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2024春北师大版八下数学期末模拟押题卷
（范围：下学期全册，时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．运用提公因式法将多项式“”分解因式，应提取的公因式是(　　)
A． B． C． D．
2．在函数关系式中，自变量的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
3．剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B． C． D．
4．已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，平分，交于点，，交的延长线于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，以直角顶点C为旋转中心，将旋转到的位置，其中E，F分别是A，B的对应点，且点B在斜边上，直角边交于D，则等于（　　）
A． B． C． D．
7．美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为（ ）
A． B． C． D．
8．点是外的一点，点分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接，点为的中点，点为的中点，连接．则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
10．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值的和为（ ）
A．12 B．10 C．9 D．16
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．已知，则 （填“”或“”或“”）．
12．已知，，则多项式的值为 ．
13．如图，在中，，，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交于点，则的长为 ．
14．如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点的面积为4，则阴影四边形和四边形的面积和为 ．
15．若解关于x的分式方程（m为常数）过程中产生了增根，则 ．
16．在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若线段，则的长为 ．
三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分.
17．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．
(1)；
(2)．
18．下面是小白同学进行分式计算的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务：
(1)上述解题过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是______．
(2)请写出正确的计算过程，并求当时，该分式的值．
19．如图，在中，，平分，于点E，点F在上，且.
(1)求证：；
(2)判断，与之间的数量关系，并说明理由.
20．在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题：
(1)作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标；
(2)作出关于原点对称的，并写出点的坐标；
(3)可看作以点（ ， ）为旋转中心，旋转得到的．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
21．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
(1)下列式子中，属于“和谐分式”的是__________（填序号）；
①；②；③；
(2)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
22．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得，则，
，解得：，，
另一个因式为，的值为．
请仿照上述方法解答下面问题：
(1)若，则______，______；
(2)已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值；
(3)已知二次三项式有一个因式是，是正整数，求另一个因式以及的值．
23．中国科技发展日新月异，有些电子产品会随着科技发展而降价，某电脑经销店开始销售款电脑，第一季度售价为0.65万元／台，利润为4万元；第二季度售价为0.6万元／台，利润为3万元．
(1)如果两个季度销售款电脑的数量相同，则款电脑每台的进价为多少万元？
(2)为增加收入，第三季度电脑经销店决定再经销款电脑，若款电脑的进价为0.3万元／台，经销店预计用不多于10万元且不少于9万元的资金购进两种电脑共25台，有几种进货方案？
(3)在第（2）问的基础上，如果两种电脑的进价不变，第三季度款电脑的售价为0.6万元／台，款电脑的售价为0.5万元／台，要使第三季度所获利润最大，应选哪种进货方案？最大利润是多少？
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
24．（1）探究：如图1，在中，，，点E，F分别在、的延长线上，若.求证：；
（2）拓展:如图2，在中，，点O是边的垂直平分线与的交点，点E，F分别在，的延长线上，若，，，求的度数．

25．如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接．
(1)填空：
①的度数为__________；
②线段，之间的数量关系为__________；
(2)如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在中，，，平面上一动点到点的距离为，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连，，，则是否有最大值和最小值，若有直接写出，不需要说明理由．
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2024春北师大版八下数学期末模拟押题卷
（范围：下学期全册，时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．运用提公因式法将多项式“”分解因式，应提取的公因式是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据公因式的定义以及多项式各项得出答案．
【详解】解：多项式的公因式为，
故选：B．
【点睛】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义是解题的关键，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式．
2．在函数关系式中，自变量的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】B
【分析】本题考查分式有意义的条件及二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式组，根据要使分式有意义，分母不为0；要使二次根式有意义，被开方数为非负数列出一元一次不等式组，解一元一次不等式组即可求解.
【详解】解：根据函数关系式可得出：
，
解得：，
故选：B．
3．剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题主要考查了中心对称图形，“图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心”，据此逐一判断选项即可．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，故该选项错误；
B、不是中心对称图形，故该选项错误；
C、不是中心对称图形，故该选项错误；
D、是中心对称图形，故该选项正确
故选：D．
4．已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【详解】解：由图象可得：当时，，
∴不等式的解集为，
故选：A．
5．如图，在中，平分，交于点，，交的延长线于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，根据平行四边形的性质得到，结合角平分线的性质得到．根据平行线的性质得到，．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
6．如图，在中，，，以直角顶点C为旋转中心，将旋转到的位置，其中E，F分别是A，B的对应点，且点B在斜边上，直角边交于D，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查的是旋转的性质，同时还涉及了三角形的内角和等知识，首先得出，，进而求得的度数，即可得出答案．
【详解】解：∵将旋转到的位置，其中E、F分别是A、B的对应点，
∴，，
∴，
故选：D．
7．美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，分式的化简．熟练掌握利用平方差公式，提公因式法进行因式分解，分式的化简是解题的关键．
利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，然后进行除法运算可得化简结果．
【详解】解：由题意知，
被污染的代数式为，
故选：C．
8．点是外的一点，点分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】题目主要考查轴对称的性质及线段垂直平分线的性质，根据轴对称的性质得到垂直平分垂直平分，则利用线段垂直平分线的性质得，，然后计算，即可得出结果，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
【详解】解：∵点关于的对称点恰好落在线段上，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵点关于的对称点落在的延长线上，
∴垂直平分，
∴，
∴．
故选：B．
9．如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接，点为的中点，点为的中点，连接．则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，取的中点M，连接、、，作于N．首先证明，求出，，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点M，连接、、，作于N．
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
∵，，
∴，
∵垂线段最短，
∴当点G在点N时，的最小，即的最小值为的长，此时也最小，
∴最小值为，的最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、垂线段最短，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明，属于中考选择题中的压轴题．
10．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值的和为（ ）
A．12 B．10 C．9 D．16
【答案】A
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和解分式方程，牢记解一元一次不等式组和解分式方程的步骤是解题的关键．先求得不等式组中各不等式的解集，根据不等式组无解可求得的取值范围，然后求得分式方程的解，根据解为整数，且，即可求得满足条件的所有整数的值．
【详解】解：
解不等式，得．
解不等式，得．
因为关于的不等式组无解，可得
．
解得．
解关于的分式方程，得
．
∵为整数，，,
∴或或．
∴满足条件的所有整数的和．
故选：A．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．已知，则 （填“”或“”或“”）．
【答案】
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的性质1：把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
12．已知，，则多项式的值为 ．
【答案】88
【分析】本题考查因式分解和代数式求值，将多项式分解为含有，的式子，再将，代入整理后的式子求解，即可解题．
【详解】解：
，
，，
上式，
故答案为：88．
13．如图，在中，，，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交于点，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了基本作图，全等三角形的性质及勾股定理．根据全等三角形的性质及勾股定理列方程求解．
【详解】解：过作于，
由作图得：平分，
，，．
，，
，
，
，
，
设．
则，即：，
解得：，
故答案为：．
14．如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点的面积为4，则阴影四边形和四边形的面积和为 ．
【答案】
【分析】由题意得，进而得到，根据，再根据的面积为4，得到，即可求出四边形的面积，即可得出结果．
【详解】解：的是直角三角形沿着斜边的方向平移后得到的，且、、、四点在同一条直线上，
，
，
，
，
，
，，
，，
的面积等于4，
，
，
四边形的面积，
故四边形和四边形的面积和为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移的性质，全等三角形的性质，平行线的判定，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．
15．若解关于x的分式方程（m为常数）过程中产生了增根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程增根的含义是解题的关键．先去分母，解方程，再将增根代入求解即可．
【详解】解：
方程两边乘以得：
，
时，方程（m为常数）产生了增根，
，
，
，
故答案为：13．
16．在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若线段，则的长为 ．
【答案】8或/12或8
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，等角对等边．熟练掌握平行四边形的性质，角平分线，等角对等边是解题的关键．
由角平分线的定义，平行线的性质可得，，由题意知，分当点F在D、E之间时，当点F在C、E之间时两种情况求解即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
又∵在中，，
∴，
∴，
∴；
同理可得，，
当点F在D、E之间时，如图1，
∵，
∴；
当点F在C、E之间时，如图2，
∵，
∴．
故答案为：8或．
三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分.
17．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．
(1)；
(2)．
【答案】(1)，数轴见解析
(2)，数轴见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．
（1）先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项即可得出答案；
（2）先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可．
【详解】（1）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得．

（2）解：，
解得，
解得．

则不等式组解集是：．
18．下面是小白同学进行分式计算的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务：
(1)上述解题过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是______．
(2)请写出正确的计算过程，并求当时，该分式的值．
【答案】(1)三，去括号出现错误；
(2)，
【分析】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式运算的顺序和相关法则．
（1）观察发现第三步开始出现错误，去括号出现错误；
（2）根据分式的混合运算法则进行化简，再把代入代简结果求值即可．
【详解】（1）解：上述解题过程中，从第三步开始出现错误，错误的原因是去括号出现错误；
故答案为：三，去括号出现错误；
（2）解：





当时,
原式
19．如图，在中，，平分，于点E，点F在上，且.
(1)求证：；
(2)判断，与之间的数量关系，并说明理由.
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）利用角平分线的性质得出，再利用证明，即可推导出；
（2）利用证明，推导出，结合（1）中结论即可得出．
本题主要考查了角平分线，全等三角形．解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，判定三角形全等和性质综合．
【详解】（1）∵平分，于点E，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）．理由：
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
由(1)知，，
∴．
20．在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题：
(1)作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标；
(2)作出关于原点对称的，并写出点的坐标；
(3)可看作以点（ ， ）为旋转中心，旋转得到的．
【答案】(1)作图见解析，
(2)作图见解析，
(3)，
【分析】本题主要考查图形的平移、旋转以及中心对称：
（1）根据图形平移的性质分别求得点，，平移后的对应点，，，依次连接点，，即可．
（2）分别求得点，，关于原点的对应点，，，依次连接点，，即可．
（3）根据图形旋转的性质，连接和中任意两个对应点，线段的中点即为旋转中心．
【详解】（1）如图所示，点的坐标为 ．
（2）如图所示， ．
（3）可看作以点为旋转中心，旋转得到的．
故答案为：，
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
21．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
(1)下列式子中，属于“和谐分式”的是__________（填序号）；
①；②；③；
(2)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】(1)①②
(2)，当时，该式的值为整数．
【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
（1）根据“和谐分式”的定义判断即可；
（2）原式化简为，继而得出原式，结合分式有意义的条件可得答案．
【详解】（1），，
①②是“和谐分式”．
故答案为：①②．
（2）原式
，
且，
且且，
若该分式的值为整数，则，此时分式的值．
22．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得，则，
，解得：，，
另一个因式为，的值为．
请仿照上述方法解答下面问题：
(1)若，则______，______；
(2)已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值；
(3)已知二次三项式有一个因式是，是正整数，求另一个因式以及的值．
【答案】(1)，
(2)，
(3)另一个因式是，的值是2
【分析】（1）将，等式右边展开，根据对应项系数相等，即可求解，
（2）设另一个因式为：，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解，
（3）设另一个因式是，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解，
本题考查了，根据因式分解的结果求参数，多项式乘多项式，解题的关键是：理解因式分解与多项式乘法互为逆运算．
【详解】（1）解：，
，，
故答案为：，，
（2）解：设另一个因式为：，
则，
，解得：，，
另一个因式是，
故答案为：，，
（3）解：设另一个因式是，则
则，解得：或，
是正整数，
，另一个因式是；（不符合题意舍去），
另一个因式是，a的值是2．
23．中国科技发展日新月异，有些电子产品会随着科技发展而降价，某电脑经销店开始销售款电脑，第一季度售价为0.65万元／台，利润为4万元；第二季度售价为0.6万元／台，利润为3万元．
(1)如果两个季度销售款电脑的数量相同，则款电脑每台的进价为多少万元？
(2)为增加收入，第三季度电脑经销店决定再经销款电脑，若款电脑的进价为0.3万元／台，经销店预计用不多于10万元且不少于9万元的资金购进两种电脑共25台，有几种进货方案？
(3)在第（2）问的基础上，如果两种电脑的进价不变，第三季度款电脑的售价为0.6万元／台，款电脑的售价为0.5万元／台，要使第三季度所获利润最大，应选哪种进货方案？最大利润是多少？
【答案】(1)A款电脑的进货价为万元
(2)方案共有7种
(3)当第三季度A款购进10台，B款购进15台时，所获得的利润最大为4.5万元
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用．
（1）设款电脑的进价为万元，利用销售数量销售总利润每台款电脑的销售利润，结合两个季度销售款电脑的数量相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）设购进款电脑台，则购进款电脑台，利用进货总价进货单价进货数量，结合进货总价不多于10万元且不少于9万元，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出电脑经销店共有7种进货方案；
（3）设购进的25台电脑全部售出后获得的总利润为万元，利用总利润每台电脑的销售利润销售数量（购进数量），可得出关于的函数关系式，再利用函数的性质求解即可．
【详解】（1）设款电脑的进价为万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：款电脑的进价为0.45万元；
（2）设购进款电脑台，则购进款电脑台，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为10，11，12，13，14，15，16，
有7种进货方案．
答：电脑经销店共有7种进货方案；
（3）解：设总利润为W万元，根据题意得：
，
，
∵，
∴W随y的增大而减少，
∴当时，W最大值为万元，
∴当第三季度A款购进10台，B款购进15台时，所获得的利润最大为4.5万元．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
24．（1）探究：如图1，在中，，，点E，F分别在、的延长线上，若.求证：；
（2）拓展:如图2，在中，，点O是边的垂直平分线与的交点，点E，F分别在，的延长线上，若，，，求的度数．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据，，得出是等边三角形，求出，，证明，根据证明结论即可；
（2）根据垂直平分线的性质得出，得出，根据补角的性质得出，证明，得出，根据，求出结果即可．
【详解】（1）证明：，，
是等边三角形，
，，
又，
，
在和中，
；
（2）O点是线段垂直平分线上的点，
，
，
，
又，，
，
，
又，
．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，补角的性质，三角形外角的性质，题目综合性很强，但难度不大，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
25．如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接．
(1)填空：
①的度数为__________；
②线段，之间的数量关系为__________；
(2)如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在中，，，平面上一动点到点的距离为，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连，，，则是否有最大值和最小值，若有直接写出，不需要说明理由．
【答案】(1)，
(2)，理由见解析
(3)存在，最小值为，最大值为
【分析】本题考查了等边三角形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，圆的性质定理，旋转的性质，三角形全等的判定和性质等知识，做题的关键是熟练掌握这些知识．
（1）由条件易证明，故，，因为，所以．
（2）仿照（1）中的解法可求出，证出，由为等腰直角三角形，及为中上的高，可得，从而证得．
（3）如图时，因为点到点的距离是，所以点是以点为圆心，为半径的圆，当、、三点在同一条直线上时，有最小值，因为，，所以，在与中，，得，所以，，在中，，所以，，此时时，的最小值为，同理可得：如图4，当、、三点在同一条直线上时，的最大值为：．
【详解】（1）解：∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
又∵
∴，
又∵，
∴．
故答案为：，．
（2）解：∵和均为等腰直角三角形，，
∴，，，
即，
在和中，，
∴，
∴，，，
∴，
在等腰直角三角形中，为斜边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴，
（3）解：如图，
∵点到点的距离是，
∴点是以点为圆心，为半径的圆，
当、、三点在同一条直线上时，有最小值，
∵，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
此时时，的最小值为，
同理可得：如图4，当、、三点在同一条直线上时，
的最大值为：．
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