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专题02:三角恒等变换知识精讲与过关练习-2023-2024学年数学高一下学期期末复习专题苏教版（2019）
知识精讲
1、和角与差角公式
;
;
.
2、二倍角公式
sin2α=2sinαcosα
.
.
公式变形：
过关练习
一、单选题
1．计算：（ ）
A． B． C． D．
2．已知，且，则（ ）
A． B．7 C． D．
3．已知，则（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
4．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．若，，，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
7．对于函数，给出下列结论：
（1）函数的图象关于点对称；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象；
则下列说法正确的是（ ）
A．（1）（2）都正确 B．（1）正确（2）错误
C．（1）错误（2）正确 D．（1）（2）都错误
8．在中，已知，那么一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
二、多选题
9．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列计算结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则（ ）
A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减 D．的最小值为
三、填空题
12．已知，则 ．
13．若是锐角，，则 ．
14．已知，，，，则 .
四、解答题
15．已知，，且.
(1)求的值；
(2)求.
16．在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个钝角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知，的横坐标分别为，.
(1)求的值；
(2)求的值.
17．已知函数.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
18．已知函数．
(1)求的值；
(2)若，求的值域；
(3)若关于x的方程有三个连续的实数根，且，，求a的值．
19．已知向量，函数．
(1)求函数在上的单调递减区间；
(2)若，且，求的值；
(3)将图象上所有的点向左平移个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，当时，方程有一解，求实数的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】根据和差角公式以及积化和差公式即可求解.
【详解】
，
故选：C
2．B
【分析】利用同角三角函数基本关系求得，及，再利用两角和正切公式求解即可.
【详解】由题意，消去并化简得，
解得，所以，，所以.
故选：B
3．A
【分析】利用二倍角公式及正余弦齐次法计算得解.
【详解】由，得.
故选：A
4．D
【分析】由题意结合辅助角公式可得，进而可得，由三角函数的性质可得，化简即可得解.
【详解】设，
向左平移m个单位长度得，
∵g(x)的图象关于y轴对称，
∴，
∴,
由可得m的最小值为.
故选：D.
5．D
【分析】由诱导公式可得，结合诱导公式和二倍角的余弦公式计算即可求解.
【详解】由，得，
则.
故选：D.
6．B
【分析】结合同角三角函数基本关系，两角差的余弦公式与二倍角公式计算即可得.
【详解】，，，，
，，
，
.
故选：B.
7．C
【分析】先化简解析式，再代入判断是否对称中心，再将函数的图象向左平移个单位长度，得到新解析式即可判断.
【详解】由题意知，
，
代入得，所以（1）错误；
将函数的图象向左平移个单位长度得到，所以（2）正确.
故选：C.
8．A
【分析】根据题意，由正弦的和差角公式化简，即可得到结果.
【详解】因为，
所以，
即，所以，
又为三角形的内角，所以，即是等腰三角形.
故选：A
9．ABD
【分析】利用和差角的正弦、二倍角公式逐项化简计算即得.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，取，则，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD
10．ABD
【分析】利用诱导公式，二倍角公式、两角差的余弦公式，两角和的正切公式进行化简，即可一一求得结果.
【详解】；
；
；
.
故选：ABD.
11．AC
【分析】化简，利用余弦函数的性质对各个选项逐一分析可得答案．
【详解】
，
对于AB，当时，，
的图象关于点对称，故 A正确，B不正确；
对于C，当时，，
在上单调递减，故 C正确；
对于D，的最小值为，故D不正确．
故选：AC．
12．/
【分析】根据题意，结合正弦的倍角公式，即可求解.
【详解】由正弦的倍角公式，可得．
故答案为：.
13．
【分析】根据给定条件，利用平方关系及差角的余弦公式计算即得.
【详解】由是锐角，得，又，则，
所以.
故答案为：
14．
【分析】先利用已知条件和同角三角函数的基本关系求出，然后利用两角和的余弦公式求解.
【详解】因为，，，，
所以，，
所以
.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据同角的三角函数关系和二倍角公式，求出和的值；
（2）由同角的三角函数关系和三角恒等变换，即可求出的值．
【详解】（1）由，，得，
，于是.
（2）由，得，又，
，
由得：
．
16．(1)3
(2)
【分析】（1）先求出、的纵坐标，利用任意角的三角函数的定义求出和，再利用两角和的正切公式求得的值．
（2）先求出，，由、为钝角可得、，得到，从而求得的值．
【详解】（1）由题意，，两点位于第二象限，
，的纵坐标分别为，．
，，
．
（2）由于，
，
因为、为钝角，所以、，
故，．
17．(1)
(2).
【分析】（1）利用二倍角公式、两角差的正弦公式逆用化简函数表达式，结合三角函数单调性解三角方程即可得解；
（2）由诱导公式以及二倍角公式直接求解即可.
【详解】（1）
所以，故，
因为，所以，
所以，故.
（2），所以，
所以，
又，所以，
因为，所以，
所以.
18．(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）逆用二倍角公式化简函数解析式，再运用辅助角公式，代值计算即得；
（2）将看成整体角，由求得，判断的单调性，求得函数的值域，继而得的值域；
（3）结合函数的图象，得和，，求得，，由方程即可求得值.
【详解】（1），
．
（2）因，取则，因在上单调递增，在上单调递减，
而，故．则，的值域为．
（3）
如图，因的周期为，
由题意可知：，代入得：．
由，，可得，．
由，，代入，解得，．
，，
当时，，；
当时，，
故的值为．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示结合二倍角公式、辅助角公式化简，再根据三角函数的性质整体代换计算即可求单调减区间；
（2）利用同角三角函数的平方关系得，再根据余弦的和角公式计算即可；
（3）根据三角函数图象变换得，再根据三角函数的性质计算即可.
【详解】（1）因为，
所以即
又因为，所以函数在上的单调递减区间为
（2）若则，所以.
因为，所以，
所以，
所以
故.
（3）将图象上所有的点的纵坐标变为原来的，再向下平移1个单位，最后再向右平移个单位得到函数的图象，
即：
则，
当时，
由方程有一解，可得的取值范围为．
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