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专题01:平面向量知识精讲与过关练习-2023-2024学年数学高一下学期期末复习专题苏教版（2019）
知识精讲
1、与的数量积(或内积)
2、平面向量的坐标运算
(1)设A，B,则.
(2)设=,=，则=.
(3)设=，则
3、两向量的夹角公式
设=,=，且，则
(=,=).
4、向量的平行与垂直
设=,=，且
.
.
平面向量的坐标运算
(1)设=,=，则+=.
(2)设=,=，则-=.
(3)设A，B,则.
(4)设=，则=.
(5)设=,=，则·=.
过关练习
一、单选题
1．向量，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，在边上，且是边上任意一点，与交于点，若，则（ ）
A． B． C．3 D．-3
6．已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则（ ）
A． B． C． D．1
7．已知是两个不共线的向量,，若与是共线向量，则实数的值为（ ）
A． B．6 C． D．
8．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，E为的中点，则（ ）

A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列说法中错误的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则 D．
10．如图，在梯形中，，点是的中点，点是上靠近点的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知是边长为2的等边三角形，分别是上的两点，且，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．在方向上的投影向量的模长为
三、填空题
12．向量化简后等于
13．如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域市民健身用地，为提高安全性，拟在点处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角始终为（其中，分别在边，上），则的取值范围 .
14．如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为 .
四、解答题
15．已知向量，且．
(1)求向量与的夹角；
(2)求的值；
(3)若向量与互相垂直，求k的值．
16．如图，在四边形ABCD中，，且，若P，Q为线段AD上的两个动点，且.

(1)当为AD的中点时，求CP的长度；
(2)求的最小值.
17．如图，在中，，点E为中点，点F为上的三等分点，且靠近点C，设.

(1)用表示；
(2)如果，且，求.
18．已知平面上不共线的三点，且，是的中点.
(1)若，求的余弦值；
(2)若是线段上任意一点，且，求的最小值；
(3)若是内一点，且，求的最小值.
19．已知函数① ②. 从这两个函数中选择一个、并完成以下问题.
(1)求的解：
(2)在x轴上取两点和，设线段的中点为C，过点A，B，C分别作x轴的垂线，与函数的图象交于，线段 中点为M.
（i）求
（ii）判断 与的大小.并说明理由.
参考答案：
1．D
【分析】运用平面向量垂直及数量积坐标运算即可.
【详解】由于向量，且，则，解得
故选：D
2．C
【分析】根据平面向量的加法减法运算法则即可求解.
【详解】由题图可知，.
故选：C.
3．C
【分析】由题意可知：，根据模长关系结合数量积的运算律可得，进而可求投影向量.
【详解】由题意可知：，
因为，则，
即，可得，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故选：C.
4．A
【分析】根据即可求解.
【详解】,
因为，所以.
故选：A.
5．C
【分析】利用向量的线性运算，得，再利用平面向量基本定理，可得，然后就可得到结果.
【详解】三点共线，设，
则，
又，所以，即.
故选：C.
6．A
【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解.
【详解】，，且，
而三点共线，，即，
，
所以.
故选：A.
7．A
【分析】根据题意，得到，列出方程组，即可求解.
【详解】由向量，可得，
可得，解得.
故选：A.
8．A
【分析】作于点，设，由直角三角形求得，再根据向量分解（或向量的线性运算）得结论．
【详解】作于点，则，设，
由已知，，即，
所以，，则，，
所以，
故选：A．

9．ABC
【分析】与任意向量都是平行的，即可判断A；向量不满足结合律，即可判断B；向量不满足消去律，即可判断C；向量满足完全平方公式，即可判断D.
【详解】A：当时，与关系不确定，故A错误；
B：两个向量之积为常数，的方向不一定相同，故B错误；
C：当时，得，不一定有，故C错误；
D：向量满足完全平方公式，故D正确.
故选：ABC.
10．BCD
【分析】根据已知条件结合平面向量基本定理逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为在梯形中，，点是的中点，
所以，所以A错误；
对于B，因为点是上靠近点的三等分点，
所以，所以B正确；
对于C，由选项AB可知，，
所以，所以C正确；
对于D，因为点是上靠近点的三等分点，
所以，所以D正确.
故选：BCD.
11．BD
【分析】利用题设条件建立直角坐标系，写出相关点坐标，求出相关向量坐标，利用向量坐标的加减法和数乘积运算，依次检验A,B,C项，利用投影向量的模的定义表达式检验D项即得.
【详解】
由题意可知：为中点，则，
以为原点，分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以，，
设
由，可得，
即是中点，，故选项正确；
，故选项错误；
又因为则，故选项错误；
易知在方向上的投影向量的模长为，故选项D正确．
故选：BD.
12．
【分析】直接根据向量的加法法则写出结果即可.
【详解】由向量加法的运算法则，可得
.
故答案为：
13．
【分析】设，可得,，以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立坐标系,然后求出的坐标,结合数量积的运算和对勾函数的性质求解.
【详解】设,
则，.
以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立坐标系,
则，,
所以.
令，，则，.
由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，
所以.
又，所以在上的值域为，
所以.
故答案为:.
14．
【分析】借助于正方形建系，利用平面向量数量积的几何意义，找到使在方向上的投影向量的数量最大和最小的点即得的取值范围.
【详解】
如图，以点为原点，分别以所在直线为轴建立坐标系.
因，
而表示在方向上的投影向量的数量，
由图不难发现，设过正方形的中心作与轴平行的直线与左右两个半圆分别交于点，
则当点与点重合时，投影向量的数量最大，当点与点重合时，投影向量的数量最小.
易得，则的最大值为6，最小值为，
故.
故答案为：.
15．(1)
(2)4
(3)或
【分析】（1）由向量模的坐标运算得出，再根据向量数量积的定义及运算律求解即可；
（2）由及已知条件，代入计算即可；
（3）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可．
【详解】（1）由得，，设向量与的夹角为，
，解得，
所以向量与的夹角．
（2）．
（3）由向量与互相垂直得，，
所以，即，解得或．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，结合向量的几何意义和数量积的定义即可求解；
（2）设（），根据平面向量的线性运算可得，，利用数量积的运算律可得，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）由，得，
因为，所以，
又，
所以；
（2）设，，
则，
，
所以
，
当时，取到最小值，且为.
17．(1)，
(2)
【分析】（1）结合图形，利用向量加，减，和数乘，即可用基底表示向量；
（2）由，可得，从而可得，结合已知可得，最后利用数量模的运算公式结合数量积的运算律求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，
；
（2）因为，所以，
所以，由，可得，
又，所以，
所以.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）建立平面直角坐标系，分别写出点的坐标，再根据平面向量内积的定义即可求解.
（2）先求解的坐标表示，再结合二次函数的最值求解的最小值.
（3）先求解的坐标表示，再结合基本不等式求解的最小值.
【详解】（1）依题意，以点为坐标原点，所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同，
所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同，建立平面直角坐标系，如图所示：
令，则，，，所以，，
，，
，，
，
所以.
（2）依题意，以点为坐标原点，所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同，
所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同，建立平面直角坐标系，如图所示：
因为，所以，，，
因为直线的斜率为，
所以直线的方程为，
因为是线段上任意一点，
所以设，，
，，
，
因为，
所以当且仅当时，的最小值为.
（3）设，则，如图所示：
因为，
所以，得，
因为，
所以，得，
所以
，
当且仅当，
即时，取得最小值36，
.
19．(1)选择函数；选择函数；
(2)（i）选择函数；选择函数；（ii），理由见解析
【分析】（1）根据解析式代入运算求解；
（2）根据题意，求出的坐标，根据向量模的坐标公式运算判断.
【详解】（1）选择①，.
选择②，.
（2）选择①，线段的中点为C为，分别为，，，线段中点M 为 ，
；

所以，
所以 即.
选择②，线段的中点为C为，分别为，，,
线段中点M 为，
；
，又 ，
所以 即.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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