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数学要提分，总结是王道！
【典型例题】
【例 1】 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假．
（1） 2x 1是整数（ x R）； （2）对所有的实数 x， x 3；
（3）对任意一个整数 x， 2x2 1为奇数；
（4）末位是 0的整数，可以被 2整除；
（5）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
（6）有的实数是无限不循环小数；
（7）有些三角形不是等腰三角形；
（8）有的菱形是正方形．
【例 2】 结论“至少有两个解”的否定的正确说法是（ ）
A．至少有三个解 B．至多有一个解 C．至多有两个解 D．只有一个解
【例 3】 知命题: ∈ , 2 + 2 + ≤ 0，则命题 p 的否定是________；若命题 p 为假命题，则实数a的
取值范围是 ．
【例 4】 已知命题 p : x 0 ，2x 3，则（ ）.
A. p : x 0 ，2x 3 B. p : x 0 ，2x 3
C. p : x 0 ，2x 3 D. p : x 0 ，2x 3
【例 5】 命题： ∈ , 2 ≥ 0的否定是________.
【例 6】 命题 p ：存在实数m，使方程 x2 mx 1 0有实数根，
命题 q：对任意实数m，方程 x2 mx 1 0有实数根，
则“非 p ”和“非 q ”的形式的命题分别是
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第 2节 充分条件和必要条件
【知识讲解】
1. 充分条件与必要条件
一般的，“若 p 则q”为真命题，是指由 p 通过推理可以得出q．这时，我们就说，由 p 可以推出q．记作：
p q
2. 充要条件
一般的，如果既有 p q，又有 q q，记作 p q．此时，说 p 是q的充分必要条件，简称充要条件．
3. 充分条件、必要条件、充要条件理解
① 从逻辑推理关系上看
a. 若 p q，但 q p，则 p 是q的充分而不必要条件；
b. 若 q p，且 p q，那么 p 是q的必要不充分条件；

c. 若 p q，但 q p（或 p q且 p q），则 p 是q的充要条件；
d. 若 p q，且 q p，则 p 既不是q的充分不必要条件．
② 从集合与集合之间关系看
a. 若 A B ，则 A 是 B 的充分而不必要条件；
b. 若 A B ，，那么 A 是 B 的必要条件；
c. 若 A B，则 A 是 B 的充要条件；
d. 若 A B , B A，则 A 既不是 B 的充分不必要条件．
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【典型例题】
【例 1】 设四边形 ABCD的两条对角线为 AC， BD，则“四边形 ABCD为菱形”是“ AC BD ”的（ ）.
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【例 2】 钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件
【例 3】 已 知 集 合 A 1,a ， B 1,2,3 ， 则 “ a 3 ” 是 “ A B ” 的
( ).
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
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【例 4】 若 a,b为实数，则“ 0 ab 1”是 a 或b 的（ ）.
b a
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【例 5】 可以作为“若 a , b R ，则 a b 0 ”的一个充分而不必要条件的是（ ）.
A. ab 0 B. a 0或b 0
C. a 0且b 0 D. ab 1
【例 6】 已知 a,b,c,d 为实数，且 c d 、则“ a b ”是“ a c b d ”的（ ）.
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
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第 3节 含参条件的判断
【例 1】 已知条件 p : x2 3x 4 0；条件 q : x2 6x 9 m2 0 ，若 p是 q的充分不必要条件，则m的取
值范围是（ ）.
A. 1,1 B. 4,4
C. , 4 4, D. , 1 1,
【例 2】 若集合 A {x | x2 5x 4 0}， B {x || x a | 1}，则“ a 2,3 ”是“ B A ”的（ ）.
A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【例 3】 已知 p : x2 4x 3 0 , q : x2 m 1 x m 0 ，
（1）求不等式 p : x2 4x 3 0 的解集；
（2）若 p是 q的充分不必要条件，求m的取值范围.
【例 4】 一元二次方程 ax2 2x 1 0 a 0 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）.
A. a 0 B. a 0
C. a 1 D. a 1
x 1
【例 5】 集合 A x 0 ， B x | x b a ，若“ a 1”是“ A B ”的充分条件，则 b的取值范围
x 1
可以是（ ）.
A. 2 b 0 B. 0 b 2 C. 3 b 1 D. 2 b 2
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高一（上册）参考答案
【第 1 部分 初高中衔接】..................................................................................................140
第 1 章 初高中衔接..........................................................................................................140
【第 2 部分 必修第一册】.................................................................... 错误！未定义书签。
第 1 章 集合......................................................................................................................141
第 2 章 常用逻辑用语......................................................................................................142
第 3 章 均值不等式..........................................................................................................142
第 4 章 函数的概念..........................................................................................................144
第 5 章 函数的性质..........................................................................................................146
第 6 章 指、对、幂函数..................................................................................................148
第 7 章 函数的应用..........................................................................................................151
第 8 章 三角函数..............................................................................................................155
第 9 章 三角恒等变换......................................................................................................172
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参考答案
第 1章 初高中衔接
【第 1 节】
例 1、（1）(x-2)(3x-5) （2）(-x+7)(2x-1) 例 2、（1）(x-2y)(3x+4y) （2）(x+1)(x-1)(x+3)(x-3)
例 3、（1）(x+2)(x+a) （2）(x+1)(ax+2a+1) 例 4、（1）(x-1)(ax-2) （2）(x-1)(3ax-6)
5 4例 、 例 6、0 例 7、C
2+6
【第 2 节】
例 1、（1）-2，3 （2）x<-2 或 x>3 （3）-2例 3、A 例 4、x≤-3 或 x≥1 例 5、（1）-3【第 3 节】
x x 4 x 3 1例 1、 2

例 、 ,0 , 例 3、[ 2, 1 ) ∪ ( 7 , 5]
2 2 2 2
例 4、 x 1或 x 1 . 例 5、 ,3 . 例 6、x>-2.5
【第 4 节】
例 1、最大值 5；最小值-4 例 2、最大值-1，最小值-5
1
例 3、（1）当 t≥1 时，最小值为 = 2 5 1 5（2）当 t≤0 时，最小值为 = ( + 1)2 ( + 1) （3）当
2 2 2 2
0例 4、（1）最大值 37，最小值 1（2）①当 a>0 时，最大值 27+10a；②当 a≤0 时，最大值 27-10a；
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