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广西壮族自治区河池市宜州区2023-2024学年八年级下学期数学期中试题
一、选择题：（每小题中只有一个选项符合要求，每小题3分，共36分．）
1．（2024八下·宜州期中）下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A、中的被开方数，A不是二次根式，A错误；
B、中的a小于0时不是二次根式，B错误；
C、是三次根式，C错误；
D、是二次根式，D正确；
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的定义逐一判断即可.
2．（2024八下·宜州期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是整数，不是最简二次根式，A错误；
B、，不是最简二次根式，B错误；
C、是最简二次根式，C正确；
D、不是最简二次根式，D错误；
故答案为：C．
【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一进行判断即可．
3．（2024八下·宜州期中）在下列长度的各组线段中，不能组成直角三角形的是（　　）
A．2，4，5 B．6，8，10 C．13，12，5 D．7，24，25
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，∴ 不能组成直角三角形，A符合题意；
B、∵，∴ 能组成直角三角形，B不符合题意；
C、∵，∴ 能组成直角三角形，C不符合题意；
D、∵，∴ 能组成直角三角形，D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可.
4．（2024八下·宜州期中）下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
B、和不是同类项，无法合并，C错误；
D、，D正确；
故答案为：D
【分析】根据二次根式的性质和加减运算逐一计算即可.
5．（2024八下·宜州期中）如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝10m，则A，B之间的距离是（　　）
A．5m B．10m C．20m D．40m
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，
∴AB=2CD=20（m），
故答案为：C.
【分析】由三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”得AB=2CD可求解.
6．（2024八下·宜州期中）若等式成立，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．0≤x≤6 C．x≥6 D．x为一切实数
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可.
7．（2024八下·宜州期中）一个直角三角形的两边长分别是1和，则第三边长为（　　）
A．2 B．4 C． D．2或
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当斜边长为时，第三边长．
当两条直角边长分别为1和时，第三边长．
∴第三边长为或．
故答案为：D．
【分析】分当斜边长为时和两条直角边长分别为1和时，两种情况进行讨论即可.
8．（2024八下·宜州期中）若x，y为实数，且，则xy的值为（　　）
A．0 B．2 C．3 D．不能确定
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x，进而求得y即可.
9．（2024八下·宜州期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，＝24，则AH＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∵在菱形中，，
∴在中，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：A.
【分析】先根据菱形的性质求出CO，再根据勾股定理求出BC，最后根据三角形的面积公式求出AH即可.
10．（2024八下·宜州期中）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【答案】B
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．
故选：B．
【分析】利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可．
11．（2024八下·宜州期中） 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为（　　）
A．13.5尺 B．14尺 C．14.5尺 D．15尺
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设绳索OA的长为x，则A'O=x，
∵AB=1，CB=A'D=5，
∴OC=OA+AB-CB=x+1-5=x-4，
∵A'C=10，
∴在中，根据勾股定理得，
∴(x-4)2+102=x2，
解得x=14.5.
故答案为：C.
【分析】设绳索OA的长为x，则A'O=x，根据题意得AB，CB的长，然后求OC的长，接下来根据勾股定理得关于x的方程，解方程求出x的值即可.
12．（2024八下·宜州期中）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图②．
根据以上的操作，若AB＝8，AD＝12，则线段BM的长是（　　）
图① 图②
A．3 B．2 C． D．1
【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点作，交于点，如图所示，
在和中，
设，则，
，即：，
解得：，
，，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】过点作，交于点，先证出，再根据相似的性质得到，利用勾股定理求出DN，进而得到MF，进行求解即可.
二、填空题：（每小题2分，共12分，请将答案填在答题卡上对应的区域内．）
13．（2024八下·宜州期中）式子有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】.x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可.
14．（2024八下·宜州期中）与最简二次根式能合并，则m＝　 　．
【答案】1
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：∵与最简二次根式能够合并，
∴与是同类二次根式
∴，即．
故答案为：1．
【分析】先将进行化简，再根据同类二次根式的定义列出等式，求出即可.
15．（2024八下·宜州期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，有以下条件：①∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC；②AB＝CD，AD＝AC；③AD//BC，AB＝CD；④OA＝OC，OB＝OD．其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是　 　．（填序号）
【答案】①④
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①∵，，
∴四边形是平行四边形，①正确；
②∵，，不能判定四边形是平行四边形，②错误；
③∵，，不能判定四边形是平行四边形，可能是等腰梯形，③错误；
④∵，，∴ 四边形是平行四边形，④正确；
故答案为：①④.
【分析】根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可判断①；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判断②；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判断③；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断④；
16．（2024八下·宜州期中）若a，b，c是△ABC的三边，且，则△ABC的面积为　 　．
【答案】60
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
解得，，，
∵，
∴是直角三角形，
∴的面积为．
故答案为：60．
【分析】先根据绝对值、平方、二次根式的非负性求出a，b，c，再根据勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，利用面积公式计算即可.
17．（2024八下·宜州期中）菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AB于E，AC＝9，OE＝3，则＝　 　．
【答案】27
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，
∴，
又，是斜边上的中线，
∴，
∵，
∴菱形的面积是，
故答案为：．
【分析】先根据菱形的性质，得到对角线互相平分，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BD，最后利用菱形的面积公式计算即可.
18．（2024八下·宜州期中）如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，若，则　 　 度
【答案】18
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接DM，如图：
四边形ABCD是矩形，
．
是AC的中点，
，
，．
由折叠知DF=DC
．
，，，
．
．
，
．
，
．
设，则，
．
，
．
．
故答案为：18.
【分析】连接DM，易得∠ADC=90°，由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得DM=AM=CM，根据等腰三角形的性质得∠FAD=∠MDA，∠MDC=∠MCD，由折叠得DF=DC，则∠DFC=∠DCF，易得MF=FD，则∠FMD=∠FDM，结合三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠DFC=2∠FMD，∠DMC=2∠FAD，设∠FAD=x°，则∠DFC=4x°，∠MCD=∠MDC=4x°，结合内角和定理可得x的值，据此解答.
三、解答题：（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步嚎．请将解答写在答题卡上对应的区域内．）
19．（2024八下·宜州期中）计算：
【答案】解：原式＝4－＋2＋2－1
＝5＋
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的混合运算，先乘除再加减计算即可.
20．（2024八下·宜州期中）已知：如图在一块三角形土地上，准备规划出阴影所示部分作为绿地，若规划图设计∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，AB＝26m，BC＝24m．求绿地的面积．
【答案】解：∵∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m
∴AC＝＝10m
∵AC2＋BC2＝＝676，AB2＝＝676
∴AC2＋BC2＝AB2
∴△ABC是直角三角形
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先根据勾股定理求出AC，再根据勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，最后利用三角形面积公式进行计算即可.
21．（2024八下·宜州期中）已知E、F是四边形ABCD的对角线AC上 的两点，且AF＝CE，DF＝BE，DF//BE．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】证明：∵DF//BE，
∴∠DFE＝∠BEF
∴∠AFD＝∠CEB
又∵AF＝CE，DF＝BE
∴△AFD≌△CEB
∴AD＝BC，∠DAF＝∠BCE
∴AD//BC
∴四边形ABCD是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先根据全等三角形的判定SAS证出△AFD≌△CEB，进而得到AD＝BC，AD//BC，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证出即可.
22．（2024八下·宜州期中）如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB＝AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD
∴∠BAC＝∠DCA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC＝∠BAC
∴∠DAC＝∠DCA
∴AD＝DC
又∵AB＝AD，
∴AB＝DC．
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AD＝DC
∴平行四边形ABCD是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝2
∴OA＝OC，OB＝OD＝1，BD⊥AC
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC
在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝2
∴OE＝OA＝2
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠BAC＝∠DCA，再根据角平分线的定义可得，从而可得∠DAC＝∠BAC，进而得到AD=DC=AB，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证出四边形ABCD是平行四边形，最后根据邻边相等的平行四边形是菱形证出即可.
（2）根据菱形的性质和勾股定理求出OA，再根据直角三角形的性质计算即可.
23．（2024八下·宜州期中）如图，将正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA顺次延长至E，F，G，H，且使BE＝CF＝DG＝AH．
（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）若AH＝1，AB＝2，求正方形EFGH的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠EBF＝∠HAE＝∠GDH＝∠ FCG
又∵BE＝CF＝DG＝AH∴CG＝DH＝AE＝BF
∴△AEH≌△CGF≌△DHG≌△BFE分
∴EF＝FG＝GH＝HE，∠EFB＝∠HEA
∴四边形EFGH为菱形．
∵∠EFB＋∠FEB＝90°，∠EFB＝∠HEA
∴∠FEB＋∠HEA＝90°
即∠HEF＝90°
∴四边形EFGH是正方形．
（2）解：∵AH＝1，AB＝2
∴AE＝3
∴HE＝
∴＝HE2＝10
【知识点】勾股定理；正方形的性质；正方形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质和全等三角形的判定证得，进而得四边形为菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正方形证出即可.
（2）先根据勾股定理得到HE，再根据正方形的面积公式计算即可.
24．（2024八下·宜州期中）如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC＝90°，DB＝DC，E是BC的中点，连接DE．
（1）求证：四边形ABED是矩形．
（2）当△DBC满足什么条件时，四边形ABED是正方形？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵AD//BC，∠ABC＝90°
∴∠A＝180°－∠ABC＝90°
∵DB＝DC，E是BC的中点
∴DE⊥BC
∴∠DEB＝90°
∴四边形ABED是矩形．
（2）当△DBC满足∠BDC＝90°时，四边形ABED是正方形．
理由：∵DB＝DC，E是BC的中点，∠BDC＝90°
∴DE＝BE＝BC
由（1）可知四边形ABED是矩形
∴四边形ABED是正方形
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】(1)先根据平行线的性质得到∠A=90°，再根据等腰三角形的性质得到∠DEB＝90°，从而证出四边形ABED是矩形即可．
(2)根据邻边相等的矩形是正方形添加条件即可.
25．（2024八下·宜州期中）我们将称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．例如：
；
像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，解答下面的问题：
（1）分母有理化的值为　 　．
（2）分母有理化的值为　 　（n为正整数）
（3）计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）解：原式＝
＝
【知识点】分母有理化；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：(1)，
故答案为：.
(2)，
故答案为：.
【分析】（1）利用分母有理化，将分子、分母都乘以计算即可.
（2）利用分母有理化，将分子、分母都乘以计算即可.
（3）先分母有理化将原式变形为，再进一步计算可得．
26．（2024八下·宜州期中）探索与发现
小李同学在用作图软件探索图形性质的数学活动中，进行如下操作：
如图，在边长为3的正方形ABCD的AB边上取定点E，使AE＝1，在AD边上设置动点P，连接PE，以PE为边在AB的上方作正方形PEFG，接AF，BF．
（1）小李同学通过观察发现图中∠APE＝∠FEB，请给出证明；
（2）探索过程中发现，在点P运动过程中，△AFB的面积是个定值，请证明并求出这个定值 ；
（3）进一步探索后发现，随着点P的运动，△AFB的周长会随点P位置的变化而变化，但存在一个最小值，请你求出△AFB周长的最小值．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形PEFG都是正方形
∴∠BAD＝∠PEF＝90°
∴∠APE＋∠AEP＝90°，∠FEB＋∠AEP＝90°
∴∠APE＝∠FEB（同角的余角相等）
（2）过点F作于点H，则，如图所示，
∵四边形都是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）过点F作交于点N，作点B关于的对称点M，连接，如图所示，
由（2）得，
∴当点P运动时，点F在直线上运动，
∵四边形是边长为3的正方形，
∴， ，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵点B与点M关于对称，
∴，点M在上，，
∴，
∴，
∵(当且仅当点F在上时等号成立)，
∴，
∴的最小值为，
∴周长的最小值为．
【知识点】三角形三边关系；矩形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和同角的余角相等证出即可.
（2）过点F作于点H，先根据全等三角形的判定证出，再利用三角形的面积公式计算即可.
（3）过点F作交于点N，作点B关于的对称点M，连接，由题意得出当点P运动时，点F在直线上运动，利用矩形的判定证出四边形是矩形，再利用矩形的性质及三角形三边关系进行计算即可.
1 / 1广西壮族自治区河池市宜州区2023-2024学年八年级下学期数学期中试题
一、选择题：（每小题中只有一个选项符合要求，每小题3分，共36分．）
1．（2024八下·宜州期中）下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·宜州期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·宜州期中）在下列长度的各组线段中，不能组成直角三角形的是（　　）
A．2，4，5 B．6，8，10 C．13，12，5 D．7，24，25
4．（2024八下·宜州期中）下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·宜州期中）如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝10m，则A，B之间的距离是（　　）
A．5m B．10m C．20m D．40m
6．（2024八下·宜州期中）若等式成立，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．0≤x≤6 C．x≥6 D．x为一切实数
7．（2024八下·宜州期中）一个直角三角形的两边长分别是1和，则第三边长为（　　）
A．2 B．4 C． D．2或
8．（2024八下·宜州期中）若x，y为实数，且，则xy的值为（　　）
A．0 B．2 C．3 D．不能确定
9．（2024八下·宜州期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，＝24，则AH＝（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·宜州期中）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
11．（2024八下·宜州期中） 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为（　　）
A．13.5尺 B．14尺 C．14.5尺 D．15尺
12．（2024八下·宜州期中）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图②．
根据以上的操作，若AB＝8，AD＝12，则线段BM的长是（　　）
图① 图②
A．3 B．2 C． D．1
二、填空题：（每小题2分，共12分，请将答案填在答题卡上对应的区域内．）
13．（2024八下·宜州期中）式子有意义，则x的取值范围是　 　．
14．（2024八下·宜州期中）与最简二次根式能合并，则m＝　 　．
15．（2024八下·宜州期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，有以下条件：①∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC；②AB＝CD，AD＝AC；③AD//BC，AB＝CD；④OA＝OC，OB＝OD．其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是　 　．（填序号）
16．（2024八下·宜州期中）若a，b，c是△ABC的三边，且，则△ABC的面积为　 　．
17．（2024八下·宜州期中）菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AB于E，AC＝9，OE＝3，则＝　 　．
18．（2024八下·宜州期中）如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，若，则　 　 度
三、解答题：（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步嚎．请将解答写在答题卡上对应的区域内．）
19．（2024八下·宜州期中）计算：
20．（2024八下·宜州期中）已知：如图在一块三角形土地上，准备规划出阴影所示部分作为绿地，若规划图设计∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，AB＝26m，BC＝24m．求绿地的面积．
21．（2024八下·宜州期中）已知E、F是四边形ABCD的对角线AC上 的两点，且AF＝CE，DF＝BE，DF//BE．求证：四边形ABCD是平行四边形．
22．（2024八下·宜州期中）如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB＝AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
23．（2024八下·宜州期中）如图，将正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA顺次延长至E，F，G，H，且使BE＝CF＝DG＝AH．
（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）若AH＝1，AB＝2，求正方形EFGH的面积．
24．（2024八下·宜州期中）如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC＝90°，DB＝DC，E是BC的中点，连接DE．
（1）求证：四边形ABED是矩形．
（2）当△DBC满足什么条件时，四边形ABED是正方形？请说明理由．
25．（2024八下·宜州期中）我们将称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．例如：
；
像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，解答下面的问题：
（1）分母有理化的值为　 　．
（2）分母有理化的值为　 　（n为正整数）
（3）计算：．
26．（2024八下·宜州期中）探索与发现
小李同学在用作图软件探索图形性质的数学活动中，进行如下操作：
如图，在边长为3的正方形ABCD的AB边上取定点E，使AE＝1，在AD边上设置动点P，连接PE，以PE为边在AB的上方作正方形PEFG，接AF，BF．
（1）小李同学通过观察发现图中∠APE＝∠FEB，请给出证明；
（2）探索过程中发现，在点P运动过程中，△AFB的面积是个定值，请证明并求出这个定值 ；
（3）进一步探索后发现，随着点P的运动，△AFB的周长会随点P位置的变化而变化，但存在一个最小值，请你求出△AFB周长的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A、中的被开方数，A不是二次根式，A错误；
B、中的a小于0时不是二次根式，B错误；
C、是三次根式，C错误；
D、是二次根式，D正确；
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的定义逐一判断即可.
2．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是整数，不是最简二次根式，A错误；
B、，不是最简二次根式，B错误；
C、是最简二次根式，C正确；
D、不是最简二次根式，D错误；
故答案为：C．
【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一进行判断即可．
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，∴ 不能组成直角三角形，A符合题意；
B、∵，∴ 能组成直角三角形，B不符合题意；
C、∵，∴ 能组成直角三角形，C不符合题意；
D、∵，∴ 能组成直角三角形，D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可.
4．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
B、和不是同类项，无法合并，C错误；
D、，D正确；
故答案为：D
【分析】根据二次根式的性质和加减运算逐一计算即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，
∴AB=2CD=20（m），
故答案为：C.
【分析】由三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”得AB=2CD可求解.
6．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当斜边长为时，第三边长．
当两条直角边长分别为1和时，第三边长．
∴第三边长为或．
故答案为：D．
【分析】分当斜边长为时和两条直角边长分别为1和时，两种情况进行讨论即可.
8．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x，进而求得y即可.
9．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∵在菱形中，，
∴在中，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：A.
【分析】先根据菱形的性质求出CO，再根据勾股定理求出BC，最后根据三角形的面积公式求出AH即可.
10．【答案】B
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．
故选：B．
【分析】利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可．
11．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设绳索OA的长为x，则A'O=x，
∵AB=1，CB=A'D=5，
∴OC=OA+AB-CB=x+1-5=x-4，
∵A'C=10，
∴在中，根据勾股定理得，
∴(x-4)2+102=x2，
解得x=14.5.
故答案为：C.
【分析】设绳索OA的长为x，则A'O=x，根据题意得AB，CB的长，然后求OC的长，接下来根据勾股定理得关于x的方程，解方程求出x的值即可.
12．【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点作，交于点，如图所示，
在和中，
设，则，
，即：，
解得：，
，，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】过点作，交于点，先证出，再根据相似的性质得到，利用勾股定理求出DN，进而得到MF，进行求解即可.
13．【答案】.x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可.
14．【答案】1
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：∵与最简二次根式能够合并，
∴与是同类二次根式
∴，即．
故答案为：1．
【分析】先将进行化简，再根据同类二次根式的定义列出等式，求出即可.
15．【答案】①④
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①∵，，
∴四边形是平行四边形，①正确；
②∵，，不能判定四边形是平行四边形，②错误；
③∵，，不能判定四边形是平行四边形，可能是等腰梯形，③错误；
④∵，，∴ 四边形是平行四边形，④正确；
故答案为：①④.
【分析】根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可判断①；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判断②；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判断③；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断④；
16．【答案】60
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
解得，，，
∵，
∴是直角三角形，
∴的面积为．
故答案为：60．
【分析】先根据绝对值、平方、二次根式的非负性求出a，b，c，再根据勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，利用面积公式计算即可.
17．【答案】27
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，
∴，
又，是斜边上的中线，
∴，
∵，
∴菱形的面积是，
故答案为：．
【分析】先根据菱形的性质，得到对角线互相平分，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BD，最后利用菱形的面积公式计算即可.
18．【答案】18
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接DM，如图：
四边形ABCD是矩形，
．
是AC的中点，
，
，．
由折叠知DF=DC
．
，，，
．
．
，
．
，
．
设，则，
．
，
．
．
故答案为：18.
【分析】连接DM，易得∠ADC=90°，由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得DM=AM=CM，根据等腰三角形的性质得∠FAD=∠MDA，∠MDC=∠MCD，由折叠得DF=DC，则∠DFC=∠DCF，易得MF=FD，则∠FMD=∠FDM，结合三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠DFC=2∠FMD，∠DMC=2∠FAD，设∠FAD=x°，则∠DFC=4x°，∠MCD=∠MDC=4x°，结合内角和定理可得x的值，据此解答.
19．【答案】解：原式＝4－＋2＋2－1
＝5＋
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的混合运算，先乘除再加减计算即可.
20．【答案】解：∵∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m
∴AC＝＝10m
∵AC2＋BC2＝＝676，AB2＝＝676
∴AC2＋BC2＝AB2
∴△ABC是直角三角形
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先根据勾股定理求出AC，再根据勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，最后利用三角形面积公式进行计算即可.
21．【答案】证明：∵DF//BE，
∴∠DFE＝∠BEF
∴∠AFD＝∠CEB
又∵AF＝CE，DF＝BE
∴△AFD≌△CEB
∴AD＝BC，∠DAF＝∠BCE
∴AD//BC
∴四边形ABCD是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先根据全等三角形的判定SAS证出△AFD≌△CEB，进而得到AD＝BC，AD//BC，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证出即可.
22．【答案】（1）证明：∵AB∥CD
∴∠BAC＝∠DCA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC＝∠BAC
∴∠DAC＝∠DCA
∴AD＝DC
又∵AB＝AD，
∴AB＝DC．
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AD＝DC
∴平行四边形ABCD是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝2
∴OA＝OC，OB＝OD＝1，BD⊥AC
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC
在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝2
∴OE＝OA＝2
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠BAC＝∠DCA，再根据角平分线的定义可得，从而可得∠DAC＝∠BAC，进而得到AD=DC=AB，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证出四边形ABCD是平行四边形，最后根据邻边相等的平行四边形是菱形证出即可.
（2）根据菱形的性质和勾股定理求出OA，再根据直角三角形的性质计算即可.
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠EBF＝∠HAE＝∠GDH＝∠ FCG
又∵BE＝CF＝DG＝AH∴CG＝DH＝AE＝BF
∴△AEH≌△CGF≌△DHG≌△BFE分
∴EF＝FG＝GH＝HE，∠EFB＝∠HEA
∴四边形EFGH为菱形．
∵∠EFB＋∠FEB＝90°，∠EFB＝∠HEA
∴∠FEB＋∠HEA＝90°
即∠HEF＝90°
∴四边形EFGH是正方形．
（2）解：∵AH＝1，AB＝2
∴AE＝3
∴HE＝
∴＝HE2＝10
【知识点】勾股定理；正方形的性质；正方形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质和全等三角形的判定证得，进而得四边形为菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正方形证出即可.
（2）先根据勾股定理得到HE，再根据正方形的面积公式计算即可.
24．【答案】（1）证明：∵AD//BC，∠ABC＝90°
∴∠A＝180°－∠ABC＝90°
∵DB＝DC，E是BC的中点
∴DE⊥BC
∴∠DEB＝90°
∴四边形ABED是矩形．
（2）当△DBC满足∠BDC＝90°时，四边形ABED是正方形．
理由：∵DB＝DC，E是BC的中点，∠BDC＝90°
∴DE＝BE＝BC
由（1）可知四边形ABED是矩形
∴四边形ABED是正方形
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】(1)先根据平行线的性质得到∠A=90°，再根据等腰三角形的性质得到∠DEB＝90°，从而证出四边形ABED是矩形即可．
(2)根据邻边相等的矩形是正方形添加条件即可.
25．【答案】（1）
（2）
（3）解：原式＝
＝
【知识点】分母有理化；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：(1)，
故答案为：.
(2)，
故答案为：.
【分析】（1）利用分母有理化，将分子、分母都乘以计算即可.
（2）利用分母有理化，将分子、分母都乘以计算即可.
（3）先分母有理化将原式变形为，再进一步计算可得．
26．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形PEFG都是正方形
∴∠BAD＝∠PEF＝90°
∴∠APE＋∠AEP＝90°，∠FEB＋∠AEP＝90°
∴∠APE＝∠FEB（同角的余角相等）
（2）过点F作于点H，则，如图所示，
∵四边形都是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）过点F作交于点N，作点B关于的对称点M，连接，如图所示，
由（2）得，
∴当点P运动时，点F在直线上运动，
∵四边形是边长为3的正方形，
∴， ，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵点B与点M关于对称，
∴，点M在上，，
∴，
∴，
∵(当且仅当点F在上时等号成立)，
∴，
∴的最小值为，
∴周长的最小值为．
【知识点】三角形三边关系；矩形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和同角的余角相等证出即可.
（2）过点F作于点H，先根据全等三角形的判定证出，再利用三角形的面积公式计算即可.
（3）过点F作交于点N，作点B关于的对称点M，连接，由题意得出当点P运动时，点F在直线上运动，利用矩形的判定证出四边形是矩形，再利用矩形的性质及三角形三边关系进行计算即可.
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