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2023-2024年人教版七年级下期末备考攻略
知识点精讲+易错点点拨+专题检测卷
专题二十四 期末模拟卷二
考试范围全册；考试时间：120分钟；满分120分
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
分卷I
评卷人 得分
. .
一、选择题(共10题；共30.0分)
1．(3分)下列各数为无理数的是（　　）
A. 0.618 B.
C. D.
2．(3分)如图，下列条件中，不能判定CD∥AB的是（　　）
A. ∠A=∠ECD B. ∠B=∠DCB
C. ∠A+∠ACD=180° D. ∠B+∠ACD=180°
3．(3分)平面直角坐标系内有点A（0，0），B（2，2），C（6，0）三点，请确定一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标不可以是（　　）
A. （-4，2） B. （4，-2） C. （8，2） D. （2，-2）
4．(3分)在平面直角坐标系中，点A（1，2），B（-3，b），当线段AB最短时，b的值为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 0
5．(3分)图1是由3个相同小长方形拼成的图形其周长为24cm,图2中的长方形ABCD内放置10个相同的小长方形，则长方形ABCD的周长为（　　）
A. 32cm B. 36cm C. 48cm D. 60cm
6．(3分)不等式组 的解集是（　　）
A. x＞4 B. 4＜x≤6 C. 4＜x≤5 D. x≤5
7．(3分)某学校举行“创新杯”篮球比赛，比赛方案规定：每场比赛都要分出胜负，每队胜1场积2分，负1场积1分，每只球队在全部8场比赛中积分不少于12分，才能获奖．小明所在球队参加了比赛并计划获奖，设这个球队在全部比赛中胜x场，则x应满足的关系式是（　　）
A. 2x+（8-x）≥12 B. 2x+（8-x）≤12
C. 2x-（8-x）≥12 D. 2x＞12
8．(3分)下列说法正确的是（　　）
A. 调查我国初中学生的身高情况适合采用普查
B. 为保证神舟十五号成功发射，对其零部件进行检查适合采用普查
C. 在电脑上，为了让使用者直观地看出磁盘“已用空间”与“可用空间”占“整个磁盘空间”的百分比，使用的统计图应该是频数分布直方图
D. 今年某校有2000名学生参加线上学习，为了解这些学生的视力情况，从中抽取100名学生的视力情况进行统计分析，其中2000名学生是总体
9．(3分)为了解本校九年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试1min仰卧起坐的次数，并将其绘制成如图所示的频数分布直方图．那么仰卧起坐次数在25～30的人数占抽查总人数的百分比是（　　）
A. 40% B. 30% C. 20% D. 10%
10．(3分)在解关于x、y的二元一次方程组时，若①+②可以直接消去未知数y,则⊙和 的关系是（　　）
A. 互为倒数 B. 互为相反数
C. 大小相等 D. 无法确定
分卷II
得分
. .
二、填空题(共5题；共15分)
11．(3分)如果，那么的算术平方根是 _____．
12．(3分)如图，若，则、、之间的关系为______.
13．(3分)若点在平面直角坐标系的第二象限内，则x的取值范围是__________．
14．(3分)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为 _____．
15．(3分)已知关于x的不等式组恰有三个整数解，则t的取值范围为 _____．
评卷人 得分
. .
三、解答题(共8题；共75.0分)
16．(10分)解方程组和不等式组：
（1）；
（2）．
17．(7分)已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；（2）求的平方根．
18．(9分)按要求作图∶已知如图，平面直角坐标系中，A点在第二象限，到两坐标轴的距离都为4，C点位于第一象限且到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，过A点作轴于B点，解答下列各题：
（1）直接写出A、B、C三点的坐标并在图中作出；
（2）计算的面积；
（3）画出先向右平移5个单位长度再向下平移3个单位长度的．
19．(8分)小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：
次数 购买数量（件 购买总费用（元
A B
第一次 2 1 55
第二次 1 3 65
根据以上信息解答下列问题：
（1）求A，B两种商品的单价；
（2）若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
20．(7分)下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
方法一
证明：如图，过点A作DE∥BC．
方法二
证明：如图，过点C作CD∥AB．
21．(9分)数学方法：
解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
（1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ．
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组．
（3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，
求关于x，y的方程组的解．
22．(12分)为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．
甲种客车 乙种客车
载客量/（人/辆） 30 42
租金/（元/辆） 300 400
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．
（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为　 　辆；
（3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
23．(13分)如图，，定点E，F分别直线AB，CD上，平行线AB，CD之间有一动点P．
（1）如图1，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？并说明理由．
（2）除了（1）的结论外，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC还可能满足怎样的数量关系？请画图并直接写出结论．
（3）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．①若，则= ；②猜想∠EPF与的数量关系，并说明理由．
2023-2024年人教版七年级下期末备考攻略
知识点精讲+易错点点拨+专题检测卷
专题二十四 期末模拟卷二（解析版）
考试范围全册；考试时间：120分钟；满分120分
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
分卷I
评卷人 得分
. .
一、选择题(共10题；共30.0分)
1．(3分)下列各数为无理数的是（　　）
A. 0.618 B.
C. D.
【答案】C
【解析】明确无理数是无限不循环小数；有理数分为整数和分数．
解：∵=-3，
∴0.618；；均为有理数，是无理数．
故选：C．
2．(3分)如图，下列条件中，不能判定CD∥AB的是（　　）
A. ∠A=∠ECD B. ∠B=∠DCB
C. ∠A+∠ACD=180° D. ∠B+∠ACD=180°
【答案】D
【解析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
解：A、∵∠A=∠ECD，
∴CD∥AB，故本选项不符合题意；
B、∵∠B=∠DCB，
∴CD∥AB，故本选项不符合题意；
C、∵∠A+∠ACD=180°，
∴CD∥AB，故本选项不符合题意；
D、由∠B+∠ACD=180°，无法得到CD∥AB，故本选项符合题意．
故选：D．
3．(3分)平面直角坐标系内有点A（0，0），B（2，2），C（6，0）三点，请确定一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标不可以是（　　）
A. （-4，2） B. （4，-2） C. （8，2） D. （2，-2）
【答案】D
【解析】结合平行四边形性质，利用点的平移分三种情况即可得到答案即可得到答案．
解：∵平面直角坐标系内有点A（0，0），B（2，2），C（6，0）三点，∴连接A（0，0），B（2，2），C（6，0）构成△ABC，过△ABC的顶点作其对边平行线，分别交于D1、D2、D3，如图所示：
①在平行四边形ACBD1中，CB∥AD1，
∵C（6，0），B（2，2），
∴C（6，0）向左平移4个单位长度、向上平移2个单位长度得到B（2，2），
∵A（0，0），
∴由点的平移可得D1（-4，2）；
②在平行四边形CABD2中，AB∥CD2，
∵A（0，0），B（2，2），
∴A（0，0）向右平移2个单位长度、向上平移2个单位长度得到B（2，2），
∵C（6，0），
∴由点的平移可得D2（8，2）；
③在平行四边形CBAD3中，BA∥CD3，
∵B（2，2），A（0，0），
∴B（2，2）向左平移2个单位长度、向下平移2个单位长度得到A（0，0），
∵C（6，0），
∴由点的平移可得D3（4，-2）；
综上所述，符合题意的点D1（-4，2）、D2（8，2）或D3（4，-2）三种情况．
故选：D．
4．(3分)在平面直角坐标系中，点A（1，2），B（-3，b），当线段AB最短时，b的值为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 0
【答案】A
【解析】根据垂线段最短可得答案．
解：由题意知，点B在直线x=-3上运动，
∴AB垂直直线x=-3时，AB最短，
∴b=2，
故选：A．
5．(3分)图1是由3个相同小长方形拼成的图形其周长为24cm,图2中的长方形ABCD内放置10个相同的小长方形，则长方形ABCD的周长为（　　）
A. 32cm B. 36cm C. 48cm D. 60cm
【答案】C
【解析】设小长方形的长为x cm,宽为y cm,根据题意列出代数式，然后表示出长方形ABCD的边长，求解即可．
解：设小长方形的长为x cm,宽为y cm,
由图1得：4x+4y=24，
∴x+y=6，
由图2得：长方形ABCD的长AB表示为：3x+y,宽AD表示为x+3y,
∴周长为：2（3x+y+x+3y）=8x+8y=48cm
故选：C．
6．(3分)不等式组 的解集是（　　）
A. x＞4 B. 4＜x≤6 C. 4＜x≤5 D. x≤5
【答案】B
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：由4x-6＞10得：x＞4，
由30-5x≥0得：x≤6，
则不等式组的解集为4＜x≤6，
故选：B．
7．(3分)某学校举行“创新杯”篮球比赛，比赛方案规定：每场比赛都要分出胜负，每队胜1场积2分，负1场积1分，每只球队在全部8场比赛中积分不少于12分，才能获奖．小明所在球队参加了比赛并计划获奖，设这个球队在全部比赛中胜x场，则x应满足的关系式是（　　）
A. 2x+（8-x）≥12 B. 2x+（8-x）≤12
C. 2x-（8-x）≥12 D. 2x＞12
【答案】A
【解析】由题意，胜一场得2x分，负一场得（8-x）分，由不等关系：每只球队在全部8场比赛中积分不少于12分，列出不等式即可．
解：由题意，胜一场得2x分，负一场得（8-x）分，
则得不等式：2x+（8-x）≥12，
故答案为：A．
8．(3分)下列说法正确的是（　　）
A. 调查我国初中学生的身高情况适合采用普查
B. 为保证神舟十五号成功发射，对其零部件进行检查适合采用普查
C. 在电脑上，为了让使用者直观地看出磁盘“已用空间”与“可用空间”占“整个磁盘空间”的百分比，使用的统计图应该是频数分布直方图
D. 今年某校有2000名学生参加线上学习，为了解这些学生的视力情况，从中抽取100名学生的视力情况进行统计分析，其中2000名学生是总体
【答案】B
【解析】根据普查和抽样调查的特点来判断A、B选项，根据统计图的特点和总体、个体、样本、样本容量的定义判断C和D选项．
解：A．调查我国初中学生的身高情况适合采用抽样调查，故不符合题意；
B．为保证神舟十五号成功发射，对其零部件进行检查适合采用普查，故符合题意；
C．在电脑上，为了让使用者直观地看出磁盘“已用空间”与“可用空间”占“整个磁盘空间”的百分比，使用的统计图应该是扇形图，故不符合题意；
D．2000名学生的视力情况是总体，故不符合题意．
故选：B．
9．(3分)为了解本校九年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试1min仰卧起坐的次数，并将其绘制成如图所示的频数分布直方图．那么仰卧起坐次数在25～30的人数占抽查总人数的百分比是（　　）
A. 40% B. 30% C. 20% D. 10%
【答案】A
【解析】根据频数分布直方图中的数据，可以计算出仰卧起坐次数在25～30次的人数占抽查总人数的百分比．
解：×100%=40%，
即仰卧起坐次数在25～30次的人数占抽查总人数的百分比是40%．
故选：A．
10．(3分)在解关于x、y的二元一次方程组时，若①+②可以直接消去未知数y,则⊙和 的关系是（　　）
A. 互为倒数 B. 互为相反数
C. 大小相等 D. 无法确定
【答案】B
【解析】根据加减消元法即可得．
解：，
由①+②得：8x+（⊙+ ）y=2，
∵①+②可以直接消去未知数y,
∴⊙+ =0，
则⊙和 的关系是互为相反数，
故选：B．
分卷II
得分
. .
二、填空题(共5题；共15分)
11．(3分)如果，那么的算术平方根是 _____．
【答案】5
【解析】解：由题意得，x-2≥0，2-x≥0，
解得，x=2，
∴y=-5，
则=25，
25的算术平方根是5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是算术平方根的非负数，掌握算术平方根的非负数和算术平方根的概念是解题的关键．
12．(3分)如图，若，则、、之间的关系为______.
【答案】
【解析】根据“平行与同一直线的两直线平行”可得出EF∥CD∥AB，再根据“两直线平行，内错角相等（同旁内角互补）”可得出“∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠CEF”，通过角的计算即可得出结论．
过点E作EF∥AB，如图所示．
∵AB∥CD,EF∥AB，
∴EF∥CD∥AB，
∴∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠CEF.
又∵∠AEF+∠CEF=∠β，
∴∠α+∠β ∠γ=180°.
故答案为∠α+∠β ∠γ=180°.
【点睛】考查平行公理以及平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.
13．(3分)若点在平面直角坐标系的第二象限内，则x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】根据点在第二象限得出不等式组，再求出不等式组的解集即可．
∵点在第二象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和点的坐标，能得出关于x的不等式组是解此题的关键．也考查了直角坐标系各个象限坐标特点．
14．(3分)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为 _____．
【答案】7人
【解析】设该问题中的人数为x人，物品的价格为y钱，根据“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱”，可列出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
解：设该问题中的人数为x人，物品的价格为y钱，
根据题意得：，
解得：，
∴该问题中的人数为7人．
故答案为：7人．
15．(3分)已知关于x的不等式组恰有三个整数解，则t的取值范围为 _____．
【答案】≤t＜-
【解析】求出每个不等式的解集，根据已知得出不等式组的解集，根据不等式组的整数解即可得出：一定存在一个整数k,满足满足下列关系：，并分情况讨论得出k的取值，再得t的取值范围．
解：
解不等式①得：x＞，
解不等式②得：x＜3-2t,
则不等式组的解集为：＜x＜3-2t,
∵不等式组有3个整数解，
∴一定存在一个整数k,满足满足下列关系：
，
解不等式组①得，，
解不等式组②得，，
（1）当，即时，则，
于是，，解得，，
∴＜k≤，
∵k为整数，
∴k=3，
∴，
∴-≤t＜-；
（2）当时，即时，不存在整数k,
∴此时无解；
（3）当，此时无解；
（4）当，即k时，则，
于是，，
解得，，
∴，不存在整数k,
∴此时无解．
综上，≤t＜-．
故答案为：≤t＜-．
评卷人 得分
. .
三、解答题(共8题；共75.0分)
16．(10分)解方程组和不等式组：
（1）；
（2）．
【解析】（1）利用加减消元法进行计算，即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
解：（1），
①+②得：3x=12，
解得：x=4，
把x=4代入①中得：8+3y=3，
解得：y=-．
∴原方程组的解为：；
（2），
解不等式①得：x＞3；
解不等式②得：x≤5；
∴原不等式组的解集为：3＜x≤5．
17．(7分)已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；（2）求的平方根．
【答案】（1）a=5，b=2，c=3 ；（2）±4.
【解析】(1)利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值.
(2)将a、b、c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
(1)∵5a+2的立方根是3，3a+b-1的算术平方根是4，
∴5a+2=27，3a+b-1=16，
∴a=5，b=2，
∵c是的整数部分，
∴c=3，
（2）∵a=5,b=2,c=3,
∴3a-b+c=16，
3a-b+c的平方根是±4．
【点睛】考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
18．(9分)按要求作图∶已知如图，平面直角坐标系中，A点在第二象限，到两坐标轴的距离都为4，C点位于第一象限且到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，过A点作轴于B点，解答下列各题：
（1）直接写出A、B、C三点的坐标并在图中作出；
（2）计算的面积；
（3）画出先向右平移5个单位长度再向下平移3个单位长度的．
【答案】（1），，，画图见解析
（2）10 （3）画图见解析
【解析】（1）根据题意，分别得出A、、三点的坐标，再根据点的坐标作出；
（2）根据三角形的面积公式，即可得出结果；
（3）根据点平移的坐标特征，写出、、三点的坐标，再根据点的坐标作出．
【小问1详解】
解：∵A点在第二象限，到两坐标轴的距离都为4，
∴，
∵点位于第一象限且到轴的距离为3，到轴的距离为1，
∴，
∵过A点作轴于点，
∴，
如下图所示：
【小问2详解】
解：设边上的高为，
；
【小问3详解】
解：∵先向右平移5个单位长度再向下平移3个单位长度得，
∴，，，
如下图所示：
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的特征、平移的性质、作图，解本题的关键在根据题意正确得出、、三点的坐标．平移的性质：1、形状大小不改变；2、对应点连线平行（或在同一直线上）且相等；3、对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等．象限内点的特征：第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负）．平面直角坐标系中点的特征：到轴的距离为，到轴的距离为．
19．(8分)小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：
次数 购买数量（件 购买总费用（元
A B
第一次 2 1 55
第二次 1 3 65
根据以上信息解答下列问题：
（1）求A，B两种商品的单价；
（2）若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）A种商品的单价为20元，B种商品的单价为15元；(2) 当a=8时所花钱数最少，即购买A商品8件，B商品4件．
【解析】（1）列二元一次方程组，用代入法或加减法解方程组即可；
（2）将题目转化为一元一次不等式，求解即可．
解：（1）设种商品的单价为元，种商品的单价为元，根据题意可得：
，
解得：，
答：种商品的单价为20元，种商品的单价为15元；
（2）设第三次购买商品种件，则购买种商品件，根据题意可得：
，
得：，
当时所花钱数最少，即购买商品8件，商品4件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法以及不等式的相关知识，解题的关键是掌握消元思想与解二元一次方程组的方法步骤．
20．(7分)下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
方法一
证明：如图，过点A作DE∥BC．
方法二
证明：如图，过点C作CD∥AB．
【解析】方法一：由平行线的性质得：∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，再由平角的定义可得∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°，从而可求解；
方法二：由平行线的性质得：∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，从而可求解．
证明：方法一：∵DE∥BC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°，
∴∠B+∠BAC+∠C=180°；
方法二：∵CD∥AB，
∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，
∴∠B+∠ACB+∠A=180°．
21．(9分)数学方法：
解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
（1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ．
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组．
（3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，
求关于x，y的方程组的解．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）设，，即可得，解方程组即可求解；
（2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解；
（3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解．
【小问1详解】
设，，则原方程组可化为，
∵的解为，
∴，
解得，
故答案为：；
【小问2详解】
设，，则原方程组可化为，
解得，
即有，
解得，
即：方程组的解为；
【小问3详解】
设，，则原方程组可化为，
化简，得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，即有，
解得：，
故方程组的解为：．
【点睛】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键．
22．(12分)为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．
甲种客车 乙种客车
载客量/（人/辆） 30 42
租金/（元/辆） 300 400
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．
（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为　 　辆；
（3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
【答案】（1）老师有16名，学生有284名；（2）8；（3）共有3种租车方案，最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆．
【解析】（1）设老师有x名，学生有y名，根据等量关系：若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生，列出二元一次方程组，解出即可；
（2）由（1）中得出的教师人数可以确定出最多需要几辆汽车，再根据总人数以及汽车最多的是42座的可以确定出汽车总数不能小于=（取整为8）辆，由此即可求出；
（3）设租用x辆乙种客车，则甲种客车数为：（8﹣x）辆，由题意得出400x+300（8﹣x）≤3100，得出x取值范围，分析得出即可．
（1）设老师有x名，学生有y名，
依题意，列方程组为，
解得：，
答：老师有16名，学生有284名；
（2）∵每辆客车上至少要有2名老师，
∴汽车总数不能大于8辆；
又要保证300名师生有车坐，汽车总数不能小于=（取整为8）辆，
综合起来可知汽车总数为8辆，
故答案为8；
（3）设租用x辆乙种客车，则甲种客车数为：（8﹣x）辆，
∵车总费用不超过3100元，
∴400x+300（8﹣x）≤3100，
解得：x≤7，
为使300名师生都有座，
∴42x+30（8﹣x）≥300，
解得：x≥5，
∴5≤x≤7（x为整数），
∴共有3种租车方案：
方案一：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为3002900元；
方案二：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为3003000元；
方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为3003100元；
故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，弄清题意找准等量关系列出方程组、找准不等关系列出不等式组是解题的关键.
23．(13分)如图，，定点E，F分别直线AB，CD上，平行线AB，CD之间有一动点P．
（1）如图1，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？并说明理由．
（2）除了（1）的结论外，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC还可能满足怎样的数量关系？请画图并直接写出结论．
（3）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．①若，则= ；②猜想∠EPF与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），理由见解析
（2）图见解析，
（3）①；②；理由见解析
【解析】（1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可得出结论；
（2）当点在的右侧时，画出图形，过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可得出结论；
（3）①先根据角平分线的定义可得，再根据（1）的结论可得，然后根据（2）的结论即可得；
②先根据角平分线的定义可得，再根据（1）和（2）的结论可得，，由此即可得出结论．
【小问1详解】
解：，理由如下：
如图，过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：如图，当点在的右侧时，，
如图，过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：①平分，平分，
，
，
由（1）可知，，
，
由（2）可知，，
，
解得，
故答案为：；
②，理由如下：
平分，平分，
，
，
由（1）和（2）可知，，，
，
，
即，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键．
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