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数学要提分，总结是王道！
第1章集合
【第1节】
例1、A
例2、A
例3、D
例4、在、、∈、∈、∈、∈
例5、D
例6、A={2,4,5}
例7、M={-11,-6,-3,-2,0,1,4,9}
例8、∈；E;∈
例9、D
【第2节】
例1、D
例2、C
例3、D
例4、MSN
窗5N=g时，a=0N={3}时，a=3N=2时，0P
2
例6、=1或≤-1
例7、m≤3
【第3节】
例1、D
例2、A
例3、D
例4、C
例5、D
例6、{(1，-3)}
例7、
【第4节】
例1.(|2改a=0吲：as号
例2、A当k=0时，集合A={2:当k=1时，集合A={4
例3、(1)A中只有一个元素，即方程ax2+2x+1=0只有-个解，当a=0时，x=
符合题意，a+0
2
时，△=4-4a,∴.a=1,此时x=x2=-1.(2)a=0Ua21
例4、-0.5≤m≤1
例5、
例6、a≤-1
例7、（-0，-2]U[7,+∞)
2
【第5节】
例1、B
例2、C
例3、(1)m≤-2(2)m24
例4、8
例5、B
例6、8
例7、B
例8、8数学要提分，总结是王道！
【第 2部分 必修第一册】
第 1章 集合
第 1节 集合的概念与表示
【知识讲解】
1. 集合：
某些确定的不同的对象集在一起称为集合．集合中的对象称元素，若 a是集合 A的元素，记作 a A；若b
不是集合 A的元素，记作b A；
2. 集合的性质（指元素）：确定性，互异性，无序性
a. 任何一个对象都能确定它是不是某一个集合的元素，这是集合中元素的最基本的特征——确定性，反例：
“很小的数”，“个子较高的同学”；
b. 集合中的任何两个元素都是不同的对象，即在同一集合里不能重复出现相同元素—互异性，事实告诉我
2
们，集合中元素的互异性常被忽略，从而导致解题出错．例：方程 x 1 x 2 0 的解集不能写成 1,1,2 ，
而应写成 1,2
c. 在同一集合里，通常不考虑元素之间的顺序——无序性.例：集合 a,b,c 与集合 b,c,a 是相同集合
3. 集合的表示：
表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法、描述法的具体方法：在大括号内先写上表示这个集
合元素的一般符号及取值（或变化）范围，画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多
或有无限个元素时，不宜采用列举法．
4. 常用数集及其记法：
*
非负整数集（或自然数集），记作 N ；正整数集，记作N 或N ；整数集，记作 Z；
有理数集，记作Q；实数集，记作 R．
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【典型例题】
【例 1】 在“①难解的题目；②方程 x 2 1 0 在实数集内的的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；
④很多多项式”中，能组成集合的是（ ）
A. ②③ B. ①③
C. ②④ D. ①②④
【例 2】 下面有四个命题：
（1）集合 N 中最小的数是1；
（2）若 a不属于 N ，则a属于 N ；
（3）若a N，b N 则 a b的最小值为2；
（4） x 2 1 2 x 的解可表示为 1,1 ；
其中正确命题的个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【例 3】 已知集合 S a,b,c 中的三个元素可构成 ABC的三条边长，那么 ABC一定不是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
【例 4】 用符号“ ”或“ ”填空
（1） 0 ______ ， 5 ______N ， 16 ______N
2 1（ ） ______, ______,
2
（3） 2 3 2 3 ________ x | x a 6b , a Q , b Q
x y 1
【例 5】 方程组 的解集是（ ）
x2 y2 9
A. 5,4 B. 5, 4 C. 5,4 D. 5, 4
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【例 6】 已知集合 A x N
8
N ，试用列举法表示集合 A
6 x
M m 10 Z ,m Z 【例 7】 用列举法表示集合： m 1
【例 8】 用适当的符号填空：已知 A x | x 3k 2,k Z ， B x | x 6m 1,m Z ，则有：
17 ______ A； 5_______ A；17 _______ B
【例 9】 下列各选项中的M 与 P表示同一集合的是（ ）
A. M 0 ，P
B. M 3, 7 ， P 17,3
C. M x, y | y x2 3, x R ，P {y | y x2 3, x R}
D. M {y | y t2 3, t 2 R}，P t t y 1 3, y R
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第 2节 集合之间的关系
【知识讲解】
1. 集合 A的任何一个元素都是集合 B的元素，则称 A是 B的子集（或 B包含 A），记作 A B（或
A B）；
2. 集合相等：构成两个集合的元素完全一样．若 A B且 B A，则称 A等于 B，记作 A B；
3. 简单性质：
① A A；
② A；
③ 若 A B， B C，则 A C；
4. 0 ， 0 ， ， 之间的区别与联系
① 0 与 0 是不同的， 0 只是一个数字，而 0 则表示集合，这个集合中含有一个元素0 ，它们的关系是
0 0
② 与 0 是不同的， 中没有任何元素， 0 则表示含有一个元素0 的集合，它们的关系是两个集合之
间的关系（ 0 ）
③ 与 是不同的， 中没有任何元素， 则表示含有一个元素 的集合，它们的关系是
或 或
④ 显然， 0 ，0
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【典型例题】
【例 1】 若集合 X x | x 1 ，下列关系式中成立的为（ ）
A. 0 X B. 0 X
C. X D. 0 X
【例 2】 设集合 P x | x 1 ，Q x x x 1 0 ，下列结论正确的是（ ）
A. P Q B. P Q R
C. P Q D. Q P
【例 3】 设集合 A x x a 1 ， B x x b 2 ，若 A B，则实数 a,b必满足（ ）
A. a b 3 B. a b 3
C. a b 3 D. a b 3
M x x k 1 ,k Z N x x k 1【例 4】 设集合 ， ,k

Z 则,满足什么关系.
2 4

4 2
2
【例 5】 若集合M x x x 6 0 ，N x | ax 1 0 ，且 N M ，求实数 a的值.
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【例 6】 设集合 A x x2 4x 0 B x x2 2 a 1 x a2， 1 0,a R ，
若 B A，求实数a的值.
2
【例 7】 已知集合 A x x 3x 10 0 ， B x |m 1 x 2m 1 ，若 B A，
求m的取值范围.
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第 3节 集合之间的运算
【知识讲解】
1. 由属于集合 A且属于集合 B的元素所组成的集合，叫做集合 A与 B的交集．记作 A B（读作“ A交
B ”），即 A B {x | x A,且 x B}，数学符号表示： A B {x | x A,且 x B}
2. 由所有属于集合 A或属于集合 B的元素所组成的集合，称为集合 A与 B的并集．并集
A B {x | x A, x B}．（读作“ A并B ”）.数学符号表示： A B {x | x A或 x B}
3. 补集的概念：
① 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通
常记作U
② 补集：对于一个集合 A，由全集U 中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集U 的
补集，记作 ，即 = {| ∈ ,且 x A}，数学符号表示： = {| ∈ 且 x A}；
∪ = ； ∩ = ； =
【典型例题】
【例 1】 设集合 A 3，5，6，8 ，集合 B 4，5，7，8 ，则 A B等于（ ）
A． 3，4，5，6，7，8 B． 3，6 C． 4，7 D． 5，8
【例 2】 集合M {y | y x2 , x R}， N {y | y x 2, x R }，则 M∩N 等于（ ）
A． 0, B． ( , ) C ． D． { (2, 4)， ( 1, 1) }
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1
【例 3】 设集合 A x | x 2 ，B x | x2 ≤1 ，则 A B （ ）
2
A． x | 1≤ x 2 B x | 1． x ≤12
C． x | x 2 D． x |1≤ x 2
【例 4】 已知全集U R ，集合 = |2 4 ≤ 0 ，则 =（ ）
A． x | 2≤ x≤ 2 B． x 2≤ x≤2
C． x x 2或x 2 D． x x≤ 2或x≥2
5 A {y | y x2【例 】 已知 4x 3, x R}， B {y | y x2 2x 2, x R}，则 A B等于（ ）
A． B．{ 1, 3} C．R D．[ 1, 3]
y 3
【例 6】 若全集 I {(x, y) x R, y R}，集合 A {(x, y) 2, x R, y R}，集合
x 1
B {(x, y) y 2x 5, x R, y R}，求 ( I A) B
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第 4节 集合中的含参问题
【典型例题】
【例 1】 已知集合 A x | ax2 3x 2 0 至多有一个元素，则的取值范围；若至少有一个元素，则
的取值范围.
【例 2】 已知集合 A kx 2 8x 16 0 只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合 A .
【例 3 2】 已知集合 A x ax 2x 1 0,a R,x R
（1）若 A中只有一个元素，求 a的值，并求出这个元素；
（2）若 A中至多只有一个元素，求 a的取值范围.
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2
【例 4】 若集合 A x x x 2 0 ， B x |mx 1 0 ，且 B A求实数m的取值范围.
2
【例 5】 已知集合 A {a , a d , a 2d}, B {a , aq , aq }，其中 a 0 ，且 A B，则 q等于________．
【例 6】 设 A {x | 1 x 3},B {x | x a}，若 A B，则 a的取值范围是________.
【例 7】 已知集合 A x | x2 2x 8 0, x R ，B x x2 2m 3 x m2 3m 0,x R,m R ，
全集为R，若 ，则实数m的取值范围是________.
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第 5节 集合中的公式
【知识讲解】
1. 集合的简单性质
（1） A A A, A , A B B A;
（2） A A, A B B A;
（3） (A B) (A B);
（4） A B A B A; A B A B B；
（5）CS (A B) (CSA) (CSB),CS (A B) (CSA) (CSB).
2. 子集个数公式
n n n
设集合 A中元素个数为 n，则①子集的个数为 2 ，②真子集的个数为2 1，③非空真子集的个数为 2 2
3. 容斥原理
n(A B) n(A) n(B) n(A B) ．
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【典型例题】
1 U R , A x | x k 1 k 1 【例 】 设全集 若 , k Z , B x | x , k Z , 则下列正确的是（ ）
3 6 6 3
A．CUB CU A B． A B A C． A B A D．CU A B
【例 2】 已知集合 P {x | x2 1}，M {a}，若 P M P ，则 a的取值范围是
A． ( , 1] B． [1, ) C． [ 1,1] D． ( , 1] [1, )
2
【例 3】 若集合 A {x x 2x 8 0}，B {x x m 0}．
（1）若 A B ，求实数m的取值范围；
（2）若 A B A，求实数m的取值范围．
【例 4】 集合{a，b，c}的真子集共有_______个
【例 5】 集合 A 1,0,1 ， A的子集中，含有元素0 的子集共有（ ）
A. 2 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8个
【例 6】 求满足条件{1, 2} A {1, 2, 3, 4, 5} 的集合 A的个数
【例 7】 50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格 40人和31人，2项测验成绩均不
及格的有 4人， 2项测验成绩都及格的人数是（ ）
A．35 B． 25 C． 28 D．15
【例 8】 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参见两个小组．已知参加数
学、物理、化学小组的人数分别为 26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化
学小组的有 4人，则同时参加数学和化学小组的有________人
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【参考答案】
第 2章 常用逻辑用语
第 1节 全称和特称命题
【知识讲解】
1. 全称量词
a. 定义：短语“对所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“ ”表示，含有全称量词的命题，
叫做全称命题．
b. 全称命题的否定：全称命题 q： x A， q(x) ；它的否定是 q ： x A， q ( x ) ．将全称量词变
为存在量词，再否定它的性质．
2. 存在量词
a. 定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常用叫做参在量词，用符号“ ”表示，含有存在量词的命
题，叫做特称命题．
b. 存在性命题的否定：存在性命题 p ： x A， p ( x ) ；它的否定是 p ： x A， p ( x ) ．将存在量
词变为全称量词，再否定它的性质．
3. 全称命题与存在性命题的不同的表达方法
命题 全称命题 x A， p ( x ) 存在性命题“ x A， p ( x ) ”
a. 所有的 x A， p ( x ) 成立 a. 存在 x A，使 p ( x ) 成立
表 b. 对一切 x A， p ( x ) 成立 b. 至少有一个 x A，使 p ( x ) 成立
述
c. 对每一个 x A， p ( x ) 成立 c. 对有些 x A，使 p ( x ) 成立
方
d. 任选一个 x A，使 p ( x ) 成立 d. 对某个 x A，使 p ( x ) 成立
法
e. 凡 x A，都有 p ( x ) 成立 e. 有一个 x A，使 p ( x ) 成立
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