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第12章 分式和分式方程
12.5 分式方程的应用
第2课时 利润问题
1.能根据问题中的数量关系列出分式方程，解决问题.
2.再次感受列分式方程解决问题的一般步骤.
3.提高分析、解决问题的能力.
温故知新
用分式方程解决实际问题的一般步骤是什么
审题——找出相等的数量关系——设未知数——列方程
——解方程——检验——作答.
知识点
列分式方程解应用题的常见类型
1
今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年后父亲的年龄与儿子的年龄的比是22：9. 求父亲和儿子今年的年龄.
一起探究
1. 上述问题中有哪些等量关系？
①今年父亲的年龄=今年儿子的年龄×3；
②5年后父亲的年龄：5年后儿子的年龄=22：9.
一起探究
2.列出方程，求出方程的解，并写出问题的答案.
解：设今年儿子的年龄是x岁，则父亲的年龄是3x岁.
根据题意，得
解这个方程，得
x=13.
经检验，x=13是原方程得解.
3x=3×13=39.
答：父亲今年的年龄是39岁，儿子今年的年龄是13岁.
例1
某服装店销售一种服装.若按原价销售，则每月销售额为10 000元; 若按八五折销售，则每月多卖出20件，且月销售额还增加1 900元. 每件服装的原价为多少元？
分析：本题中的主要等量关系为
按八五折销售这种服装的数量-按原价销售这种服装的数量=20件.
解：设每件服装原价为x元.根据题意，得
解这个方程, 得
x=200.
经检验，x=200是原方程的解.
答：每件服装的原价为200元.
1. 某商店购进一批甲、乙两种款型时尚 T恤衫，甲款型共用了7 800元，乙款型共用了6 400元，甲款型的数量是乙款型数量的1.5倍，甲款型每件的进价比乙款型每件的进价少30元．
(1)甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
(2)商店按进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元.
练
1. 某商店购进一批甲、乙两种款型时尚 T恤衫，甲款型共用了7 800元，乙款型共用了6 400元，甲款型的数量是乙款型数量的1.5倍，甲款型每件的进价比乙款型每件的进价少30元．
(1)甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
练
分析：本题中的主要等量关系为
甲款型每件的进价+30元=乙款型每件的进价.
解：(1)设乙款型购进x件，则甲款型购进1.5x件，
根据题意列方程，得 ，
解得x＝40.经检验，x＝40是原方程的解，且符合
题意.1.5x＝60.
答：甲款型购进60件，乙款型购进40件．
(2)7 800×60%＋ ×6 400×60%＋ ×6 400
×[(1＋60%)×50%－1]＝5 960(元)．
答：售完这批T恤衫商店共获利5 960元．
2. “母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3 000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5 000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？
分析：本题中的主要等量关系为
购进第一批盒装花的盒数×2=购进第二批盒装花的盒数
解：设第一批盒装花每盒的进价是x元，
则2× ，解得x＝30.
经检验，x＝30是原方程的根，且符合题意．
答：第一批盒装花每盒的进价是30元．
例2
相邻的两个偶数的比是27：28，求这两个偶数之间的奇数.
解：设这个奇数为x，根据题意，得
解得x =55，
经检验，x =55是原分式方程的根.
答：这两个偶数之间的奇数是55.
练
1.某网店经营某种型号的山地自行车，一月份销售额为30000元，二月份每辆车售价比一月份售价降低100元，若销售数量与一月份的数量相同，则销售额是27000元.
(1)求二月份每辆车的售价是多少？
(2)为了促销，三月份每辆车的售价比二月份每辆车售价降低了10％，网店仍可获利35％.求每辆山地自行车的进价是多少元？
分析：本题中的主要数量关系为
山地自行车二月份的销售数量=山地自行车一月份的销售数量
解：(1)设二月份每辆车售价是x元，由题意，得
解得 x=900.
经检验，x=900是原方程的根.
答：二月份每辆车的售价是900元.
(2)设每辆山地自行车的进价是y元，由题意，得
解得 y=600.
经检验，y=600是原方程的根.
答：每辆山地自行车的进价是600元.
2. 照相机成像应用了一个重要原理，即 (v≠f )，其中
f 表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶
片(像)到镜头的距离.如果一架照相机 f 已固定,那么就要依靠
调整u，v来使成像清晰.如果用焦距 f=35 mm的相机，拍摄离
镜头的距离u=2 m的花卉,成像清晰，那么拍摄时胶片到镜头
的距离v大约是多少(精确到0.1 mm)？
解：由 ，得 ，
则 ，
答：此时胶片到镜头的距离约为35.6 mm.
(1)利润问题：利润＝售价－进价，利润率＝ ×100%；
(2)工程问题：工作总量＝工作效率×工作时间；
(3)行程问题：路程＝速度×时间．
归纳：分式方程的应用题主要涉及的类型：
训练提升
1. [新考向·传承中华文化 2023·烟台]中华优秀传统文化源远
流长，是中华文明的智慧结晶.《孙子算经》《周髀算
经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣.某
书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的 ，用
600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多5本.
训练提升
(1)求两种图书的单价分别为多少元.
【解】设《周髀算经》的单价是 x 元，则《孙子算经》
的单价是 x 元.
根据题意，得 － ＝5，解得 x ＝40.
经检验， x ＝40是所列方程的解，且符合题意.
所以 ×40＝30(元).
答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元.
(2)为筹备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买
这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少
于《孙子算经》数量的一半，由于购买量大，书店有
打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别
购买多少本时总费用最少.
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【解】设购买 m 本《孙子算经》，则购买(80－ m )本
《周髀算经》.
根据题意，得80－ m ≥ m ，
解得 m ≤ .
设购买这两种图书共花费 w 元，则 w ＝30×0.8 m ＋
40×0.8(80－ m )，所以 w ＝2 560－8 m .
易知 m 越大， w 越小.
训练提升
又因为 m ≤ ，且 m 为正整数，
所以当 m ＝53时， w 取得最小值，此时80－53＝
27(本).
答：当购买53本《孙子算经》，27本《周髀算经》时
总费用最少.
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2. [情境题·生活应用]某商场欲购进 A ， B 两种家电，已知
B 种家电的进价比 A 种家电的进价每件多100元，经计
算，用10 000元购进 A 种家电的件数与用12 000元购进 B
种家电的件数相同.根据以上信息，解答下列问题：
(1)这两种家电每件的进价分别是多少元？
训练提升
【解】设 A 种家电每件的进价是 x 元，则 B 种家电每
件的进价是( x ＋100)元.
根据题意，得 ＝ ，解得 x ＝500.
经检验， x ＝500是所列方程的解，且符合题意.
所以500＋100＝600(元).
答： A 种家电每件的进价为500元， B 种家电每件的
进价为600元.
(2)若该商场欲购进这两种家电共100件，总金额不超过
53 500元，且 A 种家电不超过67件，则该商场有哪几
种购进方案？
【解】设购进 A 种家电 a 件，则购进 B 种家电(100－ a )件.
根据题意，得
解得65≤ a ≤67.
又因为 a 为正整数，所以 a 可以为65，66，67.
所以该商场共有3种购进方案，分别为：
方案1：购进 A 种家电65件， B 种家电35件；
方案2：购进 A 种家电66件， B 种家电34件；
方案3：购进 A 种家电67件， B 种家电33件.
结构导图
应用
利润问题
数字问题
一般解题步骤
1.审；2.设；3.列；
4.解；5.验； 6.答.
分式方程的
应用
必做: 请完成教材课后练习、A组和B组习题
补充: 请完成本课时习题
课后作业
作业1
作业2

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