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数学要提分，总结是王道！
第 6章 指、对、幂函数
【第 1 节】
1.A 2.A 3.C 4. C 5. （1）原式 a 1 ；（2）原式
5 3 3
a 2b 2 .
4
4 1
6. （1） 45；（2） . 7.
25 3
【第 2 节】
1.C 2.C 3.D 4.D 5. 1 3或 6.D
2 2
7.（1） {| ≠ 1}（2）{|0 < ≤ 1} 1（3）{| ≤ }
4
【第 3 节】
1.B 2.>,<,<,> 3.c>b>a 4. (0，1]
5. 故当 a>1 时，x的取值范围为{x|x>－3}；当 06. a 1 1＝ 或 3. 7.D 8.
3 2
9. (1)因为 f(x)是奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，
x
令 x＝0，得 f(0) 0 a－1 0 a 1－2＝ ，即 ＝ ＝1，所以 f(x)＝ .
2 1＋2x
x
(2)证明：由(1)知 f(x) 1－2 2＝ ＝－1＋ ，任取 x1，x2∈R，且 xx x 1f(x 2 2 2（2x1－2x2）2)－f(x1)＝－1＋ －－1＋ ＝ .
2x2＋1 2x1＋1 （2x1＋1）（2x2＋1）
因为 x10，2x2>0，
从而 f(x2)－f(x1)
2（2x1－2x2）
＝ <0，即 f(x1)>f(x2)，故 f(x)在 R上是减函数．
（2x1＋1）（2x2＋1）
【第 4 节】
1. 1 6、 8、 2、 -2 2.D 3. C 4. A
16
5.A 6.B 7. 2 8.2 9.（1）1 （2 3）＝－
2
148
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【第 5 节】
1、B 2、1 3 2 4 5 1 3+ + 2 、 、略 、（ ） （2） （3）
2+ 2 +
【第 6 节】
01．A [解析] 因为 A＝{y|y>0}，B＝ y| 2 ，所以 A∩B＝ y| 2 .
2．A [解析] 当 2x－3＝1，即 x＝2 时，y＝1，故点 P的坐标是(2，1)．
3．D [解析] 要使函数有意义，只需 2－log3x>0，即 log3x<2，所以 04．A [解析] 依题意有 log2x>1，所以 x>2.
5．A [解析] 由定义域知 x<1，排除选项 B，D.又 f(x)＝log2(1－x)是定义域上的减函数，故选 A.
6．C [解析] 因为 x＝20.5>20＝1，07．A [解析] 原式变形为 logamn>1.
x>0，
8．[4，＋∞) [解析] 由已知得 解得 x≥4.
log2x－2≥0，
9．－5 [解析] 设 f(x)＝logax，将点 P(8，3)代入得 3＝loga8，所以 a3＝8，所以 a＝2，所以 f(x)＝log2x，
所以 f 1 ＝log 12 ＝log22－5＝－5.
32 32
【第 7 节】
1. 18 2.奇函数 3.（1）R（2）t≥0 4. (－∞，－1)∪(3，＋∞)
1
－ ，2
5. 4 .
【第 8 节】
1. log 1a log
1
b logb a loga b . 2. a b c . 3.Cb a
4.C 5.C 6.B 7.C 8.D 9.B
【第 9 节】
1、-1 2、A 3、D 4、-1 5、1
6、D 7、-1.5 8、0.5 9、B
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【第 10 节】
1．D [解析] 由幂函数的定义，幂函数满足三个条件：①系数为 1，②底数为自变量，③指数为常数．故
选 D.
2．A [解析] 依题意 2m＋3＝1，得 m＝－1.
3 3 1 1 1 1．A [解析] 依题意有 ＝3α，所以α＝－ ，所以 f(x)＝x－ ，所以 f(4)＝4－ ＝ .
3 2 2 2 2
4．D [解析] A 中的函数不具备奇偶性；B 中的函数是偶函数，但是在区间(0，＋∞)上是减函数；C 中
的函数不具备奇偶性；D 中的函数是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增．
5 D [ ] y x 2． 解析 因为 ＝ 是偶函数，且在第一象限图像沿 x轴递增，所以选项 D 正确．
3
6．C [解析] 因为 f(x)为幂函数，所以 m2－4m＋4＝1，解得 m＝3 或 m＝1，所以 f(x)＝x－1 或 f(x)＝x3.
因为 f(x)为(0，＋∞)上的减函数，所以 m＝3.
7．B [ 1解析] 由幂函数的图像性质，C1：y＝x2；C2：y＝x；C3：y＝x ；C －4：y＝x 1.
2
8．(1，＋∞) [解析] 在同一坐标系中作出 y＝x3及 y＝x2 的图像(图略)，可得不等式成立的 x的取值范
围是(1，＋∞)．
9．1 [解析] f(0)＝－2，f(－2)＝1，f(1)＝1，即 f{f[f(0)]}＝1.
1 2 1
，
10.3 [ ] 2
α 1
解析 因为函数是幂函数，所以 k＝1，又因为其图像过点 2 2 ，所以 ＝ 2 ，解得α＝ ，
2 2 2
3
故 k＋α＝ .
2
11.1＋x [解析] 设 g(x) a a a 5＝xb，则 F(x)＝ ＋xb，依题意 ＋1b＝2 且 ＋2b＝ ，解得 a＝b＝1，所以 F(x)
x x 1 2 2
1
＝ ＋x.
x
12．解：(1)因为函数 f(x)＝(a2－a＋1)xa＋1 为幂函数，
所以 a2－a＋1＝1，解得 a＝0 或 a＝1.
当 a＝0 时，f(x)＝x，函数是奇函数；当 a＝1 时，f(x)＝x2，函数是偶函数．故 a＝0.
x 1＋ 2
(2) (1) g(x) x x2 2 1由 知 ＝ ＋ ＝ － .当 x＝0 时，函数取得最小值 g(0)＝0 1；当 x＝ 时，函数取得最大值
4 2
1 0 1 0 31 1 3 ， ，g 2 ＝ ＋ ＝ .故 g(x)在区间 2 上的值域为 4 .
2 4 4
13．解：(1)由 f(2)0，解得－1150数学要提分，总结是王道！
第 6章 指、对、幂函数
第 1节 指数与指数幂的运算
【知识讲解】
m
1） a n n am a 0,m,n N * ,n 1
m

a n 1 12） m a 0,m,n N *,n 1 n ama n
3 m n m n）a a a
n
4） am amn
n
5） ab anbn
【典型例题】
例 1.化简： （π－4）2＋π＝( )
A．4 B．2π－4 C．2π－4 或 4 D．4－2π
例 2.已知 am＝4，an＝3，则 am－2n的值为( )
A.2 B 6 C.3． D．2
3 2
a2
例 3.设 a>0，将 3 表示成分数指数幂，其结果是( )
a· a2
1 5 7
3
A．2 B．6 C．6 D．2
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3 6 6
例 4.化简( a9)4
3
( a9)4的结果为( )
A．a16 B．a8 C．a4 D．a2
例 5.化简下列各式（其中各字母均为正数）．
1
2

2 1 1
a 3b 1

a 2 b3 1
5
1
2
1 2 2
（1） ；（2） a3 b 3a 2b 1 36 5 6
4a 3 b
a b
例 6.计算：
3
2 1
1
1
1
2 0 1 2 4ab
（1）0.027 3 1 7
2 2 1 ；（2）7 9 4 10.1 2 a3b 3 2
3 3
1 1
2 2
例 7.已知 x 2 x 2 3 x x 3 ，求 的值.
x2 x 2 2
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第 2节 指数函数及其图象
【知识讲解】
1）指数函数的图像
① 注意：指数函数底数变化与图像分布规律，在图中：
x
① y a ,② y bx , x x③ y c ,④ y d .则： 0 b a 1 d c .又即： x 0, 时，
bx ax d x cx x x x x（底大幂大）. x ,0 时，b a d c .
② 特殊函数
1 x 1 xx
请画出下列函数的图像： y 2 , y 3x , y , y 2 3
的图像：

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【典型例题】
2
例 1.下列函数：（1） y 3x ；（2） y 4x；（3） y 32x ；（4） y 3 2x ；（5） y 3x 1；（6） y 3x 其中
为指数函数的有（ ）
A． 0个 B．1个 C． 2个 D．3个
例 2.若函数 f(x)＝(a－1)x在 R上是指数函数，那么实数 a的取值范围是( )
A．a＞0 且 a≠1 B．1＜a＜2 C．a＞1 且 a≠2 D．a＞0
x
例 3. xa函数 y＝ (0|x|
例 4.
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例 5.函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)在区间[0，1] 1上的最大值与最小值的差为 ，则 a＝________．
2
a
例 6.函数 y a x （ a 0，且 a 1）在 0，1 上的最大值与最小值的差为 ，则 a等于（ ）
2
A 1 2． B． 2 C． D． 2 2或
2 3 3
例 7.求下列函数的定义域、值域
1
2
⑴ y 2 x 1 x； ⑵ y 3 ； ⑶ y 0.51 2x x
第 3节 指数函数的性质
【典型例题】
3 1 1 1－ 3 － 3 －
例 1. 4 3，4 4， 2 4三个数的大小顺序是( )
3 1－ 3 1 3 1 3 1－ － － 3 1 3 1－ －
A. 2 4< 4 3< 4 4 B. 2 4< 4 4< 4 3
3 1 3 1 1－ － 3 － 3 1－ 3 1 1－ 3 －
C. 4 3< 4 4< 2 4 D. 4 4< 2 4< 4 3
例 2.已知 a b c 1，比较下列各组数的大小：
1 b 1 c 1 1
① ab ___ ac ；② ；③ ab ___ ac ；④ b
a __ ca ．
a a
例 3.设 a 4 24 ，b 3 12 ， c 6 ，则 a，b， c的大小关系是
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例 4.若 f(x)＝－x2＋2ax与 g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1，2]上都是减函数，则 a的取值范围是________．
例 5.求不等式 a4x＋5>a2x－1(a>0，且 a≠1)中 x的取值范围．
例 6.已知函数 y＝a2x＋2ax－1(a>0，且 a≠1)在区间[－1，1]上的最大值为 14，求 a的值．
1 x 1 x－1
例 7.若方程 4 ＋ 2 ＋a＝0 有正数解，则实数 a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－2)
C．(－3，－2) D．(－3，0)
例 8.若函数 f(x) 1＝a－ 为奇函数，则实数 a＝________．
2x＋1
－2x
例 9.已知定义域为 R的函数 f(x) ＋a＝ 是奇函数．
2x＋1
(1)求实数 a的值．
(2)用定义证明：f(x)在 R上是减函数．
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第 4节 对数的定义与运算
【知识讲解】
1 ab） N loga N b．
2） loga MN loga M loga N
M
3） loga loga M loga NN
4 log N b）恒等式：a a N ， loga a b
【典型例题】
例 1.求下列各式中 x的值：
① log x 2 ；② log 8 6；③ lg100 x；④ lne264 x x．3
2..log849例 的值是( )
log27
A．2 B.3 C．1 D.2
2 3
例 3.已知对数式 loga－2(5－a)＝b，则实数 a的取值范围是( )
A．(－∞，5) B．(2，5)
C．(2，3)∪(3，5) D．(2，＋∞)
例 4.计算 log 2(2 2)－log( 2－1)(3－2 2)＋eln 2的值为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
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例 5.已知 lg 2＝a，lg 3＝b，则 lg 12 等于( )
A．a2＋b B．2a＋b
C．a＋2b D．a＋b2
例 6.lg a，lg b是方程 2x2－4x＋1＝0 的两个实根，则 lg(ab)· a（lg ）2＝( )
b
A．2 B．4 C．6 D．8
例 7.方程 lg x＋lg(x－1)＝1－lg 5 的根是 x＝________
2lg 4＋lg 9
例 8. ＝________．
1 1 1＋ lg 0.36＋ lg 8
2 3
例 9.(1)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64；
2
(2) lg 3－lg 9＋1（lg 27＋lg 8－lg 1000）.
lg 0.3·lg 1.2
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第 5节 换底公式
【知识讲解】
log N
1）换底公式： log N ca logc a
1
2 n n）换底公式推论： loga b ， loglog a a
b log n b ， loga N n loga a N，
b
【典型例题】
例 1.设 a，b，c均为不等于 1 的正实数，则下列等式中恒成立的是( )
A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac
a b 1 1
例 2.若 2 5 10，求 的值．
a b
例 3.化简 log3 4 log4 5 log5 8 log8 9的结果是 （ ）.
例 4.已知1 1 = 2 2 = = =
求证：12 ( 12 ) =
例 5.已知 log2 3 a，3
b 7 ，求 log12 56
（2）已知 log18 9 a，18
b 5，用 a,b表示 log36 45 .
（3）已知 log14 7 a，log14 5 b，用 a、b表示 log35 28 .
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第 6节 对数函数及其图象
【知识讲解】
1．对数函数：我们把函数 y loga x(a 0且 a 1）叫做对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是 (0, )，
值域 为实数集R．

2．对数函数的图象和性质：
一般地，对数函数 y loga x(a 0且 a 1）的图象和性质如下表所示：
0 a 1 a 1
y y
y=logax(a>1)
图象 O 1 x O 1 x
y=logax(0定义域 (0, )
值域 R
⑴过定点 (1,0)，即 x 1时， y 0
性质
⑵在 (0, )上是减函数； （2）在 (0, )上是增函数．
【典型例题】
y 1＝ x，x>1
1．已知集合 A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝ y| 2 ，则 A∩B＝( )
0A. y| 2 B．{y|063
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2．函数 y＝loga(2x－3)＋1 的图像恒过定点 P, 则点 P的坐标是( )
A．(2，1) B．(2，0)
C．(2，－1) D．(1，1)
1
3．函数 f(x)＝ 的定义域是( )
2－log3x
A．(－∞，9] B．(－∞，9)
C．(0，9] D．(0，9)
4．已知 f(x)为 R上的增函数，且 f(log2x)>f(1)，则 x的取值范围为( )
A (2 ∞) B 0 1． ，＋ ． ， ∪(2，＋∞)
2
C.1，2 D．(0，1)∪(2，＋∞)
2
5．函数 f(x)＝log2(1－x)的图像为( )
图 L2-2-1
6．已知 x＝20.5，y＝log52，z＝log50.7，则 x，y，z的大小关系为( )
A．xC．z7．已知 0A．1C．n64
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8．函数 f(x)＝ log2x－2的定义域是________．
1
9．已知对数函数 f(x)的图像过点 P(8，3)，则 f 32 ＝________.
第 7节 对数型函数
1．设函数 f(x)＝logax(a>0 且 a≠1)，若 f(x1x2…x2014)＝9，则 f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x22014)的值等于________．
2．判断函数 f(x)＝log2(x＋ 1＋x2)的奇偶性．
3．已知函数 f(x)＝lg (3x－3)．
(1)求函数 f(x)的定义域和值域；
(2)设函数 h(x)＝f(x)－lg(3x＋3)，若不等式 h(x)>t无解，求实数 t的取值范围．
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log2（x－1），x≥2，
4．设函数 f(x)＝ 1x 1 x<2 若 f(x0)>1，则 x0的取值范围是________．－ ， ，
2
log2x log2x
5．已知实数 x满足－3≤log1x≤ 1－ .求函数 y＝ 2 · 4 的值域．
2 2
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第 8节 指数、对数中的大小比较
1.比较 loga b， logb a， log
1
a ， log
1
b 其中0 a 1 b且 a b 1的大小b a
2.比较 a log3 ,b log2 3,c log3 2 的大小：____________.
3. 已知 a log0.7 0.8,b log1.10.9,c 1.1
0.9
，则 a,b,c的大小关系是（ ）．
A. a b c B. a c b
C. b a c D. c a b
1 log3 0.3
4. a 5log2 3.4已知 ,b 5log4 3.6 ,c ，则（ ）．
5
A. a b c B. b a c
C. a c b D. c a b
5. 下列大小关系正确的是（ ）．
A. 0.43 30.4 log 34 0.3 B. 0.4 log4 0.3 3
0.4
C. log4 0.3 0.4
3 30.4 D. log 0.44 0.3 3 0.4
3
6.已知 f x 是定义在 , 上的偶函数，且在 ,0 上是增函数，设
a f log4 7 ,b f (log1 3),c f 0.2 0.6 ，则 a,b,c的大小关系是（ ）．
2
A. c a b B. c b a
C. b c a D. a b c
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1

7. 设 a log32，b ln 2 ， c 5 2 ，则（ ）．
A. a b c B. b c a
C. c a b D. c b a
8. 设 x, y, z x y为正数，且 2 3 5z，则
A．2x 3y 5z B．5z 2x 3y C．3y 5z 2x D．3y<2x<5z
9. 已知定义在 R 上的函数 f (x) 2 x m 1 （m为实数）为偶函数，记
a log0.5 3，b f log2 5 ， c f 2m 则 a,b,c 的大小关系为
A． a b c B． a c b
C． c a b D． c b a
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第 9节 指对函数的奇偶性
偶函数： = + 、、 = + 1
1
2
= = 1 + 2 ± = ( 1± ) =
±1
奇函数： 、 、 、1 1
1. 设函数 f (x) ex ae x (a为常数)，若 f (x) 为奇函数,则 a=______
1
2. x x已知函数 f (x) 3 ( ) ，则 f (x)
3
A．是奇函数，且在 R上是增函数 B．是偶函数，且在 R上是增函数
C．是奇函数，且在 R上是减函数 D．是偶函数，且在 R上是减函数
3. 下列函数为奇函数的是
A． y x B． y sin x C． y cos x D． y ex e x
4. f (x) x(ex设函数 ae x ) ( x R)是偶函数，则实数 a=______．
5. 若函数 f (x) x ln(x a x2 )为偶函数，则a=
1
6. 2已知函数 f (x) ln( 1 9x 3x) 1，则 f (lg 2) f (lg )
2
A． 1 B．0 C．1 D．2
69
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7. 若 f x ln e3x 1 ax是偶函数，则 a ____________．
8. 若 f x 1 a是奇函数，则a ________．
2 x 1
9. 已知定义在 R上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且 a≠1)．
若 g(2)＝a，则 f(2)＝( )
A 2 B.15 C.17． D．a2
4 4
70
数学要提分，总结是王道！
第 10节 幂函数及其性质
【知识讲解】
1．五种幂函数的图象
2．五种幂函数的性质
函数
y y 1
特征 y＝x2 y＝x2 y＝x
－1
＝x ＝x3
性质
[0，＋
定义域 R R R {x|x∈R且 x≠0}
∞)
[0，＋
值域 R [0，＋∞) R {y|y∈R且 y≠0}
∞)
非奇非
奇偶性 奇 偶 奇 奇
偶
当 x∈[0，＋∞) 当 x∈(0，＋∞)
时，增； 时，减；
单调性 增 增 增
当 x∈(－∞，0] 当 x∈(－∞，0)
时，减 时，减
定点 (0，0)，(1，1) (1，1)
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数学要提分，总结是王道！
【典型例题】
1．下列函数是幂函数的是( )
A．y＝xx B．y＝3x1
2
C y x1． ＝ ＋1 D．y＝x－ 2
2
2．若函数 f(x)＝(2m＋3)xm2－3 是幂函数，则实数 m的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
3．已知幂函数 f(x) 3＝xα的图像经过点 3， ，则 f(4)的值为( )
3
A.1 B.1 C.1 D．2
2 4 3
4．下列函数中既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ x B．y＝－x2 C．y＝2x D．y＝|x|
5 2．函数 y＝x 图像的大致形状是( )
3
图 L2-3-1
6．幂函数 f(x)＝(m2－4m＋4)xm2－6m＋8 在(0，＋∞)上为减函数，则 m的值为( )
A．1 或 3 B．1 C．3 D．2
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数学要提分，总结是王道！
7 L2-3-2 1．如图 所示，曲线 C1，C2，C3，C4是幂函数 y＝xα在第一象限内的图像，已知α分别取±1，，2
2
四个值，对应于曲线 C1，C2，C3，C4的α分别为( )
图 L2-3-2
A．－1 1，，1，2
2
B 2 1 1． ， ，，－1
2
C.1，1，2，－1
2
D．2 1，1，－1，
2
8．由幂函数的图像可知，使 x3－x2>0 成立的 x的取值范围是________．
x 1－ ，x>0，
2
9．若函数 f(x)＝ －2，x＝0， 则 f{f[f(0)]}＝________．
（x 3 1＋ ） ，x<0，
2
1 2
α ，10．已知幂函数 f(x)＝k·x 的图像过点 2 2 ，则 k＋α＝________．
11 a 5．已知 f(x)＝ ，g(x)为幂函数，若 F(x)＝f(x)＋g(x)的图像过点 A(1，2)和 B2，，则 F(x)＝________．
x 2
12．(12 分)已知函数 f(x)＝(a2－a＋1)xa＋1为幂函数，且为奇函数．
(1)求 a的值；
0 1，
(2)求函数 g(x)＝f(x)＋[f(x)]2 在 2 上的值域．
73
数学要提分，总结是王道！
13．(13 分)已知函数 f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈N)，满足 f(2)(1)求 k的值与 f(x)的解析式；
(2)对于(1)中的函数 f(x)，试判断是否存在 m，使得函数 g(x)＝f(x)－2x＋m在[0，2]上的值域为[2，3]，
若存在，请求出 m的值；若不存在，请说明理由．
14. 在同一直角坐标系中，函数 f(x)＝xa(x＞0)，g(x)＝logax的图象可能是( )
15. 下面给出 4 个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )
1 1
A．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x2，④y＝x－1
1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x2， －④y＝x 1
1
C．①y＝x2，②y＝x3， y＝x2， y＝x－③ ④ 1
1 1
D．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x2，④y＝x－1
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数学要提分，总结是王道！
2
， x≥2，
16. 已知函数 f(x)＝ x 若关于 x的方程 f(x)＝k有两个不同的实根，则实数 k的取值范围是
（x－1）3，x<2.
__________．
17. 幂函数 y xa，当 a取不同的正数时，在区间 0,1 上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）、设点
A 1,0 ,B 0,1 ，连接 AB，线段 AB恰好被其中的两个幂函数 y x , y x 的图象三等分，即有
BM MN NA .那么， （ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 无法确定
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