资源简介

数学要提分，总结是王道！
目 录
【第 1 部分 初高中衔接】................................................................................................................................ 4
第 1 章 初高中衔接........................................................................................................................................ 4
第 1 节 十字相乘与韦达定理.................................................................................................................... 4
第 2 节 一元二次不等式............................................................................................................................ 6
第 3 节 分式不等式与绝对值不等式........................................................................................................ 8
第 4 节 二次函数的最值.......................................................................................................................... 10
【第 2 部分 必修第一册】.............................................................................................................................. 11
第 1 章 集合.................................................................................................................................................. 11
第 1 节 集合的概念与表示...................................................................................................................... 11
第 2 节 集合之间的关系.......................................................................................................................... 14
第 3 节 集合之间的运算.......................................................................................................................... 17
第 4 节 集合中的含参问题...................................................................................................................... 19
第 5 节 集合中的公式.............................................................................................................................. 21
【参考答案】................................................................................................................................................ 23
第 2 章 常用逻辑用语.................................................................................................................................. 23
第 1 节 全称和特称命题.......................................................................................................................... 23
第 2 节 充分条件和必要条件.................................................................................................................. 25
第 3 节 含参条件的判断.......................................................................................................................... 27
第 3 章 均值不等式...................................................................................................................................... 28
第 1 节 均值不等式及其简单应用.......................................................................................................... 28
第 2 节 均值不等式中的配凑与“1”的作用............................................................................................. 30
第 3 节 均值不等式的应用...................................................................................................................... 32
第 4 节 多元均值不等式.......................................................................................................................... 33
第 4 章 函数的概念...................................................................................................................................... 35
第 1 节 函数的概念与表示...................................................................................................................... 35
第 2 节 函数的定义域.............................................................................................................................. 38
第 3 节 函数的值域.................................................................................................................................. 40
第 4 节 函数的解析式.............................................................................................................................. 42
第 5 章 函数的性质...................................................................................................................................... 44
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数学要提分，总结是王道！
第 1 节 函数的单调性的证明与判定...................................................................................................... 44
第 2 节 含参单调性问题.......................................................................................................................... 46
第 3 节 函数奇偶性与简单的求值.......................................................................................................... 47
第 4 节 函数奇偶性和单调性综合.......................................................................................................... 50
第 5 节 抽象函数的单调性和奇偶性...................................................................................................... 52
第 6 章 指、对、幂函数.............................................................................................................................. 54
第 1 节 指数与指数幂的运算.................................................................................................................. 54
第 2 节 指数函数及其图象...................................................................................................................... 56
第 3 节 指数函数的性质.......................................................................................................................... 58
第 4 节 对数的定义与运算...................................................................................................................... 60
第 5 节 换底公式...................................................................................................................................... 62
第 6 节 对数函数及其图象...................................................................................................................... 63
第 7 节 对数型函数.................................................................................................................................. 65
第 8 节 指数、对数中的大小比较.......................................................................................................... 67
第 9 节 指对函数的奇偶性...................................................................................................................... 69
第 10 节 幂函数及其性质........................................................................................................................71
第 7 章 函数的应用...................................................................................................................................... 76
第 1 节 方程的根与函数零点.................................................................................................................. 76
第 2 节 零点存在性定理.......................................................................................................................... 77
第 3 节 零点个数问题.............................................................................................................................. 78
第 4 节 复合函数零点.............................................................................................................................. 79
第 5 节 二分法求方程近似解.................................................................................................................. 80
第 6 节 函数的应用题.............................................................................................................................. 82
第 8 章 三角函数.......................................................................................................................................... 88
第 1 节 任意角的概念.............................................................................................................................. 88
第 2 节 弧度制.......................................................................................................................................... 91
第 3 节 任意角三角函数.......................................................................................................................... 93
第 4 节 同角三角函数基本关系.............................................................................................................. 96
第 5 节 诱导公式...................................................................................................................................... 99
第 6 节 正余弦函数图象与五点法画图................................................................................................104
第 7 节 正余弦函数的性质....................................................................................................................107
第 8 节 正切函数的图像与性质............................................................................................................110
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数学要提分，总结是王道！
第 9 节 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象....................................................................................................113
第 10 节 三角函数的平移......................................................................................................................117
第 12 节 三角函数模型的应用..............................................................................................................121
第 9 章 三角恒等变换................................................................................................................................126
第 1 节 两角差的余弦公式....................................................................................................................126
第 2 节 两角和差的正弦、余弦、正切公式........................................................................................128
第 3 节 二倍角公式................................................................................................................................130
第 4 节 凑角问题....................................................................................................................................133
第 5 节 辅助角公式................................................................................................................................135
第 6 节 三角函数与二次函数................................................................................................................137
参考答案.......................................................................................................................................................... 140
第 1 章 初高中衔接....................................................................................................................................140
第 1 章 集合................................................................................................................................................141
第 2 章 常用逻辑用语................................................................................................................................142
第 3 章 均值不等式....................................................................................................................................142
第 4 章 函数的概念....................................................................................................................................144
第 5 章 函数的性质....................................................................................................................................146
第 6 章 指、对、幂函数............................................................................................................................148
第 7 章 函数的应用....................................................................................................................................151
第 8 章 三角函数........................................................................................................................................155
第 9 章 三角恒等变换................................................................................................................................172
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数学要提分，总结是王道！
【第 1部分 初高中衔接】
第 1章 初高中衔接
第 1节 十字相乘与韦达定理
【知识讲解】
1. 十字相乘法：借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法．
（1） 2 + ( + ) + = ( + )( + )
（2） ax2
a c
bx c(a 0) 能用十字相乘法因式分解的条件是：在式子 1 1 中，竖向的两个数必须满足
a2 c2
关系 a1a2 a,c1c2 c，在上式中斜向的两个数必须满足 a1c2 a2c1 b，分解思路为“拆两边，凑中间”。
2. 韦达定理：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
定理：如果一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0) 的两个根为 x1, x2 ，那么：
x b c1 x2 , xa 1
x2 a
说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达
定理”．上述定理成立的前提是 0 ．
【典型例题】
【例 1】 分解因式：（1）3x2 11x 10 ； （2） 2x2 15x 7 ；
【例 2】 分解因式：（1）3x2 2xy 8y2 ； （2） x4 10x2 9 ．
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数学要提分，总结是王道！
【例 3】 分解因式：（1） x2 (a 2)x 2a （2） ax2 (3a 1)x 2a 1(a 0)
【例 4】 分解因式：（1） ax2 (2a 1)x 2 （2）3ax2 3(a 2)x 6
【例 5】 已知二次函数 x2 4ax 2a 1 1 6 0 的两根为 x1, x2 ，则 的值为_________．x1 x2
【例 6】 若方程2 + 2 2 3 = 0 的两根是 1 和-3，则实数 a=________
【例 7】 设1, 2是方程 22 6 + 3 = 0 的两根，则21 + 22的值是（ ）
A. 15 B.12 C.6 D.3
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数学要提分，总结是王道！
第 2节 一元二次不等式

【知识讲解】

1. 形如2 + + > 0(或 < 0， 0， 0) (其中 ≠ 0)的不等式称为关于的一元二次不等式．
2. 一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系．如下表（以 a 0为例）：
判别式 b2 4ac 0 0 0
y y y二次函数
y ax2 bx c x1 O x2 x
(a 0)的图象 O x1=x2 x O x
有两相异实根
一元二次方程 有两相等实根
2
ax2 bx c 0 x1 , x
b b 4ac
2 b 没有实根2a x1 x2
(a 0)的根 2a
(x1 x2 )
不
ax2 bx c 0 b
等 x x x 1或 x x2 x x R，且 x 实数集R
(a 0) 2a
式
的
ax2 bx c 0
解 x x1 x x2
(a 0)
集
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【典型例题】
【例 1】 已知二次函数 y x2 x 6 ，根据其图象解答下列问题：
(1) 当 x取何值时， y 0 ；
(2) 当 x取何值时， y 0 ；
(3) 当 x取何值时， y 0；
【例 2】 解下列不等式：
（1） x2 2x 8 0
（2）2 4 + 4 0
(1 x)(1【例 3】 不等式 x) 0 的解集是（ ）
2 3
( 1 , 1 1A． ) B． ( , ) (1 , ) ( 1 , 1) ( , 1 1 C． D． ) ( , )
3 2 3 2 2 3 2 3
【例 4】 不等式 2 2 + 3 0的解集为____________。
【例 5】 解下列不等式：
（1） (x 2)(x 3) 6
（2）( 1)( + 2) ( 2)(2 + 1)
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数学要提分，总结是王道！
第 3节 分式不等式与绝对值不等式
【知识讲解】
1. 分式不等式解法
1 f (x)（ ） 0 f (x) g(x) 0
g(x)
f (x)
（2） 0 f (x) g(x) 0 且 g(x) 0
g(x)
3 f (x) a (a 0) f (x) ag(x)（ ） 0 g(x)[ f (x) ag(x)] 0)
g(x) g(x)
2. 绝对值不等式解法
（1）绝对值的几何意义：
① | x |是指数轴上点 x到原点的距离；
② | x1 x2 |是指数轴上 x1 ，x2 两点间的距离
（2）当 c 0时， | ax b | c ax b c或 ax b c， | ax b | c c ax b c ；
当 c 0时， | ax b | c x R， | ax b | c x ．
【典型例题】
2 x
【例 1】 不等式 0的解集为_________.
4 x
x 1
【例 2】 不等式 3的解为_________.
x
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数学要提分，总结是王道！
【例 3】 解下列不等式： 4 | 2x 3| 7 .
【例 4】 解下面不等式 | 2x 1| | x 2 | 4．
【例 5】 对任意实数 x， | x 1| | x 2 | a恒成立，则 a的取值范围是_________.
【例 6】 解不等式| 1| | + 3| < 3.
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第 4节 二次函数的最值
【典型例题】
【例 1】 当 2 x 2时，求函数 y x2 2x 3的最大值和最小值．
【例 2】 当1 x 2 时，求函数 y x2 x 1的最大值和最小值．
1 5
【例 3】 当 t x t 1 y x2时，求函数 x 的最小值（其中 t为常数）．
2 2
【例 4】 已知关于 x的函数 y x2 2ax 2在 5 x 5 上．
（1）当 a 1时，求函数的最大值和最小值；
（2）当 a为实数时，求函数的最大值．
10数学要提分，总结是王道！
高一（上册）参考答案
【第 1 部分 初高中衔接】..................................................................................................140
第 1 章 初高中衔接..........................................................................................................140
【第 2 部分 必修第一册】.................................................................... 错误！未定义书签。
第 1 章 集合......................................................................................................................141
第 2 章 常用逻辑用语......................................................................................................142
第 3 章 均值不等式..........................................................................................................142
第 4 章 函数的概念..........................................................................................................144
第 5 章 函数的性质..........................................................................................................146
第 6 章 指、对、幂函数..................................................................................................148
第 7 章 函数的应用..........................................................................................................151
第 8 章 三角函数..............................................................................................................155
第 9 章 三角恒等变换......................................................................................................172
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参考答案
第 1章 初高中衔接
【第 1 节】
例 1、（1）(x-2)(3x-5) （2）(-x+7)(2x-1) 例 2、（1）(x-2y)(3x+4y) （2）(x+1)(x-1)(x+3)(x-3)
例 3、（1）(x+2)(x+a) （2）(x+1)(ax+2a+1) 例 4、（1）(x-1)(ax-2) （2）(x-1)(3ax-6)
5 4例 、 例 6、0 例 7、C
2+6
【第 2 节】
例 1、（1）-2，3 （2）x<-2 或 x>3 （3）-2例 3、A 例 4、x≤-3 或 x≥1 例 5、（1）-3【第 3 节】
x x 4 x 3 1例 1、 2

例 、 ,0 , 例 3、[ 2, 1 ) ∪ ( 7 , 5]
2 2 2 2
例 4、 x 1或 x 1 . 例 5、 ,3 . 例 6、x>-2.5
【第 4 节】
例 1、最大值 5；最小值-4 例 2、最大值-1，最小值-5
1
例 3、（1）当 t≥1 时，最小值为 = 2 5 1 5（2）当 t≤0 时，最小值为 = ( + 1)2 ( + 1) （3）当
2 2 2 2
0例 4、（1）最大值 37，最小值 1（2）①当 a>0 时，最大值 27+10a；②当 a≤0 时，最大值 27-10a；
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