资源简介

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株洲市 2024 年初中学业水平考试模拟检测数学
参考答案及评分标准
一．选择题（本大题共 10 小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题 3 分，共 30 分）
题 次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案 A B B D A C B C A C
二．填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
3
11．2024 12．a(a 3) 13．20 14．
8
15． 2 16．7 17．5 18．2 3
三．解答题（本大题共 8 小题， 共 66 分）
1 -1
19．（本题满分 6 分）计算： ( ） + 2sin30 4 + 1
3
1
解：原式=3+ 2 2+1---------------------------------------------------------------------4 分
2
= 3+1 2+1
=3．-------------------------------------------------------------------------------------6 分
1 1 1
（其中： ( ) = 3 ----1 分 sin30 = ----1 分 4 = 2 ----1 分 1 =1----1 分）
3 2
20．（本题满分 6 分）
2 2
解：原式= x 4 x + x ------------------------------------------------------------------2 分
= x 4 ----------------------------------------------------------------------------4 分
将 x = 6代入上式得：原式= 6 4 = 2．------------------------------------------6 分
21．（本题满分 6 分）
BC 1
解：∵ BC =150， = ，
AC 0.6
∴ AC = 0.6BC = 0.6 150 = 90 . ------------------------------------------------------------2 分
∵ BD // CE ， DBE = 45 ，
∴ BEC = DBE = 45 . ---------------------------------------------------------------------3 分
在 Rt BCE 中， BCE = 90 ， BEC = 45
∴ EC = BC =150 .-------------------------------------------------------------------------------4 分
∵ AE = EC AC ，
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∴ AE =150 90 = 60 .--------------------------------------------------------------------------5 分
答：河宽 AE 的长度为60 米. ------------------------------------------------------------------6 分
22．（本题满分 8 分）
（1）证明：∵四边形 ABCD是菱形
∴ AD =CB， ADC = CBA， AD // CB . --------------------------------------------1 分
∵ BE ⊥ BA , DF ⊥ DC ，
∴ CDF = ABE = 90 . D
∵ 3 = ADC CDF , 4 = CBA ABE ， 3
∴ 3 = 4 .--------------------------------------------------------------2 分
1 E
A 5 C
在△ ADF 和△CBE 中 F 2
1= 2 4

∵ AD = CB , ∴△ ADF ≌△CBE(ASA) .-----------------4 分 B

3 = 4
（2）解：∵四边形 ABCD是菱形， DAB = 60 ， AD =12，
∴ 1= 30 ，CD = AD =12 .
∴ 5 = 1= 30 ， ADC =120 .
∵ CDF = 90 ， ∴ 3 = ADC CDF =120 90 = 30 .
∴ 1= 3 = 30 ,则 AF = DF .--------------------------------------------------------------------5 分
在 Rt CDF 中， CDF = 90 ， 5 = 30 ，则有DF :CD :CF =1: 3 : 2 .
∵CD =12， ∴ DF = 4 3，CF = 8 3 .-------------------------------------------------------6 分
∵△ ADF ≌△CBE ， AF = DF ，
∴ AF =CE = DF = 4 3 .----------------------------------------------------------------------------7 分
∴ EF =CF CE = 8 3 4 3 = 4 3 .
∴ EF 的长为4 3 .--------------------------------------------------------------------------------------8 分
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23.(本题满分 8 分)
学生数/名
解：（1）50 -------------------------------------------------2 分
20
条形图如图所示. -------------------------------------4 分
15
（2）108（填写108 也给分）---------------------6 分 15
12 13
13 10
（3）600 =156 (名). ------------------------7 分 10
50
5
答：七年级学生对 D 地作旅游攻略的约有156名---8 分
0
24．（本题满分 10 分） A B C D 类别
解：（1）设甲、乙两种图书的进价分别为a 元、b 元. --------------------------------------------1 分
80a +100b = 2600
根据题意得 ，-------------------------------------------------------------------3 分
100a + 200b = 4000
a = 20
解得 ---------------------------------------------------------------------------------------------------4 分
b =10
答：甲、乙两种图书的进价分别为20 元、10元. ----------------------------------------------------5 分
（2）设该批发商购进甲种图书 x 本，则购进乙种图书 (800 x)本，所获利润为 y 元. ---6 分
1
根据题意得 x (800 x) ，解得 x 200 .-----------------------------------------------------------7 分
3
∵甲种图书每本的利润为20 10% = 2 (元)，乙种图书每本的利润为10 10% =1(元)
∴利润 y = 2x + (800 x) = x +800 ---------------------------------------------------------------------8 分
∵1 0，∴ y 随 x 的增大而增大，则当 x = 200 时， ymax = 200+800=1000 ---------------9 分
答：当甲、乙两种图书全部售完后，该批发商所获最大利润为1000元. ----------------------10 分
25．（本题满分 10 分）
证明：（1）连接CE .----------------------------------------------------------1 分
∵ AC = AC , ∴ AEC = ABC .----------------------------------------------------------2 分
∵ PAC = ABC , ∴ PAC = AEC . A
∵ AE 是 O 的直径，∴ ACE = 90 .------------------3 分
∵在 ACE中， ACE = 90 ， O
∴ CAE + AEC = 90 . PB
D C
∴ CAE + PAC = 90 ，即 PAE = 90 .
E
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∴ PA ⊥ OA .-----------------------------------------------------------------------------------------4 分
∵ PA经过 O 半径OA的外端 A点，∴直线 PA 是 O 的切线. ---------------------5 分
解：（2）∵在 Rt PAD中， DAP = 90 ，点C 为 PD的中点,
∴ AC = PC = DC ，---------------------------------------------------------------6 分
则 P = PAC = ABC .
∴ AB = AP ， ------------------------------------------------------------------8 分
5 1
∵ AB =1， AC = ，
2
∴ PA =1， PD = 5 1--------------------------------------------------------9 分
在 Rt PAD中， DAP = 90 ，
PA 1 5 +1
∴ cos P = = = .------------------------------------------------------------10 分
PD 5 1 4
26.(本题满分 12 分） y
P
解：（1） 1.-------------------------------------------------------------2 分
(注：答．对．一．个．1．分．) M N
（2）
①∵二次函数 y = ax
2 + bx有两个不动点0 与3 ,
O Q A x
∴点 (0,0) 2、 (3,3) 在二次函数 y = ax + bx的图象上.
3 = 9a + 3b
将 (3,3) ， P(2,4) 代入得 ，.-----------------------------------4 分
4 = 4a + 2b
a = 1
解得 .
b = 4
∴二次函数的表达式为 y = x
2 + 4x .-----------------------------------------------------5 分
②延长 PN 交 x 轴于点 A，----------------------------------------------------6 分
设 A(n,0) ,
∵ MOQ = MPN ，∴OA = PA，则n = (n 2)2 + 42 ，
解得n = 5， A(5,0) . ----------------------------------------------7 分
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设直线 PA的表达式为 y = kx + t ,
4
0 = 5k + t
k =
3
将 A(5,0) ， P(2,4) 代入得 ，解得 .
4 = 2k + t 20t =
3
4 20
∴直线 PA的表达式为 y = x + ，同理直线OP 的表达式为 y = 2x .--------------------8 分
3 3
10
y = x2 + 4x x2 = x1 = 2 3 10 20
联立 4 20 解得 ， ， 则 N ( , ) .
y = x + y 201 = 4 3 9
3 3 y =

2
9
------------------------------------------------9 分
10 20
设点M (x, 2x)(0 x 2)，由O(0,0) ， P(2,4) ， N ( , )可得
3 9
OM = x2 + (2x)2 = 5x ， PM = (x 2)
2 + (2x 4)2 = 5 x 2 = 5(x 2) .
10 2 20 2 20PN = ( 2) + ( 4) = -----------------------------------------------------------------10 分
3 9 9
∵ PMQ = MOQ+ MQO = NMQ+ PMN ， MOQ = MPN = NMQ ，
∴ MQO = PMN .
OQ OM
∴ MOQ ∽ NPM ，则 = ，整理得OQ PN =OM PM .---------------------11 分
PM PN
20 9 9 9 9
∴ m = 5(x 2) 5x 2，整理得m = x + x = (x 1)2 + .
9 4 2 4 4
9 9
∵ 0，∴当 x =1时，n . max =
4 4
9
∴在 x 轴正半轴上是否存在点Q(m,0) ，且m 的最大值为 .-----------------------------------12 分
4
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