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数学要提分，总结是王道！
第1章集合
【第1节】
例1、A
例2、A
例3、D
例4、在、、∈、∈、∈、∈
例5、D
例6、A={2,4,5}
例7、M={-11,-6,-3,-2,0,1,4,9}
例8、∈；E;∈
例9、D
【第2节】
例1、D
例2、C
例3、D
例4、MSN
窗5N=g时，a=0N={3}时，a=3N=2时，0P
2
例6、=1或≤-1
例7、m≤3
【第3节】
例1、D
例2、A
例3、D
例4、C
例5、D
例6、{(1，-3)}
例7、
【第4节】
例1.(|2改a=0吲：as号
例2、A当k=0时，集合A={2:当k=1时，集合A={4
例3、(1)A中只有一个元素，即方程ax2+2x+1=0只有-个解，当a=0时，x=
符合题意，a+0
2
时，△=4-4a,∴.a=1,此时x=x2=-1.(2)a=0Ua21
例4、-0.5≤m≤1
例5、
例6、a≤-1
例7、（-0，-2]U[7,+∞)
2
【第5节】
例1、B
例2、C
例3、(1)m≤-2(2)m24
例4、8
例5、B
例6、8
例7、B
例8、8数学要提分，总结是王道！
第 3章 均值不等式
第 1节 均值不等式及其简单应用
【知识讲解】
1. 2 2如果 a ,b R，那么 a b 2ab，当且仅当 a b时，等号成立．
2
证明：a2 b2 2ab a b ，当 a b时， a b 2 0 ；当 a b时， a b 2 =0 2 2．所以 a b 2ab，
当且仅当 a b时，等号成立．
2. a b R a b如果 ， ，那么 ab ，当且仅当 a b时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本
2
不等式．
证明：因为 a b 2 ab a 2 2 2b 2 ab a b 0 ，
即 a b 2 ab a b，所以 ab .
2
s2
3. （1）若正数 x, y满足 x y s（和为定值），则当 x y时， xy取得最大值是
4
（2）若正数 x, y满足 xy p（积为定值），则当 x y时， x y 取得最小值是 2 p
【典型例题】
a 1
【例 1】 正数 a、b满足 9 ，则 a 的最小值是_________．
b b
a b R 【例 2】 若 、 ，且 a b 1，则 ab的最大值是_________．
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4
【例 3】 若 x 0 ，则 y x 的最小值是_________．
x
y 1 2x 3【例 4】 求函数 的取值范围．
x
【例 5】 设 a 0 ，b 0， a b ab 24，则（ ）
A. a b有最大值8 B. a b有最小值8
C. ab有最大值8 D. ab有最小值8
【例 6】 已知 x 0 ， y 0 ， x 2y 2xy 8，则 x 2y的最小值是（ ）
A. 3 B. 4
9 11
C. D.
2 2
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第 2节 均值不等式中的配凑与“1”的作用
【知识讲解】
1. 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
2. 当题目当中出现等式为“1”时，可以利用乘以1，除以1，代换1的方式进行化简，进而凑成满足均值定
理的条件，求出最值.
【典型例题】
t2 4t 1
【例 1】 已知 t 0，则函数 y 的最小值为_________．
t
f x x 1【例 2】 函数 x 2 在 x a处取最小值，则 a （ ）．
x 2
A. 1 2 B. 1 3
C. 3 D. 4
4
【例 3】 （1）求函数 y x2 2 的最小值，并求出取得最小值时的 x值．x 1
y 6 x
2 1
（2）求 2 的最大值．x 4
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y x2 y
2
【例 4】 设正数 x， 满足 1，则 x 1 y2 的最大值为_________.
2
1 1
【例 5】 已知 x 0 ， y 0，且 2x y 1，则 的最小值为_________.
x y
【例 6】 若 x, y 0, ，且 2x 8y xy 0，则 x y 的最小值为_________．
1 1
【例 7】 已知 x 0 y 0 ， ， x y 1，则 1 1 x
的最小值为_________.
y
【例 8】 若 A , B ,C 4 1为 ABC的三个内角，则 的最小值为_________．
A B C
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第 3节 均值不等式的应用
【典型例题】
x 0 x【例 1】 若对任意 ， a 恒成立，则 a的取值范围是_________．
x 2 3x 1
【例 2】 已知 x 0 ， y 0 ， xy x 2 y，若 xy m 2 恒成立，则实数 m 的最大值是_________．
2
【例 3】 不等式 x ax 1 0 对一切 x 0 ,
1
成立，则 a的最小值为（ ） 2
A. 0 B. 2
5
C. D. 3
2
ax2y x 1【例 4】 求函数 （ x 1且 a 0 ）的最小值．
x 1
2
【例 5】 某单位建造一间地面面积为12 m 的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长
2 2
度 x不得超过5m．房屋正面的造价为 400 元/m ，房屋侧面的造价为150元/m ，屋顶和地面的造
价费用合计为5800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造
价最低？
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第 4节 多元均值不等式
【典型例题】
a 2 b 2 a b 2
【例 1】 已知 a ,b是正常数，a b， x , y 0, ，求证： ，指出等号成立的条
x y x y
件.
【例 2】 已知 a 0，b 0， c 0 bc ca ab，求证： a b c .
a b c
【例 3】 已知 a 0，b 0， c 0，且 a b c 1. 1 1 1求证： 9 .
a b c
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1 1
【例 4】 设, , ∈ +，求证： a b c 4 ．
a b c
y2
【例 5】 设 x， y， z为正实数，满足 x 2y 3z 0，则 的最小值是_________．
xz
z 1 2
【例 6】 若 x, y, z x2 y2 z2 1 S 均为正实数，且 ，则 的最小值为__________
2xyz
【例 7】 设 a b c 0 1 1 ，则 2a2 10ac 25c2 的最小值是（ ）.
ab a a b
A． 2 B． 4 C．2 5 D．5
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