资源简介

2023- 2024学年高一下学期期末模拟
数学试卷 02
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试
卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分 (选择题 共 58分)
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1. (22- 23高一下·浙江台州·期末)复数-1- 2i在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2. (22- 23高一下·浙江嘉兴· ) 期末 已知向量 a= 3,1 ,b= -2,m ，且 a b，则实数m的值为 ( )
A. - 3 B. 3 C. - 2 D. 2
2 2 3 3
3. (22- 23高一下·山东泰安·期末)某保险公司为客户定制了 5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理
财类保险；丁，参保险种比例定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．已知
该保险公司对 5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如上统计图例，则以下四个选项错误的是 ( )

A. 18 29周岁人群参保总费用最少 B. 30周岁以下的参保人群约占参保人群的 20%
C. 54周岁以上的参保人数最少 D.丁险种更受参保人青睐
4. (21- 22高一下·山东济宁·期末)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的
是 ( )
A.若m∥ α，n α，则m∥n B.若m∥n，m⊥ α，则n⊥ α
C.若m⊥n，m∥ α，则n∥ α D.若 α⊥ β，m⊥ α，则m∥ β
5. (22- 23高一下·浙江台州·期末)已知表面积为 27π的圆锥的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径
为 ( )
A. 3 B. 3 2 C. 6 D. 4 3
·1·
6. (22- 23高一下·浙江台州·期末)我国南宋数学家秦九韶，发现了三角形面积公式，即S=
1 2c2a2- c +a
2-b2 2 ，其中 a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积.若某三角形三边 a，b，c，满足2 2
b= 1，ca= 1，则该三角形面积S的最大值为 ( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
4 4 2 2
7. (22- 23高一下·广东广州·期末)已知事件A,B,C的概率均不为 0，则P A =P B 的充要条件是
( )
A. P A∪B =P A +P B B. P A∪C =P B∪C

C. P AB =P AB D. P AC =P BC
8. (2023·河南开封·三模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，P为棱A1D1的中点，则四棱锥P-
ABCD的外接球表面积为 ( )
A. 3π B. 3π C. 41π D. 41π
2 16 64
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. (22- 23高一下·浙江嘉兴·期末)给出下列命题，其中正确的是 ( )
A.若一组数据 xi i= 1,2, ,10 的方差为 2，则 2xi-1 i= 1,2, ,10 的方差为 3
B.给定五个数据 5,4,3,1,3，则这组数据的 70%分位数是 4
C.若事件A与事件B是相互独立事件，则有P AB =P A P B
D.若事件A与事件B是对立事件，则有P A+B =P A +P B
10. (22- 23高一下·山东泰安·期末)已知函数 f x =Asin 2x+ φ (A> 0,0< φ< π)的最大值为 3，且 f x
π
的图象关于直线 x= 对称，则下列说法正确的是 ( )
6
A. π 3函数 f x 的最小正周期为 2π B. f =3 2
C. f π π π函数 x 的图象关于点 - ,0 对称 D.函数 f x 在 12 , 上单调递减6 2
11. (2023·河北唐山·二模)如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为 2，∠BAD= 60°，则 ( )
A. AB1与BC
1 3
1所成角的余弦值为 B. AB1与BC1所成角的余弦值为4 4
·2·
C. AB1与平面BCC1B
6
1所成角的正弦值为 D. AB1与平面BCC1B
10
1所成角的正弦值为4 4
第二部分 (非选择题 共 92分)
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. (21- 22高一下·广东佛山·期末)2022年 2月 20日晚，备受瞩目的第 24届冬季奥运会在北京圆满落幕．这
是一场疫情肆虐下的体育盛会，是一场团结、友谊、奋进、拼搏的盛会，是一场充分体现中华民族文化自信
的盛会．筹备期间，某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三青年志愿者
中选出 24名志愿者参与冬奥会的志愿服务工作．已知大一至大三的青年志愿者人数分别为 50，40，30，
则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派 人．
13. (22- 23 2高三下·河北衡水·阶段练习)甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为 ；若乙执黑
3
1
子先下，则乙胜的概率为 ．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛
2
两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为 ．
14. (22- 23高一下·浙江台州·期末)已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为 3，在正方体的顶点中，到平面A1
DB的距离为 3的顶点可能是 .(写出一个顶点即可)
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．
15. (22- 23高一下·贵州铜仁·期中)信阳南湾湖以源远流长的历史遗产，浓郁丰厚的民俗风情而著称；以幽、
朴、秀、奇的独特风格，山、水、林、岛的完美和谐而闻名，是融自然景观、人文景观、森林生态环境、森林保
健功能于一体，是河南省著名的省级风景区．如图，为迎接第九届开渔节，某渔船在湖面上A处捕鱼时，
天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北 θ方向上有一个小岛C可躲避恶劣天气，在小岛C的
正北方向有一航标灯D距离小岛 25海里，渔船向小岛行驶 50海里后到达B处，测得∠DBC= 45°，BD=
25 6- 2 海里．

(1)求A处距离航标灯D的距离AD；
(2)求 cosθ的值；
·3·
16. (22- 23高一下· 浙江台州·期末)已知 a，b是非零向量，① a = 3 b ；② a,b = π a ；③ - b =6 b .
(1)从①②③中选取其中两个作为条件，证明另外一个成立；(注：若选择不同的组合分别解答，则按第一
个解答计分.)

(2) 在①②的条件下， a+ b ⊥ a- λb ，求实数 λ.
17. (22- 23高一下·浙江台州·期末)第 19届亚运会将于 2023年 9月 23日至 10月 8日在杭州举行，为了弘扬
奥林匹克和亚运精神，某学校对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试.从全校学生中随
机抽取了 100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为 100分，并将这 100名同学的测试成绩分成 5
组，绘制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中 t的值，并估计这 100名学生的平均成绩；
(2)用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取 3名学生，求 3名学生中至少有 2
人成绩不低于 80分的概率.
·4·
18. (22- 23高一下·山东泰安·期末)如图，AE⊥平面ABCD，AD BC，AD⊥AB,AB=AD= 1，AE=
BC= 2,F为CE中点．

(1)求证：DF 平面EAB；
(2)求点C到平面BDE的距离．

19. (22- 23 x x高一下·山东泰安·期末)已知向量 a= 3sin ,1 ，b= cos ,cos2 x ，设 f x = a b．2 2 2
(1) 2 π若 f α = ，求 cos - α 的值；3 3
(2) 1 π将函数 y= f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度，得
2 6
到函数 y= g x 的图象，若函数 y= g x - k 0, 5 在 π 上有零点，求实数 k的取值范围．12
·5·2023- 2024学年高一下学期期末模拟
数学试卷 02
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试
卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分 (选择题 共 58分)
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1. (22- 23高一下·浙江台州·期末)复数-1- 2i在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】C
【分析】求出复数在复平面内对应的点的坐标作答.
【详解】复数-1- 2i在复平面内对应的点 (-1,-2)位于第三象限.
故选：C

2. (22- 23 高一下·浙江嘉兴·期末)已知向量 a= 3,1 ,b= -2,m ，且 a b，则实数m的值为 ( )
A. - 3 B. 3 C. - 2 D. 2
2 2 3 3
【答案】C
【分析】根据平面向量平行的坐标表示列式求解即可.
a

【详解】因为 b ，且 a= 3,1 ,b= -2,m ，
所以 3m- 1× 2 -2 = 0，解得m=- .
3
故选：C
3. (22- 23高一下·山东泰安·期末)某保险公司为客户定制了 5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理
财类保险；丁，参保险种比例定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．已知
该保险公司对 5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如上统计图例，则以下四个选项错误的是 ( )

A. 18 29周岁人群参保总费用最少 B. 30周岁以下的参保人群约占参保人群的 20%
·1·
C. 54周岁以上的参保人数最少 D.丁险种更受参保人青睐
【答案】A
【分析】根据统计图表一一分析即可.
【详解】对于选项A，由扇形统计图及折线图可知，8%× 6000< 20%× 4000，
故不小于 54周岁人群参保总费用最少，故A错误；
对于选项B，由扇形统计图可知，30周岁以下参保人群约占参保人群的 20%，故B正确；
对于选项C，由扇形统计图可知，54周岁以上的参保人数约占 8%，人数最小，故C正确；
对于选项D，由柱状图可知，丁险种更受参保人青睐，故D正确；
故选：A．
4. (21- 22高一下·山东济宁·期末)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的
是 ( )
A.若m∥ α，n α，则m∥n B.若m∥n，m⊥ α，则n⊥ α
C.若m⊥n，m∥ α，则n∥ α D.若 α⊥ β，m⊥ α，则m∥ β
【答案】B
【分析】根据空间线面位置关系依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，若m∥ α，n α，则m∥n或异面，故A选项错误；
对于B选项，若m∥n，m⊥ α，则n⊥ α，故B选项正确；
对于C选项，若m⊥n，m∥ α，则n α或n α或相交，故C选项错误；
对于D选项，若 α⊥ β，m⊥ α，则m∥ β或m β，故D选项错误；
故选：B
5. (22- 23高一下·浙江台州·期末)已知表面积为 27π的圆锥的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径
为 ( )
A. 3 B. 3 2 C. 6 D. 4 3
【答案】A
【分析】根据题意结合圆锥侧面展开图的性质列式求解.
【详解】设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，
2
πr +πrl= 27π由题意可得
r= 3
2πr= 1 ，解得 .2 × 2πl l= 6
故选：A.
6. (22- 23高一下·浙江台州·期末)我国南宋数学家秦九韶，发现了三角形面积公式，即S=
1 2 2 2 2c2a2- c +a -b ，其中 a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积.若某三角形三边 a，b，c，满足2 2
b= 1，ca= 1，则该三角形面积S的最大值为 ( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
4 4 2 2
【答案】B
【分析】把给定数据代入公式，再利用均值不等式求解作答.
1 c2+a2 2 1【详解】依题意，S= 1- -1 ≤ 1- 2ca- 1
2
= 3 ，当且仅当 c= a= 1时取等号，2 2 2 2 4
3
所以该三角形面积S的最大值为 .
4
·2·
故选：B
7. (22- 23高一下·广东广州·期末)已知事件A,B,C的概率均不为 0，则P A =P B 的充要条件是
( )
A. P A∪B =P A +P B B. P A∪C =P B∪C

C. P AB =P AB D. P AC =P BC
【答案】C
【分析】根据和事件的概率公式、积事件的概率公式以及相互独立事件的概率公式逐项分析即可.
【详解】因为P A∪B =P A +P B -P A∩B ，
由P A∪B =P A +P B ，
只能得到P A∩B = 0，并不能得到P A =P B ，
故A错误；
因为P A∪C =P A +P C -P A∩C ，
P B∪C =P B +P C -P B∩C ，
又P A∪C =P B∪C ，
所以P A -P A∩C =P B -P B∩C ，
由于无法确定事件A,B,C是否相互独立，
故无法确定P A =P B ，故B选项错误；

因为P AB =P A -P AB ，P AB =P B -P AB ，

又P AB =P AB ，所以P A =P B ，
故C正确；
对于D，由于不能确定A,B,C是否相互独立，
若A,B,C相互独立，则P AC =P A P C ，P BC =P B P C ，
则由P AC =P BC 可得P A =P B ，
故P AC =P BC 无法确定P A =P B ，
故D错误；
故选：C.
8. (2023·河南开封·三模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，P为棱A1D1的中点，则四棱锥P-
ABCD的外接球表面积为 ( )
A. 3π B. 3π C. 41π D. 41π
2 16 64
【答案】C
【分析】分别取三角形PAD，四边形ABCD 5的外心O1，O2，利用正弦定理得到O1P= ，即可得到OO2=8
3 OC= 41，然后利用勾股定理得到 ，最后根据球的表面积公式求表面积即可.
8 8
·3·
【详解】
设四棱锥P-ABCD的外接球球心为O，取AD中点E，连接PE，取三角形PAD，四边形ABCD的外心
O1，O2，连接OO1，OO2，EO2，O2C，OC，
2 5 2
因为正方体的棱长为 1，点P为中点，所以PA=PD= 1+ 1 = ，PE= 1，O C= ，2 2 2 2
5
sin∠PAD= sin∠APA = 1 = 2 O P= 1 PD = 1 × 2 = 5 O E=OO = 1- 5 31 ， ， = ，5 15 2 sin∠PAD 2 2 8 1 2 8 8
2 5
所以OC= OO2+O C2= 3
2 2 2
2 2 + 2 = 41 41 41π，外接球的表面积S= 4π×8 2 8 8 = .16
故选：C.
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. (22- 23高一下·浙江嘉兴·期末)给出下列命题，其中正确的是 ( )
A.若一组数据 xi i= 1,2, ,10 的方差为 2，则 2xi-1 i= 1,2, ,10 的方差为 3
B.给定五个数据 5,4,3,1,3，则这组数据的 70%分位数是 4
C.若事件A与事件B是相互独立事件，则有P AB =P A P B
D.若事件A与事件B是对立事件，则有P A+B =P A +P B
【答案】BCD
【分析】根据方差公式可求解选项A，利用百分位数的定义可求解选项B，根据独立事件的概率乘法公式求
解选项C，根据事件的对立关系可求解选项D.
【详解】对A，若一组数据 xi i= 1,2, ,10 的方差为 2，
则 2xi-1 i= 1,2, ,10 的方差为 22× 2= 8，A错误；
对B，给定五个数据 5,4,3,1,3，由小到大排列为 1,3,3,4,5，
5× 0.7= 3.5，则这组数据的 70%分位数是第 4个数为 4，B正确；
对C，若事件A与事件B是相互独立事件，则有P AB =P A P B ，C正确；
对D，若事件A与事件B是对立事件，则P(AB) = 0,
则有P A+B =P A +P B -P(AB) =P A +P B ,D正确，
故选:BCD.
10. (22- 23高一下·山东泰安·期末)已知函数 f x =Asin 2x+ φ (A> 0,0< φ< π)的最大值为 3，且 f x
π
的图象关于直线 x= 对称，则下列说法正确的是 ( )
6
A.函数 f π x 的最小正周期为 2π B. f 3 =
3
2
C.函数 f π x 的图象关于点 - ,0 对称 D.函数 f π x 在 , π 12 6 2 上单调递减
【答案】BCD
·4·
【分析】根据函数的性质求出A、φ，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.
【详解】因为 f x =Asin 2x+ φ (A> 0,0< φ< π)的最大值为 3，所以A= 3，
又 f x
π π π
的图象关于直线 x= 对称，所以 2× + φ= + kπ，k∈ Z π，所以 φ= + kπ，k∈ Z，
6 6 2 6
因为 0< φ< π，所以 φ= π，所以 f x = 3sin 2x+ π 2π，则函数 f x 的最小正周期T= = π，故A错6 6 2
误；
f π = 3sin 2× π + π = 3sin π + π3 3 6 2 3 = 3cos
π = 3 ，故B正确；
3 2
f - π = 3sin - π + π = 3sin0= 0 π，所以 f x 关于12 6 6 - ,0 对称，故C正确；12
x∈ π , π 2x+ π ∈ π , 7π π 3π当 ，则 ，因为 y= sinx在
,
6 2 6 2 6 2 2
上单调递减，
π π
所以函数 f x 在 , 6 2 上单调递减，故D正确；
故选：BCD
11. (2023·河北唐山·二模)如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为 2，∠BAD= 60°，则 ( )
A. AB 1 31与BC1所成角的余弦值为 B. AB1与BC1所成角的余弦值为4 4
C. AB BCC B 6 D. AB BCC B 101与平面 1 1所成角的正弦值为 1与平面 1 1所成角的正弦值为4 4
【答案】BC
【分析】证明∠B1AD1是异面直线AB1与BC1所成角或其补角，求出其余弦值，作AE⊥BC于E，证明
∠AB1E是AB1与平面BCC1B1所成角，然后求出其正弦值．
【详解】连接AD1,B1D1，
直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,由AB与C1D1平行且相等得平行四边形ABC1D1，从而AD1 BC1，∠B1
AD1是异面直线AB1与BC1所成角或其补角，
又由已知易得AB1=AD1= 2 2，B1D1= 2，
cos∠B AD = 8+ 8- 41 1 = 3 ，
2× 2 2 × 2 2 4
所以AB1与BC
3
1所成角的余弦值为 ，A错B正确；4
作AE⊥BC于E，连接EB1，
因为平面BCC1B1⊥平面ABCD，平面BCC1B1∩平面ABCD=BC，AE 平面ABCD，
所以AE⊥平面BB1C1C，从而可得AE⊥B1E(因为EB 平面BB1C1C)，
则∠AB1E是AB1与平面BCC1B1所成角，
由∠BAD= 60°得∠ABE= 60°，AE=ABsin60° = 3，
·5·
sin∠AB1E= AE = 3 = 6 ，AB1 2 2 4
C正确，D错误．
故选：BC．
第二部分 (非选择题 共 92分)
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. (21- 22高一下·广东佛山·期末)2022年 2月 20日晚，备受瞩目的第 24届冬季奥运会在北京圆满落幕．这
是一场疫情肆虐下的体育盛会，是一场团结、友谊、奋进、拼搏的盛会，是一场充分体现中华民族文化自信
的盛会．筹备期间，某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三青年志愿者
中选出 24名志愿者参与冬奥会的志愿服务工作．已知大一至大三的青年志愿者人数分别为 50，40，30，
则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派 人．
【答案】10
【分析】根据分层抽样按比例抽取计算即可
50
【详解】由题意，在大一青年志愿者中应选派 24× + + = 10人50 40 30
故答案为：10
13. (22- 23高三下·河北衡水· 2阶段练习)甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为 ；若乙执黑
3
1
子先下，则乙胜的概率为 ．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛
2
两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为 ．
41
【答案】
72
【分析】分两种情况讨论：(1)第一局甲胜，第二局乙胜：(2)第一局乙胜，第二局甲胜.分析出每局输赢的情
况，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】分两种情况讨论：
(1)第一局甲胜，第二局乙胜：
2 1
若第一局甲执黑子先下，则甲胜第一局的概率为 ，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为 ，
3 2
1 1
若第一局乙执黑子先下，则甲胜第一局的概率为 ，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为 ，
2 2
1 2 1 1 1 1 7
所以，第一局甲胜，第二局乙胜的概率为P1= × × + × × = ；2 3 2 2 2 2 24
(2)第一局乙胜，第二局甲胜：
1 2
若第一局甲执黑子先下，则乙胜第一局的概率为 ，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为 ，
3 3
·6·
1 2
若第一局乙执黑子先下，则乙胜第一局的概率为 ，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为 ，
2 3
1 1 2 1 1 2 5
所以，第一局乙胜，第二局甲胜的概率为P2= × × + × × = .2 3 3 2 2 3 18
7 5 41
综上所述，甲、乙各胜一局的概率为 + = .
24 18 72
41
故答案为： .
72
14. (22- 23高一下·浙江台州·期末)已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为 3，在正方体的顶点中，到平面A1
DB的距离为 3的顶点可能是 .(写出一个顶点即可)
【答案】A(A，C，B1，D1任填一个即可)
【分析】根据题意结合等体积法求点到面的距离以及面面平行的性质分析判断.
【详解】显然A1,D,B在平面A1DB内，不合题意，
设点A到平面A1DB的距离为 d，可知A1B=A1D=BD= 3 2，
V 1 1 3 1 1因为 A-A =V ，则 d× × 3 2 × 3 2 × = × 3× × 3× 3，解得 d= 3，1DB A1-ADB 3 2 2 3 2
设AC∩BD=O，即AC∩平面A1DB=O，且O为AC的中点，
所以点C到平面A1DB的距离为 d= 3，
可证平面A1DB 平面CD1B1，则平面AD1B1上任一点到平面A1DB的距离为 d= 3，
所以C，B1，D1符合题意，
由图易知点C1到面A1DB的距离大于 d= 3，
综上所述：平面A1DB的距离为 3的顶点有且仅有A，C，B1，D1.
故答案为：A(A，C，B1，D1任填一个即可).

四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．
15. (22- 23高一下·贵州铜仁·期中)信阳南湾湖以源远流长的历史遗产，浓郁丰厚的民俗风情而著称；以幽、
朴、秀、奇的独特风格，山、水、林、岛的完美和谐而闻名，是融自然景观、人文景观、森林生态环境、森林保
健功能于一体，是河南省著名的省级风景区．如图，为迎接第九届开渔节，某渔船在湖面上A处捕鱼时，
天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北 θ方向上有一个小岛C可躲避恶劣天气，在小岛C的
正北方向有一航标灯D距离小岛 25海里，渔船向小岛行驶 50海里后到达B处，测得∠DBC= 45°，BD=
25 6- 2 海里．

(1)求A处距离航标灯D的距离AD；
·7·
(2)求 cosθ的值；
【答案】(1)50 2(海里)
(2) 3- 1
【分析】(1)在△ABD中利用余弦定理即可求解AD；
(2)在△BCD中利用正弦定理即可求解 cosθ；
【详解】(1) ∵AB= 50，BD= 25 6- 2 ，∠DBC= 45°，
∴在△ABD中由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB BDcos135°，
= 502+ 25 6- 2 2-2× 50× 25 6- 2 × - 2 = 50002
∴AD= 50 2(海里)．
(2) ∵∠BCD= 90° +θ BD，由正弦定理得 = DC ，
sin 90° +θ sin45°
∴ cosθ= sin 90° +θ = BDsin45° = 3- 1．
DC

16. (22- 23 π 高一下·浙江台州·期末)已知 a，b是非零向量，① a = 3 b ；② a,b = ；③6 a- b = b .
(1)从①②③中选取其中两个作为条件，证明另外一个成立；(注：若选择不同的组合分别解答，则按第一
个解答计分.)

(2) 在①②的条件下， a+ b ⊥ a- λb ，求实数 λ.
【答案】(1)证明见解析；
(2) 9 .
5
【分析】(1)选择①②，选择①③，选择②③，利用平面向量数量积的定义、运算律推理作答.
(2)利用垂直关系的向量表示，平面向量数量积的定义、运算律求解作答.

【详解】( ) 2 21 选①②：若 a = 3 b ， a ,b = π ，则 a- b = a - b = a -2a b+ 2b6

= 2
2
3 b -2 3 b cos π + 2b = b ，所以③成立.6
2 2
选①③：由 a- b = b ，得 a -2a b+ b = 2b ，而 a = 3 b > 0，则 3 b 2-2 3 2b cos a ,b = 0，

即 cos a ,b = 3 ，又 0≤ a ,b ≤ π，所以 a ,b = π，②成立.
2 6
2 2
2 2
选②③：由 a - b = b ，得 a -2a b+ b = b ，而 a,b = π，则 a -2 a b cos π = 0，6 6
2
整理得 a - 3 a b = 0 |a ，而 | > 0 ，所以 a = 3 b ，①成立.

(2)由 a + b ⊥ a - λb ，得 a+ b a - λb = 2 20 ，a + 1- λ a b- λb = 0，
a

而 = 3 b ， a,b = π 2 2 3 2，因此 3 b + 1- λ 3 b - λ b = 0，又 |b| > 0，6 2
所以 λ= 9 .
5
17. (22- 23高一下·浙江台州·期末)第 19届亚运会将于 2023年 9月 23日至 10月 8日在杭州举行，为了弘扬
奥林匹克和亚运精神，某学校对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试.从全校学生中随
机抽取了 100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为 100分，并将这 100名同学的测试成绩分成 5
组，绘制成了如图所示的频率分布直方图.
·8·

(1)求频率分布直方图中 t的值，并估计这 100名学生的平均成绩；
(2)用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取 3名学生，求 3名学生中至少有 2
人成绩不低于 80分的概率.
【答案】(1)t= 0.025，74分
(2)0.352
【分析】(1)根据频率和为 1求 t的值，再根据平均数公式运算求解；
(2)根据独立事件概率乘法公式运算求解.
【详解】(1)由频率分布直方图可得每组的频率依次为 0.15,10t,0.2,0.35,0.05，
则 0.15+ 10t+ 0.2+ 0.35+ 0.05= 1 0.25，解得 t= = 0.025，
10

设平均成绩的估计值为 x，
则 x = 55× 0.15+ 65× 0.25+ 75× 0.2+ 85× 0.35+ 95× 0.05= 74(分)，
所以这 100名学生的平均成绩估计值为 74分.
(2)每个学生成绩不低于 80分的概率为 0.4.
3名学生中恰有 2人成绩不低于 80分的概率P1= 3× 0.42× 1- 0.4 = 0.288；
3名学生中恰有 3人成绩不低于 80分的概率P= 0.432 = 0.064；
3名学生中至少有 2人成绩不低于 80分的概率P=P1+P2= 0.352.
18. (22- 23高一下·山东泰安·期末)如图，AE⊥平面ABCD，AD BC，AD⊥AB,AB=AD= 1，AE=
BC= 2,F为CE中点．

(1)求证：DF 平面EAB；
(2)求点C到平面BDE的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2) 4
3
【分析】(1)取BE的中点G，连接AG、FG，即可得到四边形ADFG为平行四边形，从而得到AG FD，
即可得证；
·9·
(2)利用等体积法求出点到平面的距离.
【详解】(1)取BE的中点G，连接AG、FG，因为F为CE中点，
所以GF BC且GF= 1 BC，又AD BC，AD= 1，BC= 2，
2
即AD BC且AD= 1 BC，
2
所以AD GF且AD=GF，
所以四边形ADFG为平行四边形，
所以AG FD，
又AG 平面EAB，DF 平面EAB，所以DF 平面EAB.

(2)因为AD⊥AB，AD BC，所以AB⊥BC，
所以S 1△BCD= × 2× 1= 1，2
又AE⊥平面ABCD，所以V 1 2E-BCD= × 2× 1= ，3 3
因为AD⊥AB，AD=AB= 1，所以BD= AD2+AB2= 2，
由AE⊥平面ABCD，AB,AD 平面ABCD，所以AE⊥AB，AE⊥AD，
又EA= 2，AD=AB= 1，
所以EB=ED= 22+12= 5，
2
所以S 1△BED= × 2 × 5 2- 22 2 =
3
，
2
设点C到平面BDE的距离为 h 1 3 2，则VC-BDE=VE-BCD= × h= ，3 2 3
4
解得 h= .
3

19. (22- 23高一下· · x x x 山东泰安 期末)已知向量 a= 3sin ,1 ，b= cos ,cos2 ，设 f x = a b．2 2 2
(1)若 f α = 2 ，求 cos π - α3 3 的值；
(2)将函数 y= f x 1 π 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度，得
2 6
到函数 y= g x 的图象，若函数 y= g x - k 0, 5 在 π 上有零点，求实数 k的取值范围．12
1
【答案】(1)
6
(2) 0,
3
2
【分析】(1) 2根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得 f x 的表达式，结合 f α = 可得
3
sin α+ π = 1 ，利用诱导公式化简求值，即得答案.6 6
(2)根据三角函数图像的变换规律可得 y= g x 的表达式，结合 x的范围求得 y= g x 的值域，即可求得
·10·
答案.

(1) f x = a b= 3sin x cos x + cos2 x【详解】 由题意得
2 2 2
= 3 sinx+ 1+ cosx = sin x+ π + 1 ，2 2 6 2
由 f 2 α = ，得 sin α+ π + 1 = 2 ，即 sin α+ π = 1 ，3 6 2 3 6 6
cos π - α = cos π - α+ π故 3 2 6
π 1
= sin α+ = .6 6
(2)由题意得 g x = sin 2 x- π + π + 1 = sin 2x- π + 1 ，6 6 2 6 2
因为 x∈ 0, 5 π π π 2 ，故 2x- ∈
- , π ，
12 6 6 3
π
所以 sin 2x- ∈ 1 - ,1 3 ，故 g(x) ∈ 0, ，6 2 2
故函数 y= g x - k在 0,
5 π
3上有零点时，实数 k的取值范围为
12
0,
2
.
·11·

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