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2024年河南省各地市中考数学一模压轴题精选
温馨提示： 本卷共45题，题目均选自2024年河南省各地市一模真题。 本卷共分为六部分，解答题留有足够答题空间，试题部分可直接打印出来练习。 本卷难度较大，适合基础较好的同学。
第一部分 动点问题和函数图象
1.(2024·河南省开封市·一模)如图，在中，，点从点出发，沿运动，速度为点在折线上，且于点点运动时，点与点重合的面积与运动时间的函数关系图象如图所示，是函数图象的最高点当取最大值时，的长为( )
A. B. C. D.
2.(2024·河南省南阳市·一模)如图，在中，，于点动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图，则的长为( )
A. B. C. D.
3.(2024·河南省开封市·一模)如图，在等边三角形中，，是边上一个动点且不与点、重合，是边上一点，且设，图中某条线段长为，与满足的函数关系的图象大致如图所示，则这条线段可能是图中的( )
A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段
4.(2024·河南省南阳市·一模)如图，正方形的边长为，动点从点出发沿折线做匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，下列图象能表示与之间函数关系的是( )
A. B.
C. D.
5.(2024·河南省洛阳市·一模)正方形与正方形按照如图所示的位置摆放，其中点在上，点、、在同一直线上，且，，正方形沿直线向右平移得到正方形，当点与点重合时停止运动，设平移的距离为，正方形与正方形的重合部分面积为，则与之间的函数图象可以表示为( )
A. B.
C. D.
6.(2024·河南省驻马店市·一模)如图所示，已知中，，边上的高，为上一点，，交于点，交于点，设点到边的距离为则的面积关于的函数图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.(2024·河南省漯河市·一模)如图，正方形中，，对角线，相交于点，点，分别从，两点同时出发，以的速度沿，运动，到点，时停止运动，设运动时间为，的面积为，则与的函数关系可用图象表示为( )
A. B.
C. D.
第二部分 一次函数与反比例函数
8.(2024·河南省南阳市·一模)如图，在平面直角坐标系中，直线：与，轴分别相交于点，，与反比例函数的图象相交于点，已知，点的横坐标为．
求，的值；
平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点，，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．
9.(2024·河南省漯河市·一模)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．
求反比例函数和一次函数的解析式；
请直接写出不等式的解集．
若直线与轴交于点，轴上是否存在一点，使？若存在，请求出点坐标；若不存在，说明理由．
10.(2024·河南省南阳市·一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与轴相交于点，连接．
求一次函数与反比例函数的表达式；
当时，请结合函数图象，直接写出关于的不等式的解集；
请用无刻度的直尺和圆规过点作轴，交于点，提示：即作一个角等于已知角，保留作图痕迹，不写作法，并直接写出梯形的面积．
11.(2024·河南省洛阳市·一模)如图，双曲线与直线交于，，直线交轴于点，交轴于点．
求双曲线与直线的解析式；
直接写出不等式的解集；
请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线保留作图痕迹，不写作法，交直线于点，交双曲线于点求出点的坐标．
12.(2024·河南省周口市·一模)如图，在平面直角坐标系中，扇形上的点在反比例函数的图象上，点在第四象限，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点在反比例函数的图象上．
的值为______；
求的度数；
请直接写出图中阴影部分面积之和．
13.(2024·河南省开封市·一模)如图，的顶点坐标分别为，，，反比例函数的图象经过点．
求的值．
点在反比例函数的图象上，且于点，，请说明四边形是菱形．
是否存在除点外可与，，三点共同组成菱形的点？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
第三部分 圆与扇形
14.(2024·河南省开封市·一模)如图，在中，，，是的平分线，经过，两点的圆的圆心恰好落在上，分别与、相交于点、若圆半径为则阴影部分面积 ．
15.(2024·河南省南阳市·一模)如图，半径为的扇形中，，是上一点，，，垂足分别为，，若，则图中阴影部分面积为______．
16.(2024·河南省开封市·一模)如图，是的切线，是切点，经过圆心，且与交于点，，若，则直径的长为______．
17.(2024·河南省南阳市·一模)如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为，，垂足为连接．
求证：平分；
若，，求的半径．
18.(2024·河南省开封市·一模)如图，的直径与其弦相交于点，过点的切线交延长线于点，且．
求证：；
若，，求半径的长．
19.(2024·河南省漯河市·一模)如图，在中，，以为直径的与边交于点，过点作的切线，交于点．
求证：．
填空：
若，，则______；
当_____时，四边形是正方形．
20.(2024·河南省驻马店市·一模)阅读与思考
九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知：如图，的两弦，相交于点．
求证：．
证明：
如图，连接，．
，．
∽，根据
@，
，
两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
任务：
请将上述证明过程补充完整．
根据：______；@：______．
小刚又看到一道课后习题，如图，是的弦，是上一点，，，，求的半径．
第四部分 全等与相似三角形
21.(2024·河南省开封市·一模)已知，，是边上一点，当是以为腰的等腰三角形时，的长为______．
22.(2024·河南省洛阳市·一模)折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片，其中，，，找出的中点，在上找任意一点，以为对称轴折叠，得到，点的对应点为点，小明发现，当点的位置不同时，与的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当时，的长为______．
23.(2024·河南省驻马店市·一模)如图，等腰三角形中，，该三角形的两条高与交于点，连接，点为射线上一个动点，连接，若，当与相似时，的长为______．
24.(2024·河南省周口市·一模)矩形中，为对角线的中点，点从点出发，沿运动到点，且，当以点，，为顶点的三角形为直角三角形时，的长为______．
25.(2024·河南省商丘市·一模)如图，在中，，，，斜边是半圆的直径，点是半圆上的一个动点，连接与交于点，若是等腰三角形，则的度数为______．
26.(2024·河南省开封市·一模)如图，在等腰中，，，为边的中点，为边上的一个动点，连接，将沿折叠，点的对应点为，当时，的长度为______．
27.(2024·河南省漯河市·一模)如图，在和中，，，，连接，，点为的中点，连接将绕点在平面内旋转，当时，的长为______．
28.(2024·河南省南阳市·一模)如图，在中，，点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点，若点刚好落在边上，，，则的长为______．
29.(2024·河南省周口市·一模)如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．
观察猜想
图中，线段与的数量关系是______，的度数为______；
探究证明
把绕点逆时针方向旋转到图的位置，连接，，，判断的形状，并说明理；
拓展延伸
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
30.(2024·河南省开封市·一模)转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵话应用．
如图，已知在中，，，请解答下面的问题：
基础巩固：
如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则与之间的数量关系是______；
拓展探究：
如图，点，分别是，的中点，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到．
求证：∽；
用等式表示与之间的数量关系，并说明理由；
问题解决：
点，分别是，的中点，连接，将绕点旋转得到，请直接写出点，，在同一直线上时的长．
31.(2024·河南省南阳市·一模)如图，中，，为中点，点在直线上点不与点，重合，连接，过点作交直线于点，连接．
如图，当点与点重合时，请直接写出线段与的数量关系；
如图，当点不与点重合时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
若，，，请直接写出线段的长．
32.(2024·河南省驻马店市·一模)【问题呈现】
和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的位置关系．
【问题探究】
如图，当时，直接写出，的位置关系：______．
如图，当时，中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
当，，时，将绕点旋转，使，，三点恰好在同一直线上，求的长．
第五部分 特殊四边形
33.(2024·河南省南阳市·一模)如图，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点求证：∽．
【问题解决】
如图，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接求证：．
【类比迁移】
如图，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
34.(2024·河南省漯河市·一模)综合与实践
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在 中，点是边上一点将沿直线折叠，点的对应点为．
数学思考：
“兴趣小组”提出的问题是：如图，若点与点重合，过点作，与交于点，连接，则四边形的形状一定是______选填“菱形”“矩形”或“正方形”；
拓展探究：
“智慧小组”提出的问题是：如图，当点为的中点时，延长交于点，连接试判断与的位置关系，并说明理由；
问题解决：
“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：若点是射线上一点，当点恰好落在 的边或边的延长线上时，，，，直接写出的长．
35.(2024·河南省商丘市·一模)综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
操作判断：
如图，在矩形中，点为边的中点，沿折叠，使点落在点处，把纸片展平，延长与交于点请写出线段与线段的数量关系，并说明理由；
迁移思考：
如图，若，按照中的操作进行折叠和作图，当时，求的值；
拓展探索：
如图，四边形为平行四边形，其中与是对角，点为边的中点，沿折叠，使点落在点处，把纸片展平，延长与射线交于点若，，请直接写出线段的值．
36.(2024·河南省洛阳市·一模)【问题背景】：
如图，在中，，，，点是斜边的中点，过点作交于点．
【实验探究】：
数学活动课中，小明同学将图中的绕点按顺时针方向旋转，如图所示，得到结论： ______；直线与所夹锐角的度数为______；
若我们继续将绕点按顺时针方向旋转，旋转至如图所示位置请问探究中的结论是否仍然成立？并说明理由．
【拓展延伸】：
在以上探究中，当旋转至、、三点共线时，则的面积为______．
37.(2024·河南省开封市·一模)某数学兴趣小组对具有公共顶点，且其中某个角等于大角一半的几何图形中，边与边之间的数量关系进行了如下探索：
初步探索
如图，，分别是正方形的边和边上的点，并且，我们可通过如下方法探索与和之间的数量关系：
因为，，所以我们以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转，使得点与点重合，则点的对应点恰好落在的延长线上，记为点，由≌且易证≌，从而可知，，，的数量关系是______．
探索延伸
如图，，是等腰直角的底边上的点，，中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，写出新的结论，并说明理由．
拓展应用
如图，在矩形中，是边的三等分点，为边上的点，且，当，时，直接写出的长．
第六部分 二次函数
38.(2024·河南省周口市·一模)如图，抛物线经过、两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点．
求抛物线的解析式及点的坐标；
连接，将线段向右水平移动个单位长度，若它与抛物线只有一个交点，求出的取值范围．
39.(2024·河南省开封市·一模)如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，把开关开至最大时，喷出的形状接近于抛物线，当水柱距地面时，距喷嘴的水平距离为，水柱落地点距喷嘴的水平距离．
求水柱所在抛物线的解析式．
已知在水柱正下方的范围内开有一些鲜花．
若鲜花的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，才不会被水柱直接喷到．
开在距喷嘴水平距离为处的高度为的鲜花，是否会被水柱直接喷到？判断并说明理由．
40.(2024·河南省南阳市·一模)一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画若小球到达最高点的坐标为．
求抛物线的函数解析式不写自变量的取值范围；
小球在斜坡上的落点的垂直高度为______米；
若要在斜坡上的点处竖直立一个高米的广告牌，点的横坐标为，请判断小球能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由．
41.(2024·河南省开封市·一模)跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一如图，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分这里表示起跳点到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端到点的水平距离建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系已知，，落点的水平距离是，竖直高度是．
点的坐标是______，点的坐标是______；
求满足的函数关系式；
运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．
42.(2024·河南省漯河市·一模)掷实心球是某市中考体育考试的选考项目如图是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
求关于的函数表达式；
根据该市年中考体育考试评分标准男生，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分分按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
43.(2024·河南省南阳市·一模)一名运动员在高的跳台进行跳水，身体看成一点在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点的水平距离为时离水面的距离为．
求关于的函数表达式；
求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长．
44.(2024·河南省洛阳市·一模)一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为米时，拱顶点距离水面的高度为米如图，以点为坐标原点，以桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系．
求抛物线的解析式；
汛期水位上涨，一艘宽为米的小船装满物资，露出水面部分的高度为米横截面可看作是长为，宽为的矩形，若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度结果保留根号．
45.(2024·河南省商丘市·一模)某校举办“集体跳长绳”体育活动，若在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，示意图如图所示，以的中点为原点建立平面直角坐标系甲位于轴的点处，乙位于轴的点处，正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为点，点，且的水平距离为，绳子甩到最高点处时，他们握绳的手到地面的距离与均为，最高点到地面的垂直距离为．
求出该抛物线的解析式；
如果身高为的小亮，站在之间，且与点的距离为，当绳子甩到最高处时，可以通过他的头顶，请结合函数图象求出的取值范围；
经测定，多人跳长绳且同方向站立时，脚跟之间的距离不小于才能安全跳绳，小亮与其他位同学一起跳绳，如果这位同学与小亮身高相同，通过计算当绳子甩到最高处时，他们是否可以安全跳绳？
参考答案
1.【答案】
【解析】解：由题意知，点运动时，点，的位置如图所示．
此时，在中，，，，
，
．
由函数图象得，
，
．
由题图点的位置可知，点在上时，有最大值．
当时，点在边上，如图，
此时，，
．
，
又，
当时，的值最大，
此时．
故选：．
先根据点运动时，点与点重合．从而求得，再由函数图象求得，从而求得，得出，然后根据由题图点的位置可知，点在上时，有最大值．所以当时，点在边上，此时，，根据三角形面积公式求得，最后根据二次函数的性质求解即可．
本题考查动点函数图象，二次函数图象性质，三角形面积．本题属二次函数与几何综合题目．
2.【答案】
【解析】解：由图知，，
，
，
，，
，，
在中，，
设点到的距离为，
，
动点从点出发，沿折线方向运动，
当点运动到点时，的面积最大，即，
由图知，的面积最大为，
，
，
得，，
，
负值舍去，
，
将代入得，，
或，
，
，
，
故选：．
先根据结合图得出，进而利用勾股定理得，，再由运动结合的面积的变化，得出点和点重合时，的面积最大，其值为，即，进而建立二元二次方程组求解，即可得出结论．
此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，判断出和点和点重合时，的面积为是解本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：若线段，由题意可得，随的增大减小，故选项A错误；
若线段，由题意可得，随的增大先增大再减小，并且左右对称，故选项B错误；
若线段，由题意可得，随的增大先减小再增大，故选项C错误；
若线段，由题意可得，随的增大先增大再减小，故选项D正确；
故选D．
根据选项中的各线段，可以分别得到它们各自随的变化如何变化，从而可以得到哪个选项是正确的．
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题．
4.【答案】
【解析】【分析】
分段求出函数关系式，再观察图象可得答案．
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是分段求出函数关系式．
【解答】
解：当在上，即时，，当时，；
当在上，即时，，
当在上，即时，；
观察个选项，符合题意的为；
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
把运动距离分，和三种情况讨论求解即可
本题主要考查了动点问题的函数图象，分析出重叠部分面积的变化情况是解题关键．
【解答】
解：当时，随的增大而增大，最大值为；
当时，随的增大而不变，此时；
当时，随的增大而减小，最小值为．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：过点向作于点，所以根据相似比可知：，
即
所以
该函数图象是抛物线的一部分，
故选：．
可过点向作于点，所以根据相似三角形的性质可求出，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，，
四边形为正方形，
，，
在和中
，
≌，
，
，
，
与的函数图象为抛物线一部分，顶点为，自变量为．
故选：．
由点，分别从，两点同时出发，以的速度沿，运动，得到，则，再根据正方形的性质得，，然后根据“”可判断≌，所以，这样，于是，然后配方得到，最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．
本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．
8.【答案】解：，
点的坐标为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
点在直线上，点的横坐标为，
点的纵坐标为，
点的坐标为，
；
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
当时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，
直线与轴交于点，
，
，
当时，，舍去，
此时，点的坐标为，
当时，，舍去，
此时，点的坐标为，
综上所述：以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或
【解析】根据题意求出点的坐标，进而求出，再求出点的坐标，求出；
分、两种情况，计算即可．
本题考查的是反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
9.【答案】解：把点代入得，，
，
反比例函数的解析式为；
把代入得，，
，
把点，代入得，
解得：，
一次函数的解析式为；
当时，，
解得：，
，
设，
，
或，
或．
【解析】把点代入得到反比例函数的解析式为；把点，代入得到一次函数的解析式为：；
当时，得到，设，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．
10.【答案】解：反比例函数图象点，
，
反比例函数的表达式为：，
把代入得：，
，
一次函数的图象过点，点，
，
解得：，
一次函数的表达式为 ；
观察函数图象可得， 的解集为： ；
用作一个角等于已知角的方法作出，如下图：
由一次函数的表达式知，点，
由点的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，
则，
即点，则，
则梯形的面积．
【解析】利用待定系数法可求解析式；
利用数形结合思想可求解；
用作一个角等于已知角的方法作出，由梯形的面积，即可求解．
本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到面积的计算、函数作图、解不等式等，有一定的综合性，难度适中．
11.【答案】解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
则反比例函数表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，则，
即点的坐标为：，
将、的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：，
则直线的表达式为：；
从函数图象看，不等式的解集为：或；
分别以点、为圆心，以大于长度为半径作弧，连接两个弧的交点，即为的垂直平分线，
令，则，即点，
则的中垂线为，
当时，，
即点的坐标为：
【解析】用待定系数法即可求解；
观察函数图象即可求解；
分别以点、为圆心，以大于长度为半径作弧，连接两个弧的交点，即为的垂直平分线，得到的中垂线为，即可求解．
本题考查了反比例函数综合题，待定系数法求函数的解析式，线段垂直平分线的性质，不等式的解集，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：点在反比例函数的图象上，
，
故答案为：；
如图，分别过点，作轴于点，轴于点，
则，．
又，
≌，
，
又，
，
；
连接交于，
四边形是菱形，
，
，
顶点在反比例函数的图象上，
，
，
，
图中阴影部分面积之和．
根据点在反比例函数的图象上，求得，
如图，分别过点，作轴于点，轴于点，得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论，
连接交于，根据菱形的性质得到，得到，求得，根据勾股定理得到，于是得到图中阴影部分面积之和．
本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，正确地识别图形是解题的关键．
13.【答案】解：把点代入，得，
．
证明：点和点的纵坐标都是，
轴．
，
轴，
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形，
．
又，
．
，
四边形是平行四边形．
，
是菱形．
解：存在，点的坐标为或．
，，，
，，，
点与，，三点共同组成菱形，点和点纵坐标相等，
可设点，
当菱形以为对角线，则，
解得，
当菱形以为对角线，则，
解得，
则，．

【解析】将点代入即可；
根据题意得轴，且轴，则有四边形是平行四边形，结合，那么四边形是矩形，由于，和即可判定；
根据点的坐标可求得，且点和点纵坐标相等，可设点，分以为对角线和以为对角线，列方程求解即可．
本题主要考查反比例函数的性质和菱形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的判定定理与性质．
14.【答案】
【解析】解：连接，．
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：．
连接，首先证明，推出，再证明是等边三角形即可解决问题．
本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．
15.【答案】
【解析】解：连接，如图所示，
，，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，和全等，
，
故答案为：．
先连接，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形的面积，然后代入数据计算即可．
本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16.【答案】
【解析】解：连接、，
是的切线，是切点，
，
是的直径，
，
，
，
，
，，，
≌，
，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：．
连接、，证明是等边三角形，再利用三角函数可求．
本题主要考查了切线的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数等，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
17.【答案】证明：连接，
直线是的切线，切点为，
，
又，垂足为，
，
，
，
，
，
平分；
解：连接，
是的直径，
，
又，
由得：，
，
在中，，
，
，
在中，，
．
【解析】连接，由切线的性质得到，进而得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可证得结论；
连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用的结论可得，从而求出的长，然后再利用勾股定理求出的长，即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18.【答案】证明：与圆相切于，
直径，
，
，
，
；
解：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
半径的长是．
【解析】由切线的性质推出，而，因此，即可证明；
由锐角的余弦求出的长，即可得到的长，由，求出长，即可求出圆的半径长．
本题考查切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
19.【答案】证明：连接；如图所示：
，为直径，
为的切线；
又也为的切线，
，
又，
，
又，
，
，
；
， ．
【解析】【分析】
本题考查了圆的切线性质、切线长定理．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
证出为的切线；由切线长定理得出，再求得，即可得出结论；
由含角的直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出；
由等腰三角形的性质，得到，于是，先证明四边形是矩形，然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形，即可得到结论．
【解答】
解：见答案；
解：，，，
，
，
为直径，
，
由得：，
，
故答案为：；
当时，四边形是正方形，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形．
故答案为：．
20.【答案】有两个角对应相等的两个三角形相似
【解析】解：连接，．
，．
∽，有两个角对应相等的两个三角形相似
，
，
两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；；
延长交圆于点，延长交圆于点，
设圆的半径为，则，，
根据中结论得，即为，
解得：或不符合题意，舍去，的半径为．
根据相似三角形的判定和性质求解即可；
延长交圆于点，延长交圆于点，设圆的半径为，则，，根据中结论代入求解即可．
题目主要考查相似三角形的判定和性质，圆的相交弦定理等，理解题意，熟练掌握运用圆的相交弦定理是解题关键．
21.【答案】或
【解析】解：分两种情况：
如图，是等腰的底，则，
，，
过点作于点，
，，
；
如图，是等腰的腰，则，
，，
过点作于点，
，，
，
；
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
根据等腰三角形的三线合一性质，分两种情况讨论即可．
本题考查锐角三角函数的应用，等腰三角形的三线合一性质，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22.【答案】或
【解析】【分析】
分两种情形：如图中，当，延长交于点如图中，当于点时，分别求出，可得结论．
本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：如图中，当，延长交于点．
，，，
，
，，
由翻折变换的性质可知，，，
，
，
，
．
如图中，当于点时，同法可得，
，
，
．
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
23.【答案】或
【解析】解：，该三角形的两条高与交于点，
，，，
，
，
，
，
当时，∽，
，
，
设，
在中，，
，
，
，
．
当时，∽，
，
，
．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
分两种情形：当时，∽，当时，∽，分别构建方程求解即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的射线思考问题．
24.【答案】或
【解析】解：如图，当时，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
由勾股定理得，
为对角线的中点，
，
在中，，
，
即，
；
如图，当时，
为对角线的中点，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
，
；
综上，当以点，，为顶点的三角形为直角三角形时，的长为或，
故答案为：或．
分两种情况讨论：当时，先求出的度数，的长，再根据的余弦值即可求出的长；当时，先证得，得出，再根据的余弦值即可求出的长．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．
25.【答案】或
【解析】解：如图中，当时，
，，
，
弧弧，
；
如图中，当时，点与重合，
，
，
；
故答案为：或．
分两种情形：，，分别求出即可．
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
26.【答案】或
【解析】解：设直线交于，
当在下方时，如图：
，，
，，
将沿折叠，点的对应点为，为边的中点，
，，
，
，是等腰直角三角形，
，
，
，
；
当在上方时，如图：
同理可得，
，
，
，
；
故答案为：或．
设直线交于，当在下方时，由，，得，，根据将沿折叠，点的对应点为，为边的中点，有，，而，故，是等腰直角三角形，求出，，可得，从而；当在上方时，同理可得．
本题考查等腰直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折前后，对应边相等，对应角相等及等腰直角三角形三边的关系．
27.【答案】或
【解析】解：，，
，
分两种情况讨论：
如图，
当点运动到线段上时，
，
，
，
，
，
点为的中点，
；
如图，
当点运动到线段的延长线上时，
此时，，
，
点为的中点，
，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
首先利用勾股定理可得，然后分两种情况讨论：当点运动到线段上和点运动到线段的延长线上时，利用勾股定理求得的长，然后结合“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可获得答案．
本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，利用分类讨论的思想分析问题是解题关键．
28.【答案】
【解析】解：将沿折叠，点的对应点为点，若点刚好落在边上，
在中，，，，，
，
．
故答案为：．
根据折叠的性质以及含角的直角三角形的性质得出，即可求解．
本题考查了折叠的性质，含角的直角三角形的性质熟练掌握以上性质是解题关键．
29.【答案】
【解析】解：点、是、的中点，
是的中位线，
，，
点、是、的中点，
是的中位线，
，，
，，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
的形状是等边三角形，理由如下：
由旋转的性质得：，
在和中，
，
≌，
，，
同得：是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，，
是等腰三角形，
，
，
，
，
是等边三角形；
由知，是等边三角形，，
最大时，面积最大，
点在的延长线上，最大，此时的面积最大，
此时，，
，
．
易证是的中位线，是的中位线，得出，，，，再求出，得出，然后由平行线的性质得出，，最后由三角形内角和定理即可得出结果；
由旋转的性质得，先证≌，得出，，同得是的中位线，是的中位线，推出，，，则是等腰三角形，再证，则是等边三角形；
由知是等边三角形，，得出最大时，面积最大，推出点在的延长线上，最大，此时的面积最大，求出最大时的长，得出的最大时长，然后由等边三角形面积公式即可得出结果．
本题是几何变换综合题，考查了三角形中位线定理、三角形内角和定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定由性质等知识，综合性强，熟练掌握三角形中位线定理和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
30.【答案】
【解析】解：根据旋转的性质得，，
是等边三角形，
；
故答案为：；
证明：点，分别是，的中点，绕点按顺时针方向旋转得到，
，，
．
．
∽；
解：理由如下：
如图，连接，
，，
．
，
是等边三角形．
，．
．
．
在中，由勾股定理得：
．
．
由得，∽．
．
；
解：如图所示，
，，，
，，，，，，
，，
，，
，
∽，
，
；
如图所示，
同理，∽，
，
；
综上所述，的长为或．
证明是等边三角形，即可得到结论；
利用两边对应成比例，且夹角相等，可证明∽；证明是等边三角形，在中，利用勾股定理求得的长，再利用相似三角形的性质求解即可；
分两种情况分析，、、三点所在直线与不相交和与相交，然后利用勾股定理以及相似三角形的判定和性质分别求解即可求得答案．
此题主要考查了几何变换综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
31.【答案】解：结论：；
结论：．
理由：如图中，过点作交的延长线于，连接．
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
；
的长为或．
【解析】【分析】
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
结论：利用线段的垂直平分线的性质证明即可．
结论：如图中，过点作交的延长线于，连接证明≌，推出，，再证明，然后由勾股定理可得结论．
分两种情形：如图中，当点在线段上时，如图中，当点在线段的延长线上时，设，则构建方程求解即可．
【解答】
解：结论：．
理由：如图中，
当点与点重合时，，，
；
见答案；
如图中，当点在线段上时，设，则．
，，
，
同可得，
，
，
，
，
．
如图中，当点在线段的延长线上时，设，则．
，，
，
同可得，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的长为或．
32.【答案】解：
中的结论成立，理由如下：
如图，延长交于点，交于，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
，
如图，当点在线段上时，连接，
∽，
，
，
，
，
，
或舍去，
，
当点在线段上时，连接，
∽，
，
，
，
，
，
或舍去，
，
综上所述：或．
【解析】解：如图，延长交于点，交于，
当时，，，
，
，
在和中，
≌，
，
，
，
，
，
故答案为：；
见答案；
见答案．
由“”可证≌，可得，由余角的性质可证；
通过证明∽，可得，由余角的性质可证；
分两种情况讨论，由相似三角形的性质可得，由勾股定理可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
33.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
∽；
证明：四边形是正方形，
，，，
在和中，
≌，
，
，
，
点在的延长线上，
，
在和中，
≌，
，
，
，
；
解：如图，延长至点，使，连接，
四边形是菱形，
，，
，
在和中
≌，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
即的长为．
【解析】由矩形的性质得，再证，即可得出结论；
证≌，得，再证≌，得，然后由平行线的性质得，即可得出结论；
延长至点，使，连接，≌，得，，再证是等边三角形，得，即可解决问题．
本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
34.【答案】菱形
【解析】解：由折叠的性质可知，，，，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
故答案为：菱形；
理由如下：
连接，如图，
由折叠的性质可知，，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
；
分两种情况：
当点在的延长线上时，点在的延长线上时，如图，
由折叠的性质可知，，，四边形为平行四边形，
，
，
，
，
当点在间时，点在间时，如图，
延长交的延长线于点设，
由折叠的性质可知，，，
，
，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，
．
由折叠的性质可知，，，，再根据平行线的性质推出，则，进而推出，即可证明四边形是菱形；
连接由折叠的性质可知，，，，由，，得到；由点是的中点，得到，则，进一步证明，得到，证明≌，得到，再根据平角的定义得到，则；
当点在的延长线上时，点在的延长线上时，由折叠的性质可知，，，四边形为平行四边形，由可知，由即可求得；
当点在间时，点在间时，延长交的延长线于点设由折叠的性质可知，，，再证明，得到，，证明∽，得到，即可求出，由此可得即可求解
本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
35.【答案】解：，
理由如下：如图，连接，
四边形是矩形，
．
点是的中点，
．
由折叠可知，
．
在和中，
≌，
；
四边形是矩形，，
．
．
令，则，
由知，
．
解得，
即的长为．
当点在的下方时，如图，连接，
折叠，
，，，
，，
，
点为边的中点，
，
，
，
，
，
；
当点在的上方时，如图，连接，
同理可求：，
，
综上所述：的长为或．
【解析】由“”可证≌，可得；
由勾股定理可求解；
分两种情况讨论，由折叠的性质可得，，，由等腰三角形的性质可求的长，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
36.【答案】 或
【解析】解：，，
，，
，
，
点是斜边的中点，，
，，
，，
将绕点按顺时针方向旋转，
，
，，
，
∽，
；
故答案为：；
∽，
，
设，交于点，，交于点，如图，
则：，
字型图，即：直线与所夹锐角的度数为；
故答案为：；
成立；理由如下：
，，
，
又，
∽，
，，
设，交于点，，交于点，如图，
则：，
字型图，即：直线与所夹锐角的度数为；
如图，当点在，之间时，
、、三点共线，
，
，
，
，
，
由知：∽，，
，
，
；
如图，当点在，之间时，
同可得：，，
，∽，，
，
，
；
综上：的面积为或；
故答案为：或．
解直角三角形，分别求出的长，证明∽，得到；根据∽，得到，利用字型图，得到即可；
证明∽，得到，，利用字型图，求出直线与所夹锐角的度数即可；
分点在，之间，以及点在，之间，两种情况，分类讨论求解即可．
本题考查含的直角三角形，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．熟练掌握三角形的判定方法，证明三角形的相似，是解题的关键．注意，分类讨论．
37.【答案】
【解析】解：如图，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
，
故答案为：；
中的结论不成立，
理由：将绕点顺时针旋转，使得点与点重合，则点的对应点记为点，则≌，
，，，
，，
，
，
，
≌，
，
，
；
把绕点顺时针旋转，使得点与上的点重合，则点的对应点记为点，则≌，
，，，，，
，，
，
是边的三等分点，，
，
延长交于，交于，连接，
则四边形是正方形，四边形是矩形，
，，
，
，，，
≌，
，
，
∽，
，
，
，
，
设，，，
，
，
解得，
的长为．
根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到；
根据旋转的性质得到，，，得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论；
把绕点顺时针旋转，使得点与上的点重合，则点的对应点记为点，则≌，得到，，，，，根据已知条件得到，延长交于，交于，连接，根据矩形的性质和正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，设，，，根据勾股定理即可得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，正确地找出辅助线是解题的关键．
38.【答案】解：抛物线与轴的交点坐标为、两点，
抛物线解析式为，
即；
，
抛物线顶点的坐标为；
当时，，
，
线段向右水平移动个单位长度，当点的对应点在抛物线上，
点的对应点与点关于抛物线的对称轴对称，此时点的对应点的坐标为，的值为；
线段向右水平移动个单位长度，当点的对应点在抛物线上，即点平移到点，此时的值为，
若平移线段后与抛物线只有一个交点时，的取值范围为．
【解析】利用交点式写出抛物线解析式，然后把一般式化为顶点得到点坐标；
先确定，平移后，当点的对应点在抛物线上，点的对应点与点关于抛物线的对称轴对称，此时点的对应点的坐标为，从而得到的值为；当点的对应点在抛物线上，即点平移到点，此时的值为，所以的取值范围为．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
39.【答案】解：由题意知，水柱所在抛物线经过点，，
将其分别代入，得：
，
解得：，
水柱所在抛物线的解析式为；
令，则，
解得，，
高度为的鲜花，与喷灌嘴的水平距离大于且小于时，才不会被水柱直接喷到；
不会被水柱直接喷到，理由如下：
令，则，
，
不会被水柱直接喷到．
【解析】将点，代入得，解答即可；
令，则，即可得答案；令，则，即可得答案．
本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的相关性质．
40.【答案】
【解析】解：小球到达的最高的点坐标为，
设抛物线的表达式为，
把代入得，，
解得：，
抛物线的表达式为；
联立方程组，
解得或，
，
小球在斜坡上的落点的垂直高度为米，
故答案为：；
当时，，，
，
小球能飞过这个广告牌．
设抛物线的表达式为，把代入即可得到答案；
联立抛物线解析式和一次函数解析式，解方程组求出点坐标即可；
把分别代入和，即可得到答案．
本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，待定系数法求二次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
41.【答案】解：，；
把，代入得：
，
解得，
所以二次函数的表达式为；
运动员到坡面竖直方向上的最大距离时水平距离是．
【解析】【分析】
根据题意可直接求出，坐标；
把，坐标代入，用待定系数法求函数解析式即可；
作轴分别交抛物线和于、两点，先求出的关系式，再分别表示出、的纵坐标，计算纵坐标的差可得答案．
本题考查二次函数的实际应用，根据抛物线上的点求出二次函数的关系式是解题关键．
【解答】
解：根据题意得，，，
故答案为：，；
见答案；
如图，作轴分别交抛物线和于、两点，
，
，
设线段的关系式为，则，
解得：，
所以线段的关系式为，
设，则，
则，
，
当时，有最大值，最大值为，
故答案为：运动员到坡面竖直方向上的最大距离时水平距离是．
42.【答案】解：根据题意，设关于的函数表达式为：
，
把代入解析式得，
，
解得：
关于的函数表达式为：；
该生在此项考试中得不到满分，理由：
当，则，，
解得：，舍去，
，
该生在此项考试中得不到满分．
【解析】【分析】
根据题意设出顶点式，再将点代入求出的值即可；
根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可．
本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．
43.【答案】解：根据题意可得，抛物线过和，对称轴为直线，
设关于的函数表达式为，
，
解得：，
关于的函数表达式为；
在中，令得，
解得或舍去，
运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为米．
【解析】用待定系数法可得函数解析式；
结合，令解得的值即可．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能将实际问题转化为数学问题解决．
44.【答案】解：设抛物线解析式为，
桥下水面宽度为米，拱顶距离水面高度为米，
点，
，
解得：，
该抛物线的解析式；
在中，设得，
，
水面所在直线为，
在中，令得：，
解得或，
，
此时水面的宽度为
【解析】【分析】
求出的坐标，用待定系数法可得抛物线函数表达式；
根据题意得出时的值，即可得出水面所在直线为，从而可得答案．
此题主要考查了二次函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
45.【答案】解：由题意可设抛物线的解析式为，
将点代入中，
解得
；
将代入，
解得，，
，
，．
；
他们可以安全跳绳．理由如下：
当时，则，
解得：，，
可以站立跳绳的距离为．
，且，
他们可以安全跳绳．
【解析】由题意可设抛物线的解析式为，把点代入中，求出的值即可求出抛物线的解析式；
将代入，求出的值即可求出的取值范围；
由可知当时，，，所以可求出可以站立跳绳的距离为米，因为，所以他们可以安全起跳．
本题考查了求二次函数的表达式，和二次函数的实际应用，利用待定系数法求出二次函数的表达式是解答本题的关键．

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