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2024年竞赛数学试卷西班牙数学奥林匹克
一、解答题
1、2024个不同的素数p1,p2…,p2024满足条件：p1+p2+…+P1012=p1013+p1014+…+
P2024
设A=p1p2…p1012,B=p1013P1014…P2024
求证：A-B1≥4.
2、给定正整数n实数，2xn>1满足x12…x=n+1求证：+1(=十
1)…(-+1)≥n+1,并说明等号何时成立.
1
3、设△ABC为不等边三角形，P为三角形内部一点，满足∠PBA=∠PCA.直线PB和∠BAC的内角
平分线交于点Q,直线PC和∠BAC的外角平分线交于点R.点S满足CS II AQ,BS II AR,求证：Q,R,S三点
共线.
4、实数ab,c,d满足abcd=1,a++b+后+c++d+=0求证：ab,ac,ad中至少-个等于
-1.
5、给定平面上的两点1=(x1,y),P2=(x2,y2),用R(P1,P2)表示边与坐标轴平行、且以p1和p2为
对角顶点的矩形，即{(x,y)∈R2|min{x1,x2}≤x≤max{x1,x2},min{y1,y2}≤y≤
maxty,y2}
若对所有的点集SCR2,且1S1=2024,都存在两点p1p2∈S,使得1SnR(p1,P2)川≥，求k的最大可能
值
6、设a,b,n为正整数，满足bm整除am-a+1,记a=号求证：[a],[2a,,[(n-1)ad]除以n的余数
是1,2，…，n-1的一个排列.
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1、【答案】见解析
【解析】证明：首先注意到2生{p}1≤s2024,若不然易证明等式两侧的奇偶性不同，矛盾！因此本题
中的p1,p2…,p2024都是奇数，因此p:三±1(m0d4),i=1,2..2024
设A中有x个质数是m0d4余1的，则有(1012-x)个数是余-1的；同理设B中有y个质
数是m0dp余1的，则有(1012-y)个数是余-1的，于是我们有x一(1012-x)三y-(1012-
y)(mod4)
这意味着x三y(m0d2),那么三(-1)1012-x三(-1)1012-y三B(m0d4)
注意到A≡0(modp1),而B≡0(m0dp1)不成立，因此A≠B,进而|A-B|≥4，得证.
【标注】
2、【答案】见解析
【解析】证明：注意到
1
-k+1)2=k2xkxk=)+x%-(xk-10k+1=k2x号-k2xk+x-k-10k+1)2
1+K2xk-D-k2x水
k2xk(xk-1)
k2xk(xk-1)
k2x-k2xk+xk-xk(k+1)2+(k+1)2k2x-k2xk+xk-k2xk-2kxk-xx+(k+1)2k2x-2kxk(k+1)+(k+1)2
k2xk(xk-1)
k2xk(xk-1)
k2xk(xk-1)
(kxk-k-1)2
k2k-刃≥0
因此1+-功≥
1
k2xk
累乘可得
I,+-可≥=a+1,等号成立
当且仅当xk
k+1时取得
【标注】
3、【答案】见解析
【解析】证明：我们记AR,BP交于点D,AQ,BS交于点E.
由于∠ABP=∠ACP,∠BAD=∠CA,
因△ABD~△ACR,则=0
AC-AR
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