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2024年湖南省各地市中考数学一模压轴题精选
温馨提示： 本卷共50题，题目均选自2024年湖南省各地市一模试题。 本卷分为几何和代数两部分，解答题留有足够答题空间，试题部分可直接打印出来练习。 本卷难度较大，适合基础较好的同学。
第一部分 代数部分
1.(2024·湖南省衡阳市珠晖区·一模)已知三角形的两条边分别是和，第三边是方程的根，则这个三角形的周长为( )
A. 或 B. C. D. 不能确定
2.(2024·湖南省长沙市长沙县·一模)对于二次函数，有以下结论：当时，随的增大而增大；当时，有最小值：图象与轴有两个交点；图象是由抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的其中结论错误的有( )
A. B. C. D.
3.(2024·湖南省益阳市·一模)在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码对于多项式，取，，用上述方法产生的密码不可能是( )
A. B. C. D.
4.(2024·湖南省常德市·一模)将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到的新图象与直线有个交点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.(2024·湖南省株洲二中·一模)若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”若关于的二次函数为常数，总有两个不同的倍值点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.(2024·湖南省株洲市石峰区·一模)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点与点连接并延长交反比例函数于另一点，过点作轴的平行线交直线于点，连接，则的长为( )
A. B. C. D.
7.(2024·湖南省益阳市大通湖区·一模)如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：；；；是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.(2024·湖南省益阳市大通湖区·一模)如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：；；；若，两点在该二次函数的图象上，则其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
9.(2024·湖南省张家界市桑植县·一模)已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两根之积是______．
10.(2024·湖南省株洲市石峰区·一模)反比例函数的图象与直线相交于，两点，则的值是______．
11.(2024·湖南省常德市·一模)已知，，满足，，则二次函数的图象的对称轴为直线______．
12.(2024·湖南省益阳市大通湖区·一模)如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则______．
13.(2024·湖南省长沙市长沙县·一模)如图，已知一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象在第一象限交于点若一次函数的值随值的增大而增大，则的取值范围是______．
14.(2024·湖南省株洲市石峰区·一模)如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴正半轴交于点，过点作轴的垂线，垂足为点，已知：：，则的值为______．
15.(2024·湖南省株洲市石峰区·一模)已知直线：与双曲线交于点，
若，则 ______；
若时，，则 ______， ______填“”“”或“”．
16.(2024·湖南省张家界市桑植县·一模)已知关于的一元二次方程．
求证：无论为何值，方程总有实数根；
若，是方程的两个实数根，且，求的值．
17.(2024·湖南省张家界市桑植县·一模)某校运动会需购买，两种奖品，若购买种奖品件和种奖品件，共需元；若购买种奖品件和种奖品件，共需元．
求、两种奖品的单价各是多少元？
学校计划购买，两种奖品共件，购买费用不超过元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的倍，设购买种奖品件，购买费用为元，写出元与件之间的函数关系式求出自变量的取值范围，并确定最少费用的值．
18.(2024·湖南省株洲市石峰区·一模)如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为，顶点在轴上，延长至点使，过点作交轴于点，反比例函数经过点交于点，反比例函数经过点．
求反比例函数，的解析式；
连接，，计算的面积．
19.(2024·湖南省衡阳市珠晖区·一模)如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，交于点，连接．
求的值和反比例函数的解析式；
直线沿轴方向平移，当为何值时，的面积最大？
20.(2024·湖南省株洲市石峰区·一模)如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，，，点是边上的动点不与，重合，反比例函数的图象经过点，且与交于点，连接，，．
若点的横坐标为．
求的值；
点在轴上，当的面积等于的面积时，试求点的坐标；
延长交轴于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由．
21.(2024·湖南省常德市·一模)如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
求二次函数的解析式；
若点为抛物线上一动点直线上方，且，求点的坐标．
22.(2024·湖南省益阳市大通湖区·一模)如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接．
求抛物线的解析式；
若点为线段上的一动点不与、重合，轴，且交抛物线于点，交轴于点，当的面积最大时，求点的坐标．
23.(2024·湖南省永州市祁阳市·一模)已知：抛物线．
若顶点坐标为，求和的值用含的代数式表示；
当时，求函数的最大值；
若不论为任何实数，直线与抛物线有且只有一个公共点，求，，的值；此时，若时，抛物线的最小值为，求的值．
24.(2024·湖南省长沙市长沙县·一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．
求该抛物线的解析式；
抛物线上是否存在点，使，如果存在，求点的坐标，如果不存在，说明理由；
若点是抛物线第二象限上一动点，过点作轴于点，过点，，的圆与交于点，连接，，求的面积．
25.(2024·湖南省株洲二中·一模)如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，其对称轴与轴相交于点，点为抛物线的顶点．
求抛物线的表达式．
若直线交轴于点，求证：．
若点是线段上的一个动点，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26.(2024·湖南省长沙市望城区·一模)如图，二次函数的对称轴是直线，图象与轴相交于点和点，交轴于点．
求此二次函数的解析式；
点是对称轴上一点，当∽时，求点的坐标请在图中探索；
二次函数图象上是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由请在图中探索．
27.(2024·湖南省长沙市望城区·一模)定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”．
如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是______；
如图，已知点，是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点连接，，，判断的形状并说明理由．
在的条件下，点为抛物线上一点，点为平面内一点，是否存在点、，使得以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
28.(2024·湖南省怀化市·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，，顶点为，对称轴交轴于点．
求抛物线的解析式、对称轴及顶点的坐标；
如图，点为抛物线对称轴上一动点，当在什么位置时最小，求出点的坐标，并求出此时的周长；
如图，在对称轴左侧的抛物线上有一点，在对称轴右侧的抛物线上有一点，满足求证：直线恒过定点，并求出定点坐标．
29.(2024·湖南省益阳市大通湖区·一模)已知抛物线为常数，且与轴交于，两点点在点的右侧，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为点，与轴的交点为点．
如图，若点的横坐标为，试求抛物线的函数表达式；
如图，若，试确定的值；
如图，在的情形下，连接，，点为抛物线在第一象限内的点，连接交于点，当取最大值时，试求点的坐标．
第二部分 几何部分
30.(2024·山东省济南市·一模)如图，为的直径，为上一点，过点作交于点，交于点，连接，，过点作于点，交于点，若，，则的半径为( )
A.
B.
C.
D.
31.(2023·湖南省益阳市大通湖区·一模)如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点不与，重合，下列结论：；；当最长时，；，其中一定正确的结论有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
32.(2024·湖南省常德市·一模)如图，与相切于点，线段交于点过点作交于点，连接，，且交于点若，则图中阴影部分的面积为______．
33.(2024·湖南省益阳市大通湖区·一模)如图，正方形的边长为，线段绕着点逆时针方向旋转，且，连接，以为边作正方形，为边上的点，且，当线段的长最小时， ______．
34.(2024·湖南省永州市祁阳市·一模)如图，在矩形中，连接，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线，分别与，交于点，，连接，若，则四边形的周长为______．
35.(2024·湖南省长沙市望城区·一模)如图，在中，，，以为直径作半圆，过点作半圆的切线，切点为，过点作交于点，则 ______．
36.(2024·四川省内江市·一模)如图，在正方形中，对角线与相交于点，为上一点，，为的中点，若的周长为，则的长为______．
37.(2024·湖南省衡阳市珠晖区·一模)如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交延长线于点，过点作，交于点，连接，则的值为______．
38.(2024·衡阳市珠晖区·一模)如图，点在以为直径的上，平分，，过点作的切线交的延长线于点．
求证：直线是的切线．
求证：．
39.(2024·湖南省怀化市·一模)如图，在圆内接四边形中，，，四边形的对角线，交于点．
求的度数；
过点作交的延长线于点，若，求证：是圆的切线．
40.(2024·湖南省永州市祁阳市·一模)如图，以为直径的上有两点，，是弧的中点，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点．
求证：是的切线；
求证：；
如果是的中点，且，求的长．
41.(2024·湖南省常德市·一模)如图，在中，，以点为圆心，长为半径作，交于点，交延长线于点，是的切线，连接，．
求证：；
若的半径为，当四边形为菱形时，求的长．
42.(2024·湖南省长沙市望城区·一模)如图，为的直径，为上一点，连接，过作于点，过作，使，其中交的延长线于点．
求证：是的切线；
如图，点是上一点，且满足，连接并延长交的延长线于点．
试探究线段与之间满足的数量关系；
若，，求线段的长．
43.(2024·湖南省株洲二中·一模)如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为，，垂足为连接．
求证：平分；
若，，求的半径．
44.(2024·湖南省长沙市长沙县·一模)定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“奇妙四边形”．
若 是圆的“奇妙四边形”，则 是______填序号；
矩形；菱形；正方形
如图，已知的半径为，四边形是的“奇妙四边形”求证：；
如图，四边形是“奇妙四边形”，为圆内一点，，，，且，当的长度最小时，求的值．
45.(2024·湖南省张家界市桑植县·一模)如图，的直径垂直于弦于点，，，点是延长线上异于点的一个动点，连结交于点，连结交于点，则点的位置随着点位置的改变而改变．
如图，当时，求的值；
如图，连结，，在点运动过程中，设，．
求证：；
求与之间的函数关系式．
46.(2024·湖南省长沙市望城区·一模)如图，已知是的直径，弦于点，点是线段延长线上的一点，连结交于点，连结交于点，连结，，．
求证：∽．
若，求的值．
在的条件下，设，．
求关于的函数表达式；
若为的中点，求的值．
47.(2024·湖南省益阳市大通湖区·一模)已知：如图，在平行四边形中，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点，连接，．
求证：四边形是菱形；
若，，，求的长．
48.(2024·湖南省长沙市长沙县·一模)如图，在矩形中，已知，，点是线段上的一个动点，连接并延长，交射线于点点与点关于直线对称，延长交于点，连接．
求证：；
如图，若点恰好落在对角线上，求的值；
若，求线段的长．
49.(2024·湖南省常德市·一模)已知，，，是边上一点，过点作于点，连接，是中点，连接，．
如图，线段，之间的数量关系为______，的度数为______；
如图，将绕点按顺时针方向旋转，请判断线段，之间的数量关系及的度数，并说明理由；
在绕点旋转的过程中，当点落到直线边上时，连接，若，，请直接写出的长度．
50.(2024·湖南省怀化市·一模)已知正方形和正方形按图所示叠放在一起，其中，，点为和的中点．
图中正方形为图中正方形关于直线的轴对称图形，求点和点的连结线段的长度；
将图中的正方形绕点旋转，如图所示，求运动过程中点和点之间距离的最大值和最小值．
参考答案
1.【答案】
【解析】解：三角形的两条边分别是和，设第三边为，
，
即，
解方程，得：，，
该方程的两个根都在的取值范围内，
当时，该三角形的周长为：，
当时，该三角形的周长为：．
故选：．
首先设第三边为，根据三角形三边之间的关系得，再解方程，得：，，由此可得出该三角形的周长．
此题主要考查了三角形三边之间的关系，解一元二次方程，三角形的周长等，理解三角形三边之间的关系，熟练掌握解一元二次方程是解决问题的关键．
2.【答案】
【解析】解：二次函数，
该函数的对称轴为直线，函数图象开口向上，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故符合题意；
当时，有最小值，故不符合题意；
当时，无实数根，即图象与轴无交点，故符合题意；
图象是由抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的，故符合题意；
故选：．
将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3.【答案】
【解析】解：，
，，则各个因式的值为，，，
产生的密码不可能是，
故选：．
先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，进而代入字母的值即可求解．
本题主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：令，则，
解得，，
抛物线与轴的交点为、，
将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，
新图象中当时，解析式为，如图，
当直线经过时，此时直线与新函数图象有个交点，
把代入直线，解得，
直线再向下平移时，有个交点；
当与直线有一个交点时，此时直线与新函数图象有个交点，
联立方程组，
整理得，
，
解得，
综上所述，新图象与直线有个交点时，的取值范围是．
故选：．
先求出抛物线与轴的交点坐标，再根据抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到的新图象的解析式为，画出图象，结合图象求出满足题意的的取值范围．
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：将代入二次函数，得，整理得．
是关于的二次方程，总有两个不同的实根，
．
令
，
，
即，解得．
故选：．
根据根与系数的关系解答即可．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征．根与系数的关系是二次函数部分非常重要的关系式，这里进行了反复运用，一定要牢牢掌握并灵活运用．
6.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象交于点与点，
，
，，
，
把、的坐标代入得，
解得，
直线为，
，
，
轴，
，
，
故选：．
利用待定系数法求得反比例函数的解析式即可求得点的坐标，进一步求得直线的解析式，利用反比例函数的中心对称性求得的坐标，即可求得点的坐标，从而求得的长度．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，求得直线的解析式以及点的坐标是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，所以正确；
点到直线的距离大于，
点到直线的距离大于，
即点在的右侧，
当时，，
即，
，所以错误；
，，
，
，即，所以正确；
点与点关于直线对称，
，
是关于的一元二次方程的一个根，所以正确．
故选：．
利用抛物线开口方向得到，利用对称轴方程得到，利用抛物线与轴的交点位置得到，则可对进行判断；利用对称性可判断点在的右侧，则当时，，则可对进行判断；利用，得到，把代入抛物线解析式可对进行判断；利用抛物线的对称性得到，则根据抛物线与轴的交点问题可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
8.【答案】
【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴的交点在轴的负半轴，
，
，所以正确；
抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
抛物线与轴的一个交点坐标为，
当时，，
，所以错误；
时，，
，
而，
，
即，
，所以错误；
，
，两点在对称轴的右侧，
而，
，
即，所以正确．
故选：．
利用抛物线开口方向得到，利用对称轴方程得到，利用抛物线与轴的交点在轴的负半轴得到，则可对进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点坐标为，则当时，，所以，从而可对进行判断；由于时，，则，利用得到，所以，则可对进行判断；由于，所以，两点在对称轴的右侧，然后根据二次函数的性质可对进行判断．
本题考查了二次函数与不等式组：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，从而比较两函数值的大小确定不等式的解集．也考查了二次函数的性质．
9.【答案】
【解析】解：二次函数的对称轴为直线，
二次函数的图象与轴的一个交点为，
二次函数的图象与轴的另一个交点为，
关于的一元二次方程的两根为，，
关于的一元二次方程的两根之积为．
故答案为：．
先利用抛物线的对称轴方程得到二次函数的对称轴为直线，则利用抛物线的对称性得到二次函数的图象与轴的另一个交点为，然后根据抛物线与轴的交点问题得到关于的一元二次方程的两根为，，从而得到关于的一元二次方程的两根之积．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
10.【答案】
【解析】解：，两点关于原点对称，
，，
把代入反比例函数解析式得：，
．
故答案为：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握得到坐标特征是关键．
11.【答案】
【解析】解：由题意，，，
．
．
二次函数 的图象的对称轴为直线．
故答案为：．
依据题意，由，，从而可得，进而可得，再结合抛物线的对称轴是直线进行计算可以得解．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握二次函数的对称轴为直线是关键．
12.【答案】
【解析】解：设，，则点的坐标为，点的坐标为．
反比例函数在第一象限的图象经过点，
，即，
．
故答案为：．
设，，则点的坐标为，点的坐标为，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出，再由勾股定理可得出，此题得解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及勾股定理，利用反比例函数图象上点的坐标特征找出是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：过点作轴，交双曲线于点，过点作轴，交双曲线于点，如图，
，反比例函数，
，
一次函数的值随值的增大而增大，
点在，之间，
．
故答案为：．
过点分别作轴，轴的平行线，与双曲线分别交于点，，利用解析式分别求得，坐标，依据题意确定点的移动范围，从而得出结论．
本题主要考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，待定系数法，反比例函数的性质，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，确定点的移动范围是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：直线与反比例函数的图象交于点，与轴正半轴交于点，
，
：：，
，即，
当时，，
，
点在反比例函数图象上，
．
故答案为：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．
15.【答案】
【解析】解：由可知，，点，在反比例函数图象上，
，，
，
故答案为：．
反比例函数图象在第二、四象限，且时，，
点，在不同的象限，
设在第二象限，在第四象限，则，，，且丨丨丨丨，丨丨丨丨，
直线经过第一、二、四象限，
，．
故答案为：；．
根据题意可知，将点、坐标代入反比例函数解析式即可得到结果；
根据题意得到点，在不同的象限，设在第二象限，在第四象限，则，，，且丨丨丨丨，丨丨丨丨，则直线经过第一、二、四象限，据此得到结果．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．
16.【答案】证明：
，
方程总有实数根；
解：由题意知，，，
，
，整理得，
解得或．
【解析】由判别式，可得答案；
根据根与系数的关系知，，由进行变形直接代入得到，求解可得．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
17.【答案】解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，
由题意可得：，
解得，
答：种奖品的单价为元，种奖品的单价为元；
由题意可得，
，
随的增大而减小，
购买费用不超过元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的倍，
，
解得，
当时，取得最小值，此时，
答：元与件之间的函数关系式是，最少费用的值为．
【解析】根据题意可以写出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
根据题意和题目中的数据，可以写出元与件之间的函数关系式．
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和不等式组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
18.【答案】解：过点作，垂足为，如图：
等边的边长为，
，，
，
，
，
把点，分别代入和得：，，
解得，；
，；
连接，如图：
，，
，，
，
由，可得直线解析式为，
联立，
解得或舍去，
，
，
的面积为．
【解析】过点作，垂足为，由等边的边长为，可得，，，而，知，即可得，；
连接，由，，得，，，求出直线解析式为，联立，解得，故．
本题考查反比例函数图象上点坐标的特征，涉及待定系数法，三角形面积等，解题的关键是掌握待定系数法，能求出点的坐标．
19.【答案】解：直线经过点，
，
．
反比例函数经过点，
，
；
反比例函数的解析式为；
由题意，点，的坐标为，，
，
，
时，的面积最大．
【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题．
求出点的坐标，利用待定系数法即可解决问题；
构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
20.【答案】解：四边形是矩形，
，
，点的横坐标为，
，
反比例函数的图象经过点，
；
，，
，
，都在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
点在轴上，
设，
，
解得：，
或；
连接，四边形是平行四边形，理由如下：
由题意得：，，
设的函数解析式为：，
则，
解得，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
【解析】本题主要考查反比例函数与几何综合，掌握反比例函数图象上的点的坐标的特征，矩形的性质是解题的关键．
根据矩形的性质得到，求得，把代入即可得到结论；
由，都在反比例函数的图象上，得到，根据三角形的面积公式得到，设，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
连接，根据题意得到，，设的函数解析式为，解方程得到，求得，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
21.【答案】解：二次函数的图象经过，两点，
，
解得，
二次函数的解析式为；
设直线的解析式为，
的图象经过，两点，
，
解得，
直线的解析式为，
在轴上取点，使的面积为，
，
解得，
，
过点作直线交抛物线于点，如图，则，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
解方程组得或，
点的坐标为或
【解析】把、点的坐标代入中得到、的方程组，然后据解方程组即可；
先利用待定系数法求出直线的解析式为，在轴上取点，使的面积为，利用三角形面积公式得到，解方程得到，过点作直线交抛物线于点，如图，则，所以直线的解析式为，然后解方程组得点的坐标．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了待定系数法求二次函数解析式．
22.【答案】解：抛物线与轴交于、两点，
，
解得，
抛物线的解析式；
令，则，
，
设点的坐标为，
则有，，，，，
根据题意，
，
，
当时，有最大值，
此时，，，
，，
．
，
点的坐标为．
【解析】根据待定系数法即可求解；
设点的坐标为，则可表示出与，根据题意，列式求解得，则当时，有最大值，则可求解．
此题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积、二次函数的性质、勾股定理、方程思想等知识．
23.【答案】解：抛物线的顶点坐标为，
，
，；
，，，
，
抛物线与轴有两个交点，
，
，
，
函数的最大值为；
直线与抛物线有且只有一个公共点，
方程组只有一组解，
有两个相等的实数根，
，
，
整理得：，
不论为任何实数，恒成立，
，
，，．
此时，抛物线解析式为，
抛物线的对称轴为直线，开口向上，
当时，抛物线的最小值为，
分三种情况：或或，
当时，，当时，随着的增大而减小，则当时，的最小值为，
，
解得：或，均不符合题意，舍去；
当时，当时，抛物线的最小值为，
；
当时，随着的增大而增大，则当时，的最小值为，
，
解得：或，
，
，
综上所述，若时，抛物线的最小值为，的值为或．
【解析】根据抛物线顶点式可得 ，即可得出答案；
由题意可得，可得，进而可得，即可得出答案；
由直线与抛物线有且只有一个公共点，可得方程有两个相等的实数根，即，可得，进而可得 即可求得，，，抛物线解析式为，由于抛物线的对称轴为直线 ，开口向上，当时，抛物线的最小值为，分三种情况：或 或，分别根据二次函数的性质讨论即可．
本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的情况和根的判别式，解方程组等知识，综合性很强，难度较大，能把函数交点问题转化成一元二次方程根的问题是解题关键．
24.【答案】解：设点，
，
则点、，
则抛物线的表达式为：，
，
则，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
存在，理由：
由知，点、、的坐标分别为：、、，
在抛物线上存在点，使，理由如下：
过点作轴，交抛物线于点，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
轴，
把代入，
解得，点的横坐标，舍去，
点的坐标为；
点的坐标为，
，
设过点、、得圆的圆心为点，
，
点在线段的垂直平分线上，
设点的坐标为，
同理可得点在线段的垂直平分线上，
轴于点，
设，则，
，
，
，
整理得，
点在抛物线上，
，
得，
将代入得，，
，
，即，
．
【解析】由待定系数法即可求解；
过点作轴，交抛物线于点，把代入函数表达式，即可求出点的坐标；
设过点、、得圆的圆心为点，证明点在线段的垂直平分线上，设点的坐标为，进而设，则，由，即可求解．
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等，本题的关键是熟练掌握设而不求的方式解题．
25.【答案】解：与轴相交于点，
将点代入可得：，
又对称轴，
，
即抛物线的表达式为；
对称轴为，
代入抛物线表达式得，
即点，
设直线的表达式为，
把点，代入解得，，
的表达式为，
点在轴上，即纵坐标，此时，
，
由平面直角坐标系的可知：，，
≌，
；
存在，
点在线段上，可设，
如图所示，作轴于，
，，
由勾股定理可知，，
又，
由可知≌，
，
当∽时，
，
即，
解得，
即点的坐标为，
当∽时，
，
解得，
即点的坐标为，
综上的坐标为或
【解析】根据点坐标和对称轴代入表达式即可得出；
根据写出点坐标，求出直线表达式，求出点坐标构造≌，结论即得证；
分情况构造∽，根据线段比例关系即可求出点坐标．
本题主要考查二次函数、一次函数、全等三角形、相似三角形等知识点，难点在第三问分情况构造三角形相似．
26.【答案】解：由题意得：，
解得：，
二次函数的解析式是；
设对称轴与轴交于点，
由及已知得，，
是等腰直角三角形，
又点在对称轴上，且∽，
是等腰直角三角形，，
，
当点在轴上方时，坐标是，
当点在轴下方时，坐标是，
综上，点的坐标是或；
存在，理由：
点和点关于对称轴对称，
点的坐标是，
点关于轴的对称点，
，
，
解得：，，
，，
点的坐标是或或．
【解析】由待定系数法即可求解；
证明是等腰直角三角形，，则，即可求解；
点和点关于对称轴对称，则点的坐标是，点关于轴的对称点，由，得到，即可求解．
本题考查了二次函数综合运用，涉及到三角形相似、等腰直角三角形的性质、点的对称等，分类求解是解题的关键．
27.【答案】，
【解析】解：矩形的顶点坐标分别是，，，，
矩形的“梦之点”满足，，
点，是矩形的“梦之点”，不是矩形的“梦之点”，
故答案为：，；
点，是抛物线上的“梦之点”，
，
解得：，，
当时，；
当时，，
，，
，
顶点，
，，，
，
是直角三角形；
存在点、，使得以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下：
由可得，，
设直线的解析式为：，
将代入得：，
解得：，
直线的解析式为：，
以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形，
，
点、在直线上，
点在二次函数上，
联立，
解得：，，
点的坐标为或．
根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或者边上即可得到答案；
根据“梦之点”的定义求出、的坐标，再求出顶点的坐标，计算出、、的长，根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，最后由三角形面积公式计算即可得到答案；
由可得，，求出直线的解析式为，由菱形的性质可得点、在直线上，联立，解方程即可得到答案．
本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、勾股定理以及勾股定理逆定理、菱形的性质、一次函数等知识，熟练掌握以上知识点，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键．
28.【答案】解：，
，，
将，代入，
，
解得，
抛物线解析式为；
，
抛物线的对称轴为直线，顶点；
解：连接交对称轴于点，
、点关于对称轴对称，
，
，当时，有最小值，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
当时，解得或，
，
，，
的周长为；
证明：设直线的解析式为，，，
当时，，，
过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，
，
，
，
，
∽，
，
，
整理得，，
，
，
直线经过定点．
【解析】求出点、的坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
连接交对称轴于点，当时，有最小值，再求解即可；
设直线的解析式为，，，当时，，，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，证明∽，由，得，推导出，即可得到，直线经过定点．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
29.【答案】解：在中，令，则，
解得：，，
，，
将代入得：，
解得：，
，
点的横坐标为，
当时，，
，
将代入抛物线解析式得：，
解得：，
；
由得：，，
设点的坐标为，
，
为的中点，
在轴上，
，
，
在中，当时，，
，
将代入抛物线解析式得：，
解得：；
由知：，，，
，
在中，当时，，
，
，
设，
，
，
当时，的值最大，此时．
【解析】令，则，求出，，将代入一次函数求出，从而得出点的坐标，再将的坐标代入二次函数即可得解；
由得：，，设点的坐标为，由得出点的横坐标为，代入一次函数解析式得出点的坐标，再将的坐标代入二次函数即可得解；
由知：，，，得出，求出点的坐标得出，根据，得出关系式，根据二次函数的性质即可得出答案．
本题考查了一次函数与二次函数的交点问题、二次函数综合面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
30.【答案】
【解析】解：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，，
，
设的长为，则，
，
，
在中，，
，
，
，
，
或，
解得：不合题意，舍去，
，
的半径为，
故选：．
先连接，根据已知条件和直角三角形的性质证明，，从而证明，然后根据等腰三角形的性质证明，再根据垂径定理求出，最后在中，利用勾股定理求出，进而求出即可．
本题主要考查了圆的有关运算，解题关键是熟练掌握垂径定理和圆周角定理及勾股定理．
31.【答案】
【解析】解：是等边三角形，
，
，，
，故正确；
点是弧上一动点，
与不一定相等，
与不一定相等，故错误；
当最长时，为直径，
，
，
，
，故正确；
在上取一点，使，连接，如图：
，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
≌，
，
，故正确；
正确的有，共个，
故选：．
由是等边三角形，及同弧所对圆周角相等可得，即可判断正确；由点是弧上一动点，可判断错误；根据最长时，为直径，可判定正确；在上取一点，使，连接，可得是等边三角形，从而≌，有，可判断正确．
本题考查等边三角形及外接圆，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
32.【答案】
【解析】解：与相切于点，
．
，
，
．
又，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．
在中，设，则，
，
，
解得负值已舍去，
，即的半径长为，
，
故答案为：．
根据切线的性质定理和平行线的性质定理得到，根据垂径定理得到的长，再根据圆周角定理发现，从而根据锐角三角函数求得圆的半径，根据全等三角形的判定定理得到≌，则它们的面积相等，故阴影部分的面积就是扇形的面积．
本题主要考查切线的性质，圆周角定理，形面积的计算，熟练掌握切线的判定与性质是解答本题的关键．
33.【答案】
【解析】解：如图，连接，，过点作于，连接，
四边形，四边形都是正方形，
，，，
，，
∽，
，，
，
在中，，
当点在上时，有最小值，
为边上的点，且，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
连接，，过点作于，连接，通过证明∽，可求，在中，，则当点在上时，有最小值，分别求出，，即可求解．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等知识，证明∽是解题的关键．
34.【答案】
【解析】解：由作法得垂直平分，
，，
设，则，，
在中，，
解得，
即，
同理可得，
四边形的周长为．
故答案为：．
利用基本作图可判断垂直平分，则，，设，则，，在中利用勾股定理得到，解方程得到，同理可得，然后计算四边形的周长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．
35.【答案】
【解析】解：延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，连接，如图，
，，
为的切线，
为的切线，
，，
，
，，
∽，
，
设，则，
，
在中，，
解得，
即，
，
，
，
，，，
四边形为矩形，
，
，
，
．
故答案为：．
延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，连接，如图，先证明为的切线，则利用切线的性质和切线长定理得到，，接着证明∽，利用相似比得到，则设，，所以，接下来在中利用勾股定理得到，解方程得到，则利用面积法可求出，然后利用勾股定理计算出，最后利用垂径得到的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、垂径定理和勾股定理．
36.【答案】
【解析】解：在正方形中，对角线与相交于点，
，是中点，
为的中点，
，
的周长为，，
，即，
在中，根据勾股定理可得，
，
根据三角形的中位线可得．
故答案为：．
在正方形中，对角线与相交于点，可知是中点，，为的中点，则，的周长为，，则，即，根据勾股定理可得，从而求得，再根据中位线的性质即可解答．
本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，熟悉性质是解题关键．
37.【答案】
【解析】解：如图，过点作的垂线交延长线于，
过作交于，连，
，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
设，则，
，
，
、均为的半径，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
．
故答案为：．
通过点作的垂线交延长线于，连，由，，得，设，则，求出，在中用勾股定理求出，得，再证四边形为矩形，得，，在中用勾股定理求出，即得．
本题是圆综合性题，考查了平行线的性质、勾股定理、矩形的判定，通过作垂线将所求线段转化成直角三角形的边或边的一部分是本题关键．
38.【答案】证明：连接．
平分，
，
，
，
，
，
，
，
直线是的切线．
连接．
是的切线，为的直径，
，
，
，
，
∽，
，
．
【解析】连接，由角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，于是得到结论；
连接，根据切线的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义．圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
39.【答案】解：，，
，，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
的度数是．
证明：设四边形的外接圆的圆心为，连接，则，
，
是的直径，
，
，
垂直平分，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
【解析】由，，得，，可证明，而，所以；
设圆心为，连接，由，证明是的直径，则垂直平分，由，求得，，则是等边三角形，所以，则，由，，得，所以，即可证明是的切线．
此题重点考查等腰三角形的性质、圆内接四边形的对角互补、垂径定理、等边三角形的判定与性质、切线的判定定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
40.【答案】证明：如图所示，
是弧的中点，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
证明：如图所示，
平分，
，
又，，
则，
，
是的直径，
，
，
；
解：如图所示，取的中点，连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
是的中点，是的中点，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
设，则，
，
，
，
，，
，，
∽，
，
是的角平分线，
到，的距离相等，设为，在，设点到的距离为，
，
，
．
【解析】根据同弧所对的圆周角相等得出，根据，得出，则可得，根据已知，得出，即可得证；
根据角平分线的定义得出，又，根据三角形内角和定理得出，由是的直径，即可得证；
取的中点，连接，证明，由是的中点，是的中点，得出，进而得出，设，则，勾股定理得出，，证明∽得出，根据角平分线的性质得出，即可求解．
本题考查了圆的综合问题，相似三角形的性质与判定，切线的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
41.【答案】证明：连接，则，
，
是的切线，，
，
，
，，
≌，
，
，
，
．
解：四边形是菱形，的半径为，
，
是等边三角形，
，
，
，
的长是．
【解析】连接，则，由切线的性质得，则，可证明≌，得，推导出，则，所以；
由四边形是菱形，的半径为，得，所以是等边三角形，则，由，得．
此题重点考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
42.【答案】证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
即，
是的切线；
解：线段与之间满足的数量关系是：，
理由如下：如图，过作于点，连接，
，
，且，
，
为公共边，
≌，
，
；
过点作，连接，过点作，
是的直径，
，
，，
．
，
，
，
由得：，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
，
，
，，
，
四边形为的内接四边形，
，
∽，
，
，
．
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．
【解析】如图，连接，根据等边对等角得：，由垂直定义得：，根据等量代换可得：，即，可得结论；
如图，过作于点，证明≌，则，得；
过点作，连接，过点作，先根据勾股定理求，则，设，则，根据勾股定理列方程得：，可得的值，证明∽，列比例式可得的长，再求解即可．
此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，全等和相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆的切线的判定，第问的最后一问有难度，证明∽是关键．
43.【答案】证明：连接，
直线是的切线，切点为，
，
又，垂足为，
，
，
，
，
，
平分；
解：连接，
是的直径，
，
又，
由得：，
，
在中，，
，
，
在中，，
．
【解析】连接，由切线的性质得到，进而得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可证得结论；
连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用的结论可得，从而求出的长，然后再利用勾股定理求出的长，即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
44.【答案】
【解析】解：若平行四边形是“雅系四边形”，则四边形是正方形．理由：
四边形是平行四边形，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
平行四边形是矩形，
四边形是“雅系四边形”，
，
矩形是正方形，
故答案为：；
证明：过点作直径，分别连接，，，，．
是的直径，
，
，
，
．
，
，
，；
，
，
，
；
解：设的长度为，，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
有最小值，
即的长度最小值为，
，
解得：，
，
，
，
，
，
由知：∽，
．
利用平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，“雅系四边形”的定义和正方形的判定定理解得即可；
过点作直径，分别连接，，，，证明，可得，可得，再利用勾股定理可得答案；
设的长度为，，在中，利用勾股定理列出方程，利用即可求得的最小值，求得值，再利用相似三角形是性质即可求得结论．
本题是圆的综合题，考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，一元二次方程的解法，熟练的建立数学模型并灵活应用是解本题的关键．
45.【答案】解：连接，如图，
的直径垂直于弦于点，
．
，
．
．
．
，
．
，
；
证明：连接，如图，
为的直径，
．
．
，
．
．
，
．
解：，
．
四边形为圆的内接四边形，
．
，
∽．
．
．
与是等高的三角形，
．
．
，
．
与之间的函数关系式为．
【解析】连接，利用垂径定理和勾股定理求得的长，利用直角三角形的边角关系即可求得结论；
连接，利用圆周角定理，垂直的意义，通过等量代换即可得出结论；
通过证明∽，利用相似三角形的性质相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到；利用等高的三角形的面积比等于底的比，得到，依据题意化简即可得出结论．
本题主要考查了垂径定理，圆周角定理及其推论，勾股定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形的面积，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．
46.【答案】证明：是的直径，弦于点，
，
，
，
∽；
解：，
设，则
是的直径，
，
，
∽，
．
，
．
，
．
．
由知：，
；
解：过点作于点，如图，
则．
由知：∽，
，
，
，
．
，
．
设，则，
，
．
，，
，
，
．
过点作于点，过点作于点，如图，
为的中点，，
垂直平分，，
，
是的直径，，
，
．
，
，
，，
∽，
，
，
．
【解析】利用垂径定理，圆周角定理和相似三角形的判定定理解答即可；
设，则，利用直角三角形相似的判定定理和性质定理求得，，，利用直角三角形的边角关系定理和的结论解答即可；
过点作于点，由的结论得到，利用直角三角形的边角关系定理得到，设，则，则，利用已知条件得到与的关系，进而得到，的长度，利用已知条件化简即可得出结论；
过点作于点，过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质用的代数式表示出，，利用三角形的面积公式化简运算即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形是判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，垂径定理，等腰三角形的性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形或直角三角形是解题的关键．
47.【答案】证明：平分，
，
四边形是平行四边形，
且，
，
，，
，
，
在和中，
≌，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
解：过点作于点，如图所示：
四边形是菱形，
，，，
在中，，
在中，，
，
，
中，．
【解析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定、含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．
先证明，由证明≌，得出，因此，证出四边形是平行四边形，即可得出结论；
过点作于点，由菱形的性质得出，，，在中，由含角的直角三角形的性质及勾股定理求出，在中，求出，再求出，得出，最后在中，由勾股定理即可得出的长．
48.【答案】证明：四边形为矩形，
，
，
由折叠可知：，
，
；
解：四边形为矩形，
，，，
由可知是等腰三角形，，
在中，，，
，
，
，
；
解：当点在线段上时，如图，的延长线交于点，
由可得：∽，
，即，
，
由可知．
设，则，则，
在中，，即，
解得：
．
【解析】由折叠的性质及等腰三角形的判定可得出答案；
由勾股定理求出，得到，求得，根据三角函数的定义得到；
设，根据勾股定理得到，得到关于的方程，求得的值即可．
本题属于四边形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的综合应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
49.【答案】
【解析】解：，
，
，点是中点，
，
，，
，
故答案为：；．
，，理由如下：
如图，取的中点，的中点，连接，，，，
，，，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
在中，，，
，
在和中，，，
，
，
又，
，
≌，
，，
，
，
，，
，是等边三角形，，
；
在中，，，
，
如图，当点落在线段上时，过点作于点，
，
，
在中，，，
，
在中，，，
，，
在中，；
如图，当点落在的延长线上时，过点作于点，
在中，，，
，
，，
在中，．
综上所述，的长为或．
要求与之间的数量关系，可通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得；要求的度数，可根据等腰三角形的性质，进行等角代换求得；
作辅助线，通过构造≌可求得，的度数可通过等边三角形的性质及等角代换求得；
要分点落在线段上和点落在的延长线上两种情况，通过勾股定理分别求解．
本题属于几何变换综合题，考查了直角三角形斜边中线定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
50.【答案】解：延长交于点，如图，
，
四边形是矩形，
，
，
，
；
连接，
，，，
点在以点为圆心，长为半径的圆上，
当点在线段上时，取得最小值；当点在延长线上时，取得最大值；
，，
；
如图，
最小值为；
如图，
取得最大值为．
综上，最小值为；取得最大值为．
【解析】根据正方形的性质结合勾股定理即可求解；
连接，利用勾股定理求得长，推出点在以点为圆心，长为半径的圆上，当点在线段上时，取得最小值；当点在延长线上时，取得最大值；据此求解即可．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称图形，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质．

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