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【北师大版九上同步练习】
第四章图形的相似（能力提升）检测题
一、单选题
1． 已知2x=5y(y≠0)，则下列比例式成立的是（　　）
A． = B． = C． = D．=
2．如图，点D，E分别在的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有（　　）
A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤
3．如图，直线，它们依次交直线m、n于点A、B、C和D、E、F，已知，那么EF等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（　　）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
5．如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．已知，是方程的两个实数根，则的值是　 　．
7．如图，已知抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点．P为线段BC上一点，连结AC，AP，若∠ACB＝∠PAB，则点P的坐标为 　 　．
8．如图，在矩形中，，，E是的中点，连结，是边上一动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上，且对应点为，当是直角三角形时，的长为　 　.
三、计算题
9．如图，直线AB交x轴于点B，交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°，AD：AB=1：2．
（1）求点D的坐标；
（2）求经过O、D、B三点的抛物线的函数关系式．
四、解答题
10．如图，在 中， 垂足为 ，且 .求证： .
11．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，，AG平分∠DAE交CD于点F，交BC的延长线于点G．
（1）求证：．
（2）若，求AF的长．
12．已知是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合）．连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交射线AD于点E．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当，且，点E恰好与点A重合．若．求BQ的长．
五、综合题
13．（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项.
（2）已知x：y＝4：3，求的值.
14．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
15．在 中， ， ，点 为边 的中点，以 为一边作正方形 ，
（1）如图1，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为　 　；
（2）在（1）的条件下，
①如果正方形 绕点 旋转，连接 、 、 ，线段 与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
②正方形 绕点 旋转的过程中，当以点A，B，C，E为顶点的四边形是平行四边形时.直接写出线段AF的长.
六、实践探究题
16．综合与实践
（1）探究发现：如图1，在的网格图中，在线段上求一点P，使得；小明同学发现，先在点B的左侧取点C，使为1个单位长度，在点A的右侧取点D，使为2个单位长度，然后连接交于点P（如图1），就可以得到点P了，请你验证小明的做法，并求出的值．
（2）请你在图2中线段上求作一点P，使得．
17．
图1 图2 图3 图4
（1）问题提出：如图1，在正方形ABCD中，E，F分别为边DC，BC上的点，，连接EF，试说明线段DE，BF和EF之间的数量关系
小明是这样思考的：将绕点A按顺时针方向旋转得到（如图2），此时GF即是．直接写出线段DE，BF和EF之间的数量关系：　 　．
（2）问题探究：如图3，在直角梯形ABCD中，（），，E是边CD上的一点．若，求BE的长．
（3）问题解决：某小区想在一块不规则的空地上修建一个花园，根据设计要求，花园由一个三角形和一个正方形组成，如图4所示．已知，以AB为边作正方形ADEB，现要在花园里修建一条小路CD，为了满足观赏需求，小路CD要尽可能长，求出此时的度数及小路CD的最大值．
18．探究与推理
如图1，在矩形中，，，连，点为上的一个动点，点从点出发，以每秒4个单位的速度沿向终点运动.过点作的平行线交于点，将沿对折，点落在点处，连交于点，设运动的时间为秒；
图1 图2 备用图
（1）用含有的式子表示.
（2）当为何值时，点恰好落在线段上；
（3）如图2，在点运动过程中，以为直径作，当为何值时，与矩形的边相切？请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】比例的性质
2．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
3．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
4．【答案】A
【知识点】位似变换
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
6．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；求代数式的值-整体代入求值
7．【答案】（，﹣）
【知识点】坐标与图形性质；二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定与性质
8．【答案】或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
9．【答案】（1）如图，过点D作DE⊥OA于E，
在△AED与△BAO中
∵∠EDA+∠EAD=∠EAD+∠BAO=90°，
∴∠EDA=∠BAO，
∵∠AED=∠AOB=90°，
∴△ADE∽△BAO，
∴
∵点A（0，4），DM=6，
∴AO=4，AE=EO-AO=DM-AO=2，
∴ED=，
∴点D的坐标为D(2，6).
（2）∵AE=2，ED=2，△ADE∽△BAO，
∴BO=AO=4
∴点B的坐标为B(4，0)
设：过O、D、B三点的抛物线的函数关系式为：
将O(0，0)，B(0，4)，D（2，6）代入函数关系式，解得：
∴过O、D、B三点的抛物线的函数关系式为：.
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质
10．【答案】解：∵ ，
∴∠AHC=90°，
∵ ，即： ，
又∵∠A=∠A，
∴ ，
∴∠ACB=∠AHC=90°.
【知识点】相似三角形的判定与性质
11．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC.
∴∠DAG＝∠G.
∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAG，
∴∠G＝∠EAG，∴AE=EG
∵AB=AE=BC
∴BC=EG
∴BE=CG-
（2）解：过点A作AH⊥BE，垂足为点H.则BH=HE
∵点E是BC的中点，AB＝4，
∴BE=EC=CG=2，BH=HE=1．
∵∠AHE=90°，
∴AH=，AG=．
∵AD∥BC，
∴△ABC∽△DEF，∴，∴AF=．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定与性质
12．【答案】（1）证明：如图1，QE与CP的交点记为M，
∵，且，
在和中，，
∴，∴，
∵，∴，∴．
（2）解：如图2，作于H，
与（1）一样可证明，∴，
∵，，
∴，，∴，
∴为等腰直角三角形，∴，，
在中，，
∴，∴．
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
13．【答案】（1）解：设线段x是线段a，b的比例中项，
∵a＝3，b＝6，
x2＝3×6＝18，
x＝（负值舍去）.
∴线段a，b的比例中项是3.
（2）解：设x＝4k，y＝3k，
∴＝＝.
【知识点】比例的性质；比例线段
14．【答案】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF
（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=12，CF=5，
∴EF= =13，
∴OC= EF=6.5
（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定；直角三角形斜边上的中线
15．【答案】（1）
（2）解：①无变化
理由如下：在 中，
∵
∴
∴
在正方形 中，
在 中，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴线段 与 的数量关系无变化
②如图，当点F在BC 边上时，
此时，点F是BC边的中点，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=BC=3
∴
∴
如图，当点F在BC边的延长线上时，过点A作AG⊥BC于点G，
由①知，AG=CD=CG=CF=
在Rt△AGF中，AG= ，GF=GC+CF=+ + =
∴AF=
综上，线段AF的长为 或 .
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质；等腰直角三角形
16．【答案】（1）解：∵
∴，
∴
∴
连接
∵
∴
∴
∵，，
∴
∴是直角三角形
∴
∴
（2）解：如图所示，点P就是所求作的点
【知识点】相似三角形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
17．【答案】（1）
（2）如图，过点A作，交CB的延长线于点F．
，
，
∴四边形AFCD是矩形
，
∴四边形AFCD是正方形，
．
根据上面结论，可知．
设，
，
．
，
，
解得，即．
（3）如图，过点A作，取，连接BF，CF． 7分
，
．
又，
，
，
∴当线段CD有最大值时，只需BF最大即可．
，
∴当B，C，F三点共线时，BF取得最大值，此时．
在等腰直角中，，
．
，
∴BF的最大值为，此时，
∴CD的最大值为．
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
18．【答案】（1）解：依题可知，由折叠可知
在矩形中，，，
又
.
（2）解：（法一）由折叠可知垂直平分
点恰好落在线段上，
，
（法二）由折叠可知
又，，
（3）解：连接
依题可知，为的中点，为的中点，，，即半径为
在矩形中，
又，，
，
①当与边相切于时，如图①所示
图①
连接，
又
、、三点共线
过作于
四边形为矩形，
解得
②当与边相切于时，如图②所示
图②
连接，并延长交于，，
四边形为矩形，，
又，，四边形为矩形
解得
综上所述，或
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆的综合题；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
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