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【北师大版八下数学期末复习必刷题】压轴题50题22个考点
一．因式分解的应用（共3小题）
1．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；
（2）已知a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，求a+b+c的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1＝0，
∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）＝0，
∴（x+y）2+（y+1）2＝0，
∴x+y＝0，y+1＝0，
解得，x＝1，y＝﹣1，
∴2x+y＝2×1+（﹣1）＝1；
（2）∵a﹣b＝4，
∴a＝b+4，
∴将a＝b+4代入ab+c2﹣6c+13＝0，得
b2+4b+c2﹣6c+13＝0，
∴（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，
∴（b+2）2+（c﹣3）2＝0，
∴b+2＝0，c﹣3＝0，
解得，b＝﹣2，c＝3，
∴a＝b+4＝﹣2+4＝2，
∴a+b+c＝2﹣2+3＝3．
2．上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）知识再现：当x＝　3　时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 　3　；
（2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝　1　时，y有最 　大　值（填“大”或“小”），这个值是 　﹣2　；
（3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵x2﹣6x+12＝（x﹣3）2+3，
∴当x＝3时，有最小值3；
故答案为3，3．
（2）∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∴当x＝1时有最大值﹣2；
故答案为1，大，﹣2．
（3）∵﹣x2+3x+y+5＝0，
∴x+y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣6，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2﹣6≥﹣6，
∴当x＝1时，y+x的最小值为﹣6．
3．阅读理解并解答：
【方法呈现】
（1）我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题．
例如：x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，
∵（x+1）2≥0，
∴（x+1）2+2≥2．
则这个代数式x2+2x+3的最小值是 　2　，这时相应的x的值是 　﹣1　．
【尝试应用】
（2）求代数式﹣x2+14x+10的最小（或最大）值，并写出相应的x的值．
【拓展提高】
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）代数式x2+2x+3的最小值是2，这时相应的x的值是﹣1，
故答案为：2，﹣1；
（2）﹣x2+14x+10
＝﹣（x2﹣14x﹣10）
＝﹣[（x﹣7）2﹣49﹣10]
＝﹣[（x﹣7）2﹣59]
＝﹣（x﹣7）2+59，
∵﹣（x﹣7）2≤0，
∴﹣（x﹣7）2+59≤59，
∴代数式﹣x2+14x+10有最大值59，相应的x的值为7；
（3）∵a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，
∴a2+b2﹣10a﹣8b＝﹣41，
∴（a﹣5）2+（b﹣4）2﹣25﹣16＝﹣41，
∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝﹣41+41，
∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，
∴a＝5，b＝4，
∵a﹣b＜c＜a+b，
∴1＜c＜9，
∵c是△ABC中最长的边，
∴5＜c＜9．
答：c的取值范围为5＜c＜9．
二．分式的加减法（共1小题）
4．定义：若两个分式的差的绝对值为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．
（1）下列3组分式：
①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有 　②③　（只填序号）；
（2）若正实数a，b互为倒数，求证，分式与属于“友好分式组”；
（3）若a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值．
【答案】（1）②③；（2）证明过程见上面具体过程；（3）的值为﹣或﹣．
【解答】解：（1）①﹣＝≠2，
②﹣＝＝2，
③|﹣|＝||＝2，
∴属于“友好分式组”的有②③，
故答案为：②③．
（2）∵a，b互为倒数，
∴ab＝1，b＝，
∴|﹣|
＝|﹣|
＝|﹣|
＝||
＝2，
∴分式与属于“友好分式组”；
（3）∵|﹣|
＝|﹣|
＝||
＝||，
∵与属于“友好分式组”，
∴||＝2，
∴2a2+2ab＝2（a2﹣4b2）或2a2+2ab＝﹣2（a2﹣4b2），
①a＝﹣4b，②ab＝4b2﹣2a2，
把①代入＝＝﹣，
把②代入＝＝﹣，
综上所述：的值为﹣或﹣．
三．分式方程的应用（共1小题）
5．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）按照（2）中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．根据题意，得：
，
解得：m＝9．
经检验，m＝9是原方程的根且符合题意．
答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；
（2）设购进A款汽车x辆．根据题意，得：
99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．
解得：6≤x≤10．
∵x的正整数解为6，7，8，9，10，
∴共有5种进货方案，
方案1．购进A款汽车6辆，购进B款汽车9辆．
方案2．购进A款汽车7辆，购进B款汽车8辆．
方案3．购进A款汽车8辆，购进B款汽车7辆．
方案4．购进A款汽车9辆，购进B款汽车6辆．
方案5．购进A款汽车10辆，购进B款汽车5辆；
（3）设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，根据题意，得：
W＝（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）＝（a﹣0.5）x+30﹣15a．
当a＝0.5时，（2）中所有方案获利相同．
四．一元一次不等式组的整数解（共1小题）
6．若不等式组恰有两个整数解．则实数a的取值范围是　＜a≤1　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：，
∵解不等式①得：x＞﹣，
解不等式②得：x＜2a，
∴不等式组的解集为﹣＜x＜2a，
∵不等式组有两个整数解，
∴1＜2a≤2，
∴＜a≤1，
故答案为：＜a≤1．
五．一元一次不等式组的应用（共2小题）
7．“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设购进1件甲种农机具x万元，1件乙种农机具y万元．
根据题意得：，
解得：，
答：购进1件甲种农机具1.5万元，1件乙种农机具0.5万元．
（2）设购进甲种农机具m件，购进乙种农机具（10﹣m）件，
根据题意得：，
解得：4.8≤m≤7．
∵m为整数．
∴m可取5、6、7．
∴有三种方案：
方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件．
方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件．
方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件．
设总资金为w万元．
w＝1.5m+0.5（10﹣m）＝m+5．
∵k＝1＞0，
∴w随着m的减少而减少，
∴m＝5时，w最小＝1×5+5＝10（万元）．
∴方案一需要资金最少，最少资金是10万元．
（3）设节省的资金用于再次购买甲种农机具a件，乙种农机具b件，
由题意得：（1.5﹣0.7）a+（0.5﹣0.2）b＝0.7×5+0.2×5，
其整数解：或，
∴节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有两种：
方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件．
方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件．
8．为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元．
（1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？
（2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元．请问共有哪几种改扩建方案？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设改扩建一所A类和一所B类学校所需资金分别为x万元和y万元．
由题意得，
解得，
答：改扩建一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为1200万元和1800万元．
（2）设今年改扩建A类学校a所，则改扩建B类学校（10﹣a）所，
由题意得：，
解得 ，
∴3≤a≤5，
∵a取整数，
∴a＝3，4，5．
即共有3种方案：
方案一：改扩建A类学校3所，B类学校7所；
方案二：改扩建A类学校4所，B类学校6所；
方案三：改扩建A类学校5所，B类学校5所．
六．角平分线的性质（共2小题）
9．如图，∠ABC＝∠ACB，△ABC的内角∠ABC的角平分线BD与∠ACB的外角平分线交于点D，△ABC的外角∠MBC的角平分线与CD的反向延长线交于点E，以下结论：
①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④BD平分∠ADC；⑤∠BAC+2∠BEC＝180°．
其中正确的结论有 　①②③⑤　．（填序号）
【答案】①②③⑤．
【解答】解：如图，过点D作DG⊥BF于G，DH⊥AB交BA的延长线于点H，DP⊥AC于P，过点A作AQ⊥BC于Q，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴DH＝DG，
∵CD是∠ACF的平分线，
∴DG＝DP，
∴DH＝DP，
∴AD是∠CAH的平分线，
即∠CAD＝∠HAD＝∠CAH，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∠CAD+∠HAD+∠BAC＝180°，
∴∠CAD＝∠ACB，
∴AD∥BC，
因此①正确；
∵BE平分∠CBM，BD平分∠ABC，∠CBM+∠ABC＝180°，
∴∠DBE＝∠ABC+∠CBM＝×180°＝90°，
即BD⊥BE，
因此②正确；
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵CD是∠ACF的平分线，
∴∠ACD＝∠FCD，
∵∠ACF＝∠BAC+∠ABC，∠DCF＝∠BDC+∠DBC，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵AQ⊥BC，AB＝AC，
∴∠BAQ＝∠CAQ＝∠BAC，
∵∠BAQ+∠ABC＝90°，
∴∠BDC+∠ABC＝90°，
因此③正确；
∵∠ADB＝∠ABC＝×（）＝45，而∠BAC
∴∠ADB与∠BDC不一定相等，
因此④不正确；
∵BE⊥BD，
∴∠E+∠BDC＝90°，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴∠E+∠BAC＝90°，
∴2∠E+∠ABC＝180°，
因此⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①②③⑤，
故答案为：①②③⑤．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF＝EB；
（2）AF+BE＝AE．
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴DC＝DE，
∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），
∴AC＝AE，
∴AF+FC＝AE，
即AF+BE＝AE．
七．等腰三角形的性质（共2小题）
11．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E．得到第3个△A2A3E…按此做法继续下去，则第n+1个三角形中以An+1为顶点的底角度数是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：∵在△CBA1中，∠B＝40°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝＝70°，
∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×70°；
同理可得∠EA3A2＝（）2×70°，∠FA4A3＝（）3×70°，
∴第n+1个三角形中以An+1为顶点的底角度数是（） n×70°．
故选：A．
12．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝　9　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，
则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…，
∵∠BOC＝9°，
∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°，∠A4A3C＝45°，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
由于n为整数，故n＝9．
故答案为：9．
八．等腰三角形的判定（共1小题）
13．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，P是直线BC上一点．
（1）若CP＝CD，求证：△DBP是等腰三角形；
（2）在图①中建立以△ABC的边BC的中点为原点，BC所在直线为x轴，BC边上的高所在直线为y轴的平面直角坐标系，如图②，已知等边△ABC的边长为2，AO＝，在x轴上是否存在除点P以外的点Q，使△BDQ是等腰三角形？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC＝∠ACB＝60°
∵BD是中线
∴∠DBC＝30°
∵CP＝CD
∴∠CPD＝∠CDP
又∵∠ACB＝60°
∴∠CPD＝30°
∴∠CPD＝∠DBC
∴DB＝DP
即△DBP是等腰三角形；
（2）在x轴上存在除点P以外的点Q，使△BDQ是等腰三角形
①若点Q在x轴负半轴上，且BQ＝BD
∵BD＝
∴BQ＝
∴OQ＝
∴点Q1（，0）；
②若点Q在x轴上，且BQ＝QD
∵∠QBD＝∠QDB＝30°
∴∠DQC＝60°
又∠QCD＝60°
∴QC＝DC＝1，而OC＝1
∴OQ＝0，
∴点Q2（0，0）；
③若点Q在x轴正半轴上，且BQ＝BD
∴BQ＝，而OB＝1
∴OQ＝
∴点Q3（，0）．
九．等边三角形的性质（共5小题）
14．图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉如图正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则Pn﹣Pn﹣1的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：P1＝1+1+1＝3，
P2＝1+1+＝，
P3＝1+++×3＝，
P4＝1+++×2+×3＝，
…
∴P3﹣P2＝﹣＝＝，
P4﹣P3＝﹣＝＝，
则Pn﹣Pn﹣1＝＝．
故选：C．
15．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展而来边数记为a3＝12，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4＝20，第（3）个多边形由五边形“扩展”而来，边数记为a5＝30…依此类推，由正n边形“扩展而来的多边形的边数记为an（n≥3），则结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵根据图形可知：a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，a5＝5×6，…，a12＝12×13，
∴
＝++++…+
＝﹣+﹣+…+﹣
＝﹣
＝，
故选：D．
16．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠BQD＝30°，
∴∠QPC＝90°，
设AP＝x，则PC＝6﹣x，QB＝x，
∴QC＝QB+BC＝6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，
∴PC＝QC，即6﹣x＝（6+x），解得x＝2，
∴AP＝2；
（2）解法一：当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
过P 作PF∥QC，
∴△AFP是等边三角形，
∵P、Q 同时出发、速度相同，即BQ＝AP，
∴BQ＝PF，
∴△DBQ≌△DFP（AAS），
∴BD＝DF，
而△APF 是等边三角形，PE⊥AF，
∵AE＝EF，
又DE+（BD+AE）＝AB＝6，
∴DE+（DF+EF）＝6，即DE+DE＝6∴DE＝3 为定值，
即DE 的长不变．
解法二：当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP＝BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，
∴∠APE＝∠BQF，
，
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE＝EF，
∵EB+AE＝BE+BF＝AB，
∴DE＝AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE＝3，
∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．
17．等边△ABC，点D是直线BC上一点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，连接CE．
（1）如图1，若点D在线段BC上，求证：CE+CD＝AB；
（2）如图2，若点D在CB的延长线上，线段CE，CD，AB的数量有怎样的数量关系？请加以证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）如图1，∵△ADE与△ABC都是等边三角形，
∴AC＝AB，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°．
∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD．
即∠CAE＝∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
∵，
∴△CAE≌△BAD（SAS）．
∴EC＝DB（全等三角形的对应边相等）；
∴CE+CD＝DB+CD＝BC＝AB，即CE+CD＝AB；
（2）CE+AB＝CD．
理由如下：如图2，∵△ADE与△ABC都是等边三角形，
∴AC＝AB，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°．
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE．
即∠CAE＝∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
∵，
∴△CAE≌△BAD（SAS）．
∴EC＝DB（全等三角形的对应边相等）；
∴CE+AB＝DB+BC＝CD，即CE+AB＝CD．
18．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．
∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°
又由条件得AP＝BQ，
在△ABQ和△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．
（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t
①当∠PQB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；
②当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝；
∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．
（3）∠CMQ＝120°不变．
∵在等边三角形中，BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°
∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，
又由条件得BP＝CQ，
在△PBC和△QCA中，
，
∴△PBC≌△QCA（SAS）
∴∠BPC＝∠MQC
又∵∠PCB＝∠MCQ，
∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°
一十．等边三角形的判定（共1小题）
19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，若AD＝BD，求∠A的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，作DE⊥AB于E，连接EC．求证：△EBC是等边三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵∠DBA＝∠DBC，
∴∠A＝∠DBA＝∠DBC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠DBA+∠DBC＝90°，
∴∠A＝30°；
（2）证明：∵AD＝BD，DE⊥AB，
∴AE＝BE，
∴CE＝BE，
∵∠A＝30°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形．
一十一．等边三角形的判定与性质（共3小题）
20．如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE＝DA，连接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点．证明下列结论：
（1）AG＝AD；
（2）DF＝EF；
（3）S△DGF＝S△ADG+S△ECF．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD＝90°，∠ADG＝30°，
∴AG＝AD；
（2）过点D作DH∥BC交AC于点H，
∴∠ADH＝∠B，∠AHD＝∠ACB，∠FDH＝∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠A＝∠ADH＝∠AHD＝60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴DH＝AD，
∵AD＝CE，
∴DH＝CE，
在△DHF和△ECF中，
，
∴△DHF≌△ECF（AAS），
∴DF＝EF；
（3）∵△ADH是等边三角形，DG⊥AC，
∴AG＝GH，
∴S△ADG＝S△HDG，
∵△DHF≌△ECF，
∴S△DHF＝S△ECF，
∴S△DGF＝S△DGH+S△DHF＝S△ADG+S△ECF．
21．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
22．如图，△ABC是等边三角形．
（1）如图①，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图②，△ADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，判断∠BEC的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°，
∴△ADE是等边三角形；
（2）解：AE+CE＝BE．
∵∠BAD+∠DAC＝60°，∠CAE+∠DAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，
∴BE＝BD+DE＝AE+CE，∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝60°．
一十二．直角三角形的性质（共1小题）
23．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（　　）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
【答案】C
【解答】解：①以A为直角顶点，可过A作直线垂直于AB，与坐标轴交于一点，这一点符合点P的要求；
②以B为直角顶点，可过B作直线垂直于AB，与坐标轴交于两点，这两点也符合P点的要求；
③以P为直角顶点，可以AB为直径画圆，与坐标轴共有3个交点．
所以满足条件的点P共有6个．
故选：C．
一十三．勾股定理（共6小题）
24．如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积，S2＝2π，则S3是　　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：在直角三角形中，利用勾股定理得：a2+b2＝c2，
∴a2+b2＝c2，
变形为：（）2π+（）2π＝（）2π，即S2+S3＝S1，
又S1＝，S2＝2π，
则S3＝S1﹣S2＝﹣2π＝．
故答案为：
25．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝　2.5　．
【答案】2.5．
【解答】解：∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形，
∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，
设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG＝m，S△ACH＝n，
∵a2+b2＝c2，
∴S△ABD+S△ACE＝S△BCF，
∴S1+m+n+S4＝S2+S3+m+n，
∴S4＝3.5+5.5﹣6.5＝2.5
故答案为：2.5．
26．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝，有下列四个结论：①∠CBE＝15°；②AE＝+1；③S△DEC＝；④CE+DE＝EF．则其中正确的结论有 　①②④　．（填序号）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°．
在△BCE和△DCE中，，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CDE＝15°，故①正确；
②过D作DM⊥AC于M，
∵∠CDE＝15°，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝75°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠AED＝60°，
∵AD＝AB＝，
∴AM＝DM＝×＝，
∴ME＝DM＝×＝1，
∴AE＝+1，故②正确；
③根据勾股定理求出AC＝2，
∵DM＝，EM＝1，
∵∠DCA＝45°，∠AED＝60°，
∴CM＝，
∴CE＝CM﹣EM＝﹣1，
∴S△DEC＝×（﹣1）×＝，故③错误；
④在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG，
∵BC＝CF，
∴∠CBE＝∠F，
∴∠CBE＝∠CDE＝∠F＝15°．
∴∠CEG＝60°．
∵CE＝GE，
∴△CEG是等边三角形．
∴∠CGE＝60°，CE＝GC，
∴∠GCF＝45°，
∴∠ECD＝GCF．
在△DEC和△FGC中，，
∴△DEC≌△FGC（SAS），
∴DE＝GF．
∵EF＝EG+GF，
∴EF＝CE+ED，故④正确；
故答案为：①②④．
27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是 　　．
【答案】．
【解答】解：如图，
∵四边形ABGF是正方形，
∴∠FAB＝∠AFG＝∠ACB＝90°，
∴∠FAC+∠BAC＝∠FAC+∠ABC＝90°，
∴∠FAC＝∠ABC，
∴△FAH≌△ABN（ASA），
∴S△FAH＝S△ABN，
∴S△ABC＝S四边形FNCH，
在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵AC+BC＝7，
∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC BC＝49，
∴AB2+2AC BC＝49，
∵AB2﹣S△ABC＝16，
∴AB2﹣AC BC＝16，
∴BC AC＝，AB2＝，
∴AC2+BC2＝，
∴阴影部分的面积和＝AC2+BC2+2S△ABC﹣S白＝+2××﹣16＝．
故答案为：．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，
∴BC＝8（cm）；
（2）由题意知BP＝2tcm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；
②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，
AP2＝62+（2t﹣8）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，
解得：t＝，
故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；
（3）①当AB＝BP时，t＝5；
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8；
③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t﹣8|cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以（2t）2＝62+（2t﹣8）2，
解得：t＝，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．
29．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．
（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，
在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．
答：AP的长为2．
（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，
根据勾股定理，得AB＝＝＝8
若BA＝BP，则 2t＝8，解得t＝4；
若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；
若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．
答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．
（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：
则∠AED＝∠PED＝90°，
∴∠PED＝∠ACB＝90°，
∴PD平分∠APC，
∴∠EPD＝∠CPD，
，
∴△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，
解得：t＝5；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：
同①得：△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，
解得：t＝11；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．
一十四．勾股定理的证明（共3小题）
30．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（　　）
A．90 B．100 C．110 D．121
【答案】C
【解答】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，
易得△CAB≌△BOF≌△FLG，
∴AB＝OF＝3，AC＝OB＝FL＝4，
∴OA＝OL＝3+4＝7，
∵∠CAB＝∠BOF＝∠L＝90°，
所以四边形AOLP是正方形，
边长AO＝AB+AC＝3+4＝7，
所以KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，
因此矩形KLMJ的面积为10×11＝110．
故选：C．
31．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（　　）
A．1+ B．2+ C．5﹣ D．
【答案】B
【解答】解：∵四边形EFGH为正方形，
∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，
∵OG＝GP，
∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，
∴∠PBG＝22.5°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠GBC＝22.5°，
∴∠PBG＝∠GBC，
∵∠BGP＝∠BGC＝90°，
在△BPG和△BCG中，
，
∴△BPG≌△BCG（ASA），
∴PG＝CG．
设OG＝PG＝CG＝x，
∵O为EG，BD的交点，
∴EG＝2x，FG＝x，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
∴BF＝CG＝x，
∴BG＝x+x，
∴BC2＝BG2+CG2＝x2（+1）2+x2＝（4+2）x2，
∴＝＝＝2+．
故选：B．
32．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．
（1）请你结合图形来证明：h1+h2＝h；
（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；
（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝x+3，l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是．求点M的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接AM，由题意得h1＝ME，h2＝MF，h＝BD，
∵S△ABC＝S△ABM+S△AMC，
S△ABM＝×AB×ME＝×AB×h1，
S△AMC＝×AC×MF＝×AC×h2，
又∵S△ABC＝×AC×BD＝×AC×h，AB＝AC，
∴×AC×h＝×AB×h1+×AC×h2，
∴h1+h2＝h．
（2）解：如图所示：
h1﹣h2＝h．
（3）解：在y＝x+3中，令x＝0得y＝3；令y＝0得x＝﹣4，
所以A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）．
AB＝＝5，AC＝5，所以AB＝AC，
即△ABC为等腰三角形．
①当点M在BC边上时，由h1+h2＝h得：+My＝OB，My＝3﹣＝，
把它代入y＝﹣3x+3中求得：Mx＝，
所以此时M（，）．
②当点M在CB延长线上时，由h1﹣h2＝h得：My﹣＝OB，My＝3+＝，
把它代入y＝﹣3x+3中求得：Mx＝﹣，
所以此时M（﹣，）．
③当点M在BC的延长线上时，h1＝＜h，不存在；
综上所述：点M的坐标为M（，）或（﹣，）．
一十五．三角形中位线定理（共4小题）
33．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF，则EF的长是（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：如图，取AB的中点G，连接EG、FG，
∵E、F分别是边AD、CB的中点，
∴EG∥BD且EG＝BD＝×6＝3，
FG∥AC且FG＝AC＝×6＝3，
∵AC⊥BD，
∴EG⊥FG，
∴EF＝＝＝3．
故选：C．
34．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　3　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵ED＝EM，MF＝FN，
∴EF＝DN，
∴DN最大时，EF最大，
∵N与B重合时DN最大，
此时DN＝DB＝＝6，
∴EF的最大值为3．
故答案为3．
35．如图，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为 　1　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，
∴以此类推：△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的，
∴则△A5B5C5的周长为（7+4+5）÷16＝1．
故答案为：1
36．（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]
（2）如图2，在 ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推．
若 ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；
（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，
求证：DE∥BC且DE＝BC，
证明：如图，延长DE至F，使EF＝DE，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴AD＝CF（全等三角形对应边相等），
∠A＝∠ECF（全等三角形对应角相等），
∴AD∥CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF且BD∥CF，
∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴DF∥BC且DF＝BC（平行四边形的对边平行且相等），
∵DE＝EF＝DF，
∴DE∥BC且DE＝BC；
（2）∵A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，
∴A1B1＝AB，B1C1＝BC，C1D1＝CD，A1D1＝AD，
∴四边形A1B1C1D1的周长＝×1＝，
同理可得，四边形A2B2C2D2的周长＝×＝，
四边形A3B3C3D3的周长＝×＝，
…，
∴四边形的周长之和l＝1++++…；
（3）由图可知，+++…＝1（无限接近于1），
所以l＝1++++…＝2（无限接近于2）．
一十六．三角形综合题（共1小题）
37．（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）如图2，∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（3）如图3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，
∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，
∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF＝∠FAE，
∵在△DBF和△EAF中，
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
一十七．平行四边形的性质（共1小题）
38．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝　2　．
【答案】2．
【解答】解：如图，过点M作MH∥BC交CP于H，
则∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，
∵BP＝BC，
∴∠BCP＝∠BPC，
∴∠BPC＝∠MHP，
∴PM＝MH，
∵PM＝CN，
∴CN＝MH，
∵ME⊥CP，
∴PE＝EH，
在△NCF和△MHF中，
，
∴△NCF≌△MHF（AAS），
∴CF＝FH，
∴EF＝EH+FH＝CP，
∵矩形ABCD中，AD＝10，
∴BC＝AD＝10，
∴BP＝BC＝10，
在Rt△ABP中，AP＝＝＝6，
∴PD＝AD﹣AP＝10﹣6＝4，
在Rt△CPD中，CP＝＝＝4，
∴EF＝CP＝×4＝2．
故答案为：2．
一十八．平行四边形的判定（共1小题）
39．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：
AP＝　t　；DP＝　12﹣t　；BQ＝　15﹣2t　；CQ＝　2t　．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）t，12﹣t，15﹣2t，2t
（2）根据题意有AP＝t cm，CQ＝2t cm，PD＝（12﹣t）cm，BQ＝（15﹣2t）cm．
∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，解得t＝5．
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；
（3）由AP＝t cm，CQ＝2t cm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝（12﹣t）cm，
如图1，∵AD∥BC，即PD∥CQ，
∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，
解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
一十九．平行四边形的判定与性质（共1小题）
40．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH＝BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG＝BD，
∴EH∥FG，EH＝GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB＝∠CPD，
∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD
即∠APC＝∠BPD，
在△APC和△BPD中，
，
∴△APC≌△BPD，
∴AC＝BD
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF＝AC，FG＝BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）四边形EFGH是正方形．
证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP＝∠BDP，
∵∠DMO＝∠CMP，
∴∠COD＝∠CPD＝90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
二十．平移的性质（共1小题）
41．如图（1）所示：已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在点B的左侧，点D在点C的右侧，∠ADC、∠ABC的平分线交于点E（不与B、D点重合），∠CBN＝110°．
（1）若∠ADQ＝140°，则∠BED的度数为 　55°　（直接写出结果即可）；
（2）若∠ADQ＝m°，将线段AD沿DC方向平移，使点D移动到点C的左侧，其它条件不变，如图（2）所示，求∠BED的度数（用含m的式子表示）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图（1），过点E作EF∥PQ．
∵∠CBN＝110°，∠ADQ＝140°，
∴∠CBM＝70°，∠ADP＝40°．
∵∠CDE＝∠ADE，∠ABE＝∠CBE，
∴∠EBM＝35°，∠EDP＝20°．
∵EF∥PQ，
∴∠DEF＝∠EDP＝20°．
∵EF∥PQ，MN∥PQ，
∴EF∥MN，
∴∠FEB＝∠EBM＝35°，
∴∠BED＝∠DEF+∠FEB＝20°+35°＝55°；
故答案为：55°．
（2）如图（2），过点E作EF∥PQ．
∵∠CBN＝110°，
∴∠CBM＝70°．
∵∠CDE＝∠ADE，∠ABE＝∠CBE，
∴∠EBM＝35°，∠EDQ＝m°．
∵EF∥PQ，
∴∠DEF＝180°﹣∠EDQ＝180°﹣m°．
∵EF∥PQ，MN∥PQ，
∴EF∥MN，
∴∠FEB＝∠EBM＝35°，
∴∠BED＝∠DEF+∠FEB＝180°﹣m°+35°＝215°﹣m°．
二十一．坐标与图形变化-平移（共3小题）
42．如图，在平面直角坐标系中，AB∥DC，AC⊥BC，CD＝AD＝5，AC＝6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（　　）
A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6
【答案】A
【解答】解：如图，过点D作DT⊥AC交AC于J，交AB于T，连接CT．
∵AD＝DC＝5，DJ⊥AC，
∴AJ＝JC＝3，
∴DJ＝＝＝4，
∵CD∥AT．
∴∠DCJ＝∠TAJ，
∵∠DJC＝∠TJA，
∴△DCJ≌△TAJ（ASA），
∴CD＝AT＝5，DJ＝JT＝4，
∵∠AJT＝∠ACB＝90°，
∴JT∥BC，
∵AJ＝JC，
∴AT＝TB＝5，
设OA＝x，∵OD2＝AD2﹣OA2＝DT2﹣OT2，
∴52﹣x2＝82﹣（x+5）2，
解得x＝1.4，
∴OB＝OA+AB＝1.4+10＝11.4，
∵将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，
∴m＝OB＝11.4，
故选：A．
43．如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足．
（1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ 　1，4　）、B（ 　3，0　）、C（ 　2，﹣4　）；
②直接写出三角形AOH的面积 　2　．
（2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n．
（3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标．
【答案】（1）①1，4；3，0；2，﹣4．
②2．
（2）证明见解析部分．
（3）t＝1.2时，P（0.6，0），t＝2时，P（﹣1，0）．
【解答】（1）解：①∵，
又∵≥0，（b﹣3）2≥0，
∴a＝4，b＝3，
∴A（1，4），B（3，0），C（（2，﹣4），
故答案为：1，4；3，0；2，﹣4．
②△AOH的面积＝×1×4＝2，
故答案为：2．
（2）证明：如图，连接DH．
∵△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积，
∴×1×n+×4×（1﹣m）＝2，
∴4m＝n．
（3）解：①当点P在线段OB上，×（3﹣2t）×4＝×2t，
解得t＝1.2．
此时P（0.6，0）．
②当点P在BO的延长线上时，×（2t﹣3）×4＝×2×t，
解得t＝2，
此时P（﹣1，0），
综上所述，t＝1.2时，P（0.6，0），t＝2时，P（﹣1，0）．
44．在平面直角坐标系xOy中，把线段AB先向右平移h个单位，再向下平移1个单位得到线段CD（点A对应点C），其中A（a，b），B（m，n）分别是第三象限与第二象限内的点．
（1）若|a+3|+＝0，h＝2，求C点的坐标；
（2）若b＝n﹣1，连接AD，过点B作AD的垂线l．
①判断直线l与x轴的位置关系，并说明理由；
②已知E是直线l上一点，连接DE，且DE的最小值为1，若点B，D及点（s，t）都是关于x，y的二元一次方程px+qy＝k（pq≠0）的解（x，y）为坐标的点，试判断（s﹣m）+（t﹣n）是正数、负数还是0？并说明理由．
【答案】（1）（﹣1，﹣2）．
（2）①结论：直线l⊥x轴．证明见解析部分．
②结论：（s﹣m）+（t﹣n）＝0．证明见解析部分．
【解答】解：（1）∵|a+3|+＝0，
又∵|a+3|≥0，≥0，
∴a＝﹣3，b＝﹣1，
∴A（﹣3，﹣1），
∵点A先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到点C，
∴C（﹣1，﹣2）．
（2）①结论：直线l⊥x轴．
理由：∵b＝n﹣1，
∴A（a，n﹣1），
∵B（m，n），向右平移h个单位，再向下平移1个单位得到点D，
∴D（m+h，n﹣1），
∵A，D的纵坐标相同，
∴AD∥x轴，
∵直线l⊥AD，
∴直线l⊥x轴．
②结论：（s﹣m）+（t﹣n）＝0．
理由：∵E是直线l上一点，连接DE，且DE的最小值为1，
∴D（m+1，n﹣1），点B，D及点（s，t）都是关于x，y的二元一次方程px+qy＝k（pq≠0）的解（x，y）为坐标的点，
∴，
①﹣②得到p﹣q＝0，
∴p＝q，
③﹣②得到，p（s﹣m）+q（t﹣n）＝0，
∵pq≠0，
∴p＝q≠0，
∴（s﹣m）+（t﹣n）＝0．
二十二．旋转的性质（共6小题）
45．如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+3；⑤S△AOC+S△AOB＝6+．其中正确的结论是（　　）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③
【答案】A
【解答】解：由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，
又∵OB＝O′B，AB＝BC，
∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′＝60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图①，连接OO′，
∵OB＝O′B，且∠OBO′＝60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′＝OB＝4．
故结论②正确；
∵△BO′A≌△BOC，∴O′A＝5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，
∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，
故结论③正确；
S四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′＝×3×4+×42＝6+4，
故结论④错误；
如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．
易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，
则S△AOC+S△AOB＝S四边形AOCO″＝S△COO″+S△AOO″＝×3×4+×32＝6+，
故结论⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②③⑤．
故选：A．
46．如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴∠PEO＝∠PFO＝90°，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF（AAS），
∴OE＝OF，PE＝PF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM＝NF，PM＝PN，故①正确，
∴S△PEM＝S△PNF，
∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故④正确，
∵OM+ON＝OE+ME+（OF﹣NF）＝2OE，是定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，故③错误，
故选：B．
47．如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是　1.5　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，取AC的中点G，连接EG，
∵旋转角为60°，
∴∠ECD+∠DCF＝60°，
又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°，
∴∠DCF＝∠GCE，
∵AD是等边△ABC的对称轴，
∴CD＝BC，
∴CD＝CG，
又∵CE旋转到CF，
∴CE＝CF，
在△DCF和△GCE中，
，
∴△DCF≌△GCE（SAS），
∴DF＝EG，
根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，
此时∵∠CAD＝×60°＝30°，AG＝AC＝×6＝3，
∴EG＝AG＝×3＝1.5，
∴DF＝1.5．
故答案为：1.5．
48．△ABC是边长为2的等边三角形，点P为直线BC上的动点，把线段AP绕A点逆时针旋转60°至AE，O为AB边上一动点，则OE的最小值为　　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，连接EC，作CH⊥AB于H．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∵∠PAE＝∠BAC＝60°，
∴∠PAB＝∠EAC，
∵PA＝AE，BA＝CA，
∴△PAB≌△EAC（SAS），
∴∠ABP＝∠ACE，
∵∠ABP＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ACE＝120°，
∴∠BCE＝120°﹣60°＝60°，
∴∠ABC＝∠BCE，
∴CE∥AB，
∴点E的运动轨迹是直线CE（CE∥AB），
∵CB＝CA＝AB＝2，CH⊥AB，
∴BH＝AH＝1，
∴CH＝＝＝，
根据垂线段最短，可知OE的最小值＝CH＝，
故答案为．
49．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．
（1）求∠PCQ的度数；
（2）当AB＝4，AP：PC＝1：3时，求PQ的大小；
（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A重合），请写出一个反映PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意知，△ABP≌△CQB，
∴∠A＝∠ACB＝∠BCQ＝45°，∠ABP＝∠CBQ，AP＝CQ，PB＝BQ，
∴∠PCQ＝∠ACB+∠BCQ＝90°，∠ABP+∠PBC＝∠CPQ+∠PBC＝90°，
∴△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形．
（2）当AB＝4，AP：PC＝1：3时，有AC＝4，AP＝，PC＝3，
∴PQ＝＝2．
（3）存在2PB2＝PA2+PC2，
由于△BPQ是等腰直角三角形，
∴PQ＝PB，
∵AP＝CQ，
∴PQ2＝PC2+CQ2＝PA2+PC2，
故有2PB2＝PA2+PC2．
50．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针旋转60°，得△ADC，连接OD．
（1）判断△COD的形状，并证明；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）直接写出α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△COD是等边三角形，
∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°
∴CO＝CD
∴△COD是等边三角形．
（2）当α＝150°时，△AOD是直角三角形．
∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC＝150°
由（1）△COD是等边三角形
∴∠ODC＝60°
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°
当α＝150°时，△AOD是直角三角形．
（3）∵∠AOB＝110°，∠BOC＝α
∴∠AOC＝250°﹣a．
∵△OCD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝a﹣60°，∠AOD＝190°﹣a，
①当∠DAO＝∠DOA时，
2（190°﹣a）+a﹣60°＝180°，
解得：a＝140°
②当∠AOD＝ADO时，
190°﹣a＝a﹣60°，
解得：a＝125°，
③当∠OAD＝∠ODA时，
190°﹣a+2（a﹣60°）＝180°，
解得：a＝110°
∴α＝110°，α＝140°，α＝125°．
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【北师大版八下数学期末复习必刷题】压轴题50题22个考点
一．因式分解的应用（共3小题）
1．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；
（2）已知a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，求a+b+c的值．
2．上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）知识再现：当x＝　 　时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 　 　；
（2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝　 　时，y有最 　 　值（填“大”或“小”），这个值是 　 　；
（3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．
3．阅读理解并解答：
【方法呈现】
（1）我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题．
例如：x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，
∵（x+1）2≥0，
∴（x+1）2+2≥2．
则这个代数式x2+2x+3的最小值是 　 　，这时相应的x的值是 　 　．
【尝试应用】
（2）求代数式﹣x2+14x+10的最小（或最大）值，并写出相应的x的值．
【拓展提高】
已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．
二．分式的加减法（共1小题）
4．定义：若两个分式的差的绝对值为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．
（1）下列3组分式：
①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有 　 　（只填序号）；
（2）若正实数a，b互为倒数，求证，分式与属于“友好分式组”；
（3）若a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值．
三．分式方程的应用（共1小题）
5．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）按照（2）中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？
四．一元一次不等式组的整数解（共1小题）
6．若不等式组恰有两个整数解．则实数a的取值范围是　 　．
五．一元一次不等式组的应用（共2小题）
7．“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？
8．为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元．
（1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？
（2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元．请问共有哪几种改扩建方案？
六．角平分线的性质（共2小题）
9．如图，∠ABC＝∠ACB，△ABC的内角∠ABC的角平分线BD与∠ACB的外角平分线交于点D，△ABC的外角∠MBC的角平分线与CD的反向延长线交于点E，以下结论：
①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④BD平分∠ADC；⑤∠BAC+2∠BEC＝180°．
其中正确的结论有 　 　．（填序号）
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
七．等腰三角形的性质（共2小题）
11．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E．得到第3个△A2A3E…按此做法继续下去，则第n+1个三角形中以An+1为顶点的底角度数是（　　）
A． B．
C． D．
12．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝　 　．
八．等腰三角形的判定（共1小题）
13．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，P是直线BC上一点．
（1）若CP＝CD，求证：△DBP是等腰三角形；
（2）在图①中建立以△ABC的边BC的中点为原点，BC所在直线为x轴，BC边上的高所在直线为y轴的平面直角坐标系，如图②，已知等边△ABC的边长为2，AO＝，在x轴上是否存在除点P以外的点Q，使△BDQ是等腰三角形？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．
九．等边三角形的性质（共5小题）
14．图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉如图正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则Pn﹣Pn﹣1的值为（　　）
A． B． C． D．
15．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展而来边数记为a3＝12，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4＝20，第（3）个多边形由五边形“扩展”而来，边数记为a5＝30…依此类推，由正n边形“扩展而来的多边形的边数记为an（n≥3），则结果是（　　）
A． B． C． D．
16．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
17．等边△ABC，点D是直线BC上一点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，连接CE．
（1）如图1，若点D在线段BC上，求证：CE+CD＝AB；
（2）如图2，若点D在CB的延长线上，线段CE，CD，AB的数量有怎样的数量关系？请加以证明．
18．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
一十．等边三角形的判定（共1小题）
19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，若AD＝BD，求∠A的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，作DE⊥AB于E，连接EC．求证：△EBC是等边三角形．
一十一．等边三角形的判定与性质（共3小题）
20．如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE＝DA，连接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点．证明下列结论：
（1）AG＝AD；
（2）DF＝EF；
（3）S△DGF＝S△ADG+S△ECF．
21．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
22．如图，△ABC是等边三角形．
（1）如图①，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图②，△ADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，判断∠BEC的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．
一十二．直角三角形的性质（共1小题）
23．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（　　）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
一十三．勾股定理（共6小题）
24．如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积，S2＝2π，则S3是　 　．
25．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝　 　．
26．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝，有下列四个结论：①∠CBE＝15°；②AE＝+1；③S△DEC＝；④CE+DE＝EF．则其中正确的结论有 　 　．（填序号）
27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是 　 　．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
29．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．
（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？
一十四．勾股定理的证明（共3小题）
30．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（　　）
A．90 B．100 C．110 D．121
31．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（　　）
A．1+ B．2+ C．5﹣ D．
32．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．
（1）请你结合图形来证明：h1+h2＝h；
（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；
（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝x+3，l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是．求点M的坐标．
一十五．三角形中位线定理（共4小题）
33．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF，则EF的长是（　　）
A．3 B． C． D．
34．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　 　．
35．如图，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为 　 　．
36．（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]
（2）如图2，在 ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推．
若 ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；
（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？
一十六．三角形综合题（共1小题）
37．（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．
一十七．平行四边形的性质（共1小题）
38．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝　 　．
一十八．平行四边形的判定（共1小题）
39．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：
AP＝　 　；DP＝　 　；BQ＝　 　；CQ＝　 　．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
一十九．平行四边形的判定与性质（共1小题）
40．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
二十．平移的性质（共1小题）
41．如图（1）所示：已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在点B的左侧，点D在点C的右侧，∠ADC、∠ABC的平分线交于点E（不与B、D点重合），∠CBN＝110°．
（1）若∠ADQ＝140°，则∠BED的度数为 　 　（直接写出结果即可）；
（2）若∠ADQ＝m°，将线段AD沿DC方向平移，使点D移动到点C的左侧，其它条件不变，如图（2）所示，求∠BED的度数（用含m的式子表示）．
二十一．坐标与图形变化-平移（共3小题）
42．如图，在平面直角坐标系中，AB∥DC，AC⊥BC，CD＝AD＝5，AC＝6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（　　）
A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6
43．如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足．
（1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ 　 　）、B（ 　 　）、C（ 　 　）；
②直接写出三角形AOH的面积 　 　．
（2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n．
（3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标．
44．在平面直角坐标系xOy中，把线段AB先向右平移h个单位，再向下平移1个单位得到线段CD（点A对应点C），其中A（a，b），B（m，n）分别是第三象限与第二象限内的点．
（1）若|a+3|+＝0，h＝2，求C点的坐标；
（2）若b＝n﹣1，连接AD，过点B作AD的垂线l．
①判断直线l与x轴的位置关系，并说明理由；
②已知E是直线l上一点，连接DE，且DE的最小值为1，若点B，D及点（s，t）都是关于x，y的二元一次方程px+qy＝k（pq≠0）的解（x，y）为坐标的点，试判断（s﹣m）+（t﹣n）是正数、负数还是0？并说明理由．
二十二．旋转的性质（共6小题）
45．如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+3；⑤S△AOC+S△AOB＝6+．其中正确的结论是（　　）
①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③
46．如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
47．如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是　 　．
48．△ABC是边长为2的等边三角形，点P为直线BC上的动点，把线段AP绕A点逆时针旋转60°至AE，O为AB边上一动点，则OE的最小值为　 　．
49．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．
（1）求∠PCQ的度数；
（2）当AB＝4，AP：PC＝1：3时，求PQ的大小；
（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A重合），请写出一个反映PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．
50．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针旋转60°，得△ADC，连接OD．
（1）判断△COD的形状，并证明；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）直接写出α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
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