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数学要提分，总结是王道！
第 2章 常用逻辑用语
【第 1 节】
例 1、（1）全称，假（2）全称，假（3）全称，真（4）全称，真（5）全称，真（6）存在性，真（7）存在
性，真（8）存在性，真
例 2、B 例 3、 ∈ , 2+2 + > 0； 0,1 . 例 4、B
例 5、 0 ∈ , 02 < 0.
2
例 6、对任意的实数m，方程 x mx 1 0 2无实根；存在实数m，使得方程 x mx 1 0 无实根
【第 2 节】
例 1、A 例 2、B 例 3、A 例 4、A 例 5、C 例 6、B
【第 3 节】
例 1、C 例 2、A 例 3 x |1 x 3、（1） ；（2） 3, .
例 4、C 例 5、D
第 3章 均值不等式
【第 1 节】
1
例 1、6 例 2、 例 3、4 例 4、 ,1 2 6 1 2 6, 4
例 5、B 例 6、B
【第 2 节】
3 2
例 1、-2 例 2、C 例 3、（1）3，±1 （2） 3 例 4、
4
9
例 5、3 2 2 例 6、18 例 7、9 例 8、

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【第 3 节】
1 , 例 1、 例 2、10 例 3、C 例 4、1 例 5、4 米 5
【第 4 节】
例 1、应用二元均值不等式，得
a2 b2 2 2
2
x y
y x a b
a2 b2 a2 b2 a2 b2 2 a2
y
b2 x a b 2 a b ，故 ，
x y x y x y x y x y
a2 y b2 x当且仅当 ，
x y
a b
即 时上式取等号.利用基本不等式 a2 b2 2ab，乘积一定，和有最小值，等号成立的条件是两正数
x y
相等；
bc ca bc ca bc ab bc ab
例 2、因为a 0，b 0， c 0，所以 2 2c； 2 2b；
a b a b a c a c
ca ab 2 ca ab
bc ca ab
2a ，以上三式相加得： 2 2 a b c ，即b c b c a b c
bc ca ab
a b c .
a b c
例 3、因为a 0，b 0， c 0，且a b c 1，所以
1 1 1 a b c a b c a b c b c a c a b
3
a b c a b c a a b b c c
3 b a c a c b 3 2 2 2 9 ，且仅当a b a c b c a b c
1
时，
3
取等号．
例 4、∵ a ,b, c 0 ，
∴ a b c 1 1 1 1 1 1 a b c



2 a b c 2 4，
a b c a b c a b c
当且仅当a b c时，等号成立．
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例 5、3
1 z 2 1 z 2 1 z 2 1 z
例 6、有题意可得，0 z 1，0 1 z 1， S ，令
2xyz x2 y2 z 1 z2 z 1 z z
t 1 1
t 1 z 1，则 S 3 2 2
t 2 3t 2 3 t 2 3 2 2 t
例 7、B
第 4章 函数的概念
【第 1 节】
例 1、C 例 2、（1）是函数，（2）不是函数；（3）不是函数；（4）不是函数.
例 3、C 例 4、（2）（3） 例 5、D 例 6、（4）
例 7、1；2 例 8、A
【第 2 节】
例 1、（1） , 2 2, ；（2） 5, 1 ；（3） , 1 1,
例 2、（1） , 3 3, 1 1, （2） 3,9 9, 例 3、{x | 1 x 0,0 x 1}
例 4、{x |1 x 3}. {x | 3 x 2 2 例 5、 或 x 3} .
2 2
1 10
例 6、 s 10 2r r 5r r2 ，定义域 ,52 2 . 例 7、 a | 12 a 0 .
【第 3 节】
1
例 1、 1, 【巩固】 y 0,5 例 2、 , 例 3、13,4
2
3
例 4、 y y 2
例 5、 , 2 2,

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第 4章 函数的概念
第 1节 函数的概念与表示
【知识讲解】
1. 设 A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A中的任意一个数 x，在集合 B
中都有唯一确定的数 f (x）和它对应，那么就称 f : A B为从集合 A到集合 B的一个函数．记作：
y f (x）, x A．其中， x叫做自变量， x的取值范围 A叫做函数的定义域；与 x的值相对应的 y值叫做函数
值，函数值的集合 f (x）x A }叫做函数的值域．
2. 函数概念的理解
①A，B 都是非空数集，因此定义域（或值域）为空的函数不存在．
② B不一定是函数的值域，值域是 B的子集．
③对应关系、定义域、值域是函数的三要素，定义域和对应关系已确定，则值域也就确定了．
【典型例题】
【例 1】 已知集合M x | 0 x 2 ，N y | 0 y 3 ，下列四个图形中能表示从集合M 到集合 N 的
函数关系的有（ ）
A. 0 个 B. 1个
C. 2 个 D. 3个
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【例 2】 判断以下是否是函数：
（1） y 4x2 5；（2） y x；（3） y x 3 2 x 2 2；（4） x y 9．
【例 3】 函数 y f x 的图象与直线 x 1的公共点数目是（ ）.
A. 1 B．0 C． 0 或1 D．1或 2
【例 4】 如下图（1）（2）（3）（4）四个图象各表示两个变量 x, y的对应关系，其中表示 y是 x的函数关系
的有_________．
y y y y
1 1
1 1
1 1 x 1 1 x 1 O 1 x 1 O 1 x
O O
1 1
1
(1). (2). (3). (4).
【例 5】 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
x
A. y 1， y B. y x 1 x 1 ， y x2 1
x
C. y x y 3 x3
2
， D. y | x |， y x
【例 6】 下列函数 f x 与 g x 是否表示同一个函数，为什么？
（1） f x x 1 0 ； g x 1
（2） f x x； g x x2
（3 f x x2） ； g x x 1 2
（4） f x x ； g x x2
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【例 7】 已知函数 f x ， g x 分别由下表给出：
x 1 2 3 x 1 2 3
f x
1 3 1 g x 3 2 1
则 f g 1 的值是___________；满足 f g x g f x 的 x的值是__________.
【例 8】 设 f 、 g都是由 A到 A的函数，其对应法则如下表（从上到下）：函数 f 的对应法则是表 1
原象 1 2 3 4
象 3 4 2 1
映射 g的对应法则是表 2
原象 1 2 3 4
象 4 3 1 2
则与 f g 1 相同的是（ ）.
A． g f 1 B． g f 2 C． g f 3 D． g f 4
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第 2节 函数的定义域
【知识讲解】
1. 有三点要求：
① 分母不为 0 ；
② 偶次根号下整体不小于 0；
③ 0 没有 0 次幂；
2. 注意点
① 自然定义域：若对 x未加限制，则使 f x 有意义的集合
② 复合函数的定义域： f x 中 x的范围，即为 f g x 中， g x 的范围，再解 x即得结果.
③ 几何问题、实际问题、物理问题等，应注意变量的实际意义.
【典型例题】
【例 1】 求下列函数的定义域
（1） y 3x 1 ；
x 2
（2） f x x2 6x 5 ；
y x 1 0 3（3） x 1 ；
1 x 3
【例 2】 求下列函数的定义域： （1） y ；（2） y .
x 2 1 3 x 1 2
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【例 3】 函数 f x 的定义域为 0,1 ，求函数 f x2 的定义域;
【例 4】 已知函数 f 2x 1 的定义域为 0,1 ，求 f x 的定义域;
【例 5】 已知函数 f x 1 的定义域为 2,3 ，求 f 2x2 2 的定义域.
【例 6】 已知扇形的周长为10，求扇形半径 r和面积 s的函数关系式 s r ，及此函数的定义域.
3 3x 1
【例 7】 已知函数 f x 2 的定义域是R，则实数 a的取值范围是________.ax ax 3
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第 3节 函数的值域
【知识讲解】
1. 值域定义：
函数 y f x , x A，其中集合 A是函数的定义域 .与 x 的值对应的 y的值称函数值，函数值的集合
f x x A 称函数的值域.
2. 求函数值域的方法
无论什么方法一定要注意定义域，可能的话最好结合图象.常用方法：
① 观察分析法：函数图像已知，从 x的范围入手，逐步推导出 y的取值范围.
② 换元法：运用代数或者三角换元，转化成值域容易确定的另一个函数.例如： y ax b cx d，令
ax b t
cx d
③分离常数法：适用于分式形式的函数.例如： y
ax b
④均值不等式法：
【典型例题】
【例 1】 函数 y 3 2 x的值域是_________.
5
【巩固】求函数 y
2x2
的值域.
4x 3
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【例 2】 函数 y x 2x 1的值域是________.
4 2
【例 3】 求函数 y x 2x 5在区间 2,2 上的最大值和最小值
【例 4】 求函数 y 3x 1 2x的值域.
f x 2x 3【例 5】 的值域是_________.
x 1
【例 6】 函数 f x 2 | x | 3 的值域是_________.
| x | 1
3x
【例 7】 求函数 y 的最值．
x2 4
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第 4节 函数的解析式
【知识讲解】
1. 解析式：实际上就是函数三要素中对应法则的一种，也是最常用的一种.
2. 求解析式的方法：
1）待定系数法：已知函数 f x 的类型，可以根据类型设出解析式，再确定系数.
2）换元法：令 t g x 求出 f t 的解析式，然后用 x换掉等号两边所有的 t即可.
3）联立方程组法：已知 f x 与 f g x 的关系式，可以用 p x 代替两边所有的 x，得到方程组，解的
出 f x .
4）配凑法
【典型例题】
【例 1】 已知 是一次函数，且满足 = 4 3，求 的解析式.
【例 2】 已知函数 f x 是二次函数，且有 f 0 0， f x 1 f x x 1，求 f x .
【例 3】 已知函数 f x 满足 f 3x 1 9x2 6x 5，求 f x 的解析式.
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2
【例 4】 已知函数 f x f 1 1 x 1满足， ，求 f x 的解析式.
x x
【例 5】 设函数 f x 满足关系式 f x 2 f 1 3x，求 f x .
x
1
【例 6】 设函数 f x 满足关系式 f x 2 f x x ，求 f x 的解析式.
x
1 1
【例 7】 知函数 f x 满足 f x
2
x 2 ，求 f x . x x
f x 1 x2 2x 2 1【例 8】 已知 2 ，求 f x 的解析式. x x x
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