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内切球问题解题策略
班级 姓名
学习目标
1．理解空间几何体的内切球；
2．掌握求解内切球半径的方法．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
内切球的性质 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合。4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
内切球半径的求法 以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；第三步：解出r＝＝．内切球上的的半径公式：r＝
内切球问题求解 【例1】正三棱锥的高为1，底面边长为，内有一个球与它的四个面都相切(如图).则这个正三棱锥的表面积为 ，这个正三棱锥内切球的表面积是 .【变式1-1】在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为 ．【变式1-2】将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为 ．
棱切球问题求解 【例3】把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为　 　．
课后作业
一、基础训练题
1．在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )


2．设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为2，则该圆锥的体积为( )
A． B． C． D．
3．阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．他特别喜欢这个结论．要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边．若表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为(　　)
A．4π　　　　　　　　B．16π　　　　　　　　C．36π　　　　　　　　D．
4．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是(　　)
A．6　　　　　　　　B．5　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
5．已知一个三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的内切球的体积为________．
6．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．
7．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝2，则三棱锥P－ABC的外接球与内切球的半径比为________．
8．正四面体的外接球和内切球上各有一个动点、，若线段长度的最大值为，则这个四面体的棱长为________．
9．体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为________.
10．在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a，若在这个四棱锥内放一个球，则该球半径的最大值为________．
二、综合训练题
11．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，则第四个球的最高点与桌面的距离是 ．
12．已知直三棱柱中，，，设二面角的平面角为，且，现在该三棱柱的内部空间放一个小球，设小球的表面积为，三棱柱的外接球的表面积为，则的最大值为________．
内切球问题解题策略
参考答案
【例1】【答案】，
【解析】底面正三角形中心到一边的距离为,
则正棱锥侧面的斜高为.
∴S侧＝.
∴S表＝S侧＋S底＝.
(2)设正三棱锥P-ABC的内切球球心为O，连接OP，OA，OB，OC，
而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.
∴VP-ABC＝VO-PAB ＋VO-PBC＋VO-PAC＋VO-ABC
＝S侧·r＋S△ABC·r＝ S表·r＝.
又∵VP-ABC＝，
∴，
得
∴S内切球＝.
【变式1-1】【答案】
【解析】因为侧棱底面，且底面为长方形，
所以内切球在侧面内的正视图为的内切圆，
设的半径为，根据圆的切线长定理得，
所以内切球的半径为；
设该阳马的外接球半径为，易知该阳马补形所得的正方体的对角线为其外接球的直径，所以，
所以该阳马的外接球与内切球表面积之和为.
【变式1-2】【答案】2π　
【解析】将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，
设圆锥的底面圆的半径为R，则有2πR＝3×，所以R＝1，
设圆锥的内切球的半径为r，结合圆锥和球的特征，可知内切球球心必在圆锥的高线上，
设圆锥的高为h，因为圆锥的母线长为3，
所以h＝＝2，所以＝，解得r＝，
因此内切球的表面积S＝4πr2＝2π．．
【例2】【答案】
【解析】如图，球心和球在AC上，过，分别作AD,BC的垂线交于E,F
则由AB=1,AC=得.,
【变式2】【答案】；．
【解析】设为外接圆的圆心，因为是边长为6的等边三角形，
所以，因为，解得，
设球的半径为，球的半径为，
由等体积法可得，
，
所以，
所以球的体积为；
作截面图如图所示，可知，
则，，，
因为△△，则，即，解得，
所以球的表面积为．
【例3】【答案】10cm
【解析】如图所示，由题意球心在AP上，球心为O，过O作BP的
垂线ON垂足为N，ON=R，OM=R，因为各个棱都为20，
所以AM=10，BP=20,BM=10，AB=,设，
在BPM中，,所以.
在PAM中, ,所以.在ABP中, ，在ONP中, ,
所以，所以.
在OAM中, ,
所以，,
解得，或30（舍）,所以，.
课后作业
1、【答案】B
【解析】正三棱锥的内切球心在高线上，与侧面有公共点，与棱无公共点．
2、【答案】B
【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆和外接圆，
且两圆同圆心，即的内心与外心重合，易得为正三角形，由题意的半径为，
的边长为，圆锥的底面半径为，高为3，．
3、【答案】C　
【解析】设该圆柱的底面半径为R，则圆柱的高为2R，
则圆柱的表面积S＝S底＋S侧＝2×πR2＋2·π·R·2R＝54π，解得R2＝9，即R＝3．
∴圆柱的体积为V＝πR2×2R＝54π，∴该圆柱的内切球的体积为×54π＝36π．故选C．
4、【答案】D　
【解析】由题意知，四棱锥P－ABCD是正四棱锥，球的球心O在四棱锥的高PH上，
过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图：
其中PE，PF是斜高，A为球面与侧面的切点．设PH＝h，
易知Rt△PAO∽Rt△PHF，所以＝，即＝，解得h＝，故选D．
5、【答案】π　
【解析】由题意可知，该三棱锥为正四面体，如图所示．
AE＝AB·sin 60°＝，AO＝AE＝，DO＝＝，
三棱锥的体积VD ABC＝S△ABC·DO＝，设内切球的半径为r，
则VD ABC＝r(S△ABC＋S△ABD＋S△BCD＋S△ACD)＝，r＝，V内切球＝πr3＝π．
6、【答案】π　
【解析】圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r．
作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆．
在△PAB中，PA＝PB＝3，D为AB的中点，AB＝2，E为切点，
则PD＝2，△PEO∽△PDB，故＝，即＝，解得r＝，
故内切球的体积为π3＝π．
7、【答案】　
【解析】以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱，作长方体，由PA＝PB＝PC＝2，
可知此长方体即为正方体．设外接球的半径为R，则R＝＝，
设内切球的半径为r，则内切球的球心到四个面的距离均为r，
由(S△ACP＋S△APB＋S△PCB＋S△ABC)·r＝·S△PCB·AP，
解得r＝，所以＝＝．
8、【答案】4
【解析】设这个四面体的棱长为，则它的外接球与内切球的球心重合，
且半径，，依题意得，．
9、【答案】6
【解析】设球的半径为R，由R3＝，得R＝1，所以正三棱柱的高h＝2，设底面边长为
a，则×a＝1，所以a＝2．所以V＝×(2)2×2＝6．
10、【答案】(2－)a　
【解析】解法一：由题意知，球内切于四棱锥P－ABCD时半径最大，
设该四棱锥的内切球的球心为O，半径为r，连接OA，OB，OC，OD，OP，
则VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PAD＋VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PCD，
即×2a×2a×2a＝××r，
解得r＝(2－)a．
解法二：易知当球内切于四棱锥P－ABCD，
即与四棱锥P－ABCD各个面均相切时，球的半径最大，
作出相切时的侧视图如图所示，设四棱锥P－ABCD内切球的半径为r，
则
×2a×2a＝×(2a＋2a＋2a)×r，解得r＝(2－)a．
11、【答案】．
【解析】四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，如右上图，
则正四面体的高．
而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，
且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为．
12、【答案】　
【解析】取中点为，连接，，，容易得出，则，
因为，所以，则二面角的平面角为，
在直角三角形中，，，，
直三棱柱的外接球的球心在矩形的中心，则，
由于的值为定值，则取最大值，即小球的半径最大，
的内切圆的半径，
则小球的半径最大为，
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