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数学要提分，总结是王道！
第 5章 函数的性质
第 1节 函数的单调性的证明与判定
【知识讲解】
1）定义说明：
① 函数的单调性与定义的区间有关，它是函数的局部性质
② 因函数的单调性是对区间而言，单独点没有增减变化，所以考虑区间的单调性时，可以不包括端点
③ 初等函数均可分段单调
2）函数的单调性与函数的图象之间的关系
① f x 是增（减）函数 图象自左到右上升（下降）
3）确定函数单调区间的常用方法有：
①图象法（即通过画出函数图象，观察图象，确定单调区间）；
②定义法（取值、作差、变形、定号、下结论）；
【典型例题】
1. x x [a b] f（x1）－f（x2）例 设 1， 2∈ ， ，若 >0，则 f(x)在区间[a，b]上是________函数(填“增”或“减”)．
x1－x2
例 2.若函数 f(x)在区间[－1，2]上单调递减，则下列关系正确的是( )
A．f(0)>f(3) B．f(－1)>f(1)
C．f(0)例 3.已知函数 f(x)＝x2＋4x＋c，则( )
A．f(1)C．c>f(1)>f(－2) D．f(1)>c>f(－2)
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例 4.已知 f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，若 f(x)例 5.已知函数在定义域[－2，3]上单调递增，则满足 f(2x－1)>f(x)的 x的取值范围是( )
A．[－2，1] B．[－2，2]
C．[1，2] D．(1，2]
例 6.下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是( )
A．y 1＝1 B．y＝－ ＋2
x
C．y＝－x2－2x－1 D．y＝1＋x2
例 7.讨论函数 f x x2 2 x 3的单调区间
2x
例 8.试用函数单调性的定义判断函数 f x 在区间 0, 1 上的单调性．
x 1
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第 2节 含参单调性问题
【典型例题】
例 1.若函数 f(x)＝(3a＋2)x－5 在 R上是增函数，则实数 a的取值范围是( )
A 2 2．（－∞， ） B．（－∞，－ ）
3 3
C. 2 2（ ，＋∞ ） D．（－ ，＋∞）
3 3
例 2.函数 f(x)＝ax2＋2(a－3)x＋1 在区间[－2，＋∞)上递减，则实数 a的取值范围是( )
A．(－∞，－3] B．[－3，0] C．[－3，0) D．[－2，0]
b
例 3.若 y＝ax与 y＝－ 在区间(0，＋∞)上都是减函数，则 y＝ax2＋bx在区间(0，＋∞)上是( )
x
A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增
例 4.函数 f(x) ax＋1＝ 在区间(－2，＋∞)上是增函数，则 a的取值范围是________．
x＋a
x 5
例 5.函数 y 在 1, 上单调递增，则 a的取值范围是（ ）．
x a 2
A. a 3 B. a 3 C. a 3 D. a 3
2
例 6.已知函数 f x x a a 0 在 2, 上递增，求实数 a的取值范围．
x
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3
例 7.若 f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则 f(a2－a＋1)与 f 4 的大小关系为( )
3 3
A．f(a2－a＋1)≤f 4 B．f(a2－a＋1)≥f 4
3 3
C．f(a2－a＋1)x2（x>1），
例 8.已知函数 f(x)＝ 4 a－
2 x－1（x≤1）.
(1)若 f(2)＝f(1)，求 a的值；
(2)若 f(x)是 R上的增函数，求实数 a的取值范围．
第 3节 函数奇偶性与简单的求值
【知识讲解】
1）奇函数、偶函数的定义说明
① 一个函数有奇偶性的必要条件是它的定义域关于原点对称.
② 函数不一定具有奇偶性．
③ 函数的奇偶性是整个定义域上的性质.（整体性质）
④ 注意点：
a. 常数函数的奇偶性：（1） f x c c 0 偶函数（2） f x 0 奇且偶函数
f x
b. 判定奇偶性时，灵活应用等价形式，如： f x f x 0, 1等
f x
2）函数的奇、偶性与函数的图像：
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① 函数 f x 是奇函数 函数图像关于原点对称；
② 函数 f x 是偶函数 函数图像关于 y轴对称．
3）判断方法以及常用结论
① 判断函数的奇偶性，一般有三种方法：（1）定义法；（2）图象法；（3）性质法．
【典型例题】
例 1.下列函数中奇函数的个数为( )
(1)f(x) 1 1＝x3； (2)f(x)＝x5； (3)f(x)＝x＋ ； (4)f(x)＝ .
x x2
A．1 B．2 C．3 D．4
例 2.函数 y＝ 1－|x| 9＋ 是( )
1＋x2
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
例 3.函数 f(x) 1＝ －x的图像关于( )
x
A．y轴对称 B．直线 y＝－x对称
C．原点对称 D．直线 y＝x对称
例 4.已知函数 f(x)是定义在[1－a，5]上的偶函数，则 a的值是( )
A．0 B．1 C．6 D．－6
例 5.已知函数 f(x)是定义域为 R的奇函数，且 f(－1)＝2，则 f(0)＋f(1)＝________．
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例 6.设 f(x)是定义在 R上的奇函数，当 x≤0 时，f(x)＝2x2－x，则 f(1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
例 7.已知 f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则 f(2)＝________．
2
例 8.已知函数 f(x)＝1－ .若 g(x)＝f(x)－a为奇函数，求 a的值；
x
例 9.函数 y f x 与 y g x 有相同的定义域，对定义域中任何 x，有 f x f x 0，
g x g 2 f x x 1，则 F x f x 是（ ）
g x 1
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
例 10. 设函数 f x 和 g x 分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的
是（ ）
A. f x g x 是偶函数 B. f x g x 是奇函数
C. f x g x 是偶函数 D. f x g x 是奇函数
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第 4节 函数奇偶性和单调性综合
【典型例题】
例 1.若对于任意实数 x，都有 f(－x)＝f(x)，且 f(x)在区间(－∞，0]上是增函数，则( )
3
－
A．f(－2)3 3
－ －
C．f 2 例 2.若奇函数 f(x)在[1，3]上为增函数且有最小值 0，则它在[－3，－1]上( )
A．是减函数，有最大值 0
B．是减函数，有最小值 0
C．是增函数，有最大值 0
D．是增函数，有最小值 0
例 3.已知函数 y＝f(x)是 R 上的偶函数，且 f(x)在[0，＋∞)上是减函数，若 f(a)≥f(－2)，则 a的取值范围是
( )
A．a≤－2 B．a≥2
C．a≤－2 或 a≥2 D．－2≤a≤2
f（x）
例 4.已知 f(x)是定义在 R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若 f(－3)＝0，则 <0 的解集为
x
______________．
例 5.已知奇函数 f x 的定义域为 2,2 ，且在区间 2,0 内递减，求满足： f 1 m f 1 m2 0的
实数m的取值范围．
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例 6.设 f x 的图像关于原点对称，且在 0, 上是增函数， f 3 0，
则 xf x 0的解集为__________.
例 7.已设函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，且在区间 , 0 上是减函数，实数 a 满足不等式
f 3a2 a 3 f 3a2 2a ，求实数 a的取值范围.
例 8.已知 f(x)是定义在 R上的奇函数，且 f(x) x＋m＝ .
x2＋nx＋1
(1)求 m，n的值；
(2)用定义证明 f(x)在(－1，1)上为增函数；
(3)若 f(x)≤a x 1 1对 ∈（－ ，）恒成立，求 a的取值范围．
3 3 3
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第 5节 抽象函数的单调性和奇偶性
【典型例题】
例 1.已知函数 f x 对于任意 x, y R，总有 f x f y f x y ，且当 x 0 时， < 0,
求证： f x 在R上是减函数；
x
例 2.已知定义在区间 0, 上的函数 f x 满足 f 1 f x1 f x2 ，且当 x 1时， f x 0 .
x2
（1）求 f 1 的值；
（2）判断 f x 的单调性；
（3）若 f 3 1，求 f x 在 2,9 上的最小值．
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例 3.已知函数 f x ，当 x, y R时恒有 f x y f x f y ．
①求证：函数 f x 是奇函数；
②若 f 3 a，试用 a表示 f 24 ．
例 4.设函数 y f x （ x R 且）对任意非零实数 x1 , x2 ，恒有 f x1x2 f x1 f x2 ，
（1）求证： f 1 f 1 0；
（2）求证： y f x 是偶函数；
（3）已知 y f x 为 0, 1 上的增函数，求适合 f x f x 0 的 x的取值范围．
2
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3 3
例 6、 3 f x 2 例 7、 ymin ， y4 max 4
【第 4 节】
例 1、 f x 2x 1 或 y 2x 1. 例 2、 = 0.52 + 0.5
3
3 f x x2 4x 2例 、 例 4、 = 1 + 1 例 5、 f x 1 xx
6 = 1例 、 例 7、y=x -2 例 8、y=2 + 2 + 2

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第 5章 函数的性质
【第 1 节】
1.增 2.B 3.D 4. 32
7. 函数在 , 1 ， 0,1 上的单调递增，在 1,0 ， 1, 上单调递减
2 x x
8. 任取 x1, x2 0, 1 x x
2x 2x 2 1
，且 1 2，则 f x1 f x 1 22 ，x1 1 x2 1 x1 1 x2 1
由于0 x1 x2 1， x1 1 0， x2 1 0， x2 x1 0，
故 f x1 f x2 0，即 f x1 f x
2x
2 ，所以，函数 f x 在 0, 1 上是减函数．x 1
【第 2 节】
1.D 2.B 3.B 4. [2，＋∞) 5.C
6. 0 a 4 7.A 8.（1）-2 （2）4≤a<8.
【第 3 节】
1.C 2.B 3.C 4.C 5.-2 6.A
7. 6 8. 1 9.B 10.A
【第 4 节】
1.D 2.C 3.D 4. {x|－33} 5. 1 ≤ < 1
6. 3,0 ∪ 0,3 7. a 1
8.(1)m＝0. n＝0.
x x x1（x22＋1）－x2（x2(2) 1 2 1＋1）证明：任取－1x12＋1 x22＋1 （x12＋1）（x22＋1）
（x1x22－x2x21）＋（x1－x2） （x1－x2）（1－x1x2）
＝ ＝ .
（x21＋1）（x22＋1） （x12＋1）（x22＋1）
因为－10，又 x1即 f(x1)(3)由(2)知 f(x)在(－1，1)上单调递增，
所以 f(x) 1 1 1 3 a 3 9在－ ， 上的最大值为 f ＝ .依题意， ≥ ，所以 a≥ .
3 3 3 10 3 10 10
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【第 5 节】
1. 令 x1 x2，∵ f x f y f x y ，且 f x y是 R上的奇函数，
∴ f x2 f x1 f x2 f x1 f x2 x1 ，∵ x1 x2，∴ x2 x1 0
∵当 x 0 时， f x 0，∴ f x2 x1 0，∴ f x2 f x1 0，
即 f x2 f x1 ，所以 y f x 是 R上的减函数.
2. （1）令 x1 x2 代入可得 f 1 0；

（2）设 x x 0 x1 f x x1 2 ，则 1，x
1 0 ，∴ f x1 f x2 fx
1 0
2 2 x

2
所以 f x 在 0, 上单调递减.
（3）∵ f x 在 0, 上单调递减，∴ f x 在 2,9 上的最小值为 f 9 9 ， f f 9 f 3 ，∴
3
f 9 2 f 3 2 ，∴ f x 的最小值为 2 .
3. ①函数 f x 是奇函数；② f 24 8a．
4. 1 ） 由 12 = 1 + 2 12 ≠ 0 ， 有 1 = 1 + 1 = 2 1 ， 1 = 0 ， 而
f 1 f 1 f 1 2 f 1 2 f 1 0 f 1 0
，∴ ，即 ．
（2）对任意的 x 0，都有 = 1 + = f x ，∴ 为偶函数．
3 f x1x2 f x1 f x2 x（ ）由 1x2 0 ，可得 + 1 = 2 1 ，
2 2
由 + 1 ≤ 0 12 ，而 为偶函数且 1 = 0，有
2 ≤ 1
2 ．
1
f x 2 ≤ 10, + ∞ 1 17 1+ 17 1又∵ 在 上是增函数，∴ 2 ，解得 ≤ ≤ 且 x 01 4 4 ， ≠ ．2 2 ≠ 0
2
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