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2024年广东省各地市中考数学一模压轴题精选
温馨提示： 本卷共50题，题目均选自2024年广东省各地市一模真题。 本卷解答题留有足够答题空间，试题部分可直接打印出来练习。 本卷难度较大，适合基础较好的同学。
第一部分 反比例函数
1.(2024·广东省江门市·一模)如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数的图象经过OA的中点C，交AB于点D，连接若的面积是2，则k的值是( )
A.
B.
C.
D. 4
2.(2024·广东省惠州市·一模)如图，直线l是经过点且与y轴平行的直线．中直角边，将BC边在直线l上滑动，使A，B在函数的图象上．那么k的值是( )
A. 3
B. 6
C. 12
D.
3.(2024·广东省惠州市·一模)如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，过点A作轴于点P，过点B作轴于点若的面积记为，的面积记为，则______填“>”、“<”或“=”
4.(2024·广东省清远市·一模)已知直线与反比例函数的图象在第一象限交于点
求反比例函数的解析式；
如图，将直线向上平移b个单位后与的图象交于点和点，求b的值；
在的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：≌
第二部分 平面直角坐标系和一次函数
5.(2024·广东省深圳市·一模)如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是______.
6.(2024·广东省汕头市·一模)已知正方形MNKO和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转，使KN边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使NM边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续的旋转过程中，第6次点M在图中直角坐标系中的坐标是______.
7.(2024·广东省珠海市·一模)如图，已知直线：和直线：交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是______.
8.(2024·广东省深圳市·一模)麻城市思源实验学校自从开展“高效课堂”模式以来，在课堂上进行当堂检测效果很好．每节课40分钟教学，假设老师用于精讲的时间单位：分钟与学生学习收益量y的关系如图1所示，学生用于当堂检测的时间单位：分钟与学生学习收益y的关系如图2所示其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点，且用于当堂检测的时间不超过用于精讲的时间．
求老师精讲时的学生学习收益量y与用于精讲的时间x之间的函数关系式；
求学生当堂检测的学习收益量y与用于当堂检测的时间x的函数关系式；
问此“高效课堂”模式如何分配精讲和当堂检测的时间，才能使学生在这40分钟的学习收益总量最大？
第三部分 动点问题与函数图象
9.(2024·广东省汕头市·一模)用弹簧秤将一长方体铁块悬于没有盛水的水槽中，再向水槽匀速注入水，直至铁块完全浸没在水中如图，则能反映弹簧秤的读数单位：与水面高度单位：之间的函数关系的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
10.(2024·广东省韶关市·一模)如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为，动点Q的运动路线为点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止.设点P运动的路程为x，的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
11.(2024·广东省清远市·一模)如图所示，为等腰直角三角形，，，正方形DEFG边长也为2，且AC与DE在同一直线上，从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x，与正方形DEFG重合部分图中阴影部分的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
12.(2024·广东省揭阳市·一模)如图，在等边三角形ABC中，，在中，，，，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设运动的路程为x，与重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
第四部分 二次函数
13.(2024·广东省深圳市·一模)在平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线若，则t的取值范围是( )
A. B. C. D.
14.(2024·广东省广州市·一模)已知抛物线是常数，，，经过点，其对称轴是直线则下列结论：①；②关于x的方程无实数根；③当时，y随x增大而减小；④其中正确的结论有个.( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
15.(2024·广东·一模)二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程：必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数m，都有，其中正确结论的是( )
A. ②④
B. ①②④
C. ②④⑤
D. ②③④
16.(2024·广东省珠海市·一模)如图，抛物线经过点，与y轴交于，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中：①；②方程的解为和3；③；④，其中正确的结论为( )
A. ①②③
B. ①②④
C. ②③④
D. ①②③④
17.(2024·广东省惠州市·一模)若函数的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是______.
18.(2024·广东省惠州市·一模)已知抛物线顶点为且过原点过抛物线上一点向直线作垂线，垂足为M，连如图
求字母a，b，c的值；
在直线上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时为正三角形；
对抛物线上任意一点P，是否总存在一点，使恒成立？若存在请求出t值，若不存在请说明理由.
19.(2024·广东省惠州市·一模)我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．
在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“”．
①______；
②______；
③______
若点与点是关于x的“H函数”的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，求a，b，c的值或取值范围．
若关于x的“H函数”是常数同时满足下列两个条件：①，②，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．
20.(2024·山东省聊城市·一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别相交于，两点.
求该抛物线的解析式；
点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点
①求的最大值；
②若G是AC的中点，以点C，D，E为顶点的三角形与相似，求点D的坐标.
21.(2024·广东省湛江市·一模)已知抛物线
写出抛物线的对称轴：______.
将抛物线平移，使其顶点是坐标原点O，得到抛物线，且抛物线经过点和点点B在点A的左侧，若的面积为4，求点B的坐标.
在的条件下，直线：与抛物线交于点M，N，分别过点M，N的两条直线，交于点P，且，与y轴不平行，当直线，与抛物线均只有一个公共点时，请说明点P在一条定直线上.
22.(2024·广东省广州市·一模)已知二次函数图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点
求点A的坐标；
若点D是直线BC上方的抛物线上的一点，过点D作轴交射线AC于点E，过点D作于点F，求的最大值及此时点D坐标；
在的条件下，若点P，Q为x轴下方的抛物线上的两个动点，并且这两个点满足，试求点D到直线PQ的最大距离.
23.(2024·广东省江门市·一模)抛物线P：与x轴交于点，，与y轴交于点C，顶点为
求抛物线P的解析式和顶点D的坐标.
如图，在坐标平面上放置一透明矩形胶片DEBF，并在胶片上描画出抛物线P在矩形胶片内部含边界的一段，记为G，把该胶片绕点B顺时针旋转，得到矩形胶片以及对应的图象
①求旋转过程中G扫过的面积S；
②求图象所在的抛物线的解析式.
24.(2024·广东省揭阳市·一模)有一建筑的一面墙近似呈抛物线形，该抛物线的水平跨度，顶点P的高度为4m，建立如图所示平面直角坐标系.现计划给该墙面安装门窗，已经确定需要安装矩形门框点B，C在抛物线上，边AD在地面上，针对窗框的安装设计师给出了两种设计方案如图：
方案一：在门框的两边加装两个矩形窗框点G，H在抛物线上，；
方案二：在门框的上方加装一个矩形的窗框点G，H在抛物线上，
求该抛物线的函数表达式；
若要求门框AB的高度为3m，判断哪种方案透光面积窗框和门框的面积和较大？窗框与门框的宽度忽略不计
25.(2024·广东省珠海市·一模)已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点
求抛物线的表达式；
如图1，点P是线段BC上的一个动点不与点B，C重合，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，联结OQ，当四边形OCPQ恰好是平行四边形时，求点Q的坐标；
如图2，在的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且，在直线QE上是否存在点F，使得与相似？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.
26.(2024·广东省·一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，点P为x轴下方抛物线上一点.
求抛物线的解析式；
如图1，当点P的横坐标为2时，D为线段AP上一点，若的面积为，请求出D点坐标；
如图2，点P在y轴的右侧，直线AP与y轴交于点M，直线BM与抛物线交于点Q，连接PQ与y轴交于点H，请问的值是否为定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.
27.(2024·广东省汕头市·一模)如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，且顶点D的坐标为，对称轴与直线AC交于点E，与x轴交于点F，连接AC，
求二次函数的解析式；
点P在AC上方二次函数图象上，且的面积等于6，求点P的坐标；
在二次函数图象上是否存在一点M，使得？若存在，求出直线CM与x轴的交点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
第五部分 圆
28.(2024·广东省江门市·一模)如图，AB是的直径，点D在AB的延长线上，DC切于点C，若，，则AC等于( )
A. 6
B. 4
C.
D. 3
29.(2024·广东省清远市·一模)将一个半径为1的圆形纸片，如图连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为( )
A. B. C. D.
30.(2024·广东省珠海市·一模)如图，在中，半径，过OA的中点C作交于D、F两点，且，以O为圆心，OC为半径作，交OB于E点，阴影部分的面积为______.
31.(2024·广东省清远市·一模)如图是某商品的标志图案，AC与BD是的两条直径，首尾顺次连接点A、B、C、D，得到四边形ABCD，若，，则图中阴影部分的面积为______.
32.(2023·全国·一模)如图，PB是的切线，切点为B，点A在上，且连接AO并延长交于点C，交直线PB于点D，连接
证明：PA是的切线；
证明：；
若，，求线段OP的长.
33.(2024·广东省江门市·一模)如图，线段AB是的直径，弦于点H，点M是上任意一点，，
求的半径r的长度；
求；
直线BM交直线CD于点E，直线MH交于点N，连接BN交CE于点F，求的值．
34.(2024·广东省湛江市·一模)综合探究
如图1，是的内接三角形，P是上的一点，连接AP交BC于点M，点N在AM上，满足，交BC于点Q，，连接BP，
求证：；
求证：≌；
如图2，AP为的直径，设，当的长为2时，求的长.
第六部分 相似三角形与四边形
35.(2024·广东省清远市·一模)如图所示，在矩形ABCD中，，，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是( )
A. 5
B.
C.
D.
36.(2024·广东省湛江市·一模)如图，在正方形ABCD中，，则下列结论：①∽；②；③连接MN，DN，若的面积为，则AN的长为其中正确的结论是( )
A. ①②
B. ①②③
C. ①③
D. ②③
37.(2024·广东省韶关市·一模)如图，在矩形ABCD中，，，将沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点F处，则DE的长是______.
38.(2024·广东省广州市·一模)如图，在塔前的平地上选择一点A，由A点看塔顶的仰角是，在A点和塔之间选择一点B，由B点看塔顶的仰角是若测量者的眼睛距离地面的高度为，，，，则塔的高度大约为( )
参考数据：，
A.
B. 54
C.
D. 45
39.(2024·广东省珠海市·一模)如图，这是由10个全等的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，我们把三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，是格点三角形，将平移后仍为格点三角形本身除外的方法有( )
A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种
40.(2024·广东省·一模)如图，在四边形ACBD中，对角线AB、CD相交于点O，，且，若，则的值为______.
41.(2024·广东省广州市·一模)如图， ABCD绕点A逆时针旋转，得到 点B与点是对应点，点C与点是对应点，点D与点是对应点，此时，点恰好落在BC边上，则______.
42.(2024·广东省广州市·一模)如图，已知正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF，将沿EF折叠得，若延长FH交边BC于点M，则DH的取值范围是______.
43.(2024·广东省揭阳市·一模)如图，在中，，点D是边BC上一动点不与B、C重合，，DE交AC于点E，且，则线段CE的最大值为______.
44.(2024·广东省江门市·一模)如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点F是对角线BD上的动点，则的最小值是______.
45.(2024·广东省汕头市·一模)如图，在中，，，，，AD是的平分线，若点P、Q分别是AD和AC上的动点，则的最小值是______.
46.(2024·广东省汕头市·一模)如图1，在矩形ABCD中，，，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，延长AE交BC的延长线于点
求线段CE的长.
判断四边形AFGD是什么特殊四边形，并说明理由.
如图2，M、N分别是线段AG、DG上的动点与端点不重合，且，设是否存在这样的点N，使是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由.
47.(2024·广东省揭阳市·一模)已知：如图，在四边形ABCD和中，，，点C在EB上，，，，延长DC交EF于点点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为过点P作于点H，交CD于点设运动时间为
解答下列问题：
当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？
连接PQ，作于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；
连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为，求S与t的函数关系式；
点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
48.(2024·广东省韶关市·一模)综合与实践
【问题情境】
如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线BD上，点B的对应点记为，折痕与边AD，BC分别交于点E，
【活动猜想】
如图2，当点与点D重合时，四边形BEDF是哪种特殊的四边形？答：______.
【问题解决】
如图3，当，，时，求证：点，，C在同一条直线上.
【深入探究】
如图4，当AB与BC满足什么关系时，始终有与对角线AC平行？请说明理由.
在的情形下，设AC与BD，EF分别交于点O，P，试探究三条线段AP，，EF之间满足的等量关系，并说明理由.
49.(2024·广东省广州市·一模)如图，在矩形ABCD和矩形AGFE中，，，，矩形AGFE绕着点A旋转，连接BG，CF，AC，
求证：∽；
当CE的长度最大时，
①求BG的长度；
②在内是否存在一点P，使得的值最小？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由.
50.(2024·广东省深圳市·一模)“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等或者相似建立数量关系是处理问题的重要手段.
【问题情景】：如图，正方形ABCD中，点E是线段BC上一点不与点B、C重合，连接将EA绕点E顺时针旋转得到EF，连接CF，求的度数.
以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路，
①小聪：过点F作BC的延长线的垂线；
②小明：在AB上截取BM，使得；
请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程.
【类比探究】：如图点E是菱形ABCD边BC上一点不与点B、C重合，，将EA绕点E顺时针旋转得到EF，使得，则的度数为______用含的代数式表示
【学以致用】：如图，在的条件下，连结AF，与CD相交于点G，当时，若，求的值.
参考答案
1.【答案】B
【解析】解：连接OD，过C作，交x轴于E，
，反比例函数的图象经过OA的中点C，
，
，
∽，
，
，
，
，
故选：
连接OD，过C作，交x轴于E，利用反比例函数k的几何意义得到，根据OA的中点C，利用∽得到面积比为，代入可得结论．
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，相似三角形的性质与判定，掌握反比例函数比例系数k的几何意义是关键．
2.【答案】D
【解析】解：过点B作轴、于点M，过点A作轴于点N，延长AC交y轴于点D，
设点C的坐标为，则
，
，，
，，
，
，
解得，，
，
故选：
过点B作轴于点M，过点A作轴于点N，延长AC交y轴于点D，设点C的坐标为，根据反比例函数上的点向x轴y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的k值是个定值作为相等关系求得y值后再求算k值．
此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点向x轴y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的k值．
3.【答案】=
【解析】解：一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，
，
，
，
，，
，，
故答案为：
利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进一步求得点B的坐标，利用三角形面积公式求得、即可得出结论．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得B点的坐标是解题的关键．
4.【答案】解：直线过点，
，将代入中，得，
反比例函数的解析式为；
解：由知，反比例函数的解析式为，
点在的图象上，
，
，
设平移后直线AB的解析式为，
将代入中，得；
证明：如图，过点A作轴于点E，过B点作轴于点
由知，反比例函数的解析式为，
点在的图象上，
，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，，
由知，，
平移后直线AB的解析式为，
又直线与x轴、y轴分别交于点C，D，
，，
，
在和中，
，
≌
【解析】先根据一次函数求出M点坐标，再代入反比例函数计算即可；
先求出点A的坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可；
过点A作轴于点E，过B点作轴于点F，即可根据A、B坐标证明≌，得到，，再求出C、D坐标即可得到，即可证明≌
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练根据坐标找线段关系是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：点关于y轴的对称点为，
反射光线所在直线过点和，
设的解析式为：，过点，
，
，
的解析式为：，
反射后经过点，
，
故答案为：
点关于y轴的对称点为，根据反射的性质得，反射光线所在直线过点和，求出的解析式为：，再根据反射后经过点，，即可求出答案．
本题考查一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法，求出的解析式．
6.【答案】
【解析】解：如图所示，
延长NK交x轴于点H，
四边形MNKO为正方形，六边形ABCDEF为正六边形，求边长都是1，
轴．
在中，
，
，
同理可得，，
，
点K的坐标为，
即点的坐标为
故答案为：
根据正方形的旋转方式，依次找出点M旋转之后对应点的位置即可解决问题．
本题考查点的坐标变化规律及坐标与图形变化-旋转，能根据题意画出示意图及熟知图形旋转的性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：直线经过点，
，
解得，
，
关于x，y的二元一次方程组的解是，
故答案为：
首先把代入直线：即可求出b的值，从而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．
此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解．
8.【答案】解：设，
把代入，得：，
，；
当时，设，
把代入，得：，
解得：，
，
当时，；
设学生当堂检测的时间为x分钟，学生的学习收益总量为W，则老师在课堂用于精讲的时间为分钟，
当时，，
当时，；
当时，，
随x的增大而减小，
当时，，
综上，当时，W取得最大值129，此时，
答：此“高效课堂”模式如何分配33分钟时间用于精讲、分配7分钟时间当堂检测，才能使这学生在40分钟的学习收益总量最大．
【解析】由图设该函数解析式为，即可依题意求出y与x的函数关系式．
本题涉及分段函数的知识．需要注意的是x的取值范围依照分段函数的解法解出即可．
设学生当堂检测的时间为x分钟，学生的学习收益总量为W，则老师在课堂用于精讲的时间为分钟．用配方法的知识解答该题即可．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的运用，顶点式求二次函数的最大值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数的图象，用到的知识点是函数值随高度的变化，注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．根据在铁块开始接触水面刚刚完全到浸没在水中时，排开水的体积逐渐变大，根据阿基米德原理和称重法可知y的变化，注意铁块接触水面前y不变，完全浸没在水中后读数y不变，即可得出答案．
【解答】
解：铁块在注水到底部接触到水时，不受浮力的作用，弹簧秤的读数为铁块的重力，故y不变．
铁块开始接触水面到刚刚完全浸没在水中时，排开水的体积逐渐变大，根据阿基米德原理可知受到的浮力变大，根据称重法可知y变小；
铁块完全浸没在水中后面前排开水的体积不变，受到的浮力不变，根据称重法可知y不变；
故选：
10.【答案】B
【解析】解：点P在AB上运动时，，如右图，
正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，
作交AB于点E，
则有，，
，，
的面积为：，
此时图象为抛物线开口方向向下；
点P在BC上运动时，，如右图，
正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，
作交BC于点E，
则有，，
，，
的面积为：，
此时图象是抛物线一部分，开口方向向上，且y随x的增大而增大；
综上，只有选项B的图象符合，
故选：
分两种情况：P点在AB上运动和P点在BC上运动时；分别求出解析式即可．
本题主要考查动点问题的函数图象，正确的求出函数解析式是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：设CD的长为x，与正方形DEFG重合部分图中阴影部分的面积为
当C从D点运动到E点时，即时，
当A从D点运动到E点时，即时，，
与x之间的函数关系由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应．
故选：
此题可分为两段求解，即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可．
本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围．
12.【答案】A
【解析】解：过点A作，交BC于点M，
在等边中，，
在中，，
，
，
，
在等边中，，
，，
，
①当时，设AC与DF交于点G，此时与重叠部分为，
由题意可得，
；
②当时，设AB与DF交于点G，此时与重叠部分为四边形AGDC，
由题意可得：，则，，
，
，
③当时，设AB与EF交于点G，过点G作，交BC于点M，
此时与重叠部分为，
由题意可得，则，，
，
在中，，
，
，
综上，选项A的图像符合题意，
故选：
分，，三种情况，结合灯等边三角形的性质，含直角三角形的性质以及三角形面积公式分别列出函数关系式，从而作出判断．
本题考查二次函数图像的动点问题，掌握二次函数的图象性质，理解题意，准确识图，利用分类讨论思想解题是关键．
13.【答案】A
【解析】解：，
，
解得，
，
，
，
故选：
根据，可得出，解得，进而可确定t的取值范围．
本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式解题关键．
14.【答案】B
【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
点关于直线的对称点的坐标为，
，
抛物线开口向下，
，
，
，
，故①正确；
抛物线开口向下，与x轴有两个交点，
顶点在x轴的上方，
，
抛物线与直线有两个交点，
关于x的方程有两个不等的实数根；故②错误；
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，y随x增大而减小；故③错误；
，
，
，故④正确．
故选：
由题意得到抛物线的开口向下，对称轴，得出，判断a，b与0的关系，得到，，即可判断①④；根据题意得到抛物线开口向下，顶点在x轴上方，即可判断②；根据二次函数的性质即可判断③．
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质．
15.【答案】C
【解析】解：根据图象可知：，，
对称轴是直线，
，即
，
故①错误．
方程，即为二次函数与x轴的交点，
根据图象已知一个交点，关于对称，
另一个交点
故②正确．
对称轴是直线，
点离对称轴更近，
，
故③错误．
，
，
，
根据图象，令，
，
，
，
，
故④正确．
，
，
即证：，
，
为任意实数，恒成立．
故⑤正确．
综上②④⑤正确．
故选：
根据函数图象分别判断a、b、c的正负，求出abc的正负，可以判断①；将方程转化为函数与x轴的交点，利用已知交点和对称轴找出另一交点的范围，可以判断②；根据二次函数图象的性质：当图象开口向上，离对称轴越近的点y值越小，可以判断③；用a来表示改变函数解析式，根据图象，令，得到，即，因为，所以得出，可以判断④；化简不等式，用a表示b，根据及不等式的性质得到只含有m的不等式，解不等式即可判断⑤．
本题主要考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，利用图象求出a、b、c的范围以及用特殊值法代入解析式中得到特殊的式子是解决问题关键．
16.【答案】D
【解析】解：①抛物线经过点，
，
，故①正确；
②对称轴为，一个交点为，
另一个交点为，
方程的解为和3，故②正确；
③由对称轴为，
，
，则，故③正确；
④抛物线与y轴交于，
，
，
，故④正确，
故选：
将点代入解析式可判断①；由对称性可得另一个交点为，可判断②；由，可判断③，由，可判断④，即可求解．
本题考查了抛物线与x轴的交点，根与系数关系，二次函数图象与系数关系，二次函数图象上点的坐标特征，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
17.【答案】0或1
【解析】解：有两种情况：
①当时，函数为，
图象为一条直线，与x轴有一个交点，
；
②当时，的图象与x轴只有一个公共点，
令，则，
，
解得：，
故答案为：0或
有两种情况：①当时，函数为，是一条直线则与x轴有一个交点，②当时，则的即可求得．
本题考查了函数的图象与坐标轴交点的问题，特别是一元二次方程的根的判别式，理解题意，灵活运用所学知识是解决问题的关键．
18.【答案】解：抛物线顶点为且过原点O，
可得，，，
，，
由知抛物线的解析式为，
故设P点的坐标为，则M点的坐标，
是以PM为底边的等腰三角形
，即
或，
①当时，即
此式无解
②当时，即
或
Ⅰ、当时，P点的坐标为，M点的坐标为
Ⅱ、当时，P点的坐标为，M点的坐标为，
经过计算可知，
为正三角形，
点坐标为：或
当时，即N与F重合时恒成立．
证明：过P作PH与直线的垂线，垂足为H，
在中，
，
，
P是抛物线上的点，
；
，
，
移项，合并同类项得：，
对任意y恒成立．
且，
，
故时，恒成立．
存在这样的点．
【解析】由抛物线顶点为且过原点O，可得a，b，c的值．
过P作直线的垂线，可求P纵坐标，知道M、P、F三点坐标，就能求出三角形各边的长．
存在，中，利用勾股定理建立起y与t的关系式，推出t的值，即可得知存在这样的点．
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象的对称轴问题，判定三角形是正三角形的方法，综合性强，能力要求极高．
19.【答案】解：，√，
，B是“H点”，
，B关于原点对称，
，，
，，
代入
得，
，
该函数的对称轴始终位于直线的右侧，
，
，
，
，
，
综上所述，，，
是“H函数”，
设和，
代入得到，
解得，，
，
，c异号，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
设函数与x轴交于，，
，是方程的两根，
，
，

【解析】【分析】
根据“H函数”的定义判断即可．
先根据题意求出m，n的取值，代入得到a，b，c的关系，再根据对称轴在的右侧即可求解．
设“H”点为和，代入得到，，得到a，c异号，再根据，代入，求出的取值范围，设函数与x轴的交点为，，，利用根与系数的关系得到，再利用二次函数的性质即可求解．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一元二次方程的根与系数的关系等知识，“H函数”，“H点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
【解答】
解：①是“H函数”．
②是“H函数”．
③不是“H函数”．
故答案为：√，√，
见答案；
见答案
20.【答案】解：将，代入抛物线，得：
，
解得，
该抛物线的解析式为
①由抛物线的解析式为，得
设直线BC的解析式为，将，代入，得：
，
解得，
直线BC的解析式为
设第一象限内的点D的坐标为，则，
，，
，
当时，有最大值，为
②，，，
，，，，
，，，
，
，
轴于点F，
，
以点C，D，E为顶点的三角形与相似，只需或
是AC的中点，，，
，，
由①知，，
当时，，
解得或舍去，
当时，，
解得或舍去，
综上所述，以点C，D，E为顶点的三角形与相似，点D的坐标为或
【解析】运用待定系数法求出函数解析式；
①设点D的坐标为，则求出直线BC的解析式，得到，求出，并根据二次函数的最大值得到答案；
②根据点的坐标得到，根据勾股定理求出AG长，由①知，，分两种情况：和，建立方程求出m，得到点D的坐标．
此题考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的最值问题，勾股定理，相似三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：抛物线的对称轴为：
故答案为：
故答案为：
抛物线平移到顶点是坐标原点O，得到抛物线，
可设抛物线的解析式为：
点有抛物线上，
，
解得：
抛物线的解析式为：
点B在抛物线上，且在点A的左侧，
设点B的坐标为且，
如图，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为点M、
，
又，
，
解得：，
不合题意，舍去，则，
设，，联立方程组：
，
整理得：，
，
设过点M的直线解析式为，联立得方程组，
整理得①
过点M的直线与抛物线只有一个公共点，
，
由①式可得：，
解得：
过M点的直线的解析式为
用以上同样的方法可以求得：过N点的直线的解析式为，
联立上两式可得方程组，
解得，
，
点P在定直线上．如图
根据抛物线的对称轴公式直接可得出答案．
根据抛物线的顶点坐标在原点上可设其解析式为，然后将点A的坐标代入求得的解析式，于是可设B的坐标为且，过点A、B分别作x轴的垂线，利用可求得t的值，于是可求得点B的坐标．
设，，联立抛物线与直线的方程可得出，
再利用直线、直线分别与抛物线相切可求得直线、直线的解析式，再联立组成方程组可求得交点P的纵坐标为一定值，于是可说明点P在一条定直线上．
本题考查了抛物线的对称轴、求二次函数的解析式、解一元二次方程、一元二次方程的根的情况、求直线交点坐标等知识点，解题的关键是利用所画图形帮助探索解法思路．
22.【答案】解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
令，则或1，
即点；
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：，
同理可得，直线BC的表达式为：，
设点，、，
延长DE交BC于点N，
由点B、C的坐标知，，
则，
则，
故时，的最大值为4，此时，点；
设点P、Q的坐标分别为：、，
过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为点M、N，
，
，
，
，
，即，
即，
整理得：，
设直线PQ的表达式为：，
将点P、Q坐标分别代入上式得：且，
解得：，，
则直线PQ的表达式为：，
，
则，
当时，，
直线PQ恒过，
点D到PQ的增大距离是点D到该点的距离
【解析】由待定系数法求出函数表达式，即可求解；
证明，则，即可求解；
由，即，得到，设直线PQ的表达式为：，得到，，则直线PQ的表达式为：，即可求解．
本题考查了求二次函数的解析式，图象的平移，求一次函数的解析式，解直角三角形，利用解直角三角形的方法确定P、Q的关系是解题的关键．
23.【答案】解：把点，代入，
得，
解得，
抛物线P的解析式为
，
抛物线P的顶点D的坐标为
如图，①连接BD，
由，，得，
在中，
由旋转性质可知，BD与G围成的图形，和与围成的图形全等，二者面积相等，
旋转过程中G扫过的面积，即图中G，与半圆围成的图形面积，等于以为直径的半圆的面积，
②由旋转性质可知，，，
，
点的坐标为
设图象所在抛物线的解析式为，
代入点，得，解得，
图象所在抛物线的解析式为
【解析】利用待定系数法求解析式，再化为顶点式，从而得解；
①旋转过程中G扫过的部分是半圆，求出半径，从而得解；
②旋转后的点是顶点，设出顶点式，再将点B代入求出参数，从而得解．
本题考查二次函数的综合问题，即二次函数与面积综合，二次函数与矩形综合，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
24.【答案】解：由题意可知，抛物线的顶点P的坐标，
设所求抛物线的解析式为，
把代入解析式中，得，
解得：，
所以该抛物线的表达式为
当时，
即，
解得：，，
所以点A的坐标为，点B的坐标为，，
方案一：
，
，
点E的坐标为，
点G的横坐标为1，
当时，
，
，
，
；
方案二：
，
点E的坐标为，
点G的横坐标为3，
当时，
，
，
，
，
方案一透光面积较大．
【解析】由题意可知，抛物线的顶点P的坐标，设所求抛物线的解析式为，把代入解析式中即可得出答案；
将代入解析式求出A、B两点的坐标，再根据已知条件分别求出方案一和方案二中小矩形的长和宽，求出面积比较即可．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据点的坐标求出小矩形的边长．
25.【答案】解：把，代入得：
，
解得：，
；
由，可得直线BC解析式为，
设，则，
，
，要使四边形OCPQ恰好是平行四边形，只需，
，
解得，
；
在直线QE上存在点F，使得与相似，理由如下：
是OC的中点，点，
点，
由知，
直线DQ的表达式为，
，
在直线DQ上，，，
过点Q作轴于点H，过E作轴于K，如图：
，故，
，
，
直线AQ和直线QE关于直线QH对称，
，，
，
由点，可得直线QE的表达式为，
联立，
解得或，
点E的坐标为，
，
，，，
，
，
∽，
，
，即，
与相似，点E与点A是对应点，
设点F的坐标为，则，
当∽时，有，
，
解得或在E右侧，舍去，
；
当∽时，，
，
解得舍去或，
，
综上所述，F的坐标为或
【解析】用待定系数法可得；
由，可得直线BC解析式为，设，由，有，即可解得；
可得直线DQ的表达式为，知A在直线DQ上，，，过点Q作轴于点H，过E作轴于K，根据，可得直线AQ和直线QE关于直线QH对称，有，，，从而可得直线QE的表达式为，点E的坐标为，即得∽，，故，与相似，点E与点A是对应点，设点F的坐标为，当∽时，有，解得；当∽时，，解得
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形，相似三角形等知识，解题的关键是证明，从而得到与相似，点E与点A是对应点．
26.【答案】解：将点，点代入，
得：，解得：，
抛物线的解析式为：
对于，当时，得，，
点B的坐标为，
点P为x轴下方抛物线上一点，且点P的横坐标为2，
点P的纵坐标，
点P的坐标为，
设直线AP的解析式为：，
将点，点代入，
得：，解得：，
直线AP的解析式为：，
点D为线段AP上的一点，设点D的横坐标为a，
点D的纵坐标，
点D的坐标为，
过点D作轴于点E，
点，点，点，
线段AP在x轴的下方，
，，
，
，
解得：，
，
点D的坐标为
的值是定值，理由如下：
过P作轴交于F，过P作轴交于N，过Q作轴交于E，过Q作轴交于K，
设，，
，，，，
点，点，
，，，，
，
∽，
：：PN，
即：，
，
同理：∽，
：：QK，
，
，
，
，
轴，轴，
，
∽，

【解析】将点，点代入建立关于b，c的方程组，解方程组求出b，c即可得到抛物线的解析式；
先求出点，点，进而可求出直线AP的解析式为，设点D的坐标为，过点D作轴于点E，根据的面积为建立关于a的方程，解方程求出a即可得到点D的坐标；
过P作轴交于F，过P作轴交于N，过Q作轴交于E，过Q作轴交于K，设，，先证∽得AO：：PN，进而得，再证∽得OB：：QK，进而得，据此可得出，然后证∽得PH：：QE，由此便可得出结论．
本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定方法与性质是解答此题的关键．难点是解答时，通过点P，Q向坐标轴作垂线，构造相似三角形，把点的坐标与线段建立联系．
27.【答案】解：由题意得：，
将点A的坐标代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：，
当时，，则点，
则，
则的面积，
解得：，
则点P的坐标为：；
存在，理由：
当点在x轴下方时，
由点A、C的坐标知，，
作点B关于y轴的对称点，则点为所求点，
理由：，，
，即点Q、B关于y轴对称，
即点；
当点M在x轴的上方时，
过点C作轴，则，
同理可得：，
则，
则，
则，
即点Q的坐标为：，
综上，点Q的坐标为：或
【解析】用待定系数法即可求解；
由的面积，即可求解；
当点在x轴下方时，证明，即可求解；当点M在x轴的上方时，证明，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
28.【答案】C
【解析】解：如图，连接OC，

切于点C，
，
，，
，，
，，
，
，
故选：
连接OC，证明，结合，，可得，，，，据此可得答案．
本题考查的是切线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
29.【答案】C
【解析】解：根据题意得虚线①所对的圆弧对的圆心角为，展开后得到的多边形为正八边形，
所以虚线①所对的圆弧长为，
展开后得到的多边形的内角和为
故选：
把360度折叠三次得到，则可根据弧长公式计算出虚线①所对的圆弧长，由于把圆分成两8个相同的部分，从而得到圆的内接正八边形，然后根据多边形的内角和求解．
本题考查了弧长的计算：弧长公式：弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为，也考查了多边形内角与外角和折叠性质．
30.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，，
，
，，
，
，
，
阴影部分的面积是：，
故答案为：
根据题意和图形，可以得到阴影部分的面积的面积+扇形BOD的面积-扇形OCE的面积，然后计算即可解答本题．
本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
31.【答案】
【解析】解：与BD是的两条直径，
，
四边形ABCD是矩形，
与的面积的和与的面积的和，
图中阴影部分的面积，
，
，
，
图中阴影部分的面积，
故答案为
根据已知条件得到四边形ABCD是矩形，求得图中阴影部分的面积，根据等腰三角形的性质得到，由圆周角定理得到，于是得到结论．
本题考查了扇形的面积，矩形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
32.【答案】证明：如图1，连接OB，
是的切线，
，
在和中，
，
≌，
，
，
又点A在上，
是的切线；
证明：如图2，连接BA、BC，
是的切线，
，
又，
∽，
，
；
解：在中，，设，，
，
，
，
，，
在中，，
，
在中，
【解析】连接OB，判定≌，从而得到，即可得证；
连接BA、BC，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角推出判定∽的条件，判定相似后根据相似三角形的性质即可推出结论；
先解直角三角形BOD，求出OB、CD、BD，再根据锐角三角函数的定义和已知条件求出PB的长，再根据勾股定理即可求出
本题是圆的综合题，主要考查圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，深入理解题意解决问题的关键．
33.【答案】解：如图1中，连接
，
，
在中，，，，
，
如图1中，连接
，AB是直径，
，
，
，
，
如图2中，连接
是直径，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
相交弦定理，

【解析】本题考查圆综合题、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、相交弦定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
在中，利用勾股定理即可解决问题；
只要证明，求出即可；
由∽，推出，推出，又，推出，由此即可解决问题．
34.【答案】证明：是的内接三角形，P是上的一点，连接AP交BC于点M，点N在AM上，满足，交BC于点Q，，
，，
，
；
证明：由，得，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，，
，，
，
是的直径，
，
，
与所对的圆心角的度数之比为3：2，
与的长度之比为3：2，
的长为2，
的长为
【解析】由及，得，进而得到；
由得，根据得，再用角边角得≌；
由≌得，然后用表示出，，根据三角形内角和可得，进而求得，最后已知与所对的圆心角的度数之比为3：2，即可得出答案．
本题考查圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
35.【答案】C
【解析】解：，，
勾股定理；
，
，
，
又，
∽，
，
即，
解得，；
，
故选：
先利用勾股定理求出AC的长，然后证明∽，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例的性质，根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
36.【答案】A
【解析】解：四边形ABCD是正方形，
，即，
，
，
∽，故①正确；
在与中，
，
≌，
，故②正确；
设，则，
，
，
解得或，
或
，
或，
故③错误．
故选：
根据正方形的性质得到，，即可证明∽，进而判断①；证明出≌，即可判断②；设，则，然后由代数求出或，然后利用勾股定理求出或，即可判断③．
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关性质求解．
37.【答案】
【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，，，
，
由翻折可知，，，，
，
设，则，
在中，则有，
解得，
，
故答案为：
由翻折可知，，，，可得，设，则，在中，利用勾股定理构建方程求解即可．
本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
38.【答案】A
【解析】解：如图：由题意得，
，，
，
，
设，
则，
在中，，
即，
解得，
，
答：塔的高度大约为
故选：
首先证明，再利用即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，解决本题的关键是能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
39.【答案】C
【解析】解：如图所示：
故选：
根据菱形的性质画出图形解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的四边相等解答．
40.【答案】
【解析】解：过点D作于H，交AB于K，过点A作交BD于E，交DH于T，过点E作于F，如下图所示：
，，
，
，，
，
又，，
四边形ACFE，四边形ACHT均为矩形，
，，，
在中，，
，
设，，
则，
，，
为ABC的中位线，
，
，
设，则，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
即，
在中，，
即，
，
故答案为：
过点D作于H，交AB于K，过点A作交BD于E，交DH于T，过点E作于F，则四边形ACFE，四边形ACHT均为矩形，进而得，，，在中由得，设，，则，证KH为ABC的中位线得，则，设，则，即，再由得，进而得，证和全等得，在中，即，在中，即，据此得，由此可得的值．
此题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，解直角三角形的方法技巧是解决问题的关键．
41.【答案】
【解析】解：由旋转可知，
，，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
故答案为：
根据旋转的性质，得出，再利用等边对等角求出的度数，最后根据两直线平行，同旁内角互补可求出的度数．
本题考查旋转的性质及平行四边形的性质，熟知图形旋转的性质及平行四边形的性质是解题的关键．
42.【答案】
【解析】解：如图1，点F与点D重合，此时点M在BC边上，
正方形ABCD的边长为2，
，
由折叠得，
的最大值为2；
如图2，连接DE，
为AB的中点，
，
，
，
，
，
，
的最小值为，
的最值范围是，
故答案为：
点F与点D重合，此时点M在BC边上，且DH的值最大，由折叠得，则DH的最大值为2；连接DE，因为，，所以，由，得，则DH的最小值为，所以DH的最值范围是，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
43.【答案】
【解析】解：作于G，如图，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，即，
，
而，
∽，
，即，
，
当时，CE最大，最大值为
作于G，如图，根据等腰三角形的性质得，再利用余弦的定义计算出，则，设，则，证明∽，利用相似比可表示出，然后利用二次函数的性质求CE的最大值．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了二次函数的应用，锐角三角函数的定义．
44.【答案】
【解析】解：连接CF，CE，
四边形ABCD是正方形，
对角线BD所在直线是其一条对称轴，
，
，
的最小值是CE的长，
在中，
，点E是边AB的中点，
，
故答案为：
利用将军饮马模型，判断出线段CE的长即为的最小值，再利用勾股定理求出CE即可．
本题考查轴对称-最短路径问题，解答时涉及正方形的性质，勾股定理，熟悉将军饮马问题的模型是解题的关键．
45.【答案】
【解析】解：过点D作于点E，过点E作于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时取最小值，如图所示．
在中，，，，
是的平分线，，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，即，
的最小值是，
故答案为
过点D作于点E，过点E作于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时取最小值，再根据、即可得出，进而可得出，代入数据即可得出EQ的长度，此题得解．
本题考查了轴对称-最短路线问题以及平行线的性质，找出点P、Q的位置是解题的关键．
46.【答案】解：四边形ABCD是矩形，，，
，，，
由折叠得，，
，
，
，
，
解得，
线段CE的长是
四边形AFGD是菱形，理由如下：
如图1，连接DF，
点F与点D关于直线AE对称，
垂直平分DF，
，
∽，
，
，
，
，
，
四边形AFGD是平行四边形，
又，
四边形AFGD是菱形．
存在这样的点N，使是直角三角形，
当时，如图2，
，，
，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
解得；
当时，如图3，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
解得；
，
不存在的情况，
综上所述，x的值为或
【解析】由矩形的性质得，，，由折叠得，，则，，根据勾股定理得，即可求得线段CE的长是3；
连接DF，则AC垂直平分DF，由，证明∽，得，所以，，，四边形AFGD是平行四边形，又，所以四边形AFGD是菱形；
当时，先证明，则，再证明∽，得，则；当时，则，由，，得，则，由，得，则；由，可知不存在的情况，所以x的值为或
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
47.【答案】解：，
，
，
，
点M在线段CQ的垂直平分线上，
，
，
；
如图1，
，，，
，
，
由得∽，
，即，
解得，
，
，
，
，
同理可求，
四边形PQNH是矩形，
，
，
；
当时，四边形PQNH为矩形；
如图2，过点Q作于点N，
由可知，
，
，
，
，
四边形QCGH的面积为，
；
存在，
理由如下：如图3，连接PF，延长AC交EF于K，
，，，
≌，
，
又，
，
，
，
平分，，，
，
，
，
当时，使点P在的平分线上．
【解析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，列函数关系式，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
由平行线分线段成比例可得，可求CM的长，由线段垂直平分线的性质可得，即可求解；
利用锐角三角函数分别求出，，由矩形的性质可求解；
利用面积的和差关系可得，即可求解；
连接PF，延长AC交EF于K，由“SSS”可证≌，可得，可证，由面积法可求CK的长，由角平分线的性质可求解．
48.【答案】菱形
证明：四边形ABCD是矩形，，，，
，，，
，
，
如图，设EF与BD交于点M，过点作于K，
由折叠得：，，，
，
，
∽，
，即，
，
，
，，
∽，
，即，
，，
，
，
，，
，
，
，
点，，C在同一条直线上．
解：当时，始终有与对角线AC平行．
理由：如图，设AC、BD交于点O，
四边形ABCD是矩形，
，，
，
设，
则，
由折叠得：，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
；
解：，理由如下：
如图，过点E作于G，设EF交BD于H，
由折叠得：，，，
设，，
由得：，
，
，
，，
，
四边形ABGE是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即
【解析】解：当点与点D重合时，四边形BEDF是菱形．
理由：设EF与BD交于点O，如图，
由折叠得：，，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，
在和中
≌，
，
四边形BEDF是菱形．
故答案为：菱形．
证明：四边形ABCD是矩形，，，，
，，，
，
，
如图，设EF与BD交于点M，过点作于K，
由折叠得：，，，
，
，
∽，
，即，
，
，
，，
∽，
，即，
，，
，
，
，，
，
，
，
点，，C在同一条直线上．
解：当时，始终有与对角线AC平行．
理由：如图，设AC、BD交于点O，
四边形ABCD是矩形，
，，
，
设，
则，
由折叠得：，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
；
解：，理由如下：
如图，过点E作于G，设EF交BD于H，
由折叠得：，，，
设，，
由得：，
，
，
，，
，
四边形ABGE是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即
由折叠可得：，，再证得≌，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案；
设EF与BD交于点M，过点作于K，利用勾股定理可得，再证明∽，可求得，进而可得，再由∽，可求得，，，运用勾股定理可得，运用勾股定理逆定理可得，进而可得，即可证得结论；
设，则，利用折叠的性质和平行线性质可得：，再运用三角形内角和定理即可求得，利用解直角三角形即可求得答案；
过点E作于G，设EF交BD于H，设，，利用解直角三角形可得，，即可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉及知识点多，综合性强，难度较大．
49.【答案】证明：四边形ABCD为矩形，，，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
∽；
解：①如图2，，当C，A，E三点共线时，，CE的长度最大，
由知，，，，∽，
，，
解：②如图3，将AP绕着点A顺时针旋转，且使，连接PK，
根据边角关系，可得；
同理将AF绕着点A顺时针旋转，得到AL，且使，连接LK，
根据旋转，可得，
根据两边对应成比例且夹角相等可得：∽，
，
，即，
当C，P，K，L四点共线时，CL最小，
由题意可知，，，，过点L作LQ垂直CA的延长线于点Q，可得，
，，
在中，根据勾股定理得，
的最小值为

【解析】根据题意，计算出，，然后求得，即可证明∽；
①当C，A，E三点共线时，，CE的长度最大，由知，，，，∽，可得，，因此
②如图3，将AP绕着点A顺时针旋转，且使，连接PK，根据边角关系，可得；同理将AF绕着点A顺时针旋转，得到AL，且使，连接LK，根据旋转，可得，根据两边对应成比例且夹角相等可得：∽，因此，由于，即，因此当C，P，K，L四点共线时，CL最小，由题意可知：，，，，过点L作LQ垂直CA的延长线于点Q，可得，可知，，在中，根据勾股定理得，因此的最小值为
本题考查的是相似形综合题，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
50.【答案】
【解析】解：在AB上截取BM，使得
，，由图可知，，
顺时针旋转得到EF，
，，
在和中，
，
≌，
，
；
如图2，在AB上截取BM，使得，连接EM，
四边形ABCD是菱形，，
，，
，
，
将EA绕点E顺时针旋转得到EF，
，，
，
，
≌，
，
，，
，
，
；
故答案为：；
过点A作交CD的延长线于点P，
设菱形的边长为
，
，，
，
，
，，
，
，
由知，，
，
∽，
，
，
，
在AB上截取AN，使，连接NE，作于点
由可知，≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
在AB上截取BM，使得证明≌，得出，则可得出结论；
由“SAS”可证≌，可得，由等腰三角形的性质可求解；
过点A作交CD的延长线于点P，证明∽，得出，在AB上截取AN，使，连接NE，作于点由可知，≌，求出BE和CE，则可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键．

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