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2024年中国科学技术大学强基计划数学笔试试题
考试时间：6月12日8：30-12：00
数学共15道试题，其中填空题14道，每题6分，解答题1道，16分，共计100分。
一、填空题（本体共14小题，每小题6分，共84分)
1.已知正整数a,b,c满足10a+11b+12c=123,则(a,b,c)的组数是
2.若函数f(X)=x3+ax+2有一个二重零点，则a的所有可能取值是。
3.全集U有2024个元素，若A=2000,B=1978,C=1958,则Ao BoCmin=--。
4.已知a,B是方程x+1=1的两个复数根，则(X-x-B)=。
5.函数f(X)=x2+√x4-3x2+2x+5的值域是
6.已知x2+y2+z2≤1，则x2+2y-22+3的取值范围是。
7.1+√2)2024的小数点后第100位数字是。
8.投掷一个质地均匀的正方体（各面标有1,2,3,4,5,6），当各次所得数字之和为6
的整数倍时停止，则投掷次数的数学期望是」
9.数列{an,n∈N,则命题"A>O,n∈N,a10.在数字30和10V10中，更大的数字是。
11.已知圆锥的高为1，底面直径AB=2,则一蚂蚁从点A沿着侧面爬到点B,爬行
距离的最小值是。
12.函数f:R→R满足X,y∈R,f(X+f(y)=f(f(x)+y,且f(x)=2024，,则
f(2024)=_。
13.直线与双曲线的交点个数是一。
14.已知×∈[0,3]x≠y,x3ey=y3e*,则y的取值范围是。
二、解答题（本题共1小题，共16分)
15.已知斐波那契数列Fn}满足F1=F2=1,Fn=Fn1+Fn-2(n≥3)，求F9s8的个位数字。
2024年中国科学技术大学强基计划数学笔试试题解析
一、填空题（本题共14小题，每小题6分，共84分）
1已知正整数a,b,c满足10a+11b+12c=123则(a,b,c)的组数是▲
解：整理得10(a+b+c)+b+2c=123」
当a+b+c=12时，b+2c=3,只可能足a=10,b=1,c=1:
b=9-2a
当a+b+c=11时，b+2c=13,解
c=a+2其中a=123,4共4a:
h=23-2
当a+b+c=10时，b+2c=23解得
=C-15,无正整数解，兰然当a+b+c<10时亦无正整数解，则共有5组正整数解
2若函数f(x)=x+ax+2有一个二重零点，则a的所有可能取值是▲
[2m+n=0
解：设其二重零点为m,另一实根为n,则由书达定理可知{m2+2mm=a解得a=-3
mn=-2
3全集U有2024个元素，若|A=2000,B=1978,1C=1958,则AnBnCl=▲
解：A∩B曰A+|B-AB22000+1978-2024=1954,类似的有|A⌒C21934,且|B⌒C21912,由集合的容斥原理
有|A⌒BC曰U1-|A-|B|-|C|+|A⌒B|+|A∩CI+|B⌒C21888,等号可在AUB=AC=BUC=U时取撂.
4已知2，B是方程x+-1的两个复数根，则(x-(x-P)-▲
解：整理得x2-x+1=0,四此+B=
aB=1
,周此a2+B2=(a+B)2-2a邛=-1，透而
a°+B°=(a2+B2)2-2a2B2=-1,a4B=1,因此(x-a4(x-B4)=x2+x+1
5函数f(x)=x2+√x-3xr2+2.x+5的值域是▲
解：变形可得f(x)=x2+(x2-2)2+(x-)2,设P(x,x2),Q(-1,2),则f(x)表示动点P到点Q和y枯的距离之和，由几何意义显
然有f(x)∈[2，+o)
6已知x2+y2+z2≤1则x2+2y-2z+3的取值范围是▲
解：南于0≤x2≤1-y2-z2,即2y-2z+3≤x2+2y-2z+3≤4-(0y2+:2-2y+2z.
务一方面有f(f(fy))=f[ff(0)+]=f(f(y)+f(0),因比f(f0)+fy)=f(f()+f(0)=f(f(0)+y+f(0)
中f()=y+f(0).令y=1可行f(0)=2023,因比f(2024)=2024+2023=4047

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