2023-2024年人教版七年级下期末备考攻略知识点精讲 易错点点拨 专题检测卷专题二十四 期末模拟卷二(含解析)

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2023-2024年人教版七年级下期末备考攻略
知识点精讲+易错点点拨+专题检测卷
专题二十四 期末模拟卷二
考试范围全册;考试时间:120分钟;满分120分
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
题号 一 二 三 总分
得分
分卷I
评卷人 得分
. .
一、选择题(共10题;共30.0分)
1.(3分)下列各数为无理数的是(  )
A. 0.618 B.
C. D.
2.(3分)如图,下列条件中,不能判定CD∥AB的是(  )
A. ∠A=∠ECD B. ∠B=∠DCB
C. ∠A+∠ACD=180° D. ∠B+∠ACD=180°
3.(3分)平面直角坐标系内有点A(0,0),B(2,2),C(6,0)三点,请确定一点D,使以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形,则点D的坐标不可以是(  )
A. (-4,2) B. (4,-2) C. (8,2) D. (2,-2)
4.(3分)在平面直角坐标系中,点A(1,2),B(-3,b),当线段AB最短时,b的值为(  )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 0
5.(3分)图1是由3个相同小长方形拼成的图形其周长为24cm,图2中的长方形ABCD内放置10个相同的小长方形,则长方形ABCD的周长为(  )
A. 32cm B. 36cm C. 48cm D. 60cm
6.(3分)不等式组 的解集是(  )
A. x>4 B. 4<x≤6 C. 4<x≤5 D. x≤5
7.(3分)某学校举行“创新杯”篮球比赛,比赛方案规定:每场比赛都要分出胜负,每队胜1场积2分,负1场积1分,每只球队在全部8场比赛中积分不少于12分,才能获奖.小明所在球队参加了比赛并计划获奖,设这个球队在全部比赛中胜x场,则x应满足的关系式是(  )
A. 2x+(8-x)≥12 B. 2x+(8-x)≤12
C. 2x-(8-x)≥12 D. 2x>12
8.(3分)下列说法正确的是(  )
A. 调查我国初中学生的身高情况适合采用普查
B. 为保证神舟十五号成功发射,对其零部件进行检查适合采用普查
C. 在电脑上,为了让使用者直观地看出磁盘“已用空间”与“可用空间”占“整个磁盘空间”的百分比,使用的统计图应该是频数分布直方图
D. 今年某校有2000名学生参加线上学习,为了解这些学生的视力情况,从中抽取100名学生的视力情况进行统计分析,其中2000名学生是总体
9.(3分)为了解本校九年级学生的体能情况,随机抽查了其中30名学生,测试1min仰卧起坐的次数,并将其绘制成如图所示的频数分布直方图.那么仰卧起坐次数在25~30的人数占抽查总人数的百分比是(  )
A. 40% B. 30% C. 20% D. 10%
10.(3分)在解关于x、y的二元一次方程组时,若①+②可以直接消去未知数y,则⊙和 的关系是(  )
A. 互为倒数 B. 互为相反数
C. 大小相等 D. 无法确定
分卷II
得分
. .
二、填空题(共5题;共15分)
11.(3分)如果,那么的算术平方根是 _____.
12.(3分)如图,若,则、、之间的关系为______.
13.(3分)若点在平面直角坐标系的第二象限内,则x的取值范围是__________.
14.(3分)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四,问人数、物价各几何?”意思是:“几个人一起去购买某物品,每人出8钱,则多出3钱;每人出7钱,则还差4钱.问人数、物品的价格分别是多少?”该问题中的人数为 _____.
15.(3分)已知关于x的不等式组恰有三个整数解,则t的取值范围为 _____.
评卷人 得分
. .
三、解答题(共8题;共75.0分)
16.(10分)解方程组和不等式组:
(1);
(2).
17.(7分)已知的立方根是3,的算术平方根是4,c是的整数部分.
(1)求a,b,c的值;(2)求的平方根.
18.(9分)按要求作图∶已知如图,平面直角坐标系中,A点在第二象限,到两坐标轴的距离都为4,C点位于第一象限且到x轴的距离为3,到y轴的距离为1,过A点作轴于B点,解答下列各题:
(1)直接写出A、B、C三点的坐标并在图中作出;
(2)计算的面积;
(3)画出先向右平移5个单位长度再向下平移3个单位长度的.
19.(8分)小明购买A,B两种商品,每次购买同一种商品的单价相同,具体信息如下表:
次数 购买数量(件 购买总费用(元
A B
第一次 2 1 55
第二次 1 3 65
根据以上信息解答下列问题:
(1)求A,B两种商品的单价;
(2)若第三次购买这两种商品共12件,且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
20.(7分)下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种,完成证明.
三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.
已知:如图,△ABC,求证:∠A+∠B+∠C=180°.
方法一
证明:如图,过点A作DE∥BC.
方法二
证明:如图,过点C作CD∥AB.
21.(9分)数学方法:
解方程组:,若设,,则原方程组可化为,解方程组得,所以,解方程组得,我们把某个式子看成一个整体,用一个字母去替代它,这种解方程组的方法叫做换元法.
(1)直接填空:已知关于x,y的二元一次方程组,的解为,那么关于m、n的二元一次方程组的解为: .
(2)知识迁移:请用这种方法解方程组.
(3)拓展应用:已知关于x,y的二元一次方程组的解为,
求关于x,y的方程组的解.
22.(12分)为拓宽学生视野,引导学生主动适应社会,促进书本知识和生活经验的深度融合,我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动,在参加此次活动的师生中,若每位老师带17个学生,还剩12个学生没人带;若每位老师带18个学生,就有一位老师少带4个学生.现有甲、乙两种大客车,它们的载客量和租金如表所示.
甲种客车 乙种客车
载客量/(人/辆) 30 42
租金/(元/辆) 300 400
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元,为了安全,每辆客车上至少要有2名老师.
(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人?
(2)既要保证所有师生都有车坐,又要保证每辆客车上至少要有2名老师,可知租用客车总数为   辆;
(3)你能得出哪几种不同的租车方案?其中哪种租车方案最省钱?请说明理由.
23.(13分)如图,,定点E,F分别直线AB,CD上,平行线AB,CD之间有一动点P.
(1)如图1,试问∠AEP,∠EPF,∠PFC满足怎样的数量关系?并说明理由.
(2)除了(1)的结论外,试问∠AEP,∠EPF,∠PFC还可能满足怎样的数量关系?请画图并直接写出结论.
(3)如图3,QE,QF分别平分∠PEB和∠PFD,且点P在EF左侧.①若,则= ;②猜想∠EPF与的数量关系,并说明理由.
2023-2024年人教版七年级下期末备考攻略
知识点精讲+易错点点拨+专题检测卷
专题二十四 期末模拟卷二(解析版)
考试范围全册;考试时间:120分钟;满分120分
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
题号 一 二 三 总分
得分
分卷I
评卷人 得分
. .
一、选择题(共10题;共30.0分)
1.(3分)下列各数为无理数的是(  )
A. 0.618 B.
C. D.
【答案】C
【解析】明确无理数是无限不循环小数;有理数分为整数和分数.
解:∵=-3,
∴0.618;;均为有理数,是无理数.
故选:C.
2.(3分)如图,下列条件中,不能判定CD∥AB的是(  )
A. ∠A=∠ECD B. ∠B=∠DCB
C. ∠A+∠ACD=180° D. ∠B+∠ACD=180°
【答案】D
【解析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可.
解:A、∵∠A=∠ECD,
∴CD∥AB,故本选项不符合题意;
B、∵∠B=∠DCB,
∴CD∥AB,故本选项不符合题意;
C、∵∠A+∠ACD=180°,
∴CD∥AB,故本选项不符合题意;
D、由∠B+∠ACD=180°,无法得到CD∥AB,故本选项符合题意.
故选:D.
3.(3分)平面直角坐标系内有点A(0,0),B(2,2),C(6,0)三点,请确定一点D,使以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形,则点D的坐标不可以是(  )
A. (-4,2) B. (4,-2) C. (8,2) D. (2,-2)
【答案】D
【解析】结合平行四边形性质,利用点的平移分三种情况即可得到答案即可得到答案.
解:∵平面直角坐标系内有点A(0,0),B(2,2),C(6,0)三点,∴连接A(0,0),B(2,2),C(6,0)构成△ABC,过△ABC的顶点作其对边平行线,分别交于D1、D2、D3,如图所示:
①在平行四边形ACBD1中,CB∥AD1,
∵C(6,0),B(2,2),
∴C(6,0)向左平移4个单位长度、向上平移2个单位长度得到B(2,2),
∵A(0,0),
∴由点的平移可得D1(-4,2);
②在平行四边形CABD2中,AB∥CD2,
∵A(0,0),B(2,2),
∴A(0,0)向右平移2个单位长度、向上平移2个单位长度得到B(2,2),
∵C(6,0),
∴由点的平移可得D2(8,2);
③在平行四边形CBAD3中,BA∥CD3,
∵B(2,2),A(0,0),
∴B(2,2)向左平移2个单位长度、向下平移2个单位长度得到A(0,0),
∵C(6,0),
∴由点的平移可得D3(4,-2);
综上所述,符合题意的点D1(-4,2)、D2(8,2)或D3(4,-2)三种情况.
故选:D.
4.(3分)在平面直角坐标系中,点A(1,2),B(-3,b),当线段AB最短时,b的值为(  )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 0
【答案】A
【解析】根据垂线段最短可得答案.
解:由题意知,点B在直线x=-3上运动,
∴AB垂直直线x=-3时,AB最短,
∴b=2,
故选:A.
5.(3分)图1是由3个相同小长方形拼成的图形其周长为24cm,图2中的长方形ABCD内放置10个相同的小长方形,则长方形ABCD的周长为(  )
A. 32cm B. 36cm C. 48cm D. 60cm
【答案】C
【解析】设小长方形的长为x cm,宽为y cm,根据题意列出代数式,然后表示出长方形ABCD的边长,求解即可.
解:设小长方形的长为x cm,宽为y cm,
由图1得:4x+4y=24,
∴x+y=6,
由图2得:长方形ABCD的长AB表示为:3x+y,宽AD表示为x+3y,
∴周长为:2(3x+y+x+3y)=8x+8y=48cm
故选:C.
6.(3分)不等式组 的解集是(  )
A. x>4 B. 4<x≤6 C. 4<x≤5 D. x≤5
【答案】B
【解析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.
解:由4x-6>10得:x>4,
由30-5x≥0得:x≤6,
则不等式组的解集为4<x≤6,
故选:B.
7.(3分)某学校举行“创新杯”篮球比赛,比赛方案规定:每场比赛都要分出胜负,每队胜1场积2分,负1场积1分,每只球队在全部8场比赛中积分不少于12分,才能获奖.小明所在球队参加了比赛并计划获奖,设这个球队在全部比赛中胜x场,则x应满足的关系式是(  )
A. 2x+(8-x)≥12 B. 2x+(8-x)≤12
C. 2x-(8-x)≥12 D. 2x>12
【答案】A
【解析】由题意,胜一场得2x分,负一场得(8-x)分,由不等关系:每只球队在全部8场比赛中积分不少于12分,列出不等式即可.
解:由题意,胜一场得2x分,负一场得(8-x)分,
则得不等式:2x+(8-x)≥12,
故答案为:A.
8.(3分)下列说法正确的是(  )
A. 调查我国初中学生的身高情况适合采用普查
B. 为保证神舟十五号成功发射,对其零部件进行检查适合采用普查
C. 在电脑上,为了让使用者直观地看出磁盘“已用空间”与“可用空间”占“整个磁盘空间”的百分比,使用的统计图应该是频数分布直方图
D. 今年某校有2000名学生参加线上学习,为了解这些学生的视力情况,从中抽取100名学生的视力情况进行统计分析,其中2000名学生是总体
【答案】B
【解析】根据普查和抽样调查的特点来判断A、B选项,根据统计图的特点和总体、个体、样本、样本容量的定义判断C和D选项.
解:A.调查我国初中学生的身高情况适合采用抽样调查,故不符合题意;
B.为保证神舟十五号成功发射,对其零部件进行检查适合采用普查,故符合题意;
C.在电脑上,为了让使用者直观地看出磁盘“已用空间”与“可用空间”占“整个磁盘空间”的百分比,使用的统计图应该是扇形图,故不符合题意;
D.2000名学生的视力情况是总体,故不符合题意.
故选:B.
9.(3分)为了解本校九年级学生的体能情况,随机抽查了其中30名学生,测试1min仰卧起坐的次数,并将其绘制成如图所示的频数分布直方图.那么仰卧起坐次数在25~30的人数占抽查总人数的百分比是(  )
A. 40% B. 30% C. 20% D. 10%
【答案】A
【解析】根据频数分布直方图中的数据,可以计算出仰卧起坐次数在25~30次的人数占抽查总人数的百分比.
解:×100%=40%,
即仰卧起坐次数在25~30次的人数占抽查总人数的百分比是40%.
故选:A.
10.(3分)在解关于x、y的二元一次方程组时,若①+②可以直接消去未知数y,则⊙和 的关系是(  )
A. 互为倒数 B. 互为相反数
C. 大小相等 D. 无法确定
【答案】B
【解析】根据加减消元法即可得.
解:,
由①+②得:8x+(⊙+ )y=2,
∵①+②可以直接消去未知数y,
∴⊙+ =0,
则⊙和 的关系是互为相反数,
故选:B.
分卷II
得分
. .
二、填空题(共5题;共15分)
11.(3分)如果,那么的算术平方根是 _____.
【答案】5
【解析】解:由题意得,x-2≥0,2-x≥0,
解得,x=2,
∴y=-5,
则=25,
25的算术平方根是5.
故答案为:5.
【点睛】本题考查的是算术平方根的非负数,掌握算术平方根的非负数和算术平方根的概念是解题的关键.
12.(3分)如图,若,则、、之间的关系为______.
【答案】
【解析】根据“平行与同一直线的两直线平行”可得出EF∥CD∥AB,再根据“两直线平行,内错角相等(同旁内角互补)”可得出“∠α+∠AEF=180°,∠γ=∠CEF”,通过角的计算即可得出结论.
过点E作EF∥AB,如图所示.
∵AB∥CD,EF∥AB,
∴EF∥CD∥AB,
∴∠α+∠AEF=180°,∠γ=∠CEF.
又∵∠AEF+∠CEF=∠β,
∴∠α+∠β ∠γ=180°.
故答案为∠α+∠β ∠γ=180°.
【点睛】考查平行公理以及平行线的性质,掌握平行线的性质是解题的关键.
13.(3分)若点在平面直角坐标系的第二象限内,则x的取值范围是__________.
【答案】
【解析】根据点在第二象限得出不等式组,再求出不等式组的解集即可.
∵点在第二象限,
∴,
解得:,
故答案为:.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和点的坐标,能得出关于x的不等式组是解此题的关键.也考查了直角坐标系各个象限坐标特点.
14.(3分)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四,问人数、物价各几何?”意思是:“几个人一起去购买某物品,每人出8钱,则多出3钱;每人出7钱,则还差4钱.问人数、物品的价格分别是多少?”该问题中的人数为 _____.
【答案】7人
【解析】设该问题中的人数为x人,物品的价格为y钱,根据“几个人一起去购买某物品,每人出8钱,则多出3钱;每人出7钱,则还差4钱”,可列出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论.
解:设该问题中的人数为x人,物品的价格为y钱,
根据题意得:,
解得:,
∴该问题中的人数为7人.
故答案为:7人.
15.(3分)已知关于x的不等式组恰有三个整数解,则t的取值范围为 _____.
【答案】≤t<-
【解析】求出每个不等式的解集,根据已知得出不等式组的解集,根据不等式组的整数解即可得出:一定存在一个整数k,满足满足下列关系:,并分情况讨论得出k的取值,再得t的取值范围.
解:
解不等式①得:x>,
解不等式②得:x<3-2t,
则不等式组的解集为:<x<3-2t,
∵不等式组有3个整数解,
∴一定存在一个整数k,满足满足下列关系:

解不等式组①得,,
解不等式组②得,,
(1)当,即时,则,
于是,,解得,,
∴<k≤,
∵k为整数,
∴k=3,
∴,
∴-≤t<-;
(2)当时,即时,不存在整数k,
∴此时无解;
(3)当,此时无解;
(4)当,即k时,则,
于是,,
解得,,
∴,不存在整数k,
∴此时无解.
综上,≤t<-.
故答案为:≤t<-.
评卷人 得分
. .
三、解答题(共8题;共75.0分)
16.(10分)解方程组和不等式组:
(1);
(2).
【解析】(1)利用加减消元法进行计算,即可解答;
(2)按照解一元一次不等式组的步骤,进行计算即可解答.
解:(1),
①+②得:3x=12,
解得:x=4,
把x=4代入①中得:8+3y=3,
解得:y=-.
∴原方程组的解为:;
(2),
解不等式①得:x>3;
解不等式②得:x≤5;
∴原不等式组的解集为:3<x≤5.
17.(7分)已知的立方根是3,的算术平方根是4,c是的整数部分.
(1)求a,b,c的值;(2)求的平方根.
【答案】(1)a=5,b=2,c=3 ;(2)±4.
【解析】(1)利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法,求出a、b、c的值.
(2)将a、b、c的值代入代数式求出值后,进一步求得平方根即可.
(1)∵5a+2的立方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,
∴5a+2=27,3a+b-1=16,
∴a=5,b=2,
∵c是的整数部分,
∴c=3,
(2)∵a=5,b=2,c=3,
∴3a-b+c=16,
3a-b+c的平方根是±4.
【点睛】考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点,读懂题意,掌握解答顺序,正确计算即可.
18.(9分)按要求作图∶已知如图,平面直角坐标系中,A点在第二象限,到两坐标轴的距离都为4,C点位于第一象限且到x轴的距离为3,到y轴的距离为1,过A点作轴于B点,解答下列各题:
(1)直接写出A、B、C三点的坐标并在图中作出;
(2)计算的面积;
(3)画出先向右平移5个单位长度再向下平移3个单位长度的.
【答案】(1),,,画图见解析
(2)10 (3)画图见解析
【解析】(1)根据题意,分别得出A、、三点的坐标,再根据点的坐标作出;
(2)根据三角形的面积公式,即可得出结果;
(3)根据点平移的坐标特征,写出、、三点的坐标,再根据点的坐标作出.
【小问1详解】
解:∵A点在第二象限,到两坐标轴的距离都为4,
∴,
∵点位于第一象限且到轴的距离为3,到轴的距离为1,
∴,
∵过A点作轴于点,
∴,
如下图所示:
【小问2详解】
解:设边上的高为,

【小问3详解】
解:∵先向右平移5个单位长度再向下平移3个单位长度得,
∴,,,
如下图所示:
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的特征、平移的性质、作图,解本题的关键在根据题意正确得出、、三点的坐标.平移的性质:1、形状大小不改变;2、对应点连线平行(或在同一直线上)且相等;3、对应线段平行(或在同一直线上)且相等,对应角相等.象限内点的特征:第一象限(正,正),第二象限(负,正),第三象限(负,负),第四象限(正,负).平面直角坐标系中点的特征:到轴的距离为,到轴的距离为.
19.(8分)小明购买A,B两种商品,每次购买同一种商品的单价相同,具体信息如下表:
次数 购买数量(件 购买总费用(元
A B
第一次 2 1 55
第二次 1 3 65
根据以上信息解答下列问题:
(1)求A,B两种商品的单价;
(2)若第三次购买这两种商品共12件,且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
【答案】(1)A种商品的单价为20元,B种商品的单价为15元;(2) 当a=8时所花钱数最少,即购买A商品8件,B商品4件.
【解析】(1)列二元一次方程组,用代入法或加减法解方程组即可;
(2)将题目转化为一元一次不等式,求解即可.
解:(1)设种商品的单价为元,种商品的单价为元,根据题意可得:

解得:,
答:种商品的单价为20元,种商品的单价为15元;
(2)设第三次购买商品种件,则购买种商品件,根据题意可得:

得:,
当时所花钱数最少,即购买商品8件,商品4件.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法以及不等式的相关知识,解题的关键是掌握消元思想与解二元一次方程组的方法步骤.
20.(7分)下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种,完成证明.
三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.
已知:如图,△ABC,求证:∠A+∠B+∠C=180°.
方法一
证明:如图,过点A作DE∥BC.
方法二
证明:如图,过点C作CD∥AB.
【解析】方法一:由平行线的性质得:∠B=∠BAD,∠C=∠CAE,再由平角的定义可得∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°,从而可求解;
方法二:由平行线的性质得:∠A=∠ACD,∠B+∠BCD=180°,从而可求解.
证明:方法一:∵DE∥BC,
∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAE,
∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°,
∴∠B+∠BAC+∠C=180°;
方法二:∵CD∥AB,
∴∠A=∠ACD,∠B+∠BCD=180°,
∴∠B+∠ACB+∠A=180°.
21.(9分)数学方法:
解方程组:,若设,,则原方程组可化为,解方程组得,所以,解方程组得,我们把某个式子看成一个整体,用一个字母去替代它,这种解方程组的方法叫做换元法.
(1)直接填空:已知关于x,y的二元一次方程组,的解为,那么关于m、n的二元一次方程组的解为: .
(2)知识迁移:请用这种方法解方程组.
(3)拓展应用:已知关于x,y的二元一次方程组的解为,
求关于x,y的方程组的解.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】(1)设,,即可得,解方程组即可求解;
(2)设,,则原方程组可化为,解方程组即可求解;
(3)设,,则原方程组可化为,,根据的解为,可得,即有,则问题得解.
【小问1详解】
设,,则原方程组可化为,
∵的解为,
∴,
解得,
故答案为:;
【小问2详解】
设,,则原方程组可化为,
解得,
即有,
解得,
即:方程组的解为;
【小问3详解】
设,,则原方程组可化为,
化简,得,
∵关于x,y的二元一次方程组的解为,
∴,即有,
解得:,
故方程组的解为:.
【点睛】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识,紧密结合题目给出的示例,合理换元是解答本题的关键.
22.(12分)为拓宽学生视野,引导学生主动适应社会,促进书本知识和生活经验的深度融合,我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动,在参加此次活动的师生中,若每位老师带17个学生,还剩12个学生没人带;若每位老师带18个学生,就有一位老师少带4个学生.现有甲、乙两种大客车,它们的载客量和租金如表所示.
甲种客车 乙种客车
载客量/(人/辆) 30 42
租金/(元/辆) 300 400
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元,为了安全,每辆客车上至少要有2名老师.
(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人?
(2)既要保证所有师生都有车坐,又要保证每辆客车上至少要有2名老师,可知租用客车总数为   辆;
(3)你能得出哪几种不同的租车方案?其中哪种租车方案最省钱?请说明理由.
【答案】(1)老师有16名,学生有284名;(2)8;(3)共有3种租车方案,最节省费用的租车方案是:租用甲种客车3辆,乙种客车5辆.
【解析】(1)设老师有x名,学生有y名,根据等量关系:若每位老师带17个学生,还剩12个学生没人带;若每位老师带18个学生,就有一位老师少带4个学生,列出二元一次方程组,解出即可;
(2)由(1)中得出的教师人数可以确定出最多需要几辆汽车,再根据总人数以及汽车最多的是42座的可以确定出汽车总数不能小于=(取整为8)辆,由此即可求出;
(3)设租用x辆乙种客车,则甲种客车数为:(8﹣x)辆,由题意得出400x+300(8﹣x)≤3100,得出x取值范围,分析得出即可.
(1)设老师有x名,学生有y名,
依题意,列方程组为,
解得:,
答:老师有16名,学生有284名;
(2)∵每辆客车上至少要有2名老师,
∴汽车总数不能大于8辆;
又要保证300名师生有车坐,汽车总数不能小于=(取整为8)辆,
综合起来可知汽车总数为8辆,
故答案为8;
(3)设租用x辆乙种客车,则甲种客车数为:(8﹣x)辆,
∵车总费用不超过3100元,
∴400x+300(8﹣x)≤3100,
解得:x≤7,
为使300名师生都有座,
∴42x+30(8﹣x)≥300,
解得:x≥5,
∴5≤x≤7(x为整数),
∴共有3种租车方案:
方案一:租用甲种客车3辆,乙种客车5辆,租车费用为3002900元;
方案二:租用甲种客车2辆,乙种客车6辆,租车费用为3003000元;
方案三:租用甲种客车1辆,乙种客车7辆,租车费用为3003100元;
故最节省费用的租车方案是:租用甲种客车3辆,乙种客车5辆.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,一元一次不等式组的应用,弄清题意找准等量关系列出方程组、找准不等关系列出不等式组是解题的关键.
23.(13分)如图,,定点E,F分别直线AB,CD上,平行线AB,CD之间有一动点P.
(1)如图1,试问∠AEP,∠EPF,∠PFC满足怎样的数量关系?并说明理由.
(2)除了(1)的结论外,试问∠AEP,∠EPF,∠PFC还可能满足怎样的数量关系?请画图并直接写出结论.
(3)如图3,QE,QF分别平分∠PEB和∠PFD,且点P在EF左侧.①若,则= ;②猜想∠EPF与的数量关系,并说明理由.
【答案】(1),理由见解析
(2)图见解析,
(3)①;②;理由见解析
【解析】(1)过点作,先根据平行线的性质可得,再根据平行公理推论可得,然后根据平行线的性质可得,最后根据角的和差即可得出结论;
(2)当点在的右侧时,画出图形,过点作,先根据平行线的性质可得,再根据平行公理推论可得,然后根据平行线的性质可得,最后根据角的和差即可得出结论;
(3)①先根据角平分线的定义可得,再根据(1)的结论可得,然后根据(2)的结论即可得;
②先根据角平分线的定义可得,再根据(1)和(2)的结论可得,,由此即可得出结论.
【小问1详解】
解:,理由如下:
如图,过点作,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴.
【小问2详解】
解:如图,当点在的右侧时,,
如图,过点作,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴.
【小问3详解】
解:①平分,平分,


由(1)可知,,

由(2)可知,,

解得,
故答案为:;
②,理由如下:
平分,平分,


由(1)和(2)可知,,,


即,

【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点,通过作辅助线,构造平行线是解题关键.
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