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第十一章《三角形》全章复习题
一、单选题
1．在下列长度的四根木棒中，能与、长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是(　　)
A．AC是△ABC的高 B．DE是△BCD的高
C．DE是△ABE的高 D．AD是△ACD的高
3．在△ABC中，AD、AE、AF分别是它的高线、角平分线和中线，则下列说法中错误的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，若的三条角平分线、、交于点，则与互余的角是( )
A． B． C． D．
5．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A．直角三角形 B．长方形 C．五边形 D．正六边形
6．如图，在中，和的平分线相交于点O，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，的度数应是（ ）
A． B． C． D．
8．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
9．如图，直线，点C为直线MN上一点，连接AC、BC，∠CAB＝40°，∠ACB＝90°，∠BAC的角平分线交MN于点D，点E是射线AD上的一个动点，连接CE、BE，∠CED的角平分线交MN于点F．当∠BEF＝70°时，令，用含的式子表示∠EBC为（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，则∠N等于（ ）
A．21.5° B．21° C．22.5° D．22°
二、填空题
11．已知a，b，c是△ABC的三边长，满足，c为奇数，则△ABC的周长为 ．
12．已知三角形的三边长为4、x、11，化简 ．
13．已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，若，，则DE的长为 ．
14．如图，点D是的边上任意一点，点E、F分别是线段、的中点，且的面积为60，则的面积 ．
15．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，点D是BC边上的一点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处，当△BDE是直角三角形时，∠CAD的度数为 ．
16．如图，AB∥CD，CF平分∠DCG，GE平分∠CGB交FC的延长线于点E，若∠E＝34°，则∠B的度数为 ．
17．如图，在中，，在边上取点，使得，连接．点、分别为、边上的点，且，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若，则的度数为 ．
18．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F= ．
三、解答题
19．已知a，b，c分别为的三边，且满足，．
(1) 求c的取值范围；
(2) 若的周长为12，求c的值．
20．如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．
（1）当AD为边BC上的中线时．若AE=4，△ABC的面积为24，求CD的长；
（2）当AD为∠BAC的角平分线时．
① 若∠C =65°，∠B =35°，求∠DAE的度数；
② 若∠C-∠B =20°，则∠DAE =　 　°．
21．已知：如图，O是△ABC内一点，且BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．
(1) 若∠A＝48°，求∠BOC；
(2) 若∠A＝n°，求∠BOC；
(3) 若∠BOC＝130°，利用第（2）题的结论求∠A．
22．小红把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，求的度数．
23．将一副三角尺叠放在一起：
（1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数；
（2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数．
24．四边形ABCD中，的平分线与边BC交于点E；的平分线交直线AE于点O．
（1）若点O在四边形ABCD的内部．
①如图1，若，，，则______．
②如图2，试探索、、之间的数量关系，并将你的探索过程写下来．
如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请探究、、之间的数量关系，并说明理由．
答案
一、单选题
1．C
【分析】判定三条线段能否构成三角形，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
解：设三角形的第三边为x，则
9-4＜x＜4+9
即5＜x＜13，
∴当x=7时，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形，
故选：C．
2．C
【分析】根据三角形高的定义分别进行判断.
解：解:△ABC中，AC⊥BC,则AC是BC边上的高，所以A正确;
△BCD中，DE⊥BC，则DE是BC边上的高，所以B正确;
△ABE中，DE不是△ABE的高，所以C错误;△ACD中，CD⊥AB，则AD是CD边上的高，所以D正确.故答案为:C.
3．B
【分析】根据中线定义可判定A，根据当高AD与边AC重合时，则可判定B；根据垂直线段最短可判定C；根据中线定义可知BC=2BF，利用等高的三角形面积与底的关系可判定D．
解：A、∵在△ABC中，AF是△ABC的中线，∴BF=CF，正确，故此选项不符合题意；
B、∵在△ABC中，AD是△ABC的高，当高AD与边AC重合时，如图，则，故错误，故此选项符合题意；
C、∵在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是角平分线，根据垂直线段最短，∴AD≤AE，正确，故此选项不符合题意；
D、∵在△ABC中，AF是△ABC的中线，∴BC=2BF，∵S△ABC=，S△ABF=，∴，正确，故此选项不符合题意；
故选：B．
4．B
【分析】根据三角形角平分线的定义、互余的定义和垂直的定义逐一判断即可．
解：∵三角形的两个角平分线不一定互相垂直，
∴∠EGD不一定等于90°
∴与不一定互余，故A选项不符合题意；
∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=180°，的三条角平分线、、交于点
∴∠FAG=∠BAC，∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠ACB
∴∠FAG＋∠GBC＋∠GCB=（∠BAC＋∠ABC＋∠ACB）=90°
∵=∠GBC＋∠GCB
∴＋∠FAG=90°，故B选项符合题意；
∵三角形一个内角的角平分线不一定垂直该角的对边
∴∠GEC和∠GFB不一定是直角
∴＋∠ECG不一定等于90°，故C选项不符合题意；
∠FGB＋∠FBG不一定等于90°
∵∠FGB=
∴＋∠FBG不一定等于90°，故D选项不符合题意．
故选B．
5．A
【分析】根据三角形的稳定性即可得到答案．
解：A、直角三角形具有稳定性，故此选项正确；
B、长方形不具有稳定性，故此选项不正确；
C、五边形不具有稳定性，故此选项不正确；
D、正六边形不具有稳定性，故此选项不正确．
故选：A．
6．A
【分析】设，利用角平分线的性质得，再根据得 ，所以求解即可．
解：设，则，
∵，
∴，
∵OB，OC平分和，
∴，即，解之得：，
故选：A．
7．B
【分析】根据正多边形内角和公式求出正六边形和正五边形的内角和内角的补角，结合三角形内角和定理即可求解；
解：正六边形的内角为：，内角的补角为：60°；
正五边形的内角为：，内角的补角为：72°；
∴
故选：B
8．C
【分析】进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应是，因此我们只需要验证是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可．
解：A、等边三角形每个内角的度数为，，故该项不符合题意；
B、正方形的每个内角的度数为，，故该项不符合题意；
C、正五边形的每个内角的度数为，，故该项符合题意；
D、正六边形的每个内角的度数为，，故该项不符合题意；
故选：C．
9．D
【分析】先求出∠ABC，再延长CE，交AB于点G，结合平行线的性质表示出∠BCE，然后根据三角形内角和定理表示∠CED，再根据角平分线得定义表示出∠CEB，最后根据三角形内角和定理得出答案．
解：在△ABC中，∠CAB=40°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=50°．
延长CE，交AB于点G，
∵，
∴，∠ACM=∠BAC=40°，
∴∠ACE=-40°，
∴∠BCE=90°-（-40°）=130°-．
∵∠CEA=180°-∠CAE-∠ACE，
∴∠CED=180°-∠CEA=∠CAE+∠ACE=20°+（-40°）=-20°．
∵EF平分∠CED，
∴∠CEF=，
∴∠CEB=，
∴∠EBC=．
故选：D．
10．D
【分析】由平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，只要证明得，即可求出答案．
解：如图，线段AM与AN相交于点E，
∵，
∴，
∵AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，
∴，，，，
∴，
∴；①
在△ACM中，有
，
∴②，
由①②，得，
∴，即；
∵，
又，
∴，
∴，
即，
∴；
故选：D．
二、填空题
11．16
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．
解：∵a，b满足，
∴，，
解得a=7，b=2，
∵，，
∴5＜c＜9，
又∵c为奇数，
∴c=7，
∴△ABC的周长为：．
故答案为：16．
12．11
【分析】根据三角形三边关系可求出x的取值范围，即可求解．
解：∵三角形的三边为4、x、11，
∴11-4＜x＜11+4，
∴，
∴，
故答案为：11．
13．0.5或1.5
【分析】根据题意作出草图，分类讨论即可求解．
解： AD、AE分别是△ABC的高和中线，，，
如图，当是钝角三角形时，
当是锐角三角形时，
当是直角三角形时，，不合题意，
故答案为：或
14．15
【分析】根据三角形的中线平分面积，得到，，进而得到，又因为，即可求出的面积．
解：点E是线段的中点，
，，
，
F分别是线段的中点，
，
故答案为：15．
15．或
【分析】分两种情况：当点在上时，有直角三角形的性质可得，当时，即在外时，由折叠可得：，，，平分，即．
解：分两种情况：如图，
①当时，点在上时，
②当时，即在外时，如图，
由折叠可得：
，
，
，
平分，
，
不可能为直角．
故答案为或．
16．68°
【分析】如图，延长DC交BG于M．由题意设∠DCF=∠GCF=x，∠CGE=∠MGE=y．构建方程组证明∠GMC=2∠E即可解决问题．
解：如图，延长DC交BG于M．由题意设∠DCF=∠GCF=x，∠CGE=∠MGE=y．
则有，
①-2×②得：∠GMC=2∠E,
∵∠E=34°，
∴∠GMC=68°，
∵AB∥CD，
∴∠GMC=∠B=68°，
故答案为：68°
17．
【分析】根据题意可得，设，是的一个外角，可得，根据三角形内角和定理可得，即，联立解方程组即可求得．
解：折叠
，
设
，
，
是的一个外角
即①
即
即②
②-①得
即
故答案为：
18．15°
【分析】先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，在△ABC中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=60°，则根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再进行等量代换可得到∠F=∠E．
解：如图：
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=×（180°-60°）=60°，
∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
∴∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，
∴∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，
∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°，
∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，
∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，
∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，
即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，
∴2∠F=∠E，
∴∠F=∠E=×30°=15°．
故答案为：15°．
三、解答题
19．
解：（1）∵a，b，c分别为△ABC的三边，a+b=3c-2，a-b=2c-6，
∴ ，
解得：2故c的取值范围为2（2）∵△ABC的周长为12，a+b=3c-2，
∴a+b+c=4c-2=12，
解得c=3.5．
故c的值是3.5．
20．
解：（1）由题意可知：AE⊥BC，AE=4，△ABC的面积为24，
∴×BC×AE=24，
∴×BC×4=24，
∴BC=12，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BC=6，
（2）①在△ABC中，∠BAC=180°-∠C-∠B =80°，
在△AEC中，∵AE⊥BC
∴∠CAE=180°-90°-∠C=25°
∵AD为∠BAC的角平分线
∴∠CAD=
∴∠DAE的度数为∠CAD -∠CAE =15°
②设∠C=x°，则∠B=（x+20）°
在△ABC中，∠BAC=180°-∠C-∠B =（160-2x）°，
在△AEC中，∵AE⊥BC
∴∠CAE=180°-90°-∠C=（90-x）°
∵AD为∠BAC的角平分线
∴∠CAD=
∴∠DAE的度数为∠CAE - ∠CAD =10°
故答案为：10．
21．
（1）解：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180° ∠A=180° 48°=132°，
∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴，，
∴，
∴∠BOC=180° (∠2+∠4)=180° 66°=114°；
（2）解：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180° ∠A=180° n°，
∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：由（2）知，，
解得：∠A=80°．
22．
解：如图，由三角形的外角的性质可得：
23．
解：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝4∠2，
∴4∠2+∠2＝90°，
∴∠2＝18°，
又∵∠DAE＝90°，
∴∠1+∠CAE＝∠2+∠1＝90°，
∴∠CAE＝∠2＝18°；
（2）∵∠ACE+∠BCE＝90°，∠BCD+∠BCE＝60°，
∴∠ACE﹣∠BCD＝30°，
又∠ACE＝2∠BCD，
∴2∠BCD﹣∠BCD＝30°，∠BCD＝30°，
∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+30°＝120°．
24．
解：（1）①∵
∴
又∵∠B=50°，∠C=70°
∴∠BAD=130°，∠ADC=110°
∵AE、DO分别平分∠BAD、∠ADC
∴∠BAE=65°，∠ODC=55°
∴∠AEC=115°
∴∠DOE=360°-115°-70°-55°=120°
故答案为：120°
②，理由如下：
平分
平分
即
（2），理由如下：
平分
平分
即：.

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