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数学要提分，总结是王道！
第 7章 函数的应用
第 1节 方程的根与函数零点
1．函数 f(x) 1＝lg x＋ 的零点是( )
2
A. 1 B. 10 C. 10 D．10
10 10
2 x－1．若函数 f(x)＝ ，则 g(x)＝f(4x)－x的零点是( )
x
A．2 B.1 C．4 D.1
2 4
x2＋bx＋c，x≤0，
3．设函数 f(x)＝ 若 f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则函数 g(x)＝f(x)－x的零点个数为( )
3，x>0，
A．1 B．2 C．3 D．4
4．讨论函数 f(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)的零点．
5．已知函数 f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求函数 f(x)的定义域；
(2)求函数 f(x)的零点．
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第 2节 零点存在性定理
1．函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，若 f(1)>0，f(2)<0，则 f(x)在(1，2)上的零点( )
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
1 x－2
2．设函数 y＝x3与 y＝ 2 的图像的交点坐标为(x0，y0)，则 x0所在的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
3．设函数 f(x) 1＝ x－ln x(x>0)，则下列说法中正确的是( )
3
1
，1
A．f(x)在区间 e ，(1，e)内均有零点
1
，1
B．f(x)在区间 e ，(1，e)内均无零点
1
，1
C．f(x)在区间 e 内有零点，在(1，e)内无零点
1
，1
D．f(x)在区间 e 内无零点，在(1，e)内有零点
4．对于方程 x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：
①在(－2，－1)内有实数根；
②在(－1，0)内有实数根；
③在(1，2)内有实数根；
④在(－∞，＋∞)内没有实数根．
其中正确的有________．(填序号)
6
5.已知函数 f x log
x 2
x，在下列区间中，包含 f x 零点的区间是（ ）
A. 0,1 B. 1, 2
C. 2, 4 D. 4,
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6. 若 a b c，则函数 f x x a x b x b x c x c x a 的两个零点分别位于区
间（ ）
A. a,b 和 b,c 内 B. ,a 和 a,b 内
C. b,c 和 c, 内 D. ,a 和 c, 内
第 3节 零点个数问题
1．方程 3x＝x＋2 解的个数是________．
1
，2
2．已知函数 f(x)＝x＋log2x，则 f(x)在 2 内的零点的个数是________．
log2（x＋1）（x>0），
3．已知函数 f(x)＝ 若函数 g(x)＝f(x)－m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是
－x2－2x（x≤0），
________．
4.函数 f x 2x x3 2在区间 0,1 内的零点个数是（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
5. 已知 f x 是R上最小正周期为 2 的周期函数，且当0 x 2时， f x x3 x，则函数 y f x 的
图象在区间 0,6 上与 x轴的交点的个数为（ ）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
x
2 2, x 0,
6. 函数 f x 的零点个数是________．
2x 6 ln x, x 0
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7、函数 f x 2x log0.5 x 1的零点个数为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
第 4节 复合函数零点
0， 01. 已知函数 f(x)＝|ln x|，g(x)＝ 则方程|f(x)＋g(x)|＝1 实根的个数为________．
|x2－4|－2，x>1，
2. 定义域为 R的偶函数 f(x)满足对 x∈R，有 f(x＋2)＝f(x)－f(1)，且当 x∈[2，3]时，f(x)＝－2x2＋12x－
18.若函数 y＝f(x)－loga(x＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则 a的取值范围是( )
0 3 2 5， 0， 0， 0 6，
A. 3 B. 2 C. 5 D. 6
kx＋1，x≤0，
3. 已知函数 f(x)＝ 则下列关于函数 y＝f(f(x))＋1 的零点个数的判断正确的是( )
ln x，x>0，
A．当 k>0 时，有 3 个零点；当 k<0 时，有 2 个零点
B．当 k>0 时，有 4 个零点；当 k<0 时，有 1 个零点
C．无论 k为何值，均有 2 个零点
D．无论 k为何值，均有 4 个零点
1
＋x2＋2x，x<0，
4. 已知 f(x)＝ 2 且函数 y＝f(x)＋ax恰有 3个不同的零点，则实数 a的取值范围是________．
f（x－1），x≥0，
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第 5节 二分法求方程近似解
1．用二分法求函数 f(x)＝2x－3 的零点时，初始区间可选为( )
A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)
2．下列函数中，不能用二分法求零点的是( )
图 L3-1-1
3．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间(an，bn)内，当|an－bn|<ε时，函数的近似零点与真正
的零点的误差不超过( )
A ε B.1． ε C 1．2ε D. ε
2 4
4．设 f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程 3x＋3x－8＝0 在(1，2)内近似解的过程中得 f(1)<0，f(1.5)>0，
f(1.25)<0，则方程的根所在区间为( )
A．(1，1.25) B．(1.25，1.5)
C．(1.5，2) D．不能确定
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5．函数 f(x)＝x3＋x2－2x－2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260
f(1.437 5)＝0.162 f(1.406 25)＝－0.054
那么方程 x3＋x2－2x－2＝0 的一个近似根(精确到 0.1)为( )
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
6．已知 f(x)的一个零点 x0∈(2，3)，用二分法求精确度为 0.01 的 x0近似值时，判断各区间中点的函数
值的符号最多需要的次数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
7．已知函数 f(x)在区间[1，3]上连续不断，且 f(1)f(2)f(3)<0，则下列说法正确的是( )
A．函数 f(x)在区间[1，2]或者[2，3]上有一个零点
B．函数 f(x)在区间[1，2]、[2，3]上各有一个零点
C．函数 f(x)在区间[1，3]上最多有 2015 个零点
D．函数 f(x)在区间[1，3]可能有 2014 个零点
8．用二分法求方程 x3－2x－5＝0 在区间[2，3]内的实根，取区间中点 x0＝2.5，那么下一个有根区间是
________．
9．已知方程 mx2－x－1＝0 在区间(0，1)内恰有一解，则实数 m 的取值范围是________．
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10．用二分法研究函数 f(x)＝x2＋3x－1 的零点时，第一次经过计算 f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零
点 x0∈________，第二次应计算________．
11．“二分法”是求无理数的近似值的一个有效方法，用这个方法求 17的近似值时，构造的函数是
________，选定的初始区间是________(答案不唯一，写出一个即可)．
12．求函数 y＝2x＋3x－7 的近似零点．(精确度为 0.1)
第 6节 函数的应用题
1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，
若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y与时间 x的关系，可选用( )
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数型函数模型 D．对数型函数模型
2．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长 10.4%，专家预测经过 x年可能增长到
原来的 y倍，则函数 y＝f(x)的图像大致为( )
图 L3-2-1
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3．某厂生产中所需一些配件可以外购，也可以自己生产．如外购，每个价格是 1.10 元；如果自己生产，
则每月的固定成本将增加 800 元，并且生产每个配件的材料和劳力需 0.60 元，则决定此配件外购或自产的
转折点是( )
A．1000 件 B．1200 件 C．1400 件 D．1600 件
4．将进货单价为 8 元的商品按 10 元一个零售，每天能卖出 100 个，若这种商品的销售价每涨 1 元，
销量就减少 10 个，为了获取最大利润，这种商品的零售价格应定为每个( )
A．11 元 B．12 元 C．13 元 D．14 元
5．某新款电视投放市场后第一个月销售了 100 台，第二个月销售了 200 台，第三个月销售了 400 台，
第四个月销售了 790 台，则下列函数模型中能较好地反映销量 y与投放市场的月数 x(1≤x≤4，x∈N*)之间关
系的是( )
A．y＝100x
B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x
D．y＝100x
6．在 x克 a%的盐水中，加入 y克 b%的盐水，浓度变为 c%，则 x与 y的函数关系式为( )
A c－a c－a．y＝ ·x B．y＝ ·x
c－b b－c
C y a－c·x D y b－c． ＝ ． ＝ ·x
b－c c－a
7．已知当 x≥0 时，函数 y＝x2 与函数 y＝2x的图像如图 L3-2-2 所示，则当 x≤0 时，不等式 2x·x2≥1 的解
集是( )
图 L3-2-2
A．[－4，－2] B．[2，4] C．[－2，2] D．[－4，2]
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8．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是 f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，
如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是________．
9．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子几乎没有变化，但价格却上涨了，
小张在 2013 年以 180 万的价格购得一套新房子，假设这 10 年来价格年膨胀率不变，那么到 2023 年，这所
房子的价格 y(万元)与价格年膨胀率 x之间的函数关系式是________．
10．某药品经过两次降价，每瓶的零售价由 100 元降为 81 元，已知两次降价的百分率相同，设为 x，
为求两次降价的百分率，则列出的方程为__________．
11．如图 L3-2-3 所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量 y与净化时间 t(月)
的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0 且 a≠1)的图像．有以下叙述：
①第 4 1个月时，残留量就会低于 ；
5
②每月减少的有害物质量都相等；
1 1 1
③若残留量为 ，， 时，所经过的时间分别是 t1，t2，t3，则 t1＋t2＝t3.
2 4 8
其中所有正确叙述的序号是________．
图 L3-2-3
12．复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一种计算利息的方法．某人
向银行贷款 10 万元，约定按年利率 7%复利计算利息．
(1)写出 x年后，需要还款总数 y(单位：万元)和 x(单位：年)之间的函数关系式；
(2)计算 5 年后的还款总额(精确到元)；
(3)如果该人从贷款的第二年起，每年向银行还款 x元，分 5 次还清，求每次还款的金额 x(精确到元)．
(参考数据：1.073≈1.225 0，1.074≈1.310 8，1.075≈1.402 551，1.076≈1.500 730)
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13．甲、乙两人在一次赛跑中，路程 S与时间 t的函数关系如图 L3-2-4 所示，则下列说法正确的是( )
图 L3-2-4
A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点
14．某厂日产手套总成本 y(元)与手套日产量 x(副)的关系式为 y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副 10
元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200 副 B．400 副 C．600 副 D．800 副
15．某城市出租汽车的收费标准是：起步价为 6 元，行程不超过 2 千米者均按此价收费；行程超过 2
千米，超过部分按 3 元/千米收费(不足 1 千米按 1 千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，
但仍按 6 分钟折算 1 千米计算(不足 1 千米按 1 千米计价)．陈先生坐了一趟这种出租车，车费 24 元，车上
仪表显示等候时间为 11 分 30 秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是( )
A．[5，6) B．(5，6] C．[6，7) D．(6，7]
16．一种放射性元素，最初的质量为 500 g，按每年 10%衰减，则这种放射性元素的半衰期为(注：剩
留量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)(精确到 0.1.已知 lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)( )
A．5.2 B．6.6 C．7.1 D．8.3
17．某种生物增长的数量 y与时间 x的关系如下表：
x 1 2 3 …
y 1 3 8 …
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( )
A．y＝x2－1 B．y＝2x－1
C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2
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18．某商场在国庆促销期间规定，商场内所有商品按标价的 80%出售；同时，当顾客在该商场内消费
满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
消费金额(元)
[200，400) [400，500) [500，700) [700，900) …
的范围
获得奖券的
30 60 100 130 …
金额(元)
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为 400 元的商品，则消费
金额为 320 元，获得的优惠额为 400×0.2＋30＝110(元)．若顾客购买一件标价为 1000 元的商品，则所能得
到的优惠额为( )
A．130 元 B．330 元 C．360 元 D．800 元
19．已知 A，B两地相距 150 千米，某人开汽车以 60 千米/小时的速度从 A地到达 B地，在 B地停留 1
小时后再以 50 千米/小时的速度返回 A地，把汽车离开 A地的距离 x表示为时间 t的函数，解析式是( )
A．x＝60t B．x＝60t＋50t
60t （0≤t≤2.5），
C．x＝ 150 （2.5150－50（t－3.5） （3.560t （0≤t≤2.5），
D．x＝
150－50t （t>3.5）
20 1．计算机成本不断降低，若每隔 3 年计算机价格降低 ，现在价格为 8100 元的计算机，9 年后的价格
3
为________元．
21．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 v(米/秒)和燃料的质量 M(千克)、火箭(除燃料外)的
质量 m(千克) M的函数关系式是 v＝2000·ln1＋ .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可
m
达 12 千米/秒．
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22．地震的等级是用里氏震级 M表示，其计算公式为 M＝lg A－lg A0，其中 A是地震时的最大振幅，
A0 是“标准地震的振幅”(使用标准地震振幅是为了修正测量中的误差)．一般 5 级地震的震感已比较明显，某
地区发生的大地震的震级是 8 级，则 8 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的________倍．
图 L3-2-5
23．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中室内每立方米空气中
1 t－a
的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比．药物释放完毕后，y与 t的函数关系式为 y＝ 16 (a为常数)，如
图 L3-2-5 所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系式为________；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开
始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
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又 k∈N，则 k＝0，1.
当 k＝0，1 时，f(x)＝x2.
(2)由已知得 g(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1，
当 x∈[0，2]时，易求得 g(x)∈[m－1，m]，
由已知值域为[2，3]，得 m＝3.
故存在满足条件的 m，且 m＝3.
14、D 15、B 16、（0,1） 17、A
第 7章 函数的应用
【第 1 节】
1.C 2.B 3.C 4. x 1＝ 或 x＝2. 5.（1）(－3，1)（2）－1± 3.
a
【第 2 节】
1.C 2.B 3.D 4. ①②③ 5.B 6.A
【第 3 节】
1. 2 2. 1 3、(0，1) 4.B 5.B 6.2 7.B
【第 4 节】
1
，＋∞
1、4 2、A 3、B 4、 2
【第 5 节】
1．C [ 1解析] 因为 f(－1)＝ －3<0，f(0)＝1－3<0，f(1)＝2－3<0，f(2)＝4－3＝1>0，所以初始区间可
2
选为(1，2)．
2．B [解析] 由图像知 B 中函数不存在 x1，x2，使得 f(x1)f(x2)<0 成立．
3．A [解析] 最大误差即为区间长度ε.
4．B [解析] 根据二分法的定义，可知零点存在的区间是(1.25，1.5)，因此也是方程的根所在的区间．
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5．C [解析] 易知函数 f(x)＝x3＋x2－2x－2在R上是连续的，根据表中数据，可知 f(1.437 5)·f(1.406 25)<0，
得到函数 f(x)在区间(1.437 5，1.406 25)内有零点．所以，方程 x3＋x2－2x－2＝0 的一个近似根为 1.4.
6 1．B [解析] 函数 f(x)的零点所在区间的长度是 1，用二分法经过 7 次分割后区间的长度变为 <0.01.
27
7．D [解析] 零点存在性定理只能判断一定条件下有无零点，但不能判断零点的个数，从选项中可知，
选项 A，B，C 都是肯定的答案，所以不正确，只有选项 D 正确．
8．(2，2.5) [解析] 令 f(x)＝x3－2x－5，f(x)的图像在[2，3]上连续不断，
因为 f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(x0)＝f(2.5)＝5.625>0，
所以 f(2)·f(2.5)<0，故下一个有根区间是(2，2.5)．
9．(2，＋∞) [解析] 设 f(x)＝mx2－x－1，因为方程 mx2－x－1＝0 在(0，1)内恰有一解，所以当 m＝0
时，方程－x－1＝0 在(0，1)内无解，当 m≠0 时，由 f(0)f(1)<0，即－(m－1－1)<0，解得 m>2.
10 (0 0.5) f(0.25) [ ] x (0 0.5) 0.5． ， 解析 由零点的存在性可知， 0∈ ， ，取该区间的中点 ＝0.25，所以第
2
二次应计算 f(0.25)．
11．f(x)＝x2－17 [4，5] [解析] 由于 17是方程 x2－17＝0 的一个根，故构造函数 f(x)＝x2－17，根据
函数零点存在性定理，可以选区间[4，5]．
12．解：设 f(x)＝2x＋3x－7，根据二分法逐步缩小方程的解所在的区间．经计算，f(1)＝－2<0，f(2)＝
3>0，所以函数 f(x)＝2x＋3x－7 在[1，2]内存在零点，即方程 2x＋3x－7＝0 在[1，2]内有解．取[1，2]的中
点 1.5，经计算，f(1.5)≈0.33>0，又 f(1)＝－2<0，所以方程 2x＋3x－7＝0 在[1，1.5]内有解．如此下去，得
到方程 2x＋3x－7＝0 实数解所在的区间，如下表：
左端点 右端点
第 1 次 1 2
第 2 次 1 1.5
第 3 次 1.25 1.5
第 4 次 1.375 1.5
第 5 次 1.375 1.437 5
由表可以看出，区间(1.375，1.437 5)内的所有值，精确到 0.1 时，都是 1.4，所以 1.4 是函数 y＝2x＋3x－7
的近似零点．
【第 7 节】
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1．D [解析] 一次函数匀速增长，二次函数和指数型函数都是开始增长慢，以后增长越来越快，只有
对数型函数增长先快后慢．
2．D [解析] 依题意，选项 D 符合条件．
3．D [解析] 设生产 x件时自产合算，由题意得 1.1x≥800＋0.6x，解得 x≥1600，故选 D.
4．D [解析] 设零售价格是 x元，获得的利润是 y元，单个利润是(x－8)元，销售量是 100－10(x－10)，
所以 y＝(x－8)[100－10(x－10)]＝(x－8)(－10x＋200)＝－10(x－14)2＋360，由二次函数知识易知，当 x＝14
时，ymax＝360.故选 D.
5．C [解析] 将题目中的数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应．
6 B [ ] a%x＋b%y c% ax＋by． 解析 据题意有 ＝ ，所以 ＝c，即 ax＋by＝cx＋cy，
x＋y x＋y
(b c)y (c a)x y c－a所以 － ＝ － ，所以 ＝ ·x.
b－c
7．A [解析] 在 2x·x2≥1 中，令 x＝－t，由 x≤0 得 t≥0，
∴2－t·(－t)2≥1，即 t2≥2t，由所给图像得 2≤t≤4，
即 2≤－x≤4，解得－4≤x≤－2.
8．f4(x)＝2x [解析] 根据不同函数的增长模型知，最终跑在最前面的人具有的函数关系是 f4(x)＝2x.
9．y＝180(1＋x)10 [解析] 一年后的价格为 180＋180·x＝180(1＋x)．
两年后的价格为 180(1＋x)＋180(1＋x)·x＝180(1＋x)(1＋x)＝180(1＋x)2，
由此可推得 10 年后的价格为 180(1＋x)10.
10．100(1－x)2＝81
2 4 2， t
11．①③ [解析] 根据题意，函数的图像经过点 9 ，故函数为 y＝ 3 .易知①③正确．
12．解：(1)y＝10×(1＋7%)x，定义域为{x|x∈N*}．
(2)5 年后的还款总额为 y＝10×(1＋7%)5＝10×1.075≈14.025 5(万元)．
(3)由已知得 x(1＋1.07＋1.072＋1.073＋1.074)＝14.025 5.
解得 x≈2.438 9.
故每次还款的金额为 24 389 元(或 2.438 9 万元)．
13．D [解析] 当 t＝0 时，S＝0，故甲、乙同时出发；易知甲、乙两人的路程一样多，且甲的速度大
于乙的速度；甲跑完全程 S所用的时间少于乙所用时间，故甲先到达终点．
14．D [解析] 由 5x＋4000≤10x，解得 x≥800，即该厂日产手套至少 800 副时才不亏本．
15．B [解析] 设陈先生此趟行程为 x千米(x∈Z)，则 6＋(x－2)×3＋2×3＝24，得 x＝6.故实际行程应
153
数学要提分，总结是王道！
属于区间(5，6]．
16．B [ ] 9 1解析 设半衰期为 x，则有 500(1－10%)x＝250，即 x＝ ，取对数得 x(lg 9－1)＝－lg 2，所
10 2
以 x lg 2 ≈ 0.301 0＝ ≈6.6.
1－2lg 3 1－2×0.477 1
17．D [解析] 将表中数据代入各式检验即可．
18．B [解析] 依题意，得到的优惠额为 1000×(1－80%)＋130＝200＋130＝330(元)．
19．C [解析] 应分三段建立函数关系，当 0≤t≤2.5 时，x＝60t；当 2.5是 150；当 3.520．2400 [解析] 依题意可得 8100×1 1－ 3＝8100×23＝2400(元)．
3 3
21．e6 M－1 [解析] 当 v＝12 000 时，2000·ln1＋ ＝12 000，
m
ln1 M M所以 ＋ ＝6，所以 ＝e6－1.
m m
22．1000 [解析] 因为 8＝lg A1－lg A0，5＝lg A2－lg A0，所以 A1＝108A0，A2＝105A0，所以 A1∶A2＝
108A0∶105A0＝1000.
10t 1，0≤t≤ ，
10
23．(1)y＝ 1 t－0.1 1 (2)0.6 [解析] (1)由图可设 y＝kt(0≤t≤0.1)，把点(0.1，1)分别代入 y＝kt16 ，t>
10
1 t－a
和 y＝ 16 ，解得 k＝10，a＝0.1.
1 t－0.1
(2)由 16 <0.25，解得 t>0.6.
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