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专题03:解三角形知识精讲与过关练习-2023-2024学年数学高一下学期期末复习专题苏教版（2019）
知识精讲
1.正弦定理 ：（R为外接圆的半径）.
2.余弦定理
;;.
3.面积定理
（1）（分别表示a、b、c边上的高）.
（2）.
4、三角形内角和定理
在△ABC中，有
.
过关练习
一、单选题
1．在中，，，，则（ ）
A． B． C．7 D．13
2．在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．某工业园区有、、共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区内选择处建一仓库，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．设的面积为，若，则角（ ）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，边上的高等于，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，内角所对的边分别为，若，，则（ ）
A． B． C．1 D．
7．如图，在中，，，，半圆在内，圆心为，半圆的直径刚好在AC上，弧形部分与AB，BC相切，切点分别为和，在半圆的圆弧部分（含端点）上有一点，且，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
8．在中，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．或
二、多选题
9．的内角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的有（ ）
A．若，，，则符合条件的只有一解
B．若，，，则符合条件的只有一解
C．若，，，则符合条件的无解
D．若，且符合条件的有二解，则的取值范围为
10．在中，角的对边分别是，若，，则（ ）
A． B．
C． D．的面积为
11．南宋数学家秦九昭在《数书九章》中指出：三斜求积术，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅.开平方得积可用公式（其中为三角形的三边和面积）表示.在中，分别为角所对的边，若，且，则下列命题正确的是（ ）
A．的面积的最大值是 B．
C． D．的面积的最大值是
三、填空题
12．已知三边上的高分别为、、，且，则此三角形最大角的余弦值为 .
13．三内角，，所对边的长分别为，，，设向量，，若，则角的大小为 .
14．《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度．把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B，测得，在点A处测得点C，D的仰角分别为，，在点B处测得点D的仰角为，则塔高CD为 m．
四、解答题
15．已知的三个内角所对的边分别为，满足．
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围．
16．在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角；
(2)若为的中点，且，求.
17．在凸四边形中，.
(1)若四点共圆，，求四边形的面积：
(2)若，求的值.
18．如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知，且．
(1)求的值；
(2)求的面积；
(3)设点分别为边上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围．
19．2024年是上海浦东开发开放34周年，浦东始终坚持财力有一分增长，民生有一分改善，全力打造我国超大城市的民生样板，使寸土寸金的商业用地变身“城市绿肺”，老码头、旧仓库变身步行道、绿化带等.现有一足够大的老码头，计划对其进行改造，规划图如图中五边形所示，线段处修建步行道，为等腰三角形，且，，，.
(1)求步行道的长度；
(2)若沿海的区域为绿化带，，，当绿化带的面积最大时，求该绿化带的周长与面积.
参考答案：
1．A
【分析】利用余弦定理求解可得.
【详解】由余弦定理可得，
所以.
故选：A
2．D
【分析】利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换公式得到，从而，再由正弦定理将边化角，转化为的三角函数，由的范围计算可得.
【详解】因为，则由正弦定理得，
又，
所以，
则，
又，，则
所以或，即或（舍去），
则，
所以，解得，则，
所以
，
所以的取值范围是．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是利用正弦定理将边化角，得到、，最后将转化为关于的三角函数.
3．B
【分析】设，，利用正弦定理得到，再在中利用余弦定理得到，再由三角恒等变换公式及三角函数的性质求出，即可得解.
【详解】法一：设，，
则，，
在中由正弦定理，即，
所以，
在中，
（其中），
所以当时，所以最小值为．
法二：如图，因为，所以点在如图所示的圆上，
圆的直径为，
由圆周角的性质可得，所以，．
连接，可得（当为与圆的交点时取等号）．
在中，，，，
根据余弦定理可知，
即，所以的最小值为．
故选：B
4．B
【分析】由面积公式及数量积的定义求出，即可得解.
【详解】由，得，即，
因为，所以，
因为，所以．
故选：B．
5．D
【分析】在中，利用已知求出即可判断为的中点，然后可知为等腰三角形，可得，然后可得，或用余弦定理求解.
【详解】作，垂足为D，
在中，，，
所以，，，，
由可知，为的中点，为的垂直平分线，
所以为等腰三角形，，所以.
故选：D
6．C
【分析】根据正弦定理计算可得，代入式子即可求解.
【详解】由，得，
所以．
故选：C．
7．C
【分析】根据三角形的边角关系以及相切可得半径，即可建立直角坐标系，利用坐标运算，可得，即可利用三角函数的性质求解.
【详解】由，，可得,
故，
由于,,所以,故半径，
以为轴，过作，建立如图所示的直角坐标系，
,
设，则
，
由于，所以，
故，两式相减可得，
故，
由于，故，
故选：C

8．A
【分析】先利用余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可得解.
【详解】在中，若，，，
由余弦定理得，
即，解得（舍去），
所以.
故选：A.
9．BCD
【分析】根据正弦定理以及三角形的边角关系即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，由正弦定理得，则，显然角不存在，A错误；
对于B，由正弦定理得，所以，
因为，所以，故唯一，为锐角，所以B正确，
对于C，由得，而，此时三角形显然不存在，C正确；
若，且符合条件的有两解，则,故，D正确，
故选：BCD．
10．AC
【分析】根据及余弦定理可判断A；根据及正弦定理可判断B；由的值及同角三角函数的基本关系可求，，根据正弦定理求出，代入求出可判断C；根据三角形面积公式可判断D.
【详解】由余弦定理可得，解得，故A正确；
由及正弦定理，可得,
化简可得.
因为，所以，所以，即.
因为，所以，故B错误；
因为，所以且，代入，
可得，解得，.
因为，，，
所以由正弦定理可得，
由，可得，
化简可得，解得或（舍），故C正确；
.
故选:AC.
11．BD
【分析】化简，利用两角和的正弦公式，判断选项B；利用题中所给面积公式并结合二次函数性质可得面积最大值，判断选项A，D；假设，结合面积公式推出矛盾，判断选项C.
【详解】由题意，得，即，所以，故B正确；
由可得，，
所以当，即时，的面积最大，最大值是，所以A错误，D正确；
对于C，假设，由于，，故，
则，这与题中三角形面积公式有意义不相符，所以C错误.
故选：BD.
12．
【分析】利用三角形面积公式，将高之比转化为对应边长之比，利用余弦定理即可求得.
【详解】因的面积，则，故，
显然角为最大角，不妨设（），则，
由余弦定理，.
故答案为：.
13．/
【分析】先利用向量共线的坐标运算得，然后利用余弦定理即可求出角.
【详解】因为，，，得，得：，
即，由余弦定理，所以.
故答案为：
14．20
【分析】确定每个角的大小，可得均为等腰三角形，在中，设，通过余弦定理计算即可.
【详解】在中，延长与的延长线交于点E，如图所示.
由题意可知，，
因为小李同学根据课本书中有一道测量山上松树高度的题目受此题启发，
所以三点在同一条直线上.
所以，
所以为等腰三角形，
即.
设，即，，
在中，由余弦定理得
,
即，，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）边化角，将变形为的形式，进而求得，可得；
（2）法一，应用正弦定理将转化为，结合为锐角三角形，求得，即可得解；法二，由为锐角三角形，采用余弦定理得到，求出，求得，即可得解.
【详解】（1）已知，
由正弦定理得：，
，
得，
又，即，
即，
又因为，所以，且，
所以，即．
（2）法一：由正弦定理得：，即，且，
，即．
而由为锐角三角形，，，得，
所以，即．
所以，且，
所以的周长的取值范围为．
法二：由，不妨设，
由为锐角三角形，只需，由余弦定理得：，
即．
又．（*）
所以，得：，．
由（*）式得：，
所以，且，
所以的周长的取值范围为．
16．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再借助诱导公式、二倍角的正弦公式计算即得.
（2）利用余弦定理，结合已知建立方程组，求出边的关系，再利用余弦定理计算即得.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
又，于是，而，即有，则，
所以.
（2）依题意，，显然，
由余弦定理得，整理得，
在中，由余弦定理，得，因此，
即，则，令，则，
所以.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）由四点共圆得到，在，中分别利用余弦定理求出，，即可得到和，再由面积公式求出，即可；
（2）设，再在中利用正弦定理得出关于的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即可.
【详解】（1）因为四点共圆且，
所以，则，
在中由余弦定理，
又，
所以，
解得（负值舍去），所以，
则，
在中，由余弦定理，得
，
又，
所以，
解得或（舍去），
所以，
所以，
所以.
（2）设，
则，则，
，
又，所以，
在中，由正弦定理可得，
即，
所以，即，
所以
，
故，
又，解得，
又由正弦定理有，
故，
所以.
【点睛】关键点睛：
1.在求四边形面积问题时，通常情况下分成两个三角形，进而利用三角形的面积公式即可求解.
2.设而不求：在第二小问，设，再在中利用正弦定理得出关于的方程，再根据三角函数恒等变换化简，而不求与的值得到答案，于是解决此类问题时，要善于利用设而不求的解题方法.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）首先利用正弦定理将角化为边，再根据余弦定理，即可求解；
（2）首先根据三角形的面积公式求解和的正弦和余弦，再利用两角和的正弦公式求，最后代入三角形的面积公式；
（3）根据向量的线性关系，以及平面向量基本定理，表示，再利用所设变量，转化为函数关系求值域.
【详解】（1）由，
由正弦定理，可得，
由余弦定理，可得，
得，且，所以；
（2）由为边上中线，可得，
则，
由，可得，
则，则，
则，
，
则；
（3）由，可得，
设，
由的面积为面积的，可得，
则，则，设，由为中线，可得，
则，由共线可得，
，
由可得，
由，可得，则
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是由面积公式得，从而利用向量转化求数量积.
19．(1)
(2)周长为；面积为
【分析】（1）由余弦定理得长度，由正弦定理得，结合勾股定理可求解；
（2）由余弦定理、基本不等式得，结合三角形面积公式以及三角恒等变换转换为求三角函数最值即可求解.
【详解】（1）在中，由余弦定理可得，
即，
由正弦定理可得
，
即或（舍去，否则，与三角形内角和为矛盾），
所以，
即为等腰直角三角形，
所以，即步行道的长度.
（2）在中，由余弦定理可得，
即，
又，当且仅当时取等号，
因为
，
由，得，
，
所以，等号成立当且仅当且，
所以面积的最大值为
此时，所以，
周长为.
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