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广东省（统考卷）2024年八年级数学期末模拟卷
第Ⅰ卷
一、选择题（共30分）
1．下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义即可解答．
【详解】解：，A错误；
是最简二次根式，B正确；
，C错误；
，D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式的内容，掌握最简二次根式定义是解题的关键．
2．下列各组数是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．5，12，13
【答案】B
【分析】满足两边的平方和等于第三边的平方即可，即，可以构成直角三角形．
【详解】解：A. ，能构成直角三角形，故此选项不符合题意
B. ，不能构成直角三角形，故此选项符合题意
C. ，能构成直角三角形，故此选项不符合题意
D. ，能构成直角三角形，故此选项不符合题意
故选：B
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理,熟练掌握两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形是解题的关键．
3．一组数据2、2、3、4、5，则这组数据的中位数是（　　）
A．4 B．3.5 C．3 D．2
【答案】C
【分析】将数据按由小到大的顺序排列后由中位数的定义可得答案．
【详解】解：数据由小到大排序：2、2、3、4、5，
∴中位数为3．
故选：C．
【点睛】本题考查了中位数，解答本题的关键是掌握中位数的定义，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4．如图，在中，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行四边形性质得到，求出的度数后，根据两直线平行同旁内角互补，即可求出的度数．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，数量掌握平行线的性质是解答本题的关键．
5．直线经过点，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】将点代入求解即可．
【详解】解：将点代入可得：
解得
故选：C
【点睛】此题考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
6．下列二次根式的运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质即可判断A，根据二次根式的加法运算即可判断B，根据二次根式的乘法运算即可判断C，根据二次根式的除法运算即可判断D．
【详解】解：A. ，故A计算错误，不符合题意；
B. ，故B计算错误，不符合题意；
C. ，故C计算错误，不符合题意；
D. ，故D计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加法、二次根式的乘法、二次根式的除法，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键．
7．下列图象中不可能是一次函数的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查一次函数的图象，解答此题的关键是根据各选项列出一元一次不等式组，求出无解的一组．
【详解】解：A、由函数图象可知，解得；
B、由函数图象可知，解得；
C、由函数图象可知，解得，，无解；
D、由函数图象可知，解得．
故选：C．
8．如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端和，然后把中点向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知的长度，根据点是的中点，可知是等腰三角形，根据平面直角坐标系的特点，可得，根据勾股定理可求出，由此即可求解．
【详解】解：根据题意可知，，，
∵点是的中点，
∴是等腰三角形，，，
根据平面直角坐标系的特点可知，，
∴在，，
∴，
∴橡皮筋被拉长了，
故选：．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握平面直角坐标系的特点，等腰三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键．
9．如图①，在长方形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么当时，点R应运动到（ ）
A．点Q处 B．点P处 C．点N处 D．点M处
【答案】A
【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
【详解】解：当点R运动到PQ上时，△MNR的面积y达到最大，且保持一段时间不变；
到Q点以后，面积y开始减小；
故当x=9时，点R应运动到Q处．
故选：A．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象问题，有一定难度，注意要仔细分析．
10．如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点A、B是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段长的最大值是( )

A． B． C． D．8
【答案】B
【分析】取的中点E，连接，则，根据正方形的性质及勾股定理得出，，结合图形得出当点E在线段上时，线段的长最大，即可求解．
【详解】解：如图，取的中点E，连接，则，

∵四边形是正方形，边长为4，
∴，则，
在中，，由勾股定理，得，
∵在中， ，点E是斜边的中点，
∴，
由图可知：，当点E在线段上时，线段的长最大，最大值是，
故选B．
【点睛】题目主要考查正方形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理解三角形及三角形三边关系，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（共15分）
11．函数y=中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x＞2
【详解】解：根据题意得，x﹣2≥0且x﹣2≠0，解得x＞2．
故答案为x＞2．
【点睛】本题考查函数自变量的取值范围．
12．甲、乙两同学参加跳远训练，在相同条件下各跳了6次，统计两人的成绩得；平均数x甲＝x乙，方差S2甲＜S2乙，则成绩较稳定的是 （填甲或乙）
【答案】甲
【分析】本题需先根据方差表示的意义和甲、乙两位同学的方差大小即可得出成绩较稳定的同学是谁．
【详解】解：因为 ，方差S甲2＜S乙2，
所以成绩较稳定的同学是甲，
故答案为甲．
【点睛】本题主要考查了方差的有关概念和计算方法，解题时要能结合实际问题得出结论是本题的关键．
13．将直线y=2x向下平移2个单位，所得直线的函数表达式是 ．
【答案】y=2x﹣2．
【详解】解：根据一次函数的平移，上加下减，可知一次函数的表达式为y=2x-2.
14．如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交于点D，则的长是 ．
【答案】
【分析】连接，得垂直平分线段，推出，设，在中，，根据构建方程即可解决问题．
【详解】解：连接．
∵，，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
设，则，
在中，，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
15．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=BD
其中正确结论的为 （请将所有正确的序号都填上）．
【答案】①③④
【分析】根据已知先判断△ABC≌△EFA，则∠AEF=∠BAC，得出EF⊥AC，由等边三角形的性质得出∠BDF=30°，从而证得△DBF≌△EFA，则AE=DF，再由FE=AB，得出四边形ADFE为平行四边形而不是菱形，根据平行四边形的性质得出AD=4AG，从而得到答案．
【详解】解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC=60°，AE=AC，
∵∠BAC=30°，
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，
∵F为AB的中点，
∴AB=2AF，
∴BC=AF，
∴△ABC≌△EFA，
∴FE=AB，
∴∠AEF=∠BAC=30°，
∴EF⊥AC，故①正确，
∵EF⊥AC，∠ACB=90°，
∴HF∥BC，
∵F是AB的中点，
∴HF=BC，
∵BC=AB，AB=BD，
∴HF=BD，故④说法正确；
∵AD=BD，BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
∴AE=DF，
∵FE=AB，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∵AE≠EF，
∴四边形ADFE不是菱形；
故②说法不正确；
∴AG=AF，
∴AG=AB，
∵AD=AB，
则AD=4AG，故③说法正确，
故答案为①③④．
三、解答题（共75分）
16．（5分）计算：．
【答案】
【分析】先计算二次根式的乘除法，然后计算二次根式的加减运算即可．
【详解】原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17．（5分）如图，在中，点分别在，上，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质及判定，根据四边形是平行四边形，得出，，由，从而可得到，再根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形推出是平行四边形，得出结论．
【详解】证明：四边形是平行四边形
，
四边形是平行四边形
．
18．（5分）如图，四边形ABCD中．若∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，CD＝7．AD＝24，先判断∠D是否是直角，再说明理由．
【答案】∠D是直角，理由见解析
【分析】连接AC，首先根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，即可判定∠D是直角．
【详解】解：∠D是直角，理由如下：
连接AC，如图所示：
∵AB＝20，BC＝15，∠B＝90°，
∴由勾股定理，得AC2＝202+152＝625，
又∵CD＝7，AD＝24，
∴CD2+AD2＝625，
∴AC2＝CD2+AD2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠D是直角．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，综合运用勾股定理及其逆定理，是解决问题的关键．
19．（5分）下图统计的是一个路口某时段来往车辆的车速情况，请运用你所学的统计知识，写一份简短的报告，让交警知道在这个时段，该路口来往车辆的车速情况(如最大车速，车速数据的中位数、众数、平均数等)，并对数据作一个简要分析．

【答案】见解析
【分析】分别求出这组车速数据的众数、中位数、平均数，由此即可得．
【详解】解：在这个时段，该路口来往车辆的数量为（辆），
因为52出现的次数最多，
所以车速数据的众数为52，
因为将这组数据从小到大排序后，第14个数即为中位数，
所以车速数据的中位数为52，
平均数为，
报告：由图可知，这个时段，该路口来往车辆的最低车速是，最高车速是，大部分车辆车速是．
【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数，熟练掌握众数、中位数、平均数的求解方法是解题关键．
20．（5分）已知一次函数的图象经过，两点．
(1)求此一次函数表达式；
(2)试判断点是否在此一次函数的图象上．
【答案】(1)
(2)点不在一次函数的图象上
【分析】（1）设一次函数解析式为，将点坐标代入即可求出的值，进而求解；
（2）将横坐标代入解析式，求得值，即可判断．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，
∵，在函数图象上，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：由（1）知，函数解析式为：，
∴当时，，
∴点不在一次函数的图象上．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，掌握一次函数的一般形式是解题的关键．
21．（8分）海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.62米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)17.62米
(2)7米
【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为17.62米；
（2）解：由题意得，米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∴他应该往回收线7米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
22．（8分）已知，，求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式进行计算即可；
（2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
，
∴．
（2）解：∵，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，平方差公式，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确进行计算．
23．（10分）为了丰富校园文化生活，某校八年级计划举办一场年级篮球赛．该校计划为篮球赛购置若干个篮球，经过与某体育用品经销商沟通，A型号篮球的单价比B型号的篮球单价多40元，且用1200元购买A型号篮球个数与用600元购买B型号篮球的个数相等．
(1)求A型号篮球和B型号篮球的单价分别是多少元？
(2)该体育用品店给出了两种让利活动，购买时只能选择其中一种方案．
方案一：所有商品打9折销售；
方案二：买3个A型号篮球，免费赠送1个B型号篮球（不足3个不赠送）．
若该校需要购买15个A型号篮球和个B型号篮球，则上述两种购买方案中，哪一种方案更省钱，并说明理由．
【答案】(1)型号篮球的单价为80元，则型号篮球的单价为40元
(2)当型号篮球购买15个，型号篮球购买个数为时，选择方案二购买更省钱；当型号篮球购买15个，型号篮球购买20个时，两种方案花费的钱一样多；当型号篮球购买15个，型号篮球购买个数为时，选择方案一购买更省钱．
【分析】（1）设型号篮球的单价为元，则型号篮球的单价为元，根据“用1200元购买型号篮球个数与用600元购买型号篮球的个数相等”，列出分式方程，解方程即可得到答案；
（2）先分别计算出方案一、方案二所花费的金额，分三种情况：方案一花费金额大于方案二花费金额；方案一花费金额等于方案二花费金额；方案一花费金额小于方案二花费金额，分别计算即可得到答案．
【详解】（1）解：设型号篮球的单价为元，则型号篮球的单价为元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
（元），
答：型号篮球的单价为80元，则型号篮球的单价为40元；
（2）解：根据题意可得：
方案一所花费的金额为：，
方案二所花费的金额为：，
当时，即，
解得：，
，
当型号篮球购买15个，型号篮球购买个数为时，选择方案二购买更省钱；
当时，即，
解得：，
当型号篮球购买15个，型号篮球购买20个时，两种方案花费的钱一样多；
当时，即，
解得：，
当型号篮球购买15个，型号篮球购买个数为时，选择方案一购买更省钱；
综上所述：当型号篮球购买15个，型号篮球购买个数为时，选择方案二购买更省钱；当型号篮球购买15个，型号篮球购买20个时，两种方案花费的钱一样多；当型号篮球购买15个，型号篮球购买个数为时，选择方案一购买更省钱．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，不等式的应用，读懂题意，正确列出分式方程，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，，三点，点在轴上方，点C在轴正半轴上，且，连接，，已知．

(1)求直线的表达式；
(2)求点的坐标；
(3)在线段，上分别取点，，使得轴，在轴上取一点，连接，，，是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式；
（2）根据三角形面积公式得到到的距离等于点到的距离的2倍，即点的纵坐标为4，然后利用直线的解析式计算函数值为4所对应的自变量的值，从而得到点坐标．
（3）先求出直线的表达式，再求出点的坐标为，利用等腰直角三角形构造一个关于的方程即可．
【详解】（1）解：将点，代入，得解得
线段的表达式．
（2）已知，且点在轴正半轴上，
点，，，
设点的坐标为，如解图①，过点作轴的垂线交轴于点，则，
，即，解得，
点的坐标为．

（3）存在
点的坐标为，设直线的表达式为，
将点，代入，得，解得，
直线的表达式．
已知点在线段上，设点的坐标为，则，
轴，且点在上，将代入，得，，解得．
点的坐标为，
如解图，当为直角顶点时，，，过点作轴，交于点，
易得点为的中点，且，点的坐标为，，
，
，解得，
．
点的坐标为，综上所述，点的坐标为．

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值．也考查了一次函数的性质，解题关键是分情况进行讨论．
25．（12分）如图1，在正方形中，，点在边上，连接，且，点是的中点．

(1)求的长；
(2)过点作直线，分别交，于点，，且，求的长；
(3)如图2，过点作的垂线，分别交，，于点，，，连接，求的度数．
【答案】(1)4
(2)或
(3)
【分析】（1）由得出，设，则，根据勾股定理列出方程即可求解；
（2）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和勾股定理可求解；
（3）由角平分线的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，由“”可证，可得，由平角的性质可求解．
【详解】（1）解：，
，
设，则，
在中，，
解得或（舍去），
；
（2）解：如图，过点作，交于，

∵，，
四边形是平行四边形，
，，
，
．
又，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
；
如图，过点作，交于，过点作于点，
同理可证：，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为或；
（3）解：如图，连接，过点作于点，于点，
四边形是正方形，
，
，，
，
，，
，
，
，，
∴，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加恰当的辅助线构造全等三角形．
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第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂)
第Ⅱ卷
D
F
C
A
E
B
D
C
A
B
个车辆数
10
7
8642
7
0
50
51
52
53
54
车速/(km/h
55
y
D
B
A
0
C x
A
D
A
D
A
D
D
N
R
F
M
B
E
C
B
E
C
B
E
C
B
E
C
图1
图2
备用图
备用图中小学教育资源及组卷应用平台
广东省（统考卷）2024年八年级数学期末模拟卷
（时间：120分钟 满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（共30分）
1．下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．5，12，13
3．一组数据2、2、3、4、5，则这组数据的中位数是（　　）
A．4 B．3.5 C．3 D．2
4．如图，在中，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
5．直线经过点，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下列二次根式的运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列图象中不可能是一次函数的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端和，然后把中点向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了（ ）

A． B． C． D．
9．如图①，在长方形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么当时，点R应运动到（ ）
A．点Q处 B．点P处 C．点N处 D．点M处
10．如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点A、B是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段长的最大值是( )

A． B． C． D．8
第Ⅱ卷
二、填空题（共15分）
11．函数y=中，自变量x的取值范围是 ．
12．甲、乙两同学参加跳远训练，在相同条件下各跳了6次，统计两人的成绩得；平均数x甲＝x乙，方差S2甲＜S2乙，则成绩较稳定的是 （填甲或乙）
13．将直线y=2x向下平移2个单位，所得直线的函数表达式是 ．
14．如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交于点D，则的长是_______．
15．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=BD
其中正确结论的为 （请将所有正确的序号都填上）．
三、解答题（共75分）
16．（5分）计算：．
17．（5分）如图，在中，点分别在，上，且．求证：．
18．（5分）如图，四边形ABCD中．若∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，CD＝7．AD＝24，先判断∠D是否是直角，再说明理由．
19．（5分）下图统计的是一个路口某时段来往车辆的车速情况，请运用你所学的统计知识，写一份简短的报告，让交警知道在这个时段，该路口来往车辆的车速情况(如最大车速，车速数据的中位数、众数、平均数等)，并对数据作一个简要分析．

20．（5分）已知一次函数的图象经过，两点．
(1)求此一次函数表达式；
(2)试判断点是否在此一次函数的图象上．
21．（8分）海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.62米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
22．（8分）已知，，求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
23．（10分）为了丰富校园文化生活，某校八年级计划举办一场年级篮球赛．该校计划为篮球赛购置若干个篮球，经过与某体育用品经销商沟通，A型号篮球的单价比B型号的篮球单价多40元，且用1200元购买A型号篮球个数与用600元购买B型号篮球的个数相等．
(1)求A型号篮球和B型号篮球的单价分别是多少元？
(2)该体育用品店给出了两种让利活动，购买时只能选择其中一种方案．
方案一：所有商品打9折销售；
方案二：买3个A型号篮球，免费赠送1个B型号篮球（不足3个不赠送）．
若该校需要购买15个A型号篮球和个B型号篮球，则上述两种购买方案中，哪一种方案更省钱，并说明理由．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，，三点，点在轴上方，点C在轴正半轴上，且，连接，，已知．

(1)求直线的表达式；
(2)求点的坐标；
(3)在线段，上分别取点，，使得轴，在轴上取一点，连接，，，是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）如图1，在正方形中，，点在边上，连接，且，点是的中点．

(1)求的长；
(2)过点作直线，分别交，于点，，且，求的长；
(3)如图2，过点作的垂线，分别交，，于点，，，连接，求的度数．
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