2x-10＝12-9+3x，
移项，合并同类项，得：x＝-13．
解不等式，
去分母，得：2（x+3）-4＜3-x，
去括号，得：2x+6-4＜3-x，
移项，合并同类项，得：3x＜1，
化系数为1，得：x＜．
∵-13在x＜范围内，
∴②组合是“有缘组合”；
（2）解方程5x+15＝0得，
x＝-3，
解不等式，得：
x＞a，
∵关于x的组合是“有缘组合”，
∴-3在x＞a范围内，
∴a＜-3；
（3）解方程，
去分母，得5a-x-6＝4x-6a，
移项，合并同类项，得：5x＝11a-6，
化系数为1得：x＝，
解不等式+1≤x+a，
去分母，得：x-a+2≤2x+2a，
移项，合并同类项，得：x≥-3a+2，
∵关于x的组合是“无缘组合，
∴<-3a+2，
解得：a<．中小学教育资源及组卷应用平台
南通市2023—2024学年度七年级数学第二学期期末测试
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求的。）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列不等式中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．为了解江北区2024年初中毕业年级体育考试成绩情况，从全区20000名初三参考学生中随机抽取1500名学生的体育考试成绩进行分析，下列说法正确的是（ ）
A．该调查方式是普查
B．该调查中的总体是全区初三学生
C．该调查中个体是江北区每位初三学生的体考成绩
D．该调查中的样本是抽取的1500名学生
5．如图，在中，．把沿的方向平移到的位置，若，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知是二元一次方程组的解，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．将一个直角三角板按如图方式放置在一个无刻度的直尺上，可知的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
9．如图，，点、点在上，点、点在上，，点在与之间，连接、，与交于点，且．是内部的一条射线，满足，已知，平分．下列说法错误的有（ ）个．
；；；
A． B． C． D．
10．已知非负数 x，y，z 满足，设 W = 3x－2y + z，则 W 的最大值与最小值的和为（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-6
二、填空题（本大题有8个小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分）
11．“内错角相等”是 命题．（填“真”、“假”）
12．一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、8、8、2，则第5组的频率为 ．
13．如果把一个多边形剪去一个内角，剩余部分的内角和为，那么原多边形有 条边．
14．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是 ．
15．如果点的坐标满足，那么称点为“美丽点”，若某个“美丽点”到轴的距离为2，则点的坐标为 ．
16．关于的不等式组的整数解仅有5个，则的取值范围是 ．
17．如图，中，点D、点E分别在边上，相交于点F，的面积分别是2、2、1，那么四边形的面积是 ．
第17题 第18题
18．如图，、、、，点在轴上，直线将四边形的面积分成两部分，则的长为 ．
三、解答题（本题有8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（10分）（1）计算： （2）解方程组：
20．（8分）解不等式组：，并求出最小整数解：
21．（12分）某学校组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务活动，其服务项目有“清洁卫生”“ 敬老服务”“ 文明宣传”“ 交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，随机调查了参加志思者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，回答下列问题：
(1)本次调查的师生共有_____人，“敬老服务”对应的圆心角度数为______；
(2)请补全条形统计图；
(3)该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．
22．（8分）如图，在中，平分交于点，是的高，与交于点．若，，求的度数．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知，点，，．
(1)请直接写出A、B的坐标；
(2)若点在第二象限内，请用含m的式子表示四边形的面积：
(3)在（2）的条件下，若四边形的面积与的面积相等，求出点P的坐标．
24．（12分）阅读下列材料，解决问题．
《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
(1)[尝试]若设母鸡有x只，公鸡有y只，
① 小鸡有_______只，买小鸡一共花费_____文钱（用含x，y的式子表示）；
② 根据题意，列出一个含有x，y的方程__________；
(2)[探索]小军对“百鸡问题”增加一个条件：“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”求此时公鸡 母鸡 小鸡的只数；
(3)[拓展]小明对“百鸡问题”增加两个条件：“若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”求此时公鸡 母鸡 小鸡的只数．
25．（14分）已知：如图1，．求证：．
老师要求学生在完成这道题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？
(1)小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是 ；
(2)接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点，连接，后，用鼠标拖动点，分别得到了图，，，小颖发现图正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图和图中的，与之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系．
请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：
①猜想图中，与之间的数量关系并加以证明；
②利用图③探究，在拖动点至上方或的下方时，，与之间还存在其他数量关系，请直接写出、与之间的数量关系 （写出一种即可）；
(3)一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点．平行于地面，若，则的度数为 ．
26．（14分）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．
（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；
①； ②．
（2）若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围；
（3）若关于x的组合是“无缘组合”；求a的取值范围．南通市 2023-2024 学年七年级第二学期期末检测
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数学答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
20.（本 小题满分 8 分）
22. （本小题满分 8 分）
2(x + 2) x 5
姓 名：__________________________ 解不等式组： 4x +1 ，并求出最小整数解：
准考证号： 贴条形码区 x 1 3
注意事项
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填
写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考
考生禁填： 缺考标记
证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 以上标记由监考人员用 2B 铅
必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 笔填涂
或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 选择题填涂样例：
超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题
正确填涂
卷上答题无效。
4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [×] [√] [／]
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 21．（本小题满分 12 分）
2 7 [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]
（1） 、 ；
3 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
4 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] （2）
23．（本小题满分 10 分）
5 [A] [B] [C] [D]
10 [A] [B] [C] [D]
（1）
本大题有 8 个小题，共 30 分 二、填空题（ ）
11. 12. 13. 14.
15. 16. 17. 18.
三、解答题：本题共 8 小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程
或演算步棸。
19.（本小题满分 10 分）计算： （2）
4x y = 3
3
（1）计算： 27 + 2 2 2 2 （2）解方程组：

2x 5y = 3
（3）
（3）
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24．（本小题满分 12 分） 25. （本小题满分 14 分） 26. （本小题满分 14 分）
（1）① 、 ；
（1）
② ；
（2）
（1）
（2）
①
（2）
②
（3）
（3）
（3）
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