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6.3 向心加速度
1.知道匀速圆周运动中向心加速度的方向。
2.能推导向心加速度的表达式，了解分析匀速圆周运动速度变化量时用到的极限思想。
3.知道向心加速度的表达式，并会用来进行简单的计算。
4.能够运用向心加速度公式求解有关问题。
天宫二号空间实验室在轨飞行时，可认为它绕地球做匀速圆周运动。尽管线速度大小不变，但方向却时刻变化，因此，它运动的加速度一定不为0。那么，该如何确定它在轨飞行时加速度的方向和大小呢？
G
FN
F
O
根据牛顿第二定律，物体的加速度方向跟合外力的方向相同。
合力
做匀速圆周运动的物体，它所受的合外力沿什么方向？
思考：加速度方向呢？
一、匀速圆周运动的加速度方向
4.物理意义：描述速度方向变化的快慢
2.符号：an
3.方向：始终指向圆心
5.说明：匀速圆周运动加速度的方向时刻改变，
所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是变加速运动。
1.向心加速度：做匀速圆周运动的物体加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度。
如图，物体做匀速圆周运动，经Δt从A运动到B，画出Δv的方向
Δv
O
A
B
vB
vA
Δv
B
vB
vA
Δv
B
vB
vA
vA
Δt趋于0时，Δv 逐渐趋向于平行 OA，即Δv指向圆心，此时加速度a也指向圆心。
O
A
B
vA
vB
Δv
Δv
如何求加速度的大小呢？
二、匀速圆周运动的加速度大小
（1）从牛顿第二定律角度思考：
1.向心加速度的推导
根据牛顿第二定律：
向心加速度的大小：
（2）从几何角度推导向心加速度的大小：
物体从A点经时间Δt沿圆周匀速率运动到B点，转过的角度为Δθ，如图所示，因为vA与OA垂直，vB与OB垂直，且vA＝vB，OA＝OB，所以△OAB与vA、vB、Δv组成的矢量三角形相似.
O
B
A
vA
vB
vA
Δv
Δθ
Δθ
O
B
A
vA
vB
vA
Δv
Δθ
Δθ
2.产生：由向心力产生
4.说明：匀速圆周运动的向心加速度大小不变。
3.大小：根据牛顿第二定律和向心力表达式 ，可得出向心加速度的大小
对于向心加速度的公式，同学们有各自的看法。从 看，向心加速度与半径成反比；从a=ω2r看，向心加速度与半径成正比。这两个结论是否矛盾？谈谈你的看法。
当v一定时，a与r成反比
当ω一定时，a与r成正比
【例题】如图所示，在长为 l 的细绳下端拴一个质量为 m 的小球，捏住绳子的上端，使小球在水平面内做圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。当绳子跟竖直方向的夹角为 θ 时，小球运动的向心加速度 an 的大小为多少？通过计算说明 ：要增大夹角 θ，应该增大小球运动的角速度 ω。
分析 由于小球在水平面内做圆周运动，向心加速度的方向始终指向圆心。可以根据受力分析，求出向心力的大小，进而求出向心加速度的大小。根据向心加速度公式，分析小球做圆周运动的角速度 ω 与夹角 θ 之间的关系。
解: 根据对小球的受力分析，可得小球的向心力Fn ＝ mgtanθ
根据牛顿第二定律可得小球运动的向心加速度 an ＝ Fn/m ＝ gtan θ (1)
根据几何关系可知小球做圆周运动的半径 r＝lsin θ (2)
把向心加速度公式 an＝ω2r 和(2)式代入(1)式，可得 cosθ =
从此式可以看出，当小球运动的角速度增大时，夹角也随之增大。因此，要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度ω。
2.一物体在水平面内沿半径 R=20cm的圆形轨道做匀速圆周运动，线速度v=0.2m/s，那么，它的向心加速度为 0.2 m/s2，它的角速度为_______ rad/s，它的周期为_______ s．
1.质量相等的A、B两质点分别做匀速圆周运动，若在相等的时间内通过的弧长之比为2：3，而转过角度之比为3：2，则A、B两质点周期之比为——————，向心加速度之比为————。
2：3
1：1
1
2π
3.（多选）物体做圆周运动，关于向心加速度，以下说法中正确的是（　　）
A．向心加速度只改变线速度的方向
B．向心加速度的方向一直指向圆心，所以方向不变
C．由 可知，当线速度保持不变时，向心加速度与半径成反比
D．向心加速度越大，则速度方向改变越大
AC
4.如图所示，科技馆中的科普器材中常有齿轮传动装置，已知三个齿轮的半径之比RA：RB：RC=3∶1∶2，当齿轮转动的时候，下列说法中正确的是（　　）
A．三个齿轮的角速度大小之比ωA：ωB：ωC为1∶1∶1
B．三个齿轮的周期大小之比TA：TB：TC为2∶1∶3
C．三个齿轮边缘的线速度大小之比vA：vB：vC为3∶1∶2
D．三个齿轮边缘的的向心加速度大小之比aA：aB：aC为2∶6∶3
D
5.在长0.2 m的细绳的一端系一小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以0.6 m/s的速度在桌面上做匀速圆周运动，求小球运动的向心加速度大小和角速度。
答案：a=1.8 m/s2
ω=3 rad/s。
1、方向：总指向圆心，方向时刻改变，方向总是与速度方向垂直。
2、向心加速度：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。
3、物理意义：向心加速度是描述速度方向改变快慢的物理量。
二、向心加速度的大小
一、匀速圆周运动的向心加速度及其方向

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